종순군

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1. 개요

종순군은 국소 콤팩트 하우스도르프 군의 일종으로, 하르 측도를 가지며, 좌(또는 우) 이동에 대해 불변인 링 측도를 갖는다. 종순군은 좌불변 또는 우불변 평균을 허용하는 경우 가환적이라고 정의되며, 군의 작용이 종순 작용을 가질 때 해당 작용을 종순 작용이라고 한다. 모든 유한군, 아벨 군, 콤팩트 군은 종순군에 속하며, 자유군은 종순군이 아니다. 폰 노이만은 1929년 종순군 개념을 도입했고, 1949년 말런 데이가 '종순군'이라는 용어를 사용했다.

종순군

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하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.
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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 연산에 대한 닫힘
- 3.2. 동치 조건
4. 예
5. 역사

2. 정의

국소 콤팩트 하우스도르프 군 G는 크기 변환까지 유일하게 좌(또는 우) 이동 불변인 비자명 링 측도, 즉 하르 측도를 갖는다. 이는 G가 제2 가산일 때 보렐 정칙 측도이며, G가 콤팩트일 때 좌측 측도와 우측 측도 모두 존재한다. 이 측도 공간 내의 본질적으로 유계인 가측 함수들의 바나흐 공간 L^∞(G)를 고려한다(이는 하르 측도의 크기와 관계없이 독립적이다).

Hom(L^∞(G), R)의 선형 범함수 Λ가 다음 조건을 만족하면 평균이라고 한다.

* Λ의 노름이 1이다.
* 비음수 조건을 만족한다. 즉, f ≥ 0 거의 어디서나이면 Λ(f) ≥ 0이다.

Hom(L^∞(G), R)의 평균 Λ가 g·f(x) = f(g⁻¹x) (또는 f·g(x) = f(xg⁻¹))에 대해 G의 모든 g와 L^∞(G)의 f에 대해 Λ(g·f) = Λ(f)를 만족하면 좌불변(또는 우불변)이라고 한다.

국소 콤팩트 하우스도르프 군이 좌(또는 우)불변 평균을 허용하면 가환적이라고 한다.

Hom(L^∞(G), R)을 G의 하르 측도에 대해 절대 연속적인 유한 가법 보렐 측도 공간(ba 공간)과 동일시하면, 용어가 더 자연스러워진다. Hom(L^∞(G), R)의 평균은 전체 군에 무게 1을 부여하는 G에 대한 좌불변 유한 가법 보렐 측도를 유도한다.

2.1. 종순 작용

군 $G$ 와 측도 공간 $(X,\mu)$ 가 주어졌다고 하자. $G$ 의 $X$ 위의 왼쪽 작용 $G\times X\to X$ 가 있고, 모든 $g\in G$ 에 대하여 $g\cdot$ 가 가측 함수라고 하자.

$X$ 위의 실수 값 ∞-르베그 공간 $\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)$ 은 실수 바나흐 공간이며, 그 위에는 다음과 같은 $G$ -왼쪽 작용이 존재한다.
: $(g\cdot f)(x)=f(g^{-1}\cdot x)$

$\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)$ 위의 불변 평균은 다음 조건들을 만족시키는, 연속 쌍대 공간의 원소
: $\phi\in\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)^*$
이다.

* $\|\phi\|_{\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)^*}=1$ . 즉, 작용소 노름이 1이다.
* 임의의 $f\in\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)$ 에 대하여, 만약 거의 어디서나 $f\ge0$ 이라면 (즉, $\mu(f^{-1}((-\infty,0)))=0$ 이라면), $\phi(f)\ge0$ 이다.
* 임의의 $f\in\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)$ 및 $g\in G$ 에 대하여, $\phi(g\cdot f)=\phi(f)$ 이다.

만약 불변 평균이 존재한다면, 군의 작용 $\cdot\colon G\times X\to X$ 을 종순 작용(amenable action^영어)이라고 한다.

(만약 $X$ 가 이산 공간일 경우, $\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)^*$ 는 유한 가법 측도의 공간과 같다.)

2.2. 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군 $G$ 에는 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 존재한다. $G$ 는 스스로 위의 왼쪽 및 오른쪽 작용을 갖는다. 이 경우, $G$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군을 종순군이라고 한다.

* $G$ 의, $(G,\mu_{\text{LH}})$ 위의 왼쪽 작용은 종순 작용이다.
* $G$ 의, $(G,\mu_{\text{RH}})$ 위의 오른쪽 작용은 종순 작용이다.

2.3. 이산군

가산군의 경우 가가화성은 이산 위상이 부여된 군, 즉 이산군의 경우보다 간단하다.

정의. 이산군 G가 다음 조건을 만족하는 측도(또는 평균)가 존재하면 종순군이라고 한다.

# 확률 측도: 전체 군 G의 측도는 1이다.
# 유한 가법: 유한 개의 서로소 부분집합의 합집합의 측도는 각 부분집합의 측도의 합과 같다.
# 왼쪽 불변: 부분집합 A와 G의 원소 g에 대해, A의 측도는 gA의 측도와 같다. (gA는 A의 각 원소 a에 대해 ga를 원소로 갖는 집합, 즉 A의 원소가 g에 의해 왼쪽으로 이동된 집합이다.)

이는 G가 유한 가법적인 왼쪽 불변 확률 측도를 가지면 종순군임을 의미한다. 측도는 G의 임의의 원소가 A에 속할 확률을 나타낸다고 볼 수 있다.

이산군 $G$ 가 종순적이라는 것은, 공집합이 아닌 유한 부분 집합의 열 $\{ S_n \}$ 이 존재하여 임의의 원소 $g \in G$ 에 대해
: $\lim_{n \to \infty} \frac$

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= 0
이 성립하는 것을 말한다. 여기서

g S_n \triangle S_n

는

g S_n

과

S_n

의 대칭차집합이다.

이러한 열

\{ S_n \}

을

G

의 푈너 열(Følner sequence)이라고 한다.

2.4. 푈너 열

이산군 $G$ 가 순종적이라는 것은, 공집합이 아닌 유한 부분 집합의 열 $\{ S_n \}$ 이 존재하여 임의의 원소 $g \in G$ 에 대해
: $\lim_{n \to \infty} \frac$

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= 0
이 성립하는 것을 말한다(

g S_n \triangle S_n

는

g S_n

과

S_n

의 대칭차집합이다).

이러한 열

\{ S_n \}

을

G

의 푈너 열 (Følner sequence)이라고 한다.

3. 성질

종순군은 가산(닫힌) 가환 부분군은 가환군이고, 모든 몫도 가환군이며, 가환군에 의한 군 확장 또한 가환군이 되는 등 여러 중요한 성질을 갖는다. 특히, 가환군의 유한 직접곱은 가환군이지만, 무한 곱은 그렇지 않을 수 있다. 가환군의 직접 극한은 가환군이다. 즉, 그룹이 가환 부분군의 방향족 합으로 작성될 수 있다면 가환군이다.

3.1. 연산에 대한 닫힘

종순군의 부분군은 종순군이다.

종순군의 몫군은 종순군이다.

유한 개의 종순군의 직접곱은 종순군이다. (그러나 무한 개의 경우 이는 성립하지 못할 수 있다.)

3.2. 동치 조건

제2 가산 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 종순군이다.
* 복소수 바나흐 대수 $\operatorname L^\infty(G;\mathbb C)$ 는 종순 바나흐 대수이다.

가산 이산군 Γ의 경우, 가가성에 대한 동등 조건은 다음과 같다.

* Γ는 가가군이다.
* Γ가 (분리 가능한) 바나흐 공간 E에서 등거리를 통해 작용하여 E*의 닫힌 단위 공의 약하게 닫힌 볼록 부분집합 C를 불변으로 유지하면, Γ는 C에서 고정점을 갖는다.
* ℓ^∞(Γ)에 왼쪽 불변 노름-연속 함수 μ가 존재하며, μ(1) = 1 이다. (이는 선택 공리를 필요로 한다).
* ℓ^∞(Γ)의 모든 왼쪽 불변 분리 가능한 단일 C*-대수의 왼쪽 불변 상태 μ가 존재한다.
* Γ에 확률 측도 집합 μ_n이 존재하며, 각 g ∈ Γ에 대해 ||g · μ_n − μ_n||₁은 0으로 수렴한다(M.M. Day).
* Γ의 각 g에 대해 ||g · x_n − x_n||₂가 0으로 수렴하는 ℓ²(Γ)의 단위 벡터 x_n이 존재한다(J. Dixmier).
* Γ의 각 g에 대해 |g · S_n Δ S_n| / |S_n|가 0으로 수렴하는 Γ의 유한 부분집합 S_n이 존재한다(Følner).
* Γ를 생성하는 지지 집합을 가진 Γ에 대한 대칭 확률 측도 μ가 있다면, μ에 의한 컨볼루션은 ℓ²(Γ)에서 노름 1의 연산자를 정의한다(Kesten).
* Γ가 (분리 가능한) 바나흐 공간 E에서 등거리를 통해 작용하고 ℓ^∞(Γ, E*)의 f가 유계 1-코사이클, 즉 f(gh) = f(g) + g·f(h)이면, f는 1-코바운더리, 즉 어떤 φ ∈ E*에 대해 f(g) = g·φ − φ이다(B.E. Johnson).
* 환원 군 C*-대수(환원 군 C*-대수 C_r*(G) 참조)는 핵이다.
* 환원 군 C*-대수는 준대각이다(J. Rosenberg, A. Tikuisis, S. White, W. Winter).
* Γ의 폰 노이만 군 대수(군과 관련된 폰 노이만 대수 참조)는 초유한이다(A. Connes).

4. 예

정수군은 국소 콤팩트 군의 한 예이다. 정수군에서 유계 함수 f는 $f: \Z \to \R$ 유형의 유계 함수이며, 그 평균은 이동 평균 $\lim_n \frac{1}{2n+1} \sum_{k=-n}^n f(k)$ 이다. 가산군의 경우 가가화성은 이산 위상이 부여된 군, 즉 이산군의 경우보다 단순하다.

원군은 소형 군의 예로 생각할 수 있다. 함수 f ≥ 0의 그래프는 원 위에 있는 곡선처럼 보이며, 이는 종이 튜브의 끝을 찢어 만들 수 있다. 선형 범함수는 한 곳에서 종이를 잘라 다른 곳에 붙여 평평한 상단을 다시 만들면서 곡선을 평균화한다. 이것은 불변 평균, 즉 $\Lambda(f)=\int_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}} f \ d\lambda$ 인 평균 값이며, 여기서 $\lambda$ 는 르베그 측도이다.

4.1. 유한군

모든 유한군은 (이산 위상을 부여했을 때) 종순군이다. 이 경우 셈 확률 측도는 왼쪽·오른쪽 불변 평균을 이룬다.

4.2. 아벨 군

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 아벨 군은 종순군이다. 특히, (이산 위상을 갖춘) 정수군은 종순군이다. 정수 군에서 유계 함수 f는 $f: \Z \to \R$ 유형의 유계 함수이며, 그 평균은 이동 평균 $\lim_n \frac{1}{2n+1} \sum_{k=-n}^n f(k)$ 이다.

4.3. 콤팩트 군

모든 콤팩트 군은 종순군이다. 하르 측도는 불변 평균이다(전체 측도 1을 취함).

4.4. 기타

두 개 이상의 원소로 생성되는 자유군은 종순군이 아니며, 이를 부분군으로 갖는 군도 종순군이 아니다. 이는 자유군의 복잡한 구조와 관련이 있다.

5. 역사

존 폰 노이만이 바나흐-타르스키 역설을 다루기 위하여 1929년에 종순군의 개념을 도입하였다. 폰 노이만은 이 개념을 ‘가측군’(messbar Gruppe^독일어)이라고 일컬었다.

이후 1949년에 말런 데이(Mahlon M. Day^영어)가 ‘종순군’(amenable group^영어)이라는 용어를 도입하였다. 이 용어는 다음과 같은 언어 유희에서 비롯하였다.
: amenable^영어 → a^영어 + mean^영어(“평균”) + -able^영어(“~가능”)