케플러 방정식

3. 방정식

'''케플러 방정식'''은 다음과 같다.

:$M\; =\; E\; -\; e\; \backslash sin\; E$

여기서 $M$은 평균 이상, $E$는 편심 이상, $e$는 이심률이다.

'편심 이상' $E$는 케플러 궤도를 따라 움직이는 점의 위치를 계산하는 데 유용하다. 예를 들어, 천체가 시각 $t\; =\; t\_0$에 좌표 $x\; =\; a(1\; -\; e)$, $y\; =\; 0$에서 근점을 통과한다면, 임의의 시각에서 천체의 위치를 찾으려면 먼저 시간과 평균 운동 $n$으로부터 공식 $M\; =\; n(t\; -\; t\_0)$를 사용하여 평균 이상 $M$을 계산한 다음, 위의 케플러 방정식을 풀어 $E$를 구하고, 다음을 통해 좌표를 구한다.

:$\backslash begin\{array\}\{lcl\}$

x & = & a (\cos E - e) \\

y & = & b \sin E

\end{array}



여기서 $a$는 장반축, $b$는 단반축이다.

케플러 방정식은 삼각함수인 사인 함수 때문에 초월 방정식이며, $E$에 대해 대수적으로 풀 수 없다. $E$를 평가하려면 일반적으로 수치 해석과 급수 전개가 필요하다.

4. 여러 형태

케플러 방정식은 궤도의 이심률에 따라 다양한 형태로 나타난다.

• '''타원 케플러 방정식''': 타원 궤도 (0 ≤ ''e'' < 1)에 사용되는 표준 형태이다.
• '''쌍곡선 케플러 방정식''': 쌍곡선 궤적 (''e'' > 1)에 사용된다.
• '''방사형 케플러 방정식''': 직선(방사형) 궤적 (''e'' = 1)에 사용된다.
• '''포물선 궤적''': 바커의 방정식을 사용하여 포물선 궤적 (''e'' = 1)을 다룬다.

• 포물선 궤적,
• 인력 중심에서 어떤 거리에 있는 점까지 선분을 따라 앞뒤로 이동하는 궤적,
• 인력 중심에서 나오는 무한 광선을 따라 안쪽 또는 바깥쪽으로 이동하는 궤적(속도는 거리에 따라 0에 가까워짐),
• 또는 광선을 따라 이동하는 궤적(하지만 속도는 거리에 따라 0에 가까워지지 않음).

5. 역문제

케플러 방정식의 역문제는 주어진 평균 이상 ''M''으로부터 편심 이상 ''E''를 구하는 것이다. 이 문제는 닫힌 형식의 해가 존재하지 않기 때문에, 무한급수 표현을 사용하거나 수치적인 방법으로 근사해를 구해야 한다.^[9]

케플러 자신도 일반적인 해를 찾을 가능성에 대해 회의적인 반응을 보였다.^[10]

역 케플러 방정식의 해는 라그랑주 역함수 정리나 베셀 함수를 이용하여 표현할 수 있으며, 구체적인 해법은 하위 섹션에서 설명한다.

5. 1. 역 케플러 방정식 (라그랑주 역함수 정리)

• \frac{e}{(1-e)^4 } \frac{M^3}{3!}

• \frac{(225 e^3 + 54 e^2 + e) }{(1-e)^{10} } \frac{M^7}{7!}

5. 2. 역 케플러 방정식 (베셀 함수)

6. 역문제의 수치적 근사

주어진 E 값에 대한 M 계산은 간단하지만, M이 주어졌을 때 E를 구하는 것은 훨씬 어렵다. 닫힌 형식의 해는 존재하지 않으며, E를 구하는 것은 이심근점각 또는 이심근점각과 평균근점각의 차이(이른바 "케플러 방정식의 중심 방정식")를 구하는 것과 거의 동일하다.

라그랑주 역함수 정리를 이용해 케플러 방정식의 해에 대한 무한급수 표현을 작성할 수 있지만, 모든 e와 M의 조합에 대해 이 급수가 수렴하는 것은 아니다.

케플러 방정식의 해결 가능성에 대한 혼란은 4세기에 걸쳐 문헌에 지속되어 왔다.^[9] 케플러 자신도 일반적인 해를 찾을 가능성에 대해 의구심을 표명했다.

베셀 함수를 사용한 푸리에 급수 전개(M에 대해)는 다음과 같다.^[11][12][13]

:$$

E = M + \sum_{m=1}^\infty \frac{2}{m} J_m(me) \sin(mM), \quad e\le 1, \quad M \in [-\pi,\pi].



e에 대해서는 카프테인 급수이다.

대부분의 응용 프로그램에서 역문제는 다음 함수의 근을 찾음으로써 수치적으로 계산할 수 있다.

:$$

f(E) = E - e \sin(E) - M(t)



이는 뉴턴 방법이나 고정점 반복 등을 통해 반복적으로 수행할 수 있다.

6. 1. 뉴턴 방법

6. 2. 고정점 반복

참조

_[1] 서적 Astronomia Nova Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex observationibus G. V. Tychonis Brahe 1609
_[2] 서적 Episodes from the Early History of Astronomy https://books.google[...] Springer 2001
_[3] 서적 Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ http://www.e-rara.ch[...] 1621
_[4] 저널 Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation http://adsabs.harvar[...] 2000
_[5] 서적 Solving Kepler's Equation Over Three Centuries https://books.google[...] Willmann-Bell 1993
_[6] 저널 A note on "Kepler's equation". https://ui.adsabs.ha[...] 1997-07-01
_[7] 서적 Cosmos: An Illustrated History of Astronomy and Cosmology https://books.google[...] University of Chicago Press 2008-07-15
_[8] 서적 The Rise of Science in Islam and the West: From Shared Heritage to Parting of The Ways, 8th to 19th Centuries https://books.google[...] Routledge 2017-12-14
_[9] 서적 Numerical Methods in Electromagnetism https://books.google[...] Academic Press 2000
_[10] 저널 Kepler's Problem https://archive.org/[...] 1883-05-01
_[11] 서적 Principles of celestial mechanics Academic Press
_[12] 저널 Bessel Functions and Kepler's Equation 1992-01-01
_[13] 저널 Rootfinding for a transcendental equation without a first guess: Polynomialization of Kepler's equation through Chebyshev polynomial equation of the sine
_[14] 웹사이트 On The application of Lie-series to the problems of celestial mechanics https://ntrs.nasa.go[...] 1968-06-01
_[15] 서적 Solving Kepler's Equation Over Three Centuries Willmann–Bell
_[16] 저널 Procedures for solving Kepler's equation Springer Science and Business Media LLC
_[17] 웹사이트 The Numerical Analysis of Finding the Height of a Circular Segment https://www.winemant[...] Wineman Technology, Inc. 2019-12-28
_[18] 서적 Astronomy on the Personal Computer https://archive.org/[...] Springer 1998
_[19] 문서 케플러 예상이 아닌, 행성의 궤도를 구하는 문제
_[20] 웹사이트 케플러 방정식
_[21] 서적 수학·물리 100개의 방정식 일본평론사
_[22] 서적 수학·물리 100개의 방정식
_[23] 서적 이와나미 수학 공식 II 이와나미 서점 1987
_[24] 서적 A Treatise on the Theory of Bessel Functions(reprint) Cambridge University Press 1996
_[25] 서적 A Treatise
_[26] 서적 이와나미 수학 공식 III 이와나미 서점 1987
_[27] 서적 이와나미 수학 공식 III
_[28] 서적 Astronomia Nova Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex observationibus G. V. Tychonis Brahe 1609
_[29] 서적 Episodes from the Early History of Astronomy https://books.google[...] Springer 2001
_[30] 서적 Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ http://www.e-rara.ch[...] 1621
_[31] 저널 Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation http://adsabs.harvar[...] 2000