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복시테인 준동형

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목차

1. 개요

복시테인 준동형은 공사슬 복합체의 짧은 완전열로부터 유도되는 연결 사상이다. 사슬 복합체의 호몰로지에서도 정의되며, 복시테인 스펙트럼 열을 유도하는 데 사용된다. 이 준동형은 스틴로드 연산과 정수 슈티펠-휘트니 특성류를 정의하는 데 활용되며, 메예르 펠릭소비치 복시테인에 의해 도입되었다.

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복시테인 준동형
일반 정보
유형동형 사상
분야대수적 위상수학, 호몰로지 대수학
발명가마이어 복스테인
정의
개요복스테인 준동형은 정수 계수를 갖는 호몰로지 군과 코호몰로지 군 사이의 관계를 연구하는 데 사용되는 도구이다. 특히, 완전열과 관련된 정보를 추출하는 데 유용하다.
예시
예시매니폴드의 호몰로지
스펙트럼 열
관련 개념
관련 개념완전열
정수 계수 호몰로지
코호몰로지
중요성
중요성대수적 위상수학에서 다양한 공간의 호몰로지 군 구조 연구
호몰로지 대수학에서 완전열의 성질 연구

2. 정의

공사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자.

:0\to C^\bullet\xrightarrow\iota D^\bullet\xrightarrow\pi E^\bullet\to 0

그렇다면, 지그재그 보조정리를 사용해 다음과 같은 코호몰로지 긴 완전열을 만들 수 있다.

:\Sigma\operatorname H_\bullet(E)\xrightarrow\beta\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{\iota_*}\operatorname H^\bullet(D)\xrightarrow{\pi_*}\operatorname H_\bullet(E)

여기서 연결 사상 \beta를 '''복시테인 준동형'''이라고 한다. 이때

:(\Sigma C)_\bullet=C_{\bullet-1}

는 사슬 복합체의 현수이다.

사슬 복합체의 호몰로지의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이 \deg d라면, 복시테인 준동형의 등급 역시 \deg d이다.

2. 1. 복시테인 스펙트럼 열

공사슬 복합체 C_\bullet의 등급 n 단사 자기 사상

f\colon\Sigma^nC^\bullet\to C^\bullet

이 주어졌다고 하자. 그러면 다음과 같은 짧은 완전열을 구성할 수 있다.

0\to \Sigma^nC^\bullet\xrightarrow fC^\bullet\xrightarrow q\operatorname{coker}f\to 0

이에 대한 코호몰로지를 취하면 다음과 같은 긴 코호몰로지 완전열의 일부인 완전쌍을 얻는다.

\Sigma^n\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{f_*}\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{q_*}\operatorname H_\bullet(\operatorname{coker}f)\xrightarrow\beta\Sigma^{-1}\operatorname H_\bullet(\operatorname{coker}f)

여기서 유도되는 스펙트럼 열을 '''복시테인 스펙트럼 열'''(Бокштейнrus, Bockstein spectral sequenceeng)이라고 한다. 이 스펙트럼 열의 첫 번째 쪽(E_1)은 다음과 같다.[1]

E_1^{p,q}=\begin{cases}

\operatorname H^{p(1-n)+q}(\operatorname{coker}f)&p\ge0\\

0&p<0

\end{cases}

d^n=q_*\circ\beta

\deg d^n=(r,1-r)

만약 n>0이고 코호몰로지 군 \operatorname H^\bullet(\operatorname{coker}f)가 아래로 유계이면 (즉, 어떤 정수 N이 존재하여 모든 k < N에 대해 \operatorname H^k(\operatorname{coker}f)=0이면), 이 스펙트럼 열은 \operatorname H^\bullet(C)로 수렴한다.[1]

E_n^{p,q}\Rightarrow \operatorname H^{p+q}(C)

유사한 방식으로, 호몰로지에 대해서도 복시테인 스펙트럼 열을 구성할 수 있다.

3. 예

복시테인 준동형의 중요한 예시로는 스틴로드 연산과 관련된 준동형 및 정수 슈티펠-휘트니 특성류를 정의하는 데 사용되는 준동형 등이 있다. 이들은 특정 짧은 완전열로부터 유도된다.

3. 1. 스틴로드 연산

가장 흔히 사용되는 복시테인 준동형은 다음 짧은 완전열로부터 유도된 코호몰로지에 대한 준동형들이다.

:0\to\mathbb Z/n\to\mathbb Z/n^2\to\mathbb Z/n\to0

여기서 n은 정수이다.

위상 공간 X 위의 특이 사슬 복합체 C(X)에 대하여, 계수를 \mathbb Z/n, \mathbb Z/n^2로 가지는 사슬 복합체들을 생각하면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

:0\to C(X)\otimes \mathbb Z/n\to C(X)\otimes\mathbb Z/n^2\to C(X)\otimes \mathbb Z/n\to0

이 짧은 완전열은 코호몰로지 군 사이에 다음과 같은 긴 완전열을 유도하며, 이 긴 완전열에 포함된 연결 준동형이 복시테인 준동형 \beta이다.

:\beta\colon H^k(X;\mathbb Z/n)\to H^{k+1}(X;\mathbb Z/n)

이 준동형은 코호몰로지 환 H^*(X;\mathbb Z/n) 위에 다음과 같은 성질들을 만족시키는 등급 +1의 미분을 정의한다.

  • \beta^2 = 0 (n이 3 이상의 소수일 경우). 즉, \beta를 연달아 두 번 적용하면 0이 된다.
  • \beta는 곱 규칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 동차 코호몰로지류 a, b \in H^*(X;\mathbb Z/n)에 대하여 다음 라이프니츠 법칙이 성립한다.

:: \beta(a\smile b) = \beta(a)\smile b + (-1)^{\deg a} a\smile\beta(b)

여기서 \smile는 코호몰로지 환의 컵곱이고, \deg a는 코호몰로지류 a의 등급(차수)이다.

3. 2. 정수 슈티펠-휘트니 특성류

짧은 완전열

:0\to\mathbb Z/n\to\mathbb Z\to\mathbb Z\to0

에 대응하는 복시테인 준동형

:\beta\colon H^n(X,\mathbb Z/n)\to H^{n+1}(X,\mathbb Z)

도 사용된다. 예를 들어, 정수 슈티펠-휘트니 특성류 W^n(X)\in H^n(X,\mathbb Z)는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류 w^{n-1}(X)\in H^{n-1}(X,\mathbb Z/2)에 (n=2일 때의) 복시테인 준동형 \beta를 적용하여 얻을 수 있다. 즉, W^n(X) = \beta(w^{n-1}(X))이다.

4. 역사

메예르 펠릭소비치 복시테인(Ме́ер Фе́ликсович Бокште́йнru, 1913~1990)이 도입하였다.[2][3][4]

참조

[1] 웹인용 A user’s guide to the Bockstein spectral sequence http://www.math.wash[...] 2005
[2] 논문 Universal systems of ∇-homology rings
[3] 논문 A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension
[4] 논문 Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d’homologie


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