삼각급수

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1. 개요

삼각 급수는 삼각 함수, 즉 사인 함수와 코사인 함수의 합으로 표현되는 무한 급수이다. 푸리에 급수는 삼각 급수의 한 예시이며, 함수를 삼각 급수로 나타낼 수 있다. 모든 삼각 급수가 푸리에 급수인 것은 아니다. 삼각 급수의 유일성과 관련하여, 게오르크 칸토어는 삼각 급수가 특정 조건에서 함수로 수렴할 경우 급수의 모든 계수가 0임을 증명했다. 칸토어의 연구는 초한수 서수 발명에 영향을 미쳤다.

삼각급수

개요

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삼각함수의 급수 표현

정의	삼각함수(사인 및 코사인)의 무한 합으로 표현되는 급수
형태	a₀ + Σ[n=1 to ∞] (aₙcos(nx) + bₙsin(nx)) Σ[n=-∞ to ∞] cₙe^(inx) (복소수 형태)

종류

푸리에 급수	주기 함수를 삼각함수의 급수로 표현
일반 삼각 급수	임의의 계수를 가지는 삼각함수의 급수

활용

신호 처리	신호 분석 및 합성
물리학	파동 현상 분석
공학	시스템 분석 및 설계

성질

수렴성	점별 수렴 균등 수렴 L² 수렴
유일성	급수가 특정 함수로 수렴하는 경우, 계수는 유일하게 결정됨

관련 항목

푸리에 변환	비주기 함수를 주파수 성분으로 분해
조화 분석	함수의 주파수 성분 분석
직교 함수	내적이 0인 함수들의 집합

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1. 개요
2. 예시
3. 삼각 급수의 유일성

2. 예시

항등 함수의 푸리에 급수는 주기적 구간의 끝 부분 근처에서 깁스 현상을 겪는다.

모든 푸리에 급수는 삼각 급수의 한 예시를 제공한다.
함수

f(x) = x

를

[-\pi,\pi]

에서 주기적으로 확장한다고 하자( 톱니파 참조). 그러면 푸리에 계수는 다음과 같이 계산된다.
:

\begin{align}A_n &= \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} x \cos{(nx)} \,dx = 0, \quad n \ge 0. \\[4pt]B_n &= \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} x \sin{(nx)} \, dx \\[4pt]&= -\frac{x}{n\pi} \cos{(nx)} + \frac1{n^2\pi}\sin{(nx)} \Bigg\vert_{x=-\pi}^\pi \\[5mu]&= \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}

이는 다음과 같은 삼각 급수의 예시를 제공한다.
:

2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin{(nx)} = 2\sin{(x)} - \frac22\sin{(2x)} + \frac23\sin{(3x)} - \frac24\sin{(4x) } + \cdots

삼각 급수 sin(2x)/log(2) + sin(3x)/log(3) + sin(4x)/log(4) + ...는 푸리에 급수가 아니다.

그러나 그 역은 성립하지 않는다. 모든 삼각 급수가 푸리에 급수인 것은 아니다. 다음 급수를 보자.
:

\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin{(nx)}}{\log{n}} = \frac{\sin{(2x)}}{\log{2}} + \frac{\sin{(3x)}}{\log{3}} + \frac{\sin{( 4x)}}{\log{4}}+\cdots

이 급수는 모든

x

에 대해 수렴하는 삼각 급수이지만, 푸리에 급수는 아니다.
여기서 계수

B_n=\frac{1}{\log(n)}

(단,

n\geq 2

)이고 다른 모든 계수는 0이다.

3. 삼각 급수의 유일성

삼각 급수의 유일성과 영점 문제는 19세기 유럽 수학계의 주요 연구 주제 중 하나였다. 먼저, 게오르크 칸토어는 어떤 삼각 급수가 구간 [0, 2π]에서 함수 f로 수렴할 때, 만약 함수 f가 항상 0이거나 유한 개의 점을 제외한 모든 점에서 0이라면, 그 삼각 급수의 모든 계수는 반드시 0이어야 함을 증명했다.

칸토어는 여기서 더 나아가, 함수 f가 0이 아닌 점들의 집합 S가 무한 집합이더라도, S의 도집합 S' (S의 극한점들의 집합)이 유한 집합이라면 계수가 모두 0임을 보였다. 더 일반적인 결과로, S₀ = S 라 하고 S_k+1을 S_k의 도집합으로 정의할 때, 어떤 자연수 n에 대해 S_n이 유한 집합이 되면 모든 계수가 0임을 증명했다.

이후 르베그는 이 결과를 더욱 확장하여, 유한한 자연수 n 대신 가산 무한 서수 α에 대해 S_α가 유한 집합이 되는 경우에도 모든 계수가 0임을 증명했다. 칸토어가 삼각 급수의 유일성 문제를 연구하는 과정은 그가 초한수 서수 개념을 발전시키는 데 중요한 계기가 되었으며, 여기서 사용된 첨자 α가 바로 그 서수를 나타낸다.