복시테인 준동형

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1. 개요

복시테인 준동형은 공사슬 복합체의 짧은 완전열로부터 유도되는 연결 사상이다. 사슬 복합체의 호몰로지에서도 정의되며, 복시테인 스펙트럼 열을 유도하는 데 사용된다. 이 준동형은 스틴로드 연산과 정수 슈티펠-휘트니 특성류를 정의하는 데 활용되며, 메예르 펠릭소비치 복시테인에 의해 도입되었다.

복시테인 준동형

일반 정보

유형	동형 사상
분야	대수적 위상수학, 호몰로지 대수학
발명가	마이어 복스테인

정의

개요	복스테인 준동형은 정수 계수를 갖는 호몰로지 군과 코호몰로지 군 사이의 관계를 연구하는 데 사용되는 도구이다. 특히, 완전열과 관련된 정보를 추출하는 데 유용하다.

예시

예시	매니폴드의 호몰로지 스펙트럼 열

관련 개념

관련 개념	완전열 정수 계수 호몰로지 코호몰로지

중요성

중요성	대수적 위상수학에서 다양한 공간의 호몰로지 군 구조 연구 호몰로지 대수학에서 완전열의 성질 연구

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 복시테인 스펙트럼 열
3. 예
- 3.1. 스틴로드 연산
- 3.2. 정수 슈티펠-휘트니 특성류
4. 역사

2. 정의

공사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자.
: $0\to C^\bullet\xrightarrow\iota D^\bullet\xrightarrow\pi E^\bullet\to 0$
그렇다면, 지그재그 보조정리를 사용해 다음과 같은 코호몰로지 긴 완전열을 만들 수 있다.
: $\Sigma\operatorname H_\bullet(E)\xrightarrow\beta\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{\iota_*}\operatorname H^\bullet(D)\xrightarrow{\pi_*}\operatorname H_\bullet(E)$
여기서 연결 사상 $\beta$ 를 복시테인 준동형이라고 한다. 이때
: $(\Sigma C)_\bullet=C_{\bullet-1}$
는 사슬 복합체의 현수이다.

사슬 복합체의 호몰로지의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이 $\deg d$ 라면, 복시테인 준동형의 등급 역시 $\deg d$ 이다.

2.1. 복시테인 스펙트럼 열

공사슬 복합체 $C_\bullet$ 의 등급 $n$ 단사 자기 사상
$f\colon\Sigma^nC^\bullet\to C^\bullet$
이 주어졌다고 하자. 그러면 다음과 같은 짧은 완전열을 구성할 수 있다.
$0\to \Sigma^nC^\bullet\xrightarrow fC^\bullet\xrightarrow q\operatorname{coker}f\to 0$
이에 대한 코호몰로지를 취하면 다음과 같은 긴 코호몰로지 완전열의 일부인 완전쌍을 얻는다.
$\Sigma^n\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{f_*}\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{q_*}\operatorname H_\bullet(\operatorname{coker}f)\xrightarrow\beta\Sigma^{-1}\operatorname H_\bullet(\operatorname{coker}f)$
여기서 유도되는 스펙트럼 열을 복시테인 스펙트럼 열(Бокштейн^러시아어, Bockstein spectral sequence^영어)이라고 한다. 이 스펙트럼 열의 첫 번째 쪽( $E_1$ )은 다음과 같다.
$E_1^{p,q}=\begin{cases}\operatorname H^{p(1-n)+q}(\operatorname{coker}f)&p\ge0\\0&p<0\end{cases}$
$d^n=q_*\circ\beta$
$\deg d^n=(r,1-r)$
만약 $n>0$ 이고 코호몰로지 군 $\operatorname H^\bullet(\operatorname{coker}f)$ 가 아래로 유계이면 (즉, 어떤 정수 $N$ 이 존재하여 모든 $k < N$ 에 대해 $\operatorname H^k(\operatorname{coker}f)=0$ 이면), 이 스펙트럼 열은 $\operatorname H^\bullet(C)$ 로 수렴한다.
$E_n^{p,q}\Rightarrow \operatorname H^{p+q}(C)$
유사한 방식으로, 호몰로지에 대해서도 복시테인 스펙트럼 열을 구성할 수 있다.

3. 예

복시테인 준동형의 중요한 예시로는 스틴로드 연산과 관련된 준동형 및 정수 슈티펠-휘트니 특성류를 정의하는 데 사용되는 준동형 등이 있다. 이들은 특정 짧은 완전열로부터 유도된다.

3.1. 스틴로드 연산

가장 흔히 사용되는 복시테인 준동형은 다음 짧은 완전열로부터 유도된 코호몰로지에 대한 준동형들이다.
: $0\to\mathbb Z/n\to\mathbb Z/n^2\to\mathbb Z/n\to0$
여기서 $n$ 은 정수이다.

위상 공간 $X$ 위의 특이 사슬 복합체 $C(X)$ 에 대하여, 계수를 $\mathbb Z/n$ , $\mathbb Z/n^2$ 로 가지는 사슬 복합체들을 생각하면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.
: $0\to C(X)\otimes \mathbb Z/n\to C(X)\otimes\mathbb Z/n^2\to C(X)\otimes \mathbb Z/n\to0$
이 짧은 완전열은 코호몰로지 군 사이에 다음과 같은 긴 완전열을 유도하며, 이 긴 완전열에 포함된 연결 준동형이 복시테인 준동형 $\beta$ 이다.
: $\beta\colon H^k(X;\mathbb Z/n)\to H^{k+1}(X;\mathbb Z/n)$
이 준동형은 코호몰로지 환 $H^*(X;\mathbb Z/n)$ 위에 다음과 같은 성질들을 만족시키는 등급 $+1$ 의 미분을 정의한다.

* $\beta^2 = 0$ ( $n$ 이 3 이상의 소수일 경우). 즉, $\beta$ 를 연달아 두 번 적용하면 0이 된다.
* $\beta$ 는 곱 규칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 동차 코호몰로지류 $a, b \in H^*(X;\mathbb Z/n)$ 에 대하여 다음 라이프니츠 법칙이 성립한다.
:: $\beta(a\smile b) = \beta(a)\smile b + (-1)^{\deg a} a\smile\beta(b)$
여기서 $\smile$ 는 코호몰로지 환의 컵곱이고, $\deg a$ 는 코호몰로지류 $a$ 의 등급(차수)이다.

3.2. 정수 슈티펠-휘트니 특성류

짧은 완전열
: $0\to\mathbb Z/n\to\mathbb Z\to\mathbb Z\to0$
에 대응하는 복시테인 준동형
: $\beta\colon H^n(X,\mathbb Z/n)\to H^{n+1}(X,\mathbb Z)$
도 사용된다. 예를 들어, 정수 슈티펠-휘트니 특성류 $W^n(X)\in H^n(X,\mathbb Z)$ 는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류 $w^{n-1}(X)\in H^{n-1}(X,\mathbb Z/2)$ 에 (n=2일 때의) 복시테인 준동형 $\beta$ 를 적용하여 얻을 수 있다. 즉, $W^n(X) = \beta(w^{n-1}(X))$ 이다.

4. 역사

메예르 펠릭소비치 복시테인(Ме́ер Фе́ликсович Бокште́йн^러시아어, 1913~1990)이 도입하였다.