사슬 복합체

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1. 개요

사슬 복합체는 아벨 범주에서 정의되는 일련의 대상과 사상으로 구성된 수학적 구조이다. 사슬 복합체는 각 정수 i에 대해 대상 Ci와 사상 ∂i: Ci → Ci-1로 구성되며, 모든 i에 대해 ∂i-1 ∘ ∂i = 0을 만족해야 한다. 사상 ∂i는 경계 사상이라고 불리며, Ci의 원소는 i차 사슬이라고 한다. 사슬 복합체와 유사하지만 사상의 방향이 반대인 공사슬 복합체도 존재한다. 사슬 복합체는 호몰로지 대수학에서 중요한 개념으로, 호몰로지, 코호몰로지, 사슬 호모토피, 유도 범주 등을 정의하는 데 사용된다. 사슬 복합체는 위상 공간의 특이 호몰로지, 미분 형식의 드 람 코호몰로지 등을 정의하는 데에도 활용된다.

사슬 복합체

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2. 정의

아벨 범주 위에서 정의되는 사슬 복합체와 공사슬 복합체는 호몰로지 대수학의 기본적인 대상이다.

사슬 복합체와 공사슬 복합체는 아벨 군 또는 가군의 열로, 경계 사상 또는 공경계 사상으로 연결되어 있다. 이들은 임의의 연속된 두 사상의 합성이 0이라는 조건을 만족한다.

* 사슬 복합체는 경계 사상이 차수를 감소시키는 반면, 공사슬 복합체는 공경계 사상이 차수를 증가시킨다.
* 사슬은 사슬 복합체의 원소이고, 공사슬은 공사슬 복합체의 원소이다.
* 순환(cycle)은 경계 사상의 핵에 속하는 사슬이고, 공순환(cocycle)은 공경계 사상의 핵에 속하는 공사슬이다.

사슬 사상과 공사슬 사상은 사슬 복합체 또는 공사슬 복합체 사이의 사상으로, 경계 사상 또는 공경계 사상과 가환 그림을 이룬다.

사슬 호모토피는 두 사슬 사상이 호몰로지 군에서 동일한 사상을 유도하도록 하는 관계이다.

유계 사슬 복합체는 유한 개의 항을 제외하고 모두 0인 사슬 복합체이다.

2.1. 사슬 복합체와 공사슬 복합체

아벨 범주 $\mathcal A$ (예: 아벨 군, 가군, 아벨 군 값을 갖는 층) 속의 사슬 복합체 $(C_\bullet, \partial_\bullet)$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 각 정수 $i\in\mathbb Z$ 에 대하여, $\mathcal A$ 의 대상 $C_i\in\mathcal A$
* 각 정수 $i\in\mathbb Z$ 에 대하여, $\mathcal A$ 의 사상 $\partial_i\colon C_i\to C_{i-1}$
: $\cdots \toC_{i+1}\xrightarrow{\partial_{i+1}}C_i \xrightarrow{\partial_i}C_{i-1} \xrightarrow{\partial_{i-1}}C_{i-2} \to \cdots$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 모든 정수 $i\in\mathbb Z$ 에 대하여, $\partial_{i-1}\circ\partial_i=0$

이 경우, 사상 $\partial_\bullet$ 은 경계 사상(boundary map^영어)이라고 하고, $C_i$ 의 원소는 i차 사슬(i-chain^영어)이라고 한다. $\partial_i\alpha=0$ 인 i차 사슬 $\alpha\in C_i$ 을 $i$ 차 순환( $i$ -cycle^영어)이라고 한다.

공사슬 복합체(cochain complex^영어) $(C^\bullet,\mathrm d^\bullet)$ 는 사슬 복합체와 유사하지만, 첨자의 위치와 화살표의 방향이 반대이다.
: $\cdots \toC^{i-2}\xrightarrow{\mathrm d_C^{i-2}}C^{i-1}\xrightarrow{\mathrm d_C^{i-1}}C^i \xrightarrow{\mathrm d_C^i}C^{i+1} \to \cdots$

이 경우, 사상 $\mathrm d^\bullet$ 은 공경계 사상(coboundary map^영어)이라고 하고, $C^i$ 의 원소는 i차 공사슬(i-cochain^영어)이라고 한다. $\mathrm d^i\alpha=0$ 인 i차 공사슬 $\alpha\in C^i$ 을 $i$ 차 공순환( $i$ -cocycle^영어)이라고 한다.

사슬 복합체와 공사슬 복합체의 차이점은 사슬 복합체에서는 경계 사상(미분)이 차원을 감소시키는 반면, 공사슬 복합체에서는 차원을 증가시킨다는 것이다.

$\mathcal A$ 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 $\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 라고 한다. 마찬가지로, 공사슬 복합체들과 공사슬 사상들의 범주는 $\operatorname{Ch}^\bullet(\mathcal A)$ 라고 한다.

2.2. 사슬 사상과 공사슬 사상

아벨 범주 $\mathcal A$ 속의 두 사슬 복합체 $(C_\bullet,\partial^C_\bullet)$ , $(D_\bullet,\partial^D_\bullet)$ 사이의 사슬 사상(사슬寫像, chain map^영어) $f_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 각 정수 $i\in\mathbb Z$ 에 대하여, $\mathcal A$ 속의 사상 $f_i\colon C_i\to D_i$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 각 정수 $i\in\mathbb Z$ 에 대하여, $\partial^D_i\circ f_i=f_{i-1}\circ\partial^C_i$ . 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

:: $\begin{matrix}\cdots \to &C_{i+1}&\overset{\partial^C_{i+1}}\to&C_i&\overset{\partial^C_i}\to&C_{i-1}&\to \cdots \\&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f_{i+1}}\downarrow{\scriptstyle f_{i+1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f_i}\downarrow{\scriptstyle f_i}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f_{i-1}}\downarrow{\scriptstyle f_{i-1}}\!\!\!\!\!\!\\\cdots \to &D_{i+1}&\underset{\partial^D_{i+1}}\to&D_i&\underset{\partial^D_i}\to&D_{i-1}&\to \cdots \\\end{matrix}$

마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상(cochain map^영어) $f^\bullet\colon C^\bullet\to D^\bullet$ 은 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주 $\mathcal A$ 속의 두 공사슬 복합체 $(C^\bullet,\mathrm d_C^\bullet)$ , $(D^\bullet,\mathrm d_D^\bullet)$ 사이의 공사슬 사상 $f^\bullet\colon C^\bullet\to D^\bullet$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* 각 정수 $i\in\mathbb Z$ 에 대하여, $\mathcal A$ 속의 사상 $f^i\colon C^i\to D^i$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 각 정수 $i\in\mathbb Z$ 에 대하여, $\mathrm d_D^i\circ f^i=f^{i+1}\circ\mathrm d_C^i$ . 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

:: $\begin{matrix}\cdots \to &C^{i-1}&\overset{\mathrm d_C^{i-1}}\to&C^i&\overset{\mathrm d_C^i}\to&C^{i+1}&\to \cdots \\&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f^{i-1}}\downarrow{\scriptstyle f^{i-1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f^i}\downarrow{\scriptstyle f^i}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f^{i+1}}\downarrow{\scriptstyle f^{i+1}}\!\!\!\!\!\!\\\cdots \to &D^{i-1}&\underset{\mathrm d_D^{i-1}}\to&D^i&\underset{\mathrm d_D^i}\to&D^{i+1}&\to \cdots \\\end{matrix}$

사슬 복합체와 사슬 사상의 범주는 $\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 또는 $\operatorname{Kom}_\bullet(\mathcal A)$ 로 표기된다. 이는 사슬을 뜻하는 chain^영어 또는 복합체를 뜻하는 Komplex^독일어를 딴 것이다.

두 개의 사슬 복합체 $(A_\bullet, d_{A,\bullet})$ 와 $(B_\bullet, d_{B,\bullet})$ 사이의 사슬 사상은, 각 n에 대한 가군 준동형 사상 $f_n \colon A_n \rightarrow B_n$ 의 열 $f_\bullet$ 로서, 두 사슬 복합체 상의 경계 연산자와 가환( $d_{B,n} \circ f_n = f_{n-1} \circ d_{A,n}$ )한다.

사슬 사상(鎖寫像)은 사슬 복합체 사이의 자연스러운 사상의 개념이다. 두 개의 복합체 M_*과 N_*가 주어지면, 두 복합체 사이의 사슬 사상은 M_i에서 N_i로의 준동형의 열로, M과 N의 경계 사상에 관한 그림 전체가 가환이 되는 것이다. 사슬 복합체와 사슬 사상은 범주를 이룬다.

사슬 사상은 사이클을 사이클로, 경계를 경계로 보내므로 호몰로지에 대한 사상 $(f_\bullet)_*:H_\bullet(A_\bullet, d_{A,\bullet}) \rightarrow H_\bullet(B_\bullet, d_{B,\bullet})$ 을 유도한다.

2.3. 사슬 호모토피

임의의 두 사슬 복합체 $C_\bullet, D_\bullet$ 사이의 사슬 사상의 집합 $\hom(C_\bullet, D_\bullet)$ 위에는 사슬 호모토피라는 동치 관계가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주의 사상을 이룬다.

사슬 호모토피는 두 사슬 사상이, 비록 다르더라도 호몰로지 군에서 동일한 사상을 유도하는 관계를 설정한다. 두 사슬 복합체 A와 B, 그리고 두 사슬 사상 $f, g : A \rightarrow B$ 가 주어졌을 때, 사슬 호모토피는 준동형 사상의 수열 $h_n : A_n \rightarrow B_{n+1}$ 이며, $hd_A + d_Bh = f - g$ 를 만족한다. 이 사상들은 다음 그림으로 나타낼 수 있지만, 이 그림은 가환적이지 않다.

--

사상 $hd_A + d_Bh$ 는 임의의 h에 대해 호몰로지에 0 사상을 유도한다. 따라서 f와 g가 호몰로지에서 동일한 사상을 유도한다는 것을 알 수 있다. f와 g는 사슬 호모토픽(또는 단순히 호모토픽)하다고 하며, 이 성질은 사슬 사상 사이의 동치 관계를 정의한다.

X와 Y를 위상 공간이라고 하자. 특이 호몰로지의 경우, 연속 사상 $f, g : X \rightarrow Y$ 사이의 호모토피는 f와 g에 해당하는 사슬 사상 사이의 사슬 호모토피를 유도한다. 이는 두 호모토픽 사상이 특이 호몰로지에서 동일한 사상을 유도한다는 것을 보여준다. "사슬 호모토피"라는 이름은 이 예시에서 유래되었다.

사슬 호모토피는 사슬 사상의 중요한 동치 관계를 가져온다. 사슬 호모토픽한 사슬 사상은 호몰로지 군 위에 동일한 사상을 유발한다. 특별한 경우로, 두 공간 X와 Y 사이의 호모토픽한 사상은 X의 호몰로지에서 Y의 호몰로지로의 동일한 사상을 가져온다.

2.4. 유계 사슬 복합체

$\operatorname{Ch}_{\le \bullet\le }$ 는 유계 사슬 복합체(영어: bounded chain complex)로, 유한 개의 차수를 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다. 즉, 거의 모든 $A_n$ 이 0인 복합체이다. 다시 말해, 0으로 왼쪽과 오른쪽으로 확장된 유한 복합체이다.

유한 단순 복합체의 단순 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체는 유계 사슬 복합체의 예시이다.

유계 사슬 복합체는 다음과 같이 표현할 수 있다.
: $\dotsb\to 0\to 0\to A_n \to A_{n-1} \to \dotsb \to A_{m+1}\to A_m \to 0 \to 0 \to \dotsb$

3. 연산

사슬 복합체의 범주는 아벨 범주이므로, 아벨 범주에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다.

두 사슬 복합체 $A_\bullet,B_\bullet$ 의 직합 $(A\oplus B)_\bullet$ 은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

* $(A\oplus B)_n = A_n \oplus_{\mathcal A} B_n$ ( $n\in\mathbb Z)$ )
* $\partial_n \colon (A\oplus B)_n \to (A\oplus B)_{n-1}$
* $\partial_n = \partial^A_n \oplus \partial^B_n$

마찬가지로, 사슬 복합체 사상 $f_\bullet \colon A_\bullet \to B_\bullet$ 의 핵, 여핵, 상, 여상 역시 성분별로 정의된다.

* 핵 $(\ker f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ : $(\ker f)_n = \ker (f_n)$
* 여핵 $(\operatorname{coker} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ : $(\operatorname{coker} f)_n = \operatorname{coker} (f_n)$
* 상 $(\operatorname{im} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ : $(\operatorname{im} f)_n = \operatorname{im} (f_n)$
* 여상 $(\operatorname{coim} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ : $(\operatorname{coim} f)_n = \operatorname{coim} (f_n)$

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 위의 $(A,A)$ -쌍가군들의 아벨 범주 $\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)$ 에서, 두 사슬 복합체 $V_\bullet$ 및 $W_\bullet$ 의 텐서 곱 $V \otimes W$ 는 다음과 같이 주어지는 차수 n의 원소를 갖는 사슬 복합체이다.
: $(V \otimes W)_n = \bigoplus_{\{i,j|i+j=n\}} V_i \otimes W_j$

그리고 미분은 다음과 같이 주어진다.
: $\partial (a \otimes b) = \partial a \otimes b + (-1)^{\left|a\right|} a \otimes \partial b$
여기서 a와 b는 각각 V와 W의 임의의 두 동차 벡터이고, $\left|a\right|$ 는 a의 차수를 나타낸다.

이 텐서 곱은 K-가군의 사슬 복합체의 범주 $\text{Ch}_K$ 를 대칭 모노이드 범주로 만든다. 이 모노이드 곱에 대한 항등 대상은 차수 0의 사슬 복합체로 간주되는 기저환 K이다. 엮임은 동차 원소의 단순 텐서에 의해 다음과 같이 주어지며, 부호는 엮임이 사슬 사상이 되기 위해 필요하다.
: $a \otimes b \mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|} b \otimes a$

K-가군의 사슬 복합체 범주는 내부 Hom을 가진다. 주어진 사슬 복합체 V와 W에 대해, V와 W의 내부 Hom, Hom(V,W)는 차수 n의 원소가 $\Pi_{i}\text{Hom}_K (V_i,W_{i+n})$ 로 주어지고 미분은 다음과 같이 주어지는 사슬 복합체이다.
: $(\partial f)(v) = \partial(f(v)) - (-1)^{\left|f\right|} f(\partial(v))$ .
그리고 다음과 같은 자연 동형이 있다.
: $\text{Hom}(A\otimes B, C) \cong \text{Hom}(A,\text{Hom}(B,C))$

3.1. 현수

아벨 범주 $\mathcal A$ 속의 사슬 복합체 $A_k\in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 와 정수 $k\in\mathbb Z$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A_\bullet$ 의 $k$ 차 현수( $k$ 次懸垂, $k$ th suspension^영어) $A[k]_\bullet$ 는 다음과 같은 사슬 복합체이다.

: $A[k]_n = A_{n-k} \qquad\forall n\in\mathbb N$
: $\partial_n^{A[k]} = (-)^k \partial_{n-k}$

즉, 각 성분의 차수를 $k$ 만큼 추가하고, 만약 $k$ 가 홀수라면 경계 사상에 음부호를 붙인 것이다.

3.2. 직합, 핵, 여핵, 상, 여상

사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 아벨 범주에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다.

예를 들어, 두 사슬 복합체 $A_\bullet,B_\bullet$ 의 직합 $(A\oplus B)_\bullet$ 은 다음과 같다.

* $(A\oplus B)_n = A_n \oplus_{\mathcal A} B_n$ ( $n\in\mathbb Z)$ )
* $\partial_n \colon (A\oplus B)_n \to (A\oplus B)_{n-1}$
* $\partial_n = \partial^A_n \oplus \partial^B_n$

마찬가지로, 사슬 복합체 사상 $f_\bullet \colon A_\bullet \to B_\bullet$ 의 핵 $(\ker f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $(\ker f)_n = \ker (f_n)$

여핵 $(\operatorname{coker} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $(\operatorname{coker} f)_n = \operatorname{coker} (f_n)$

상 $(\operatorname{im} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $(\operatorname{im} f)_n = \operatorname{im} (f_n)$

여상 $(\operatorname{coim} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $(\operatorname{coim} f)_n = \operatorname{coim} (f_n)$

이들은 모두 성분별로 정의된다.

3.3. 호몰로지, 코호몰로지

사슬 복합체 $A_\bullet$ 의 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname H_\bullet(A) = \frac{\ker_\bullet}{\operatorname{im}_\bullet}$

모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 코호몰로지라고 불린다.

두 사슬 복합체 $C_\bullet$ , $D_\bullet$ 사이의 유사동형(quasi-isomorphism^영어)은 다음 조건을 만족하는 사슬 사상 $q\colon C\to D$ 이다.

* $q$ 로부터 유도되는 호몰로지 사상 $q_*\colon\operatorname H_\bullet(C)\to\operatorname H_\bullet(D)$ 는 각 성분마다 동형 사상이다.

서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

n차 (코)호몰로지 군' H_n (Hⁿ)은 차수 n에서 (코)사이클을 모듈로 (코)경계로 나눈 군이다. 즉,

:: $H_n = \ker d_{n}/\mbox{im } d_{n+1} \quad \left(H^n = \ker d^{n}/\mbox{im } d^{n-1} \right)$

3.4. 텐서곱과 내적 사상 대상

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 위의 $(A,A)$ -쌍가군들의 아벨 범주 $\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)$ 를 생각하자. 이 안에서 두 사슬 복합체 $C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)$ 가 주어졌다고 하자.

각 성분별 텐서곱을 통해 다음과 같은 이중 사슬 복합체 $E_{\bullet,\bullet}$ 를 정의할 수 있다.
: $E_{m,n} = C_m \otimes_A D_n$
: $\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m-1,n}$
: $\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} = \partial^C_m \otimes\operatorname{id}_{D_n}$
: $\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m,n-1}$
: $\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} = \operatorname{id}_{C_m} \otimes\partial^D_n$
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체 $(C\otimes D)_\bullet = \operatorname{Tot}_\bullet(E)$ 를 $C_\bullet$ 와 $D_\bullet$ 의 텐서곱이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
: $(C\otimes D)_\bullet \in\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)$
: $(C\otimes D)_n = \bigoplus_{p+q=n} C_p \otimes_A D_q$
: $\partial_n \colon (C\otimes D)_n \to (C\otimes D)_{n-1}$
: $\partial_n \colon \bigoplus_{p+q=n} \left(\partial^C_p \otimes_A \operatorname{id}_{D_q} + (-)^p \operatorname{id}_{C_p} \otimes \partial^D_p\right)$

이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나의 성분만을 갖는 사슬 복합체이다.
: $1_\bullet \in \operatorname{Ch}(\mathcal A)$
: $1_n = \begin{cases}0 & n \ne 0 \\A & n = 0\end{cases}$
그렇다면, $(\operatorname{Ch}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)$ 은 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

마찬가지로,
* $(\operatorname{Ch}_{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1^\bullet)$
* $(\operatorname{Ch}^{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)$
* $(\operatorname{Ch}_{\le\bullet\le}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)$
역시 각각 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

특히, $(\operatorname{Ch}^{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1^\bullet)$ 속의 모노이드 대상을 미분 등급 대수라고 한다.

또한, $\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)$ 의 두 사슬 복합체 $C_\bullet$ , $D_\bullet$ 에 대하여, 다음과 같은 내적 사상 대상(internal homomorphism-object^영어)
: $\hom_\bullet(C,D) \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)$
을 정의할 수 있다.
: $\hom_n(C,D) =\prod_{i\in\mathbb Z} \hom_{_A\operatorname{Mod}_A}(C_i,D_{i+n})$
: $\partial^{\hom(C,D)}_n f = \prod_{i\in\mathbb Z}(\partial_{i+n}^D\circ f - (-)^n f\circ \partial_i^X)$
이에 따라, 쌍가군 범주 위의 사슬 복합체 범주 $(\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,\hom_\bullet)$ 는 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.

만약 V = V ${}_*$ 및 W = W ${}_*$ 가 사슬 복합체라면, 그들의 텐서 곱 $V \otimes W$ 는 다음과 같이 주어지는 차수 n의 원소를 갖는 사슬 복합체이다.
: $(V \otimes W)_n = \bigoplus_{\{i,j|i+j=n\}} V_i \otimes W_j$

그리고 미분은 다음과 같이 주어진다.
: $\partial (a \otimes b) = \partial a \otimes b + (-1)^{\left|a\right|} a \otimes \partial b$
여기서 a와 b는 각각 V와 W의 임의의 두 동차 벡터이고, $\left|a\right|$ 는 a의 차수를 나타낸다.

이 텐서 곱은 $\text{Ch}_K$ 를 대칭 모노이드 범주로 만든다. 이 모노이드 곱에 대한 항등 대상은 차수 0의 사슬 복합체로 간주되는 기저환 K이다. 엮임은 동차 원소의 단순 텐서에 의해 주어진다.
: $a \otimes b \mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|} b \otimes a$
부호는 엮임이 사슬 사상이 되기 위해 필요하다.

K-가군의 사슬 복합체 범주는 내부 Hom을 가진다. 주어진 사슬 복합체 V와 W에 대해, V와 W의 내부 Hom, Hom(V,W)는 차수 n의 원소가 $\Pi_{i}\text{Hom}_K (V_i,W_{i+n})$ 로 주어지고 미분은 다음과 같이 주어지는 사슬 복합체이다.
: $(\partial f)(v) = \partial(f(v)) - (-1)^{\left|f\right|} f(\partial(v))$ .
자연 동형은 다음과 같다.
: $\text{Hom}(A\otimes B, C) \cong \text{Hom}(A,\text{Hom}(B,C))$

3.5. 유도 범주

임의의 두 사슬 복합체 $C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 에 대하여, 그 사이의 사슬 사상의 집합 $\hom_{\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)}(C_\bullet, D_\bullet)$ 위에는 사슬 호모토피라는 동치 관계가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주의 사상을 이룬다.

사슬 복합체의 범주 $\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 에서 유사동형들을 동형 사상이 되게 국소화하면 유도 범주 $\operatorname D(\mathcal A)$ 를 얻으며, 표준적 함자 $\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal A)$ 가 존재한다.

4. 성질

사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다.

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $\mathcal A$ 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 $\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)$ 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

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좌우로 밀어서 보기

약한 동치	사슬 복합체의 유사동형
올뭉치	양의 차수에서 각 성분이 전사 사상인 사슬 사상
쌍대올뭉치	각 성분이 단사 사상이며, 각 성분의 여핵이 사영 대상인 사슬 사상

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주

\mathcal A

위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주

\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)

에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

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좌우로 밀어서 보기

약한 동치	공사슬 복합체의 유사동형
올뭉치	각 성분이 전사 사상이며, 각 성분의 핵이 단사 대상인 공사슬 사상
쌍대올뭉치	양의 차수에서 각 성분이 단사 사상인 공사슬 사상

이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주는 유도 범주이다.

4.1. 아벨 범주 구조

사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다.

4.2. 모형 범주 구조

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $\mathcal A$ 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 $\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)$ 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

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좌우로 밀어서 보기

약한 동치	사슬 복합체의 유사동형
올뭉치	양의 차수에서 각 성분이 전사 사상인 사슬 사상
쌍대올뭉치	각 성분이 단사 사상이며, 각 성분의 여핵이 사영 대상인 사슬 사상
올대상	모든 사슬 복합체
올대상 분해	(원래 사슬 복합체와 같음)
쌍대올대상	모든 성분이 사영 대상인 사슬 복합체
쌍대올대상 분해	사영 분해

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주

\mathcal A

위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주

\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)

에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

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약한 동치	공사슬 복합체의 유사동형
올뭉치	각 성분이 전사 사상이며, 각 성분의 핵이 단사 대상인 공사슬 사상
쌍대올뭉치	양의 차수에서 각 성분이 단사 사상인 공사슬 사상
올대상	모든 성분이 단사 대상인 공사슬 복합체
올대상 분해	단사 분해
쌍대올대상	모든 공사슬 복합체
쌍대올대상 분해	(원래 사슬 복합체와 같음)

이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주는 유도 범주이다.

5. 예시

아벨 범주 위의 단체 대상에 대하여, 정규화 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있는데, 이를 돌트-칸 대응이라고 한다. 아벨 범주 위의 사슬 복합체의 범주에서 다시 사슬 복합체를 취한 것은 이중 사슬 복합체라고 한다.

위상 공간 X와 자연수 n에 대해, X의 특이 n-단순체에 의해 형식적으로 생성되는 자유 아벨 군 C_n(X)를 정의하고, 경계 사상을 이용해 사슬 복합체를 만들 수 있다. 이 복합체의 호몰로지가 특이 호몰로지이다.

매끄러운 다양체 M 위의 k차 미분 형식 전체는 덧셈에 대해 아벨 군을 이룬다. 여기에 외미분을 사용하여 쌍대 사슬 복합체를 만들 수 있으며, 이 복합체의 코호몰로지가 드 람 코호몰로지이다.

이 밖에도 다음과 같은 사슬 복합체의 예시들이 있다.

* 아미추르 복합체
* 블로흐의 고차 초우 군을 정의하는 데 사용되는 복합체
* 벅스바움-림 복합체
* 체흐 복합체
* 쿠쟁 복합체
* 이건-노스콧 복합체
* 게르스텐 복합체
* 그래프 복합체
* 코줄 복합체
* 무어 복합체
* 슈어 복합체

5.1. 돌트-칸 대응

아벨 범주 위의 단체 대상 $X_\bullet$ 에 대하여, 항상 정규화 사슬 복합체 $\operatorname N_\bullet(X)$ 라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있다. 이는 함자를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 $\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)$ 와 단체 대상의 범주 $\mathcal A^{\triangle^{\operatorname{op}}}$ 사이의 동치 및 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.
: $\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)\simeq \mathcal A^{\triangle^{\operatorname{op}}}$
이를 돌트-칸 대응이라고 한다.

마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 $\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)$ 는 쌍대 단체 대상의 범주 $\mathcal A^{\triangle}$ 와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.
: $\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)\simeq \mathcal A^\triangle$

5.2. 이중 사슬 복합체

아벨 범주 $\mathcal A$ 위의 사슬 복합체의 범주 $\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체(double chain complex, bicomplex^영어)라고 한다.

5.3. 특이 호몰로지

위상 공간 X에 대하여, 자연수 n에 대해 C_n(X)를 X에 있는 특이 n-단순체로 형식적으로 생성된 자유 아벨 군으로 정의하고, 경계 사상 $\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X)$ 를 다음과 같이 정의한다.

:: $\partial_n : \, (\sigma: [v_0,\ldots,v_n] \to X) \mapsto (\sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma: [v_0,\ldots, \hat v_i, \ldots, v_n] \to X)$

여기서 모자 기호는 정점의 생략을 나타낸다. 즉, 특이 단순체의 경계는 면으로의 제한의 교대 합이다. ∂² = 0임을 보일 수 있으므로 $(C_\bullet, \partial_\bullet)$ 는 사슬 복합체이고, 특이 호몰로지 $H_\bullet(X)$ 는 이 복합체의 호몰로지이다.

특이 호몰로지는 호모토피 동치까지 위상 공간의 유용한 불변량이다. 차수 0 호몰로지 군은 X의 경로 성분에 대한 자유 아벨 군이다.

5.4. 드 람 코호몰로지

매끄러운 다양체 M 위의 k차 미분 형식 전체 $\Omega^k(M)$ 는 덧셈에 대해 아벨 군을 이룬다(사실은 R-벡터 공간이다).

외미분 $d^k$ 는 $\Omega^k(M)$ 을 $\Omega^{k+1}(M)$ 으로 사상하며, $d \circ d = 0$ 임은 본질적으로 2차 미분의 대칭성에서 유도된다. 따라서, k차 미분 형식이 이루는 벡터 공간들에 외미분을 생각한 것은 쌍대 사슬 복합체이다.

: $0 \to \Omega^0(M)\ \stackrel{d^0}{\to}\ \Omega^1(M) \stackrel{d^1}{\to}\ \Omega^2(M) \stackrel{d^2}{\to}\ \Omega^3(M) \to \cdots.$

이 복합체의 코호몰로지가 드 람 코호몰로지이다.

: $H^0_{\mathrm{dR}}(M) = \ker d^0 =$ { M 위의 실수 값 국소 상수 함수 } $\cong \mathbb{R}$ ^{#{M의 연결 성분}},

: $H^k_{\mathrm{dR}}(M) = \ker d^k / \operatorname{im} d^{k-1}.$

6. 역사

사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학에서 호몰로지·코호몰로지를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간의 특이 호몰로지를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학의 발달로 추상적으로 정의되었다.