사하 이온화 방정식

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1. 개요
2. 상세 설명
- 2.1. 방정식
- 2.2. 입자 밀도
3. 별 대기에서의 응용
- 3.1. 별 대기 연구의 역사
- 3.2. 별의 코로나
참조

1. 개요

사하 이온화 방정식은 열 평형 상태에 있는 기체의 이온화 정도를 온도, 밀도, 원자의 이온화 에너지의 함수로 나타내는 방정식이다. 이온화는 충분히 높은 온도나 밀도에서 원자 간의 열적 충돌로 인해 원자가 전자를 잃고 이온화되면서 발생하며, 이온화된 기체는 플라즈마 상태가 된다. 사하 방정식은 약하게 이온화된 플라즈마에 유효하며, 별 대기 연구에 중요한 역할을 한다. 랄프 H. 파울러는 사하 방정식을 엄밀하게 유도하고 개선했으며, 에드워드 아서 밀른과 함께 별 대기의 물리적 매개변수를 연구하는 데 기여했다. 세실리아 페인-가포슈킨은 사하의 이온화 이론을 사용하여 별 대기가 수소와 헬륨으로 이루어져 있음을 밝혔다.

2. 상세 설명

사하 방정식은 서로 다른 두 이온화 수준에 대한 입자 밀도 비율을 결정하는 데 유용하다. 이를 위해 가장 유용한 사하 방정식의 형태는 다음과 같다.

: $\frac{Z_i}{N_i} = \frac{Z_{i+1}Z_e}{N_{i+1}N_e},$

여기서 ''Z''는 분배 함수를 나타낸다. 사하 방정식은 화학 포텐셜에 대한 평형 조건을 다시 표현한 것으로 볼 수 있다.

: $\mu_i = \mu_{i+1} + \mu_e\,$

이 방정식은 이온화 상태 ''i''의 원자가 이온화될 가능성은 이온화 상태의 전자와 원자가 가질 가능성과 같다는 것을 나타낸다. 전위가 같으므로 시스템은 평형 상태에 있으며 이온화에 대한 "순" 변화는 발생하지 않는다.

단원자 수소 원자로 구성된 기체를 예로 들어, $g_0=g_1$ 로 설정하고 수소의 바닥 상태로부터의 이온화 에너지를 사용하면, 로슈미트 상수 또는 표준 압력 및 온도에서 지구 대기의 입자 밀도인 에서는 이온화가 거의 없으며 ( ) 지구 대기 부피에는 거의 이온화된 원자가 없을 것이다. $x$ 는 $T$ 에 따라 빠르게 증가하여 에서 0.35에 도달한다. 이 $T$ 가 이온화 에너지보다 훨씬 작더라도 (밀도에 따라 다르지만) 상당한 이온화가 발생한다. 이는 흔히 발생하는 현상이다. 물리적으로, 이는 주어진 온도에서 입자가 몇 배 $T$ 를 포함하는 에너지 분포를 갖는다는 사실에서 비롯된다. 이러한 고에너지 입자는 원자를 이온화하는 데 훨씬 더 효과적이다. 지구 대기에서 이온화는 실제로 사하 방정식이 아니라 매우 강력한 우주선, 주로 뮤온에 의해 지배된다. 이 입자는 대기와 열 평형 상태에 있지 않으므로, 대기의 온도에 있지 않으며 사하 논리가 적용되지 않는다.

2. 1. 방정식

충분히 높은 온도(여기서는 에너지 단위, 즉 keV 또는 J로 측정) 및/또는 밀도의 기체의 경우, 원자 간의 열적 충돌은 일부 원자를 이온화하여 이온화된 기체를 생성한다. 원자 핵 주위를 도는 궤도에서 일반적으로 원자에 결합된 여러 개의 전자가 해방되면, 이들은 원자 이온 및 중성 원자의 주변 기체와 공존하는 독립적인 전자 기체 구름을 형성한다. 충분한 이온화가 이루어지면, 기체는 플라즈마라고 불리는 물질 상태가 될 수 있다.

사하 방정식은 온도, 밀도 및 원자의 이온화 에너지의 함수로서 열 평형 상태에 있는 모든 기체의 이온화 정도를 설명한다. 사하 방정식은 드바이 길이가 작은 약하게 이온화된 플라즈마에 대해서만 유효하다. 이는 다른 이온과 전자에 의한 이온과 전자의 쿨롱 상호 작용의 가림 효과가 무시할 수 있음을 의미한다. 결과적으로 이온화 전위의 감소와 분배 함수의 "잘라내기" 또한 무시할 수 있다.

단일 원자 종으로 구성된 기체의 경우, 사하 방정식은 다음과 같이 작성된다.

:

\frac{n_{i+1}n_\text{e}}{n_i} = \frac{2}{\lambda_\text{th}^{3}}\frac{g_{i+1}}{g_i}\exp\left[-\frac{(\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_i)}{k_\text{B} T}\right]

여기서:

$n_i$ 는 ''i''개의 전자가 제거된, 이온화의 ''i''번째 상태에 있는 원자의 밀도이다.
$g_i$ 는 ''i''-이온에 대한 상태의 축퇴 에너지 준위이다.
$\varepsilon_i$ 는 중성 원자에서 ''i''개의 전자를 제거하여 ''i''-레벨 이온을 생성하는 데 필요한 에너지이다.
$n_\text{e}$ 는 전자 밀도이다.
$k_\text{B}$ 는 볼츠만 상수이다.
$\lambda_\text{th}$ 는 전자의 열적 드브로이 파장이다.

:

\lambda_\text{th} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \frac{h}{\sqrt{2\pi m_\text{e} k_\text{B} T}}

$m_\text{e}$ 는 전자의 질량이다.
$T$ 는 기체의 온도이다.
$h$ 는 플랑크 상수이다.

표현식

(\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_i)

는

(i+1)

번째 전자를 제거하는 데 필요한 에너지이다. 단일 이온화 수준만 중요한 경우,

n_1=n_\text{e}

이고 총 밀도 ''n''을

n=n_0+n_1

로 정의하면 사하 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

:

\frac{n_\text{e}^2}{n-n_\text{e}} = \frac{2}{\lambda_\text{th}^3}\frac{g_1}{g_0}\exp\left[\frac{-\varepsilon}{k_\text{B} T}\right]

여기서

\varepsilon

는 이온화 에너지이다. 이온화 정도

x=n_1/n

을 정의하면 다음과 같다.

:

\frac{x^2}{1-x} = A = \frac{2}{n\lambda_\text{th}^3}\frac{g_1}{g_0}\exp\left[\frac{-\varepsilon}{k_\text{B} T}\right]

이것은 닫힌 형태로 풀 수 있는 이차 방정식을 제공한다.

:

x^2 + A x - A = 0

작은

A

의 경우,

x \approx A^{1/2} \propto n^{-1/2}

이므로 이온화는 밀도와 함께 감소한다.

2. 2. 입자 밀도

사하 방정식은 열 평형 상태에 있는 기체의 이온화 정도를 온도, 밀도, 원자의 이온화 에너지의 함수로 설명한다. 이 방정식은 드바이 길이가 작아 이온과 전자의 쿨롱 상호 작용의 가림 효과를 무시할 수 있는 약하게 이온화된 플라즈마에 대해서만 유효하다.

단일 원자 종으로 구성된 기체의 경우, 사하 방정식은 다음과 같다.

\frac{n_{i+1}n_\text{e}}{n_i} = \frac{2}{\lambda_\text{th}^{3}}\frac{g_{i+1}}{g_i}\exp\left[-\frac{(\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_i)}{k_\text{B} T}\right]

여기서,

$n_i$ 는 ''i''개의 전자가 제거된, 이온화의 ''i''번째 상태에 있는 원자의 밀도이다.
$g_i$ 는 ''i''-이온에 대한 상태의 축퇴 에너지 준위이다.
$\varepsilon_i$ 는 중성 원자에서 ''i''개의 전자를 제거하여 ''i''-레벨 이온을 생성하는 데 필요한 에너지이다.
$n_\text{e}$ 는 전자 밀도이다.
$\lambda_\text{th}$ 는 전자의 열적 드브로이 파장으로, 다음과 같이 정의된다.

\lambda_\text{th} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \frac{h}{\sqrt{2\pi m_\text{e} k_\text{B} T}}

$m_\text{e}$ 는 전자의 질량이다.
$T$ 는 기체의 온도이다.
$h$ 는 플랑크 상수이다.
$k_\text{B}$ 는 볼츠만 상수이다.

(\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_i)

는

(i+1)

번째 전자를 제거하는 데 필요한 에너지이다.

단일 이온화 수준만 중요한 경우 (

n_1=n_\text{e}

), 총 밀도 ''n''을

n=n_0+n_1

로 정의하면 사하 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

\frac{n_\text{e}^2}{n-n_\text{e}} = \frac{2}{\lambda_\text{th}^3}\frac{g_1}{g_0}\exp\left[\frac{-\varepsilon}{k_\text{B} T}\right]

여기서 $\varepsilon$ 는 이온화 에너지이다. 이온화 정도 $x=n_1/n$ 를 정의하면,

\frac{x^2}{1-x} = A = \frac{2}{n\lambda_\text{th}^3}\frac{g_1}{g_0}\exp\left[\frac{-\varepsilon}{k_\text{B} T}\right]

와 같은 이차 방정식을 얻고, 닫힌 형태로 풀 수 있다.

작은 $A$ 의 경우, $x \approx A^{1/2} \propto n^{-1/2}$ 이므로 이온화는 밀도와 함께 감소한다.

사하 방정식은 또한 서로 다른 두 이온화 수준에 대한 입자 밀도 비율을 결정하는 데 사용될 수 있다.

\frac{Z_i}{N_i} = \frac{Z_{i+1}Z_e}{N_{i+1}N_e}

여기서 ''Z''는 분배 함수를 나타낸다. 사하 방정식은 화학 포텐셜에 대한 평형 조건, 즉 $\mu_i = \mu_{i+1} + \mu_e\,$ 을 다시 표현한 것으로 볼 수 있다.

3. 별 대기에서의 응용

사하 이온화 방정식은 별 대기 연구에 응용되어 별의 구성 성분과 물리적 상태를 밝히는 데 중요한 역할을 했다. 특히, 1920년대 초 랄프 H. 파울러는 사하 이온화 방정식을 엄밀하게 유도하고, 원자와 이온의 들뜬 상태를 포함하도록 개선하여 별 대기에서의 이온화 평형을 더 정확하게 설명할 수 있게 하였다.

1925년 세실리아 페인-가포슈킨은 사하의 이온화 이론을 사용하여 별 대기의 구성이 대부분 수소와 헬륨으로 이루어져 있다는 것을 밝혀냈다.^[7] 이는 당시 별의 구성이 지구와 유사할 것이라는 일반적인 견해와는 다른 획기적인 발견이었다.

하지만 사하 평형은 플라스마가 국소 열역학적 평형 상태에 있을 때 성립하며, 광학적으로 얇은 별의 코로나와 같은 경우에는 적용되지 않는다. 이 경우 평형 이온화 상태는 충돌 및 재결합 속도의 상세한 통계적 계산을 통해 추정해야 한다.

3. 1. 별 대기 연구의 역사

1920년대 초, 랄프 H. 파울러는 찰스 갈턴 다윈과 함께 물질의 평형 특성을 체계적으로 계산할 수 있는 새로운 통계 역학 방법을 개발했다. 파울러는 이 방법을 사용하여 야코부스 헨리쿠스 판트호프의 정리를 원자 이온화에 적용, 사하 이온화 방정식을 엄밀하게 유도했다. 이 정리는 이전에는 분자 해리에 적용하기 위해 물리 화학에서 사용되었다. 파울러는 또한 사하 방정식에 원자와 이온의 들뜬 상태의 영향을 포함시키는 중요한 개선을 이루었다. 1923년, 에드워드 아서 밀른과 R.H. 파울러는 ''왕립 천문학회 월보''에 논문을 발표하여, 흡수선의 최대 강도 기준(중성 원자의 부계열에 속하는)이 사하가 사용한 흡수선의 경계 출현 또는 소멸 기준보다 별 대기의 물리적 매개변수에 대한 정보를 제공하는 데 훨씬 더 유용함을 보였다. 사하의 기준은 별 대기의 관련 압력에 대한 지식을 필요로 했으며, 당시 일반적인 견해에 따라 사하는 1에서 0.1 기압 정도의 값을 가정했다. 밀른은 다음과 같이 썼다.

> 사하는 별의 서열에서 흡수선의 경계 출현과 소멸에 집중했는데, 별 대기의 압력의 크기를 가정하고, 예를 들어 이온화가 증가하여 계열 전자의 손실로 인해 해당 선의 추가 흡수를 억제하는 온도를 계산했다. 파울러와 내가 어느 날 트리니티의 내 방을 돌아다니며 이것에 대해 논의했을 때, 예를 들어 수소의 발머선의 최대 강도는 낮은 온도에서는 흡수를 유의미하게 제공할 들뜬 원자가 너무 적고, 높은 온도에서는 흡수를 전혀 제공할 중성 원자가 너무 적다는 고려로 쉽게 설명된다는 것을 갑자기 깨달았다. ... 그날 저녁 나는 그 효과에 대한 급한 크기 계산을 수행했고, 발머선이 최대 강도를 보이는 A0형 별의 10000°[K]의 온도에 일치하려면 10⁻⁴ 기압 정도의 압력이 필요하다는 것을 발견했다. 이것은 매우 흥미로운 일이었다. 왜냐하면 선 이동과 선 폭에서 별 대기의 압력을 결정하는 표준 방법은 1기압 이상의 압력을 나타내는 것으로 간주되었고, 나는 다른 이유로 이를 믿지 않기 시작했기 때문이다.^[6]

당시 널리 받아들여지던 견해는 별의 구성이 지구와 유사하다는 것이었다. 그러나 1925년 세실리아 페인-가포슈킨은 사하의 이온화 이론을 사용하여 별 대기의 구성이 현재 알려진 바와 같이 대부분 수소와 헬륨으로 이루어져 있다는 것을 계산하여 별에 대한 지식을 확장했다.^[7]

3. 2. 별의 코로나

사하 평형은 플라스마가 국소 열역학적 평형 상태에 있을 때 성립하며, 이는 광학적으로 얇은 별의 코로나의 경우에는 해당되지 않는다.^[1] 이 경우 평형 이온화 상태는 충돌 및 재결합 속도의 상세한 통계적 계산을 통해 추정해야 한다.^[1]

참조

_[1] 서적 Plasma Chemistry https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion https://www.springer[...]
_[3] 논문 LIII.Ionization in the solar chromosphere https://zenodo.org/r[...]
_[4] 논문 On a Physical Theory of Stellar Spectra
_[5] 간행물 Properties of High-Energy-Density Plasmas https://doi.org/10.1[...] Springer International Publishing 2018
_[6] 웹사이트 Biographical Memoirs: Meghnad Saha http://www.saha.ac.i[...]
_[7] 웹사이트 Cecilia Payne and the Composition of the Stars https://www.amnh.org[...] American Museum of Natural History 2000

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