복시테인 준동형

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

복시테인 준동형은 공사슬 복합체의 짧은 완전열로부터 유도되는 연결 사상이다. 사슬 복합체의 호몰로지에서도 정의되며, 복시테인 스펙트럼 열을 유도하는 데 사용된다. 이 준동형은 스틴로드 연산과 정수 슈티펠-휘트니 특성류를 정의하는 데 활용되며, 메예르 펠릭소비치 복시테인에 의해 도입되었다.

복시테인 준동형

일반 정보

유형	동형 사상
분야	대수적 위상수학, 호몰로지 대수학
발명가	마이어 복스테인

정의

개요	복스테인 준동형은 정수 계수를 갖는 호몰로지 군과 코호몰로지 군 사이의 관계를 연구하는 데 사용되는 도구이다. 특히, 완전열과 관련된 정보를 추출하는 데 유용하다.

예시

예시	매니폴드의 호몰로지 스펙트럼 열

관련 개념

관련 개념	완전열 정수 계수 호몰로지 코호몰로지

중요성

중요성	대수적 위상수학에서 다양한 공간의 호몰로지 군 구조 연구 호몰로지 대수학에서 완전열의 성질 연구

📚 더 읽어볼만한 페이지

대수적 위상수학 - 매시 곱
매시 곱은 미분 등급 대수 원소에 대한 연산으로 코호몰로지 곱으로 파악하기 어려운 위상수학적 불변량을 측정하며, 2항 곱과 3항 곱을 일반화한 형태로 불확정성을 가지지만, 브루니안 링크, 보로메오 고리 연구 및 꼬인 K-이론 등 다양한 분야에 응용된다.
대수적 위상수학 - 톰 공간
톰 공간은 파라콤팩트 공간 위의 벡터 다발을 이용하여 구성되며, 르네 톰에 의해 도입되었고, 톰 동형을 통해 기저 공간의 코호몰로지와 관계를 가지며 특성류 이론 등에서 중요한 역할을 한다.
호몰로지 이론 - 매시 곱
매시 곱은 미분 등급 대수 원소에 대한 연산으로 코호몰로지 곱으로 파악하기 어려운 위상수학적 불변량을 측정하며, 2항 곱과 3항 곱을 일반화한 형태로 불확정성을 가지지만, 브루니안 링크, 보로메오 고리 연구 및 꼬인 K-이론 등 다양한 분야에 응용된다.
호몰로지 이론 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 복시테인 스펙트럼 열
3. 예
- 3.1. 스틴로드 연산
- 3.2. 정수 슈티펠-휘트니 특성류
4. 역사

2. 정의

공사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자.
: $0\to C^\bullet\xrightarrow\iota D^\bullet\xrightarrow\pi E^\bullet\to 0$
그렇다면, 지그재그 보조정리를 사용해 다음과 같은 코호몰로지 긴 완전열을 만들 수 있다.
: $\Sigma\operatorname H_\bullet(E)\xrightarrow\beta\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{\iota_*}\operatorname H^\bullet(D)\xrightarrow{\pi_*}\operatorname H_\bullet(E)$
여기서 연결 사상 $\beta$ 를 복시테인 준동형이라고 한다. 이때
: $(\Sigma C)_\bullet=C_{\bullet-1}$
는 사슬 복합체의 현수이다.

사슬 복합체의 호몰로지의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이 $\deg d$ 라면, 복시테인 준동형의 등급 역시 $\deg d$ 이다.

2.1. 복시테인 스펙트럼 열

공사슬 복합체 $C_\bullet$ 의 등급 $n$ 단사 자기 사상
$f\colon\Sigma^nC^\bullet\to C^\bullet$
이 주어졌다고 하자. 그러면 다음과 같은 짧은 완전열을 구성할 수 있다.
$0\to \Sigma^nC^\bullet\xrightarrow fC^\bullet\xrightarrow q\operatorname{coker}f\to 0$
이에 대한 코호몰로지를 취하면 다음과 같은 긴 코호몰로지 완전열의 일부인 완전쌍을 얻는다.
$\Sigma^n\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{f_*}\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{q_*}\operatorname H_\bullet(\operatorname{coker}f)\xrightarrow\beta\Sigma^{-1}\operatorname H_\bullet(\operatorname{coker}f)$
여기서 유도되는 스펙트럼 열을 복시테인 스펙트럼 열(Бокштейн^러시아어, Bockstein spectral sequence^영어)이라고 한다. 이 스펙트럼 열의 첫 번째 쪽( $E_1$ )은 다음과 같다.
$E_1^{p,q}=\begin{cases}\operatorname H^{p(1-n)+q}(\operatorname{coker}f)&p\ge0\\0&p<0\end{cases}$
$d^n=q_*\circ\beta$
$\deg d^n=(r,1-r)$
만약 $n>0$ 이고 코호몰로지 군 $\operatorname H^\bullet(\operatorname{coker}f)$ 가 아래로 유계이면 (즉, 어떤 정수 $N$ 이 존재하여 모든 $k < N$ 에 대해 $\operatorname H^k(\operatorname{coker}f)=0$ 이면), 이 스펙트럼 열은 $\operatorname H^\bullet(C)$ 로 수렴한다.
$E_n^{p,q}\Rightarrow \operatorname H^{p+q}(C)$
유사한 방식으로, 호몰로지에 대해서도 복시테인 스펙트럼 열을 구성할 수 있다.

3. 예

복시테인 준동형의 중요한 예시로는 스틴로드 연산과 관련된 준동형 및 정수 슈티펠-휘트니 특성류를 정의하는 데 사용되는 준동형 등이 있다. 이들은 특정 짧은 완전열로부터 유도된다.

3.1. 스틴로드 연산

가장 흔히 사용되는 복시테인 준동형은 다음 짧은 완전열로부터 유도된 코호몰로지에 대한 준동형들이다.
: $0\to\mathbb Z/n\to\mathbb Z/n^2\to\mathbb Z/n\to0$
여기서 $n$ 은 정수이다.

위상 공간 $X$ 위의 특이 사슬 복합체 $C(X)$ 에 대하여, 계수를 $\mathbb Z/n$ , $\mathbb Z/n^2$ 로 가지는 사슬 복합체들을 생각하면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.
: $0\to C(X)\otimes \mathbb Z/n\to C(X)\otimes\mathbb Z/n^2\to C(X)\otimes \mathbb Z/n\to0$
이 짧은 완전열은 코호몰로지 군 사이에 다음과 같은 긴 완전열을 유도하며, 이 긴 완전열에 포함된 연결 준동형이 복시테인 준동형 $\beta$ 이다.
: $\beta\colon H^k(X;\mathbb Z/n)\to H^{k+1}(X;\mathbb Z/n)$
이 준동형은 코호몰로지 환 $H^*(X;\mathbb Z/n)$ 위에 다음과 같은 성질들을 만족시키는 등급 $+1$ 의 미분을 정의한다.

* $\beta^2 = 0$ ( $n$ 이 3 이상의 소수일 경우). 즉, $\beta$ 를 연달아 두 번 적용하면 0이 된다.
* $\beta$ 는 곱 규칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 동차 코호몰로지류 $a, b \in H^*(X;\mathbb Z/n)$ 에 대하여 다음 라이프니츠 법칙이 성립한다.
:: $\beta(a\smile b) = \beta(a)\smile b + (-1)^{\deg a} a\smile\beta(b)$
여기서 $\smile$ 는 코호몰로지 환의 컵곱이고, $\deg a$ 는 코호몰로지류 $a$ 의 등급(차수)이다.

3.2. 정수 슈티펠-휘트니 특성류

짧은 완전열
: $0\to\mathbb Z/n\to\mathbb Z\to\mathbb Z\to0$
에 대응하는 복시테인 준동형
: $\beta\colon H^n(X,\mathbb Z/n)\to H^{n+1}(X,\mathbb Z)$
도 사용된다. 예를 들어, 정수 슈티펠-휘트니 특성류 $W^n(X)\in H^n(X,\mathbb Z)$ 는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류 $w^{n-1}(X)\in H^{n-1}(X,\mathbb Z/2)$ 에 (n=2일 때의) 복시테인 준동형 $\beta$ 를 적용하여 얻을 수 있다. 즉, $W^n(X) = \beta(w^{n-1}(X))$ 이다.

4. 역사

메예르 펠릭소비치 복시테인(Ме́ер Фе́ликсович Бокште́йн^러시아어, 1913~1990)이 도입하였다.