주 아이디얼 정역

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1. 개요

주 아이디얼 정역은 모든 아이디얼이 주 아이디얼인 정역을 의미하며, 이는 정역 내 모든 아이디얼이 단일 원소로 생성될 수 있음을 의미한다. 주 아이디얼 정역은 주 아이디얼 환, 소 아이디얼이 주 아이디얼인 정역 등과 동치이며, 유일 인수 분해 정역, 데데킨트 정역, 베주 정역 등과 연관되어 있다.

모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이다. 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 성립하지 않으며, 정수환, 가우스 정수환, 다항식환 등이 주 아이디얼 정역의 예시이다. 반면, 다변수 다항식환이나 특정 대수적 정수환은 주 아이디얼 정역이 아니다. 주 아이디얼 정역은 유한 생성 가군의 으뜸 분해와 불변 인자 분해를 통해 표현될 수 있으며, 자리스키-사뮈엘 정리와 헝거퍼드 정리에 의해 분류된다.

주 아이디얼 정역

개요

정의	환의 모든 아이디얼이 단일 생성원으로 생성되는 정역
영어	Principal ideal domain (PID)
일본어	単項イデアル整域 (Tan'kō idearu seiiki)
설명	모든 아이디얼이 주 아이디얼인 정역 환의 모든 아이디얼이 단일 원소에 의해 생성되는 정역

성질

유일 인수 분해 정역	모든 주 아이디얼 정역은 유일 인수 분해 정역이다.
유클리드 정역	모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다.
데데킨트 정역	주 아이디얼 정역은 1차원 데데킨트 정역이다.
크룰 차원	주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이거나 0이다.
뇌터 환	주 아이디얼 정역은 뇌터 환이다.
가환환	주 아이디얼 정역은 가환환이다.
정역	주 아이디얼 정역은 정역이다.
환	주 아이디얼 정역은 환이다.

예시

정수환	정수환 ℤ는 주 아이디얼 정역이다.
체	모든 체는 주 아이디얼 정역이다.
다항식환	체 k에 대한 변수 x의 다항식환 k[x]는 주 아이디얼 정역이다.

참고

관련 항목	환 정역 아이디얼 주 아이디얼 유클리드 정역 유일 인수 분해 정역 데데킨트 정역

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 주 아이디얼 환
- 2.2. 주 아이디얼 정역
3. 성질
- 3.1. 주 아이디얼 정역 위의 가군
4. 분류
5. 예
- 5.1. 반례
6. 역사

2. 정의

정역 가운데 모든 아이디얼이 주 아이디얼인 것을 주 아이디얼 정역이라고 한다.

주 아이디얼 정역에서 두 원소는 모두 최대공약수를 가지며, 이는 두 원소로 생성되는 아이디얼의 생성원으로 얻을 수 있다.

모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예시로 Ring^영어 $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}} 2\right]$ 이 있으며, 이는 테오도어 모츠킨에 의해 증명되었고, 알려진 최초의 사례였다.

모든 주 아이디얼 정역은 고유 인수 분해 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

모든 주 아이디얼 정역은 정수적으로 닫힌 정역이다.

2.1. 주 아이디얼 환

주 오른쪽 아이디얼 환(principal right ideal ring^영어)은 모든 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼(즉, $r\in R$ 에 대하여 $rR$ 의 꼴)인 환이다.
주 왼쪽 아이디얼 환(principal left ideal ring^영어)은 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼(즉, $r\in R$ 에 대하여 $Rr$ 의 꼴)인 환이다. 가환환의 경우 이 두 개념이 일치하며, 주 아이디얼 가환환(principal ideal commutative ring^영어)이라고 한다.

2.2. 주 아이디얼 정역

정역 $D$ 에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 주 아이디얼 정역이라고 한다.

* 주 아이디얼 환이다.
* 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.
* 뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.
* 유일 인수 분해 정역이며, 데데킨트 정역이다.
* 유일 인수 분해 정역이며, 베주 정역이다.
* 유일 인수 분해 정역이며, 크룰 차원이 1 이하이다.
* 유일 인수 분해 정역이며, 모든 아이디얼이 평탄 가군이다.
* 유일 인수 분해 정역이며, 모든 꼬임 없는 가군은 평탄 가군이다.
* 베주 정역이며, 뇌터 환이다.
* 베주 정역이며, 주 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
* 적어도 하나 이상의 데데킨트-하세 노름을 갖는다.
* 데데킨트 정역이며, 피카르 군이 자명군이다.
* 모든 아이디얼이 자유 가군이다.
* 자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.

가환환 $R$ 위의 데데킨트-하세 노름은 다음 조건을 만족시키는 함수 $f\colon R\setminus\{0\}\to\mathbb N$ 이다.

* 임의의 $r,s\in R\setminus\{0\}$ 에 대하여, $r\mid s$ 이거나 아니면 $f(r) 인 t\in(r,s) 가 존재한다. (여기서 (r,s)=rR+sR 는 r 와 s 로 생성되는 아이디얼 이다.)$

주 아이디얼 정역에서 두 원소는 모두 최대공약수를 가지며, 이는 두 원소로 생성되는 아이디얼의 생성원으로 얻을 수 있다.

모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예시로 링 $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}} 2\right]$ 이 있으며, 이는 테오도어 모츠킨에 의해 증명되었고, 알려진 최초의 사례였다.

모든 주 아이디얼 정역은 고유 인수 분해 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

모든 주 아이디얼 정역은 정수적으로 닫힌 정역이다.

3. 성질

주 아이디얼 정역은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이다.
* 모든 주 아이디얼 정역은 정수적으로 닫힌 정역이다.
* 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 이는 크룰 차원이 1 이하라는 것을 의미한다.
* 주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소는 최대공약수를 가지며, 이는 두 원소로 생성되는 아이디얼의 생성원으로 얻을 수 있다.
* 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예로는 $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}} 2\right]$ 가 있으며, 이는 테오도어 모츠킨이 제시한 최초의 사례였다.
* 모든 주 아이디얼 정역은 고유 인수 분해 정역(UFD)이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 두 변수의 다항식 링 는 UFD이지만 PID가 아닌 것이 그 예이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역의 정의를 만족하므로, 모든 주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이다.

정역 A에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

# A는 주 아이디얼 정역이다.
# A의 모든 소 아이디얼은 주 아이디얼이다.
# A는 UFD인 데데킨트 정역이다.
# A의 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이며 (즉, A는 베주 정역이다), A는 주 아이디얼에 대한 주 아이디얼에 대한 상승 사슬 조건을 만족한다.
# A는 데데킨트-하세 노름을 허용한다.

3.1. 주 아이디얼 정역 위의 가군

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 체 상의 유한 차원 벡터 공간이 기저를 갖는다는 사실의 일반화이다.

주 아이디얼 정역 $R$ 위의 임의의 유한 생성 가군 $M$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $M\cong\bigoplus_i R/(q_i)$
여기서 $(q_i)$ 는 $R$ 의 으뜸 아이디얼이다. 이를 $M$ 의 으뜸 분해(primary decomposition^영어)라고 하며, 유일하다.

주 아이디얼 정역 $R$ 위의 임의의 유한 생성 가군 $M$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $M\cong\bigoplus_{i=1}^n R/(d_i)$
: $R^\times\not\ni d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_n$
여기서 $(d_i)$ 는 $R$ 의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를 $M$ 의 불변 인자 분해(invariant factor decomposition^영어)라고 한다.

만약 R이 주 아이디얼 정역이고, M이 유한 생성 R-가군이면, $M$ 은 순환 가군, 즉 하나의 생성자를 가진 가군의 직합이다. 순환 가군은 $R/xR$ 와 동형이다. 여기서 $x\in R$ 이다.

만약 M이 주 아이디얼 정역 R 위의 자유 가군이면, M의 모든 부분 가군은 다시 자유 가군이다. 이는 임의의 환 위의 가군에 대해서는 성립하지 않으며, 예시로 $\mathbb{Z}[X]$ 위의 가군 $(2,X) \subseteq \mathbb{Z}[X]$ 가 있다.

R 이 단항 아이디얼 정역이고 M 이 유한 생성 R-가군이라면, M 은 다음과 같은 순환 가군 (단항 생성 가군)의 유한 개의 직합으로 분해된다.
: $M \cong R/(e_1) \oplus \dotsb \oplus R/(e_r) \oplus R \oplus \dotsb \oplus R$
단, $R \supsetneq (e_1) \supseteq \dotsb \supseteq (e_r) \supsetneq 0$ 이다. 특히 유한 생성 직기약 가군은 R 과 동형이거나, 어떤 기약원 p 의 양의 거듭제곱 pⁿ 이 생성하는 아이디얼에 의한 몫 가군 R/(pⁿ) 과 동형이다.

M 이 단항 아이디얼 정역 R 위의 자유 가군이라면 M 의 임의의 부분 가군 역시 자유이다. 그러나 이것을 임의의 환 위의 가군에 대해 생각한 것은 일반적으로 옳지 않다. 예를 들어 Z[X] 의 아이디얼 (2, X) 를 Z[X] 위의 가군으로서의 Z[X] 의 부분 가군으로 보면 자유가 아니다.

4. 분류

자리스키-사뮈엘 정리(Zariski–Samuel theorem^영어)에 따르면, 모든 주 아이디얼 가환환 $R$ 는 다음과 같은 꼴의 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.

: $R=\prod_{i=1}^nR_i$

여기서
* 각 $R_i$ 는 주 아이디얼 정역이거나 아니면 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환이다.

헝거퍼드 정리(Hungerford theorem^영어)에 따르면, 모든 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환 $R$ 는 이산 값매김환의 몫환이다.

5. 예

* 체는 주 아이디얼 정역이다.
* 정수환 $\mathbb Z$ 는 주 아이디얼 정역이다.
* 가우스 정수환 $\mathbb Z[i]$ 와 아이젠슈타인 정수환 $\mathbb Z[\exp(2\pi i/3)]$ 는 주 아이디얼 정역이다.
* $K$ 가 체일 때, $K$ 위의 일변수 다항식환 $K[x]$ 는 주 아이디얼 정역이다.
* p-진 정수의 환 $\mathbb{Z}_p$ 와 같은 모든 이산 값 매김 환도 주 아이디얼 정역이다.

5.1. 반례

$\mathbb Z[x]$ 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 $(2,x)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 체 $K$ 에 대하여, $K[x,y]$ 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 $(x,y)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.

주 아이디얼 정역이 아닌 정역의 예는 다음과 같다.

* $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ 는 $4 = 2\cdot 2 = (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$ 이므로 유일 인수 분해 정역이 아니다. 따라서 주 아이디얼 정역이 아니다. 또한, $\langle 2, 1+\sqrt{-3} \rangle$ 는 단일 원소로 생성될 수 없는 아이디얼이다.
* $\mathbb{Z}[x]$ : 정수 계수를 갖는 모든 다항식의 링. $\langle 2, x \rangle$ 가 단일 다항식으로 생성될 수 없는 아이디얼이므로 주 아이디얼 정역이 아니다.
* $K[x, y, \ldots],$ 링 위의 두 개 이상의 변수를 갖는 다항식의 링은 아이디얼 $\langle x, y \rangle$ 가 주 아이디얼이 아니므로 주 아이디얼 정역이 아니다.
* 대부분의 대수적 정수환은 주 아이디얼 정역이 아니다. 특히, 단위근 $\zeta_p$ 의 많은 $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ 는 주 아이디얼 정역이 아니다.

단항 아이디얼 정역이 되지 않는 정역의 예는 다음과 같다.

* Z[X]: 정수 계수의 일변수 다항식환. 예를 들어 아이디얼 (2, X)는 단항 아이디얼이 아니다.
* K[X, Y]: 체 K 위의 두 변수 다항식환. 예를 들어 아이디얼 (X, Y)는 단항 아이디얼이 아니다.

6. 역사

1949년 토머스 모츠킨(Thomas Motzkin)이 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예를 최초로 제시하였다.

1958년 오스카 자리스키와 피에르 사뮈엘(Pierre Samuel)이 자리스키-사뮈엘 정리를 증명하였다.

1968년 토머스 윌리엄 헝거퍼드(Thomas William Hungerford)가 헝거퍼드 정리를 증명하였다.