부정 방정식

1. 개요

부정 방정식은 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많은 방정식을 의미한다. 실수 또는 자연수 조건에서 완전제곱식을 이용하거나, 판별식을 활용하여 해를 구할 수 있다. 이러한 해법은 연립방정식의 해법과 연관된다.

2. 부정 방정식의 해법

연립방정식에서 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많으면 부정 방정식이 된다. 부정 방정식의 해법으로는 완전제곱식을 이용한 해법과 판별식을 이용한 해법이 있다.

2.1. 완전제곱식을 이용한 해법

미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많은 부정 방정식은 완전제곱식을 이용하여 해를 구할 수 있다.

:$x^2\; =\; 0\; \backslash ;\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash ;\; x=\; 0\; \backslash ;\; (\backslash because\; \backslash ;\; x=$실수$\backslash ;\; \backslash mathbb\{R\},\; x^2\; =\; 0$ 또는 자연수$\backslash ;\; \backslash mathbb\{N\})$
:$\{x\_1\}^2\; +\{x\_2\}\; ^2\; =\; 0\; \backslash ;\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash ;\; x\_1=0\; ,x\_2\; =\; 0$

:$\{x\_1\}^2\; +\{x\_2\}^2+\backslash cdots\; +\{x\_\{n-1\}\}^2\; +\{x\_n\}\; ^2\; =\; 0\; \backslash ;\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash ;\; x\_1=0\; ,x\_2\; =\; 0\; ,\backslash ;\; \backslash cdots\; ,\; x\_\{n-1\}=0\; ,x\_n\; =\; 0$이므로
:$(x\_1+1)^2\; +\; (\{x\_2\}+2)^2\; =0$일 때,
:$(x\_1+1)=0,(x\_2+2)=0$이므로,

:$x\_1=-1,x\_2=-2$이다.
이것은 $\{x\_1\}^2\; +2x\_1+1\; +\{x\_2\}^2\; +4x\_2\; +4=\; 0$에 대한 완전제곱식의 해법이다.

또한, 판별식을 이용한 해법은,
:$x\_1$에 대해 이차방정식을 가정하면, $\{x\_1\}^2\; +2x\_1\; +(\{x\_2\}^2\; +4x\_2\; +5)=\; 0$이고,
:$D=b^2\; -4ac$이므로,
:$(-2)^2\; -4(\{x\_2\}^2\; +4x\_2\; +5)=\; -(\; x\_2+\; 2\; )^2$이다.

따라서
:$(\; x\_2+\; 2\; )=0,\; x\_2\; =\; -2$이고,
대입하면,
:$\{x\_1\}^2+2x\_1\; +1\; +4-8+4\; =\{x\_1\}^2+2x\_1\; +1=\; (\; x\_1+\; 1\; )^2$

:$(\; x\_1+\; 1\; )^2=0,\; x\_1=\; -1$이다.

2.2. 판별식을 이용한 해법

판별식을 이용한 해법은, 주어진 방정식을 한 문자에 대한 2차방정식으로 가정하는 것이다. 예를 들어 $\{x\_1\}^2\; +2x\_1+1\; +\{x\_2\}^2\; +4x\_2\; +4=\; 0$을 $x\_1$에 대한 이차방정식으로 보면, $\{x\_1\}^2\; +2x\_1\; +(\{x\_2\}^2\; +4x\_2\; +5)=\; 0$이다.

판별식 $D=b^2\; -4ac$를 사용하면,

:$(-2)^2\; -4(\{x\_2\}^2\; +4x\_2\; +5)=\; -(\; x\_2+\; 2\; )^2$이므로,

:$(\; x\_2+\; 2\; )=0,\; x\_2\; =\; -2$이다.

$x\_2\; =\; -2$를 원래 식에 대입(substitution)하면,

:$\{x\_1\}^2+2x\_1\; +1\; +4-8+4\; =\{x\_1\}^2+2x\_1\; +1=\; (\; x\_1+\; 1\; )^2$

:$(\; x\_1+\; 1\; )^2=0,\; x\_1=\; -1$이다.

따라서, 이 부정 방정식의 해는 $x\_1=-1,\; x\_2=-2$이다.