호몰로지

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1. 개요

호몰로지는 위상 공간의 연결성을 연구하는 데 사용되는 수학적 도구이다. 오일러 지표 연구에서 시작되어 리만, 베티, 푸앵카레, 뇌터 등에 의해 발전되었다. 호몰로지 이론은 사슬 복합체를 구성하고, 이를 통해 호몰로지 군을 정의한다. 호몰로지 군은 위상 공간의 "구멍"의 수를 나타내는 불변량으로, 호모토피 군과의 관계를 설명하는 후레비츠 준동형 사상을 갖는다. 호몰로지는 브라우어 고정점 정리, 영역 불변성 등 순수 수학 분야에 응용되며, 위상적 데이터 분석, 센서 네트워크, 물리학, 유한 요소법 등 과학 및 공학 분야에서도 활용된다.

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호몰로지

2. 역사적 배경

호몰로지 이론은 오일러 지표를 구하는 오일러 다면체 공식에서 시작되었다고 할 수 있다.^[15] 1857년 리만은 종수와 ''n''-겹 연결 수치 불변량을 정의했고, 1871년 베티는 "호몰로지 수"가 기저 선택과 무관하다는 것을 증명했다.^[16]

2. 1. 초기 역사

베른하르트 리만은 1851년 학위 논문과 1857년 논문에서 곡면의 '''연결도'''(connectivity)라는 개념을 제시했다.^[15] 리만은 곡면을 절단하는 횡단선과 닫힌 곡선을 이용하여 연결도를 정의했다. 횡단선은 곡면의 경계상의 두 점을 잇는 곡선이며, 닫힌 곡선은 시작점과 끝점이 같은 곡선이다. 연결도는 횡단선으로 곡면을 절단했을 때 나누어지는 단연결 영역의 개수와 닫힌 곡선이 부분 곡면의 완전 경계가 되는지 여부로 결정된다.^[27]

원판 및 환상의 횡단선의 예. 원판은 그림의 파선 부분을 횡단선으로 절단하여 두 개로 나뉜다. 한편, 환상에는 절단해도 두 개로 나뉘지 않는 횡단선이 존재한다.

원판 및 환상상의 닫힌 곡선의 예. 원판 위에 그린 닫힌 곡선은 내부 영역의 경계가 된다. 한편, 환상 위에 그린 닫힌 곡선은 그렇지 않다. 현대적으로는 1차 호몰로지 군의 계수를 보고 있는 셈이다.

엔리코 베티는 리만의 아이디어를 고차원으로 확장하여 연결수를 정의하였다.^[16] 1863년 베티는 공간의 연결성에 대한 아이디어를 제시했고, 1871년 논문에서는 고차원 공간의 차원 연결성을 정의했다. 베티의 연결수는 고차원 부분 공간의 경계가 되지 않는 부분 공간의 최대 개수로 정의된다.

내부가 채워진 도넛. 그림에 표시된 원판으로 잘라도 두 조각으로 나뉘지 않는다.

2. 2. 앙리 푸앵카레의 공헌

푸앵카레는 1895년 "위치 해석"(Analysis Situs)이라는 기념비적인 논문을 발표했다.^[15] 이 논문에서 푸앵카레는 다양체의 부분 다양체의 형식 합에 호몰로지라는 동치 관계를 정의하고, 이를 바탕으로 다양체의 연결성에 대한 새로운 정의를 내렸으며, 이를 베티 수라고 불렀다. 푸앵카레는 베티 수는 생각했지만, 호몰로지 군은 생각하지 않았다(기본군은 생각했다).^[16]

"위치 해석"(Analysis Situs)이라는 단어는 고트프리트 라이프니츠가 사용한 것이다.

2. 3. 에미 뇌터와 대수적 호몰로지

에미 뇌터는 호몰로지 군의 개념을 도입하여 호몰로지 이론을 대수적으로 정립하는 데 결정적인 역할을 했다.^[28]^[29] 뇌터 이전에는 호몰로지를 베티 수와 비틀림 계수와 같은 수치적인 불변량으로 이해했다. 그러나 뇌터는 이러한 불변량들이 유한 생성 아벨 군 구조 정리의 응용으로 볼 수 있으며, 호몰로지 자체가 아벨 군이라는 것을 간파했다.^[30]

1926년, 파벨 알렉산드로프와 Heinz Hopf|하인츠 호프^영어가 레프셰츠 부동점 정리를 연구하던 중 뇌터는 호몰로지 군을 이용하여 증명을 더 쉽게 이해할 수 있다고 조언했다. 뇌터는 호몰로지 군의 적당한 자기 준동형의 대각합을 생각하면 증명이 더 명확해진다고 지적했다.

뇌터의 이러한 관점은 호몰로지 이론의 발전에 큰 영향을 미쳤다. 1932년 알렉산드로프의 저서 『위상기하학의 기초 개념』에서 호몰로지 군이 사용되었으며,^[31] 1935년 알렉산드로프와 호프의 공저 『Topologie』의 서문에는 뇌터의 조언에 대한 감사가 표명되었다.

뇌터의 공헌으로 호몰로지는 단순한 숫자를 넘어, 군이라는 대수적 구조를 통해 위상 공간의 성질을 더 깊이 이해할 수 있게 되었다. 또한, 레오폴트 비토리스와 발터 마이어도 1925년부터 28년까지 호몰로지 이론을 발전시키는 데 기여했다.^[32] 이들의 연구와 뇌터의 통찰력 덕분에, "조합 위상기하학"은 "대수적 위상기하학"으로 전환되었고, 호몰로지 군은 급속하게 보급되었다.^[33]

3. 호몰로지 군의 구성

먼저 대상 $X$ 에 대해, $X$ 에 대한 정보를 포함하는 사슬 복합체를 정의한다. 사슬 복합체는 아벨 군이나 가군의 열과 그 사이의 준동형들로 이루어지는데, 이 준동형들은 연속하여 합성하면 영이 된다는 조건을 만족한다.

$X$ 의 호몰로지 군은 이 사슬 복합체가 얼마나 불완전한지를 측정하는 값으로 볼 수 있다. 사슬 복합체의 ''n''+1번째 사상의 상이 항상 n번째 사상의 핵과 같은 경우, 이 사슬복합체는 완전하다고 한다.

경계의 경계가 자명하다는 것은 $\mathrm{im}(\partial_{n+1})\subseteq\ker(\partial_n)$ 이라는 것과 같다. $B_n(X) = \mathrm{im}(\partial_{n+1})$ 의 요소는 '''경계'''라고 하고, $Z_n(X) = \ker(\partial_n)$ 의 요소는 '''사이클'''이라고 한다.

각 사슬 군 ''C_n''이 아벨 군이므로, $\ker(\partial_n)$ 은 ''C_n''의 부분군이자 아벨 군이고, $\mathrm{im}(\partial_{n+1}) \subseteq\ker(\partial_n)$ 이므로 $\mathrm{im}(\partial_{n+1})$ 은 $\ker(\partial_n)$ 의 정규 부분군이다.

''호몰로지 이론''을 다른 종류의 수학적 대상에 연결하려면, 먼저 해당 대상에 체인 복합체를 연결하는 처방을 제공한 다음 해당 체인 복합체의 호몰로지를 취한다. 호몰로지 이론이 유효하려면 동일한 수학적 대상에 연결된 모든 체인 복합체가 동일한 호몰로지를 가져야 한다.

범주론의 언어로, 호몰로지 이론은 연구되는 수학적 대상의 범주에서 아벨 군과 군 준동형 사상의 범주로의 일종의 함자이다.

충분히 '좋은' 위상 공간 $X$ 와, 그에 맞는 호몰로지 이론, 그리고 해당 이론과 호환되는 $X$ 와 관련된 체인 복합체 $(C_\bullet, d_\bullet)$ 가 주어지면, $n$ 차 호몰로지 군 $H_n(X)$ 는 $n$ -사이클을 $n$ -차원 경계로 나눈 몫군 $H_n(X)=Z_n/B_n$ 로 주어진다. 즉, ''호몰로지 클래스''라고 불리는 $H_n(X)$ 의 원소는 $n$ -사이클을 대표자로 하는 동치류이며, 두 사이클은 경계를 더함으로써 서로 다를 경우에만 $H_n(X)$ 에서 동일한 것으로 간주된다.

사이클 $Z_n(X)$ 및 경계 $B_n(X)$ 군을 계산하는 것은 일반적으로 생성기의 수가 매우 많기 때문에 다소 어렵다.

''단순 복합체'' ''X''의 ''단순 호몰로지'' 군 ''H_n''(''X'')는 ''X''의 ''n''-단순체로 생성된 자유 아벨 군인 단순 사슬 복합체 ''C''(''X'')를 사용하여 정의된다.

''특이 호몰로지'' 군 ''H_n''(''X'')는 모든 위상 공간 ''X''에 대해 정의되며 단순 복합체의 단순 호몰로지 군과 일치한다.

코호몰로지 군은 호몰로지 군과 형식이 유사하다. 먼저 코사슬 복합체로 시작하는데, 이는 사슬 복합체와 동일하지만 화살표는 $d_n$ 으로 표시되며 ''n''이 감소하는 방향이 아닌 증가하는 방향을 가리킨다. 그런 다음 ''코사이클''의 군 $\ker\left(d^n\right) = Z^n(X)$ 과 ''코경계''의 군 $\mathrm{im}\left(d^{n-1}\right) = B^n(X)$ 는 동일한 설명에서 따르며 ''X''의 ''n''차 코호몰로지 군은 몫군

: $H^n(X) = Z^n(X)/B^n(X)$

으로 ''n''차 호몰로지 군과 유사하다.

사슬 복합체는 범주를 형성한다. 사슬 복합체( $d_n : A_n \to A_{n-1}$ )에서 사슬 복합체( $e_n : B_n \to B_{n-1}$ )로의 사상은 모든 ''n''에 대해 $f_{n-1} \circ d_n = e_n \circ f_n$ 을 만족하는 일련의 준동형사상 $f_n : A_n \to B_n$ 이다. ''n''번째 호몰로지 ''H_n''은 사슬 복합체의 범주에서 아벨 군(또는 가군)의 범주로 가는 공변 함자로 볼 수 있다.

사슬 복합체가 공변 방식으로 객체 ''X''에 의존하는 경우, ''H_n''은 ''X''가 속한 범주에서 아벨 군(또는 가군)의 범주로 가는 공변 함자이다.

호몰로지와 코호몰로지의 유일한 차이점은 코호몰로지에서 사슬 복합체가 ''X''에 대해 ''반변'' 방식으로 의존한다는 것이며, 따라서 호몰로지 군(이 맥락에서는 ''코호몰로지 군''이라고 부르며 ''Hⁿ''으로 표시)은 ''X''가 속한 범주에서 아벨 군 또는 가군의 범주로 가는 ''반변'' 함자를 형성한다는 것이다.

유한 생성 가환군(또는 유한 차원 벡터 공간)인 사슬 복합체라면, ''오일러 지표''를 정의할 수 있다.

: $\chi = \sum (-1)^n \, \mathrm{rank}(A_n)$

(가환군의 경우에는 계수를 사용하고 벡터 공간의 경우에는 하멜 차원을 사용한다). 오일러 지표는 호몰로지 수준에서도 계산할 수 있다.

: $\chi = \sum (-1)^n \, \mathrm{rank}(H_n)$

특히 대수적 위상수학에서, 이는 사슬 복합체를 생성한 대상 ''X''에 대한 중요한 불변량 $\chi$ 를 계산하는 두 가지 방법을 제공한다.

모든 짧은 완전 순서열

: $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$

사슬 복합체는 다음과 같은 긴 완전 순서열의 호몰로지 군을 생성한다.

: $\cdots \to H_n(A) \to H_n(B) \to H_n(C) \to H_{n-1}(A) \to H_{n-1}(B) \to H_{n-1}(C) \to H_{n-2}(A) \to \cdots$

이 긴 완전 순서열의 모든 사상은 사슬 복합체 간의 사상에 의해 유도되지만, 사상 $H_n(C) \to H_{n-1}(A)$ 는 예외이다. 후자는 갈지자 보조정리에 의해 제공된다.

호몰로지군은 다음과 같은 절차를 거쳐 구성된다.

위상 공간 ''X''가 주어졌을 때, 먼저 ''X''의 정보를 추출한 체인 복합체 ''C''(''X'')를 구성한다.

경계 작용소 2개의 합성 (composition)은 항상 0이라는 조건을 덧붙인다. 즉, 모든 ''n''에 대해서,

: $\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0$

이다.

각 ''C_n''은 아벨 군이므로, im(∂_''n''+1)은 ker(∂_''n'')의 정규 부분군이다. 이 부분군을 무시하고, 그 차이가 im(∂_''n''+1)에 속하는 2개의 원소는 동치로 간주하여, ker(∂_''n'')을 그 동치 관계에 따라 분할한다. '''X''의 ''n''차 호몰로지군'''을 잉여군

: ''H_n''(''X'') = ker(∂_''n'') / im(∂_''n''+1)

에 의해 정의한다. 또한, 여기서는 ker(∂_''n'') = ''Z_n''(''X'')로 쓰고, im(∂_''n''+1) = ''B_n''(''X'')로 쓴다. 그러면,

: ''H_n''(''X'') = ''Z_n''(''X'') / ''B_n''(''X'')

이다. 호몰로지군의 원소를 '''호몰로지류'''라고 한다.

''Z_n''(''X'')와 ''B_n''(''X'')는 거대한 군인 경우가 많아 계산이 어렵지만, 그 몫인 호몰로지군 ''H_n''(''X'')을 계산하기 위해 다양한 도구가 있다.

체인 복합체가 완전열이라는 것은, (''n'' + 1) 번째 사상의 상이 항상 ''n'' 번째 사상의 핵과 일치하는 것이다. ''X''의 호몰로지군은 따라서, 그것으로부터 결정되는 체인 복합체가 "얼마나 완전하지 않은가"를 측정하는 양이다.

코호몰로지군의 정의도 형식적으로는 동일하다. 먼저, 코체인 복합체에서 시작한다. 이것은 체인 복합체와 거의 동일하지만, 군 사이를 잇는 화살표는 ''n''의 감소 방향이 아니라 ''n''의 증가 방향을 향하고 있다. 화살표를 ''dⁿ''으로 나타낸다고 하면, 군 ker(''dⁿ'') = ''Zⁿ''(''X'') 및 군 im(''d''^''n''-1) = ''Bⁿ''(''X'')는 동일하게 정의되며, 또한 유사하게 코호몰로지군

: ''Hⁿ''(''X'') = ''Zⁿ''(''X'') / ''Bⁿ''(''X'')

을 얻는다.

체인 복합체 $(d_n \colon A_n \rightarrow A_{n-1})$ 에서 체인 복합체 $(e_n \colon B_n \rightarrow B_{n-1})$ 로의 사상을, 준동형 사상의 열 $f_n\colon A_n \rightarrow B_n$ 이며 임의의 ''n''에 대해 $f_{n-1} \circ d_n = e_{n} \circ f_n$ 이 성립하는 것으로 정의한다. 이와 같이 체인 복합체는 범주를 이룬다. ''n''차원 호몰로지 군 ''H_n''은 체인 복합체의 범주에서 아벨 군(또는 가군)의 범주로의 공변 함자로 간주할 수 있다.

체인 복합체가 대상 ''X''에 공변적으로 의존하는 것으로 가정한다. 이 때, ''H_n''은 ''X''가 속한 범주에서 아벨 군(또는 가군)의 범주로의 공변 함자이다.

호몰로지와 코호몰로지의 유일한 차이점은, 코호몰로지에서는 체인 복합체가 ''X''에 반변적으로 의존한다는 점이며, 따라서 호몰로지 군(이 문맥에서는 이를 '''코호몰로지 군'''이라고 부르며 ''Hⁿ''으로 표기)은 ''X''가 속한 범주에서 아벨 군 또는 가군의 범주로의 반변 함자가 된다.

1851년, 베른하르트 리만은 학위 논문 "복소 일변수 함수의 일반론의 기초"에서 곡면의 '''연결도'''라는 것을 생각했다. 이것은 다음과 같이 정의된다. 먼저, 곡면의 경계상의 두 점을 잇는 곡선을 '''횡단선'''이라고 부르기로 한다. 곡면이 원판과 같은 형태를 하고 있는 경우, 횡단선으로 곡면을 절단하면 곡면이 두 개로 나뉜다. 어떤 횡단선으로 절단해도 곡면이 두 개로 나뉠 때, 그러한 곡면을 '''단연결'''이라고 부른다(현대적인 정의와는 다르다). 어떤 임의의 곡면이 개의 횡단선에 의해 절단되었을 때 개의 단연결 영역으로 분할된다면, 그 곡면의 연결도를 로 정의한다. 예를 들어 원판의 연결도는 이며, 원판에서 작은 원판을 도려낸 환상의 연결도는 이다.

이 논문에서는 생각하고 있는 기하학적 대상에 경계가 존재한다는 것을 가정하고 있다. 그리고 횡단선이라는 도구를 사용하여 연결도라는 숫자(위상 불변량)가 정의되어 있다. 리만은 절단의 아이디어를 카를 프리드리히 가우스에게서 배웠다고 엔리코 베치에게 말했다. 가우스는 위치의 기하학, 즉 현재 토폴로지라고 불리는 수학의 한 분야에 대해 자신의 연구 성과를 발표하지 않았다. 그러나 위치의 기하학에 대해 쓴 글이 많이 남아 있으며, 평생 관심을 갖고 열심이 연구했다.

1857년, 리만은 "아벨 함수의 이론"이라는 제목의 논문을 공표한다. 이 논문에서 다시 곡면의 '''연결성의 수'''라는 개념을 생각한다. 이것은 다음과 같이 정의된다. 곡면 위에 개의 닫힌 곡선의 족이 있고, 어떤 닫힌 곡선의 조합을 취해도 부분 곡면의 완전 경계가 되지 않았다고 한다. 또한, 이 족에 어떤 닫힌 곡선을 더해도 이 성질을 만족하지 않게 된다고 한다. 이 때, 이 곡면을 중 연결이라고 부른다. 예를 들어, 원판은 1중 연결이며, 환상은 2중 연결이다. 연결성의 수는 경계가 없는 곡면에 대해서도 정의할 수 있으며, 예를 들어 구면의 연결성의 수는 1이다. 연결성의 수의 정의에 완전 경계라는 개념을 사용한 것은 정칙 함수를 영역의 경계를 따라 선적분하면 0이 된다는 것에 의한 것이다.

여기에는 생각하고 있는 곡면의 경계는 생각하지 않고, 연결성의 수의 정의에서 도구로 사용하는 곡선이 경계인지 아닌지를 생각한다는 발상의 전환이 있으며, 사이클이 이루는 군을 바운다리가 이루는 군으로 나눈다는 아이디어의 원형을 볼 수 있다.

1895년, 푸앵카레는 기념비적인 논문 "위치 해석"(Analysis Situs)을 발표했다. 이 논문에서 푸앵카레는 다양체의 부분 다양체의 형식 합에 호몰로지라는 동치 관계를 정의하고, 이를 바탕으로 다양체의 연결성에 대한 새로운 정의를 내렸다. 그리고 이를 베티 수라고 불렀다. 푸앵카레는 베티 수는 생각했지만, 호몰로지 군은 생각하지 않았다(기본군은 생각했다).

3. 1. 사슬 복합체

아벨 군이나 가군의 열

A_0, A_1, A_2 \dots

과 그 사이의 준동형

d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}

들로 이루어진다. 이때 연속된 두 사상의 합성은 영이 되어야 한다. 즉, 모든 ''n''에 대해

d_n \circ d_{n+1} = 0

이다. 다시 말해, ''n''+1번째 사상의 상이 ''n''번째 사상의 핵에 포함된다.

'''사슬 복합체'''는 아벨 군

C_{n}

(그 원소를 사슬이라고 부름)과 군 준동형 사상

d_n

('''경계 사상'''이라고 부름)의 수열

(C_\bullet, d_\bullet)

이며, 임의의 두 연속적인 사상의 합성

d_n \circ d_{n+1}=0

이다.

:

C_\bullet: \cdots \longrightarrowC_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}C_n \stackrel{d_n}{\longrightarrow}C_{n-1} \stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\cdots, \quad d_n \circ d_{n+1}=0.

이러한 구성은 다소 기술적이므로, 비공식적인 논의는 때때로 사이클과 경계의 군론적 측면과 유사한 위상적 개념에 초점을 맞춘다. 위에서 언급했듯이, 위상 공간

X

의 호몰로지 군

H_n(X)

의 명시적인 구현은

X

와 관련된 ''사슬 복합체''

(C_\bullet, d_\bullet)

의 ''사이클''과 ''경계''에 의해 정의되며, 사슬 복합체의 유형은 사용 중인 호몰로지 이론의 선택에 따라 달라진다.

일반적인 구성은 위상 공간 ''X''와 같은 객체에서 시작하며, 먼저 ''X''에 대한 정보를 담고 있는 사슬 복합체 ''C''(''X'')를 정의한다. 사슬 복합체는 준동형 사상

\partial_n : C_n \to C_{n-1}

에 의해 연결된 아벨 군 또는 모듈

C_0, C_1, C_2, \ldots

의 시퀀스이다. 이를 '''경계 연산자'''라고 한다.^[4] 즉,

:

\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,} C_n\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,} C_{n-1}\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb\overset{\partial_2}}{\longrightarrow\,} C_1\overset{\partial_1}}{\longrightarrow\,} C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0

여기서 0은 자명군을 나타내고 ''i'' < 0의 경우

C_i\equiv0

이다. 또한 임의의 두 개의 연속 경계 연산자의 합성이 자명해야 한다. 즉, 모든 ''n''에 대해,

:

\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0_{n+1, n-1},

즉,

C_{n+1}

의 모든 요소를

C_{n-1}

의 군 항등식으로 보내는 상수 사상이다.

수학적 대상, 예를 들어 위상 공간 ''X''가 주어졌을 때, 먼저 ''X''의 정보를 추출한 체인 복합체 ''C''(''X'')를 구성한다. 체인 복합체는 아벨 군 또는 가군 ''C''₀, ''C''₁, ''C''₂, ...를 '''경계 작용소'''라고 불리는 군 준동형 ∂_''n'': ''C_n'' → ''C''_''n''-1로 연결한 것이다.

:

\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}\dotsb\overset{\partial_2}}{\longrightarrow\,}C_1\overset{\partial_1}}{\longrightarrow\,}C_0\longrightarrow 0,

단, 0은 자명한 군을 나타내며, ''i'' < 0에 대해서는 ''C_i'' ≡ 0으로 정의한다. 게다가, 경계 작용소 2개의 합성 (composition)은 항상 0이라는 사실을 추가한다. 즉, 모든 ''n''에 대해서,

:

\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0

이다.

3. 2. 호몰로지 군의 정의

n^영어차 호몰로지 군은 경계 작용소의 핵(kernel)을 그 이전 경계 작용소의 상(image)으로 나눈 몫군(quotient group)으로 정의된다. 호몰로지 군은 사슬 복합체가 얼마나 "불완전"한지를 측정하는 척도로 해석될 수 있다.

대상

X

의 n^영어번째 호몰로지 군 (혹은 가군)은 몫군 (또는 몫가군)

:

H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1})

로 정의한다.^[7]

사슬 복합체의 n^영어+1번째 사상의 상이 언제나 n번째 사상의 핵과 같은 경우, 이 사슬복합체는 '''완전'''(exact)하다고 말한다. 따라서

X

의 호몰로지군은

X

의 사슬 복합체가 얼마나 불완전한지를 측정하는 것이다.

사슬 복합체의 호몰로지를 구하려면, 먼저 '''사슬 복합체'''를 시작해야 하는데, 이는 아벨 군

C_{n}

(그 원소를 사슬이라고 부름)과 군 준동형 사상

d_n

('''경계 사상'''이라고 부름)의 수열

(C_\bullet, d_\bullet)

이며, 임의의 두 연속적인 사상의 합성

d_n \circ d_{n+1}=0

이다.

:

C_\bullet: \cdots \longrightarrowC_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}C_n \stackrel{d_n}{\longrightarrow}C_{n-1} \stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\cdots, \quad d_n \circ d_{n+1}=0.

이 사슬 복합체의

n

번째 호몰로지 군

H_{n}

은 '''사이클'''의

n

번째 군

Z_n

이 커널 부분군

Z_n := \ker d_n :=\{c \in C_n \,|\; d_n(c) = 0\}

으로 주어지고, '''경계'''의

n

번째 군

B_n

이 상 부분군

B_n := \mathrm{im}\, d_{n+1} :=\{d_{n+1}(c)\,|\; c\in C_{n+1}\}

으로 주어지는 몫군

H_n = Z_n/B_n

이다.

즉, ''X''의 '''''n''차 호몰로지 군'''''은 다음과 같다.

:

H_n(X) := \ker(\partial_n) / \mathrm{im}(\partial_{n+1}) = Z_n(X)/B_n(X),

''H_n''(''X'')의 요소는 '''호몰로지 클래스'''라고 한다. 각 호몰로지 클래스는 사이클에 대한 동치 클래스이며, 동일한 호몰로지 클래스에 있는 두 개의 사이클은 '''호몰로지'''라고 한다.^[6]

선택적으로, 사슬 복합체에 추가적인 구조를 부여할 수 있는데, 예를 들어, 추가적으로 군

C_n

을 가군으로 하고, 계수 환

R

의 가군으로, 경계 사상

d_n

을

R

-가군 준동형 사상으로 하여 호몰로지 군

H_{n}

이 또한 몫 가군이 되도록 할 수 있다. 호몰로지 대수의 도구를 사용하여 서로 다른 사슬 복합체의 호몰로지 군을 관련시킬 수 있다.

4. 주요 호몰로지 이론

다양한 종류의 호몰로지 이론은 여러 수학적 대상 범주에서 사슬 복합체 범주로의 사상을 정의하는 함자에서 발생한다.^[9] 각 경우, 대상에서 사슬 복합체로의 함자와 사슬 복합체에서 호몰로지 군으로의 함자의 합성은 해당 이론에 대한 전체 호몰로지 함자를 정의한다.

대수적 위상수학에서 다루는 단체 호몰로지는 단체 복합체에 대한 호몰로지 이론으로, 위상 공간을 단순체로 분해하여 연구한다. 특이 호몰로지는 임의의 위상 공간에 대해 정의될 수 있으며, 단체 호몰로지와 동형이다. 세포 호몰로지는 단순체를 다양한 차원의 디스크로 대체하여 만들어진다.

추상대수학에서 호몰로지는 Tor 함자와 같은 유도 함자를 정의하기 위해 사용된다.^[9] 어떤 공변 가산 함자 ''F''와 어떤 모듈 ''X''가 주어졌을 때, ''X''에 대한 사슬 복합체를 정의할 수 있다. 이 복합체의 호몰로지 $H_n$ 은 ''F''와 ''X''에만 의존하며, ''X''에 적용된 ''F''의 ''n''번째 유도 함자이다.

군 (코)호몰로지 $H^2(G, M)$ 의 일반적인 용도는 주어진 ''G''-모듈 ''M''을 정규 부분군으로 포함하고 주어진 몫군 ''G''를 갖는 가능한 확대군 ''E''를 분류하는 것이다. 즉, $G = E / M$ 이다.

다양한 호몰로지 이론은 다음과 같다.

보렐-무어 호몰로지
세포 호몰로지
사이클 호몰로지
호흐schild 호몰로지
플로어 호몰로지
교차 호몰로지
K-호몰로지
코바노프 호몰로지
모스 호몰로지
지속 호몰로지
슈틴로드 호몰로지

4. 1. 단체 호몰로지

대수적 위상수학에서 다루는 '''단체 호몰로지'''는 단체 복합체

X

에 대한 호몰로지 이론이다.

X

의 ''n''차원 유향(oriented) 단체들을 생성원으로 갖는 자유 아벨 군 또는 자유 가군을 ''C_n''이라 한다. ''C_n''에서 ''C_n-1''로의 사상

\partial_n

는 경계 사상이라고 하며, 단순체

:

\sigma = (\sigma[0], \sigma[1], \dots, \sigma[n])

를 다음과 같은 형식적 합으로 보낸다.

:

\partial_n(\sigma) = \sum_{i=0}^n (-1)^i \left (\sigma[0], \dots, \sigma[i-1], \sigma[i+1], \dots, \sigma[n] \right ),

이는

n = 0

이면 0으로 간주한다. 생성자에 대한 이러한 동작은 모든 ''C_n''에 대한 준동형을 유도한다. 원소

c \in C_n

이 주어지면,

c = \sum_{\sigma_i \in X_n} m_i \sigma_i

로 생성자의 합으로 작성하는데, 여기서

X_n

은 ''X''의 ''n''-단순체의 집합이고 ''m_i''는 ''C_n''이 정의된 환(일반적으로 정수)의 계수이다. 그러면,

:

\partial_n(c) = \sum_{\sigma_i \in X_n} m_i \partial_n(\sigma_i).

로 정의한다.

X

의 ''n''차 호몰로지의 차원은 ''X''에 있는 차원 ''n''에서의 "구멍"의 수를 나타낸다. 이 경계 사상의 행렬 표현을 스미스 정규형으로 변환하여 계산할 수 있다.^[9]

단체 호몰로지는 위상 공간을 단순체로 분해하여 연구한다.

4. 2. 특이 호몰로지

대수적 위상수학에서, '''특이 호몰로지'''는 임의의 위상 공간 ''X''에 대해 정의될 수 있는 호몰로지 이론이다. 특이 호몰로지는 단체 호몰로지와 동형이다.

특이 호몰로지를 정의하기 위해, 먼저 ''C_n''을 ''n''차원 단순체에서 ''X''로 가는 모든 연속 함수들의 자유 아벨 군(또는 자유 가군)으로 정의한다. 이때, 준동형 사상 ∂_''n''은 단순체들 사이의 경계 사상에서 유도된다.^[9]

4. 3. 세포 호몰로지

단순체를 다양한 차원의 디스크로 대체하면 세포 호몰로지라는 관련 구조가 생성된다.^[9]

4. 4. 기타 호몰로지 이론

추상대수학에서 호몰로지는 Tor 함자와 같은 유도 함자를 정의하기 위해 사용된다.^[9] 예를 들어, 어떤 공변 가산 함자 ''F''와 어떤 모듈 ''X''가 주어졌을 때, ''X''에 대한 사슬 복합체는 다음과 같이 정의된다. 먼저 자유 모듈

F_1

과 전사 함수

p_1 : F_1 \to X

를 찾는다. 그런 다음 자유 모듈

F_2

와 전사 함수

p_2 : F_2 \to \ker\left(p_1\right)

을 찾는다. 이와 같이 자유 모듈

F_n

과 준동형 사상

p_n

의 수열을 정의할 수 있다. 이 수열에 함자 ''F''를 적용하면 사슬 복합체가 얻어진다. 이 복합체의 호몰로지

H_n

은 ''F''와 ''X''에만 의존하며, 정의에 따라 ''X''에 적용된 ''F''의 ''n''번째 유도 함자이다.^[9]

군 (코)호몰로지

H^2(G, M)

의 일반적인 용도는 주어진 ''G''-모듈 ''M''을 정규 부분군으로 포함하고 주어진 몫군 ''G''를 갖는 가능한 확대군 ''E''를 분류하는 것이다. 즉,

G = E / M

이다.

다음은 다양한 호몰로지 이론들이다.

보렐-무어 호몰로지
세포 호몰로지
사이클 호몰로지
호흐schild 호몰로지
플로어 호몰로지
교차 호몰로지
K-호몰로지
코바노프 호몰로지
모스 호몰로지
지속 호몰로지
슈틴로드 호몰로지

5. 호몰로지와 호모토피

호몰로지 개발의 한 아이디어는 특정 저차원 도형의 "구멍"을 조사하여 위상적으로 구별할 수 있다는 관찰이었다. 예를 들어, 숫자 8자 모양은 원보다 구멍이 더 많고, 2-토러스(튜브 모양의 2차원 표면)는 2-구(농구공 모양의 2차원 표면)와 다른 구멍을 가지고 있다.^[5]

이러한 위상적 특징을 연구하면서 호몰로지 클래스(호몰로지 군의 원소)를 나타내는 ''사이클'' 개념이 생겨났다. 예를 들어, 숫자 8자 모양의 두 임베딩된 원은 1차원 사이클(1-사이클)의 예시이며, 2-토러스와 2-구는 2-사이클을 나타낸다. 사이클은 기하학적으로 결합하는 대신 기호적으로 더하는 ''형식적 덧셈'' 연산으로 군을 형성한다. 사이클의 모든 형식적 합은 다시 사이클이라고 불린다.^[5]

체인 복합체 $(d_n \colon A_n \rightarrow A_{n-1})$ 에서 다른 체인 복합체 $(e_n \colon B_n \rightarrow B_{n-1})$ 로의 사상은, 준동형 사상 열 $f_n\colon A_n \rightarrow B_n$ 이며 임의의 ''n''에 대해 $f_{n-1} \circ d_n = e_{n} \circ f_n$ 이 성립하는 것으로 정의한다. 이와 같이 체인 복합체는 범주를 이룬다. ''n''차원 호몰로지 군 ''H_n''은 체인 복합체의 범주에서 아벨 군(또는 가군)의 범주로의 공변 함자로 간주할 수 있다.

체인 복합체가 대상 ''X''에 공변적으로 의존한다고 가정하면(임의의 사상 ''X'' → ''Y''는 ''X''의 체인 복합체에서 ''Y''의 체인 복합체로의 사상을 유도한다), ''H_n''은 ''X''가 속한 범주에서 아벨 군(또는 가군) 범주로의 공변 함자이다.

코호몰로지는 체인 복합체가 ''X''에 반변적으로 의존한다는 점에서 호몰로지와 다르다. 따라서 코호몰로지에서는 호몰로지 군(이 문맥에서는 '''코호몰로지 군'''이라고 부르며 ''Hⁿ''으로 표기)은 ''X''가 속한 범주에서 아벨 군 또는 가군 범주로의 반변 함자가 된다.

5. 1. 호모토피 군

n차 호모토피 군

\pi_n(X)

은

n

차원 구(

S^n

)에서 위상 공간

X

로의, 기준점을 보존하는 사상의 호모토피 동치류의 군이며, 연쇄에 대한 군 연산을 따른다.^[5] 가장 기본적인 호모토피 군은 기본군

\pi_1(X)

이다. 연결된 공간

X

에 대해, 후레비츠 정리는 후레비츠 준동형사상

h_*: \pi_n(X) \to H_n(X)

을 정의한다.

n>1

일 때, 이 준동형사상은 복잡할 수 있지만,

n=1

일 때는 후레비츠 준동형사상은 가환화와 일치한다. 즉,

h_*: \pi_1(X) \to H_1(X)

는 전사이며 그 핵은

\pi_1(X)

의 교환자 부분군이므로,

H_1(X)

는

\pi_1(X)

의 가환화와 동형이다. 고차 호모토피 군은 계산하기 어려운 경우가 많다. 예를 들어, 구의 호모토피 군은 잘 알려져 있지 않으며, 호몰로지 군과 달리 일반적으로 알려져 있지 않다.

n=1

인 경우,

X

가 8자 모양이라면, 기본군

\pi_1(X)

는 미리 결정된 점에서 시작하고 끝나는 방향성 루프의 호모토피 동치류의 군이다. 이것은 랭크 2의 자유군과 동형이며 가환군이 아니다. 왼쪽 사이클을 돌고 나서 오른쪽 사이클을 도는 것은 오른쪽 사이클을 돌고 나서 왼쪽 사이클을 도는 것과 다르다. 반면, 8자 모양의 첫 번째 호몰로지 군

H_1(X)\cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}

는 가환군이다.

5. 2. 후레비츠 준동형

후레비츠 정리는 호모토피 군과 호몰로지 군 사이의 관계를 나타내는 준동형사상인 후레비츠 준동형사상(

h_* : \pi_n(X) \to H_n(X)

)을 설명한다. 연결된 공간

X

에 대해, 이 준동형은

n>1

일 때는 복잡할 수 있지만,

n=1

일 때는 가환화와 일치한다.^[5] 즉,

h_* : \pi_1(X) \to H_1(X)

는 전사이며 그 핵은

\pi_1(X)

의 교환자 부분군이므로,

H_1(X)

는

\pi_1(X)

의 가환화와 동형이다.^[5]

예를 들어,

X

가 8자 모양인 경우, 기본군

\pi_1(X)

는 랭크 2의 자유군과 동형이다(

\pi_1(X) \cong \mathbb{Z} * \mathbb{Z}

). 이는 가환적이지 않다. 반면, 8자 모양의 첫 번째 호몰로지 군

H_1(X) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}

는 가환적이다. 왼손 사이클의 호몰로지 동치류

l

과 오른손 사이클의 호몰로지 동치류

r

을

H_1(X)

의 기저 원소로 사용하여,

H_1(X) = \{ a_l l + a_r r \, | \, a_l, a_r \in \mathbb{Z} \}

로 표현할 수 있다.^[5]

6. 응용

호몰로지 이론은 순수 수학뿐만 아니라 과학, 공학 등 다양한 분야에 응용된다.

센서 네트워크: 센서들은 시간에 따라 변하는 임시 네트워크를 통해 정보를 주고받는다. 이러한 측정 및 통신 경로의 전반적인 맥락, 예를 들어 커버리지의 구멍을 평가하기 위해 네트워크 토폴로지의 호몰로지를 계산한다.^[11]
물리학의 역학계 이론: 푸앵카레는 역학계의 불변 다양체와 그 위상 불변량 사이의 상호 작용을 처음으로 고려했다. 모스 이론은 매니폴드에서 기울기 흐름의 역학을 호몰로지에 관련시키며, 플로어 호몰로지는 이를 무한 차원 매니폴드로 확장했다. KAM 정리는 주기 궤도가 복잡한 궤적을 따를 수 있음을 보여주는데, 특히 이 궤적들은 땋임을 형성할 수 있으며, 이는 플로어 호몰로지를 사용하여 연구할 수 있다.^[12]
유한 요소법의 한 종류: Hodge-Laplace 연산자를 포함하는 미분 방정식에 대한 경계값 문제는 전자기 시뮬레이션 등에서 위상적으로 비자명한 영역에서 해결해야 할 수 있다. 이러한 시뮬레이션에서는 선택된 경계 조건과 영역의 호몰로지를 기반으로 솔루션의 코호몰로지류를 고정하여 솔루션을 지원한다. FEM 영역은 삼각 측량할 수 있으며, 여기서 단순 호몰로지를 계산할 수 있다.^[13]^[14]
위상적 데이터 분석(TDA): 데이터 집합은 유클리드 공간에 임베디드된 매니폴드 또는 대수적 다양체의 점구름 샘플로 간주된다. 구름 속의 가장 가까운 이웃 점들을 연결하여 삼각 측량을 하면 매니폴드의 단순 근사가 생성되고 그 단순 호몰로지를 계산할 수 있다. 여러 길이 척도에 걸쳐 다양한 삼각 측량 전략을 사용하여 호몰로지를 강력하게 계산하는 기술을 찾는 것이 지속적 호몰로지의 주제이다.^[10]

6. 1. 순수 수학에서의 응용

브라우어 고정점 정리: 공 ''Bⁿ''에서 자신으로의 연속 함수는 고정점을 갖는다.
영역 불변성: $\R^n$ 의 열린 집합 ''U''에서 정의된 단사 연속 함수 ''f''에 대해, $V = f(U)$ 는 열린 집합이고 ''f''는 ''U''와 ''V'' 사이의 위상 동형 사상이다.
털 공 정리: 2차원 구면(또는 2''k''-구면) 위의 연속 벡터장은 어떤 점에서 0이 된다.
보르수크-울람 정리: ''n''-구면에서 유클리드 ''n''-공간으로의 연속 함수는 대척점 쌍을 같은 점으로 사상한다.
차원 불변성: 공집합이 아닌 열린 부분 집합 $U \subseteq \R^m$ 과 $V \subseteq \R^n$ 이 위상 동형이면, $m = n.$

6. 2. 과학 및 공학에서의 응용

호몰로지는 다음과 같은 분야에 응용된다:

센서 네트워크: 센서들은 시간에 따라 변하는 임시 네트워크를 통해 정보를 주고받는다. 이러한 측정 및 통신 경로의 전반적인 맥락, 예를 들어 커버리지의 구멍을 평가하기 위해 네트워크 토폴로지의 호몰로지를 계산한다.^[11]

물리학의 역학계 이론: 푸앵카레는 역학계의 불변 다양체와 그 위상 불변량 사이의 상호 작용을 처음으로 고려했다. 모스 이론은 매니폴드에서 기울기 흐름의 역학을 호몰로지에 관련시킨다. 플로어 호몰로지는 이를 무한 차원 매니폴드로 확장했다. KAM 정리는 주기 궤도가 복잡한 궤적을 따를 수 있음을 보여준다. 특히, 이 궤적들은 땋임을 형성할 수 있으며, 이는 플로어 호몰로지를 사용하여 연구할 수 있다.^[12]

유한 요소법의 한 종류: Hodge-Laplace 연산자를 포함하는 미분 방정식에 대한 경계값 문제는, 전자기 시뮬레이션 등에서 위상적으로 비자명한 영역에서 해결해야 할 수 있다. 이러한 시뮬레이션에서는 선택된 경계 조건과 영역의 호몰로지를 기반으로 솔루션의 코호몰로지류를 고정하여 솔루션을 지원한다. FEM 영역은 삼각 측량할 수 있으며, 여기서 단순 호몰로지를 계산할 수 있다.^[13]^[14]

6. 2. 1. 위상적 데이터 분석 (TDA)

위상적 데이터 분석에서 데이터 집합은 유클리드 공간에 임베디드된 매니폴드 또는 대수적 다양체의 점구름 샘플로 간주된다. 구름 속의 가장 가까운 이웃 점들을 연결하여 삼각 측량을 하면 매니폴드의 단순 근사가 생성되고 그 단순 호몰로지를 계산할 수 있다. 여러 길이 척도에 걸쳐 다양한 삼각 측량 전략을 사용하여 호몰로지를 강력하게 계산하는 기술을 찾는 것이 지속적 호몰로지의 주제이다.^[10]

참조

_[1] 서적 1966
_[2] 서적 2010
_[3] 웹사이트 More homology computations https://www.youtube.[...] 2012
_[4] 서적 2002
_[5] 웹사이트 Delta complexes, Betti numbers and torsion https://www.youtube.[...] 2012
_[6] 서적 2002
_[7] 서적 2002
_[8] 서적 2002
_[9] 서적 1966
_[10] 웹사이트 CompTop overview http://comptop.stanf[...] 2014-03-16
_[11] 웹사이트 Robert Ghrist: applied topology http://www.math.upen[...] 2014-03-16
_[12] 간행물 Braid Floer homology http://www.math.vu.n[...] 2015
_[13] 간행물 Homology and Cohomology Computation in Finite Element Modeling http://geuz.org/gmsh[...] 2013
_[14] 간행물 Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications http://purl.umn.edu/[...] 2006-05-16
_[15] 서적 1993
_[16] 서적 1999
_[17] 서적 The Shape of Space https://books.google[...] CRC Press 2001
_[18] 서적 2008
_[19] 서적 2008
_[20] 서적 2008
_[21] 서적 1999
_[22] 서적 1988
_[23] 문서 L'émergence de la notion de groupe d'homologie http://smf4.emath.fr[...]
_[24] 서적 Emmy Noether and Topology http://www.mathe2.un[...] 1999
_[25] 웹사이트 Bourbaki and Algebraic Topology http://math.vassar.e[...]
_[26] 서적 2008
_[27] 서적 位相数学弘文堂
_[28] 서적 1988
_[29] 문서 L'emergence de la notion de group d'homologie http://www.normalesu[...]
_[30] 간행물 Ableitung der Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie http://www.digizeits[...]
_[31] 서적 位相幾何学の基礎概念大雅堂 1946
_[32] 서적 Emmy Noether and Topology 1999
_[33] 웹사이트 Bourbaki and Algebraic Topology http://pages.vassar.[...]

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