앙리 르베그
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1. 개요
앙리 르베그는 1875년 프랑스에서 태어난 수학자이다. 그는 르베그 적분으로 알려진 적분 이론을 개발하여 현대 해석학에 큰 영향을 미쳤다. 르베그는 1902년 소르본 대학교에서 박사 학위를 받았으며, 렌 대학교, 푸아티에 대학교, 소르본 대학교, 콜레주 드 프랑스 등에서 교수로 재직하며 연구와 교육에 힘썼다. 그의 주요 업적으로는 르베그 적분, 르베그 측도, 르베그-스틸체스 적분 등이 있으며, 삼각 함수, 복소 해석, 위상수학 분야에도 기여했다. 르베그의 적분 이론은 리만 적분의 한계를 극복하고, 측도론, 확률론, 푸리에 해석 등 다양한 분야의 발전에 중요한 역할을 했다.
1899년 앙리 르베그는 프랑스 낭시의 리세 젱트랄에서 교사로 근무하며 박사 학위 논문을 준비했다. 1902년, 에밀 보렐을 지도교수로 하여 "적분, 길이, 면적"이라는 획기적인 논문으로 소르본 대학교에서 박사 학위를 받았다.[6]
베른하르트 리만이 제시한 리만 적분은 함수의 정의역을 분할하여 각 구간에 해당하는 직사각형의 넓이를 계산하고, 이들의 합으로 함수의 그래프 아래 영역의 넓이를 근사하는 방식이었다. 그러나 일부 함수는 이러한 방식으로 적분할 수 없었다. 앙리 르베그는 이러한 문제를 해결하기 위해 함수의 공역을 분할하는 새로운 적분법을 고안했다.
2. 생애
논문 발표 후, 1902년에 렌 대학교에서 교직을 제안받아 1906년까지 강의했으며, 이후 푸아티에 대학교 과학부에 합류했다. 1910년에는 소르본 대학교로 이동하여 강사가 되었고, 1919년부터 교수로 승진했다. 1921년, 콜레주 드 프랑스의 수학 교수가 되어 남은 생애 동안 강의와 연구를 했다.[7] 1922년에는 프랑스 과학 아카데미 회원으로 선출되었다.[6]
2. 1. 어린 시절과 교육
앙리 르베그는 1875년 6월 28일 오아즈주 보베에서 태어났다. 그의 아버지는 조판공이었고, 어머니는 학교 교사였다. 그의 부모는 어린 앙리가 사용할 수 있도록 집에 도서관을 마련했다.[5] 어린 시절 아버지가 결핵으로 사망하자, 어머니는 혼자 르베그를 키워야 했다. 르베그는 초등학교에서 수학에 뛰어난 재능을 보였고, 선생님 중 한 명은 지역 사회의 지원을 받아 그가 보베 대학교에서 계속 공부할 수 있도록 주선했다. 이후 르베그는 파리의 생 루이 고등학교와 루이르그랑 고등학교에서 교육을 받았다.[5]
1894년, 르베그는 고등사범학교에 입학하여 수학 연구에 집중했고, 1897년에 졸업했다. 졸업 후 2년간 고등사범학교 도서관에서 일하면서, 당시 학교를 갓 졸업한 르네 루이 베르의 불연속성 연구를 접했다. 동시에 소르본 대학교에서 대학원 과정을 시작하여, 에밀 보렐의 초기 측도론 연구와 카미유 조르당의 조르당 측도 연구에 대해 배웠다.[6]
2. 2. 개인적인 삶
르베그는 동료 학생의 여동생과 결혼하여 슬하에 수잔과 자크라는 두 자녀를 두었다.[5] 그는 평생 건강 문제로 고생했다.[5] 1941년 7월 26일 파리에서 사망했다.[6]
3. 르베그 적분 이론
르베그는 1899년 3월부터 1901년 4월까지 ''Comptes Rendus''에 6편의 논문을 발표했는데, 이 중 마지막 논문에서 어떤 함수 f(x)에 대한 르베그 적분의 정의를 제시했다.[1] 1902년 Annali di Matematica에 게재된 르베그의 논문 ''Intégrale, longueur, aire''는 이 연구의 전체 내용을 담고 있다.[1]
르베그는 먼저 집합과 해당 집합의 함수에 대해 측도론(보렐 측도)을 전개하고, 단순 함수 (유한 개의 값을 갖는 가측 함수)를 구성하여 적분을 정의했다. 그런 다음 더 복잡한 함수에 대해, 그 함수보다 작은 모든 단순 함수의 적분의 최소 상계로 정의했다.
르베그 적분은 리만 적분을 가진 경계 구간에서 정의된 모든 함수가 르베그 적분도 가지며, 두 적분이 일치한다는 속성을 갖는다. 또한, 닫힌 유계 구간에서 모든 유계 함수는 르베그 적분을 가지며, 리만 적분이 없는 르베그 적분을 갖는 많은 함수가 있다.
르베그는 측도 개념을 발명했는데, 이는 길이 개념을 구간에서 가측 집합이라 불리는 매우 큰 집합 클래스로 확장한다.[1] 측도를 적분으로 변환하는 르베그의 기술은 여러 상황으로 쉽게 일반화되어 측도론의 현대 분야로 이어진다.
1903년 논문 "Sur les séries trigonométriques"에서 르베그는 삼각함수 연구를 확장했다.[1] 이 연구에서 그는 세 가지 주요 정리를 제시했다. 경계가 있는 함수를 나타내는 삼각 급수는 푸리에 급수이고, n번째 푸리에 계수는 0으로 수렴하며(리만-르베그 보조정리), 푸리에 급수는 항별로 적분 가능하다는 것이다.
르베그 적분에는 한 가지 결함이 있다. 이상 리만 적분으로 일반화되어 정의역이 닫힌 구간이 아닌 함수를 측정하는 리만 적분과 다르게, 르베그 적분은 이러한 함수 중 많은 함수를 적분하고 있지만(항상 동일한 답을 재현함) 모두 적분하지는 않는다.
3. 1. 리만 적분의 한계
베른하르트 리만은 그래프 아래 영역을 얇은 직사각형으로 나누어 각 직사각형의 넓이를 더하고, 분할을 더 세밀하게 할 때 이 합의 극한을 구하는 방식으로 리만 적분을 정의했다. 그러나 어떤 함수들은 이 극한이 하나의 값으로 정해지지 않아 리만 적분이 불가능하다.[1]
앙리 르베그는 이 문제를 해결하기 위해 새로운 적분법을 고안했다. 그는 함수의 정의역 대신 공역을 분할하여 면적 계산의 기본 단위를 설정했다. 먼저 단순 함수(유한 개의 값만 갖는 가측 함수)에 대한 적분을 구성하고, 더 복잡한 함수에 대해서는 그 함수보다 작은 단순 함수들의 적분값의 상한으로 정의했다.[15]
르베그 적분은 리만 적분 가능한 유계 함수에 대해 두 적분값이 일치하며, 리만 적분이 불가능한 많은 함수(예: 디리클레 함수)에 대해서도 적분값을 제공한다.[15]
3. 2. 르베그 적분의 핵심 아이디어
베른하르트 리만이 제시한 리만 적분은 함수의 정의역을 분할하여 각 구간에 해당하는 직사각형의 넓이를 계산하고, 이들의 합으로 함수의 그래프 아래 영역의 넓이를 근사한다. 그러나 일부 함수는 이러한 방식으로 적분할 수 없다.
앙리 르베그는 이 문제를 해결하기 위해 새로운 적분 방법을 고안했다. 르베그는 함수의 공역을 분할하여 각 구간에 해당하는 정의역의 "크기"를 측정하고, 이를 함숫값과 곱한 값의 합으로 적분을 정의했다. 이 "크기"를 측정하기 위해 르베그는 측도론을 도입하여 구간뿐만 아니라 더 복잡한 집합의 "크기"를 측정할 수 있게 했다.
르베그는 먼저 단순 함수(유한 개의 값을 갖는 가측 함수)의 적분을 정의했다. 단순 함수는 유한 개의 값 $y_1, y_2, ..., y_n$ 을 가지며, 각 값에 해당하는 정의역의 부분집합 $E_1, E_2, ..., E_n$ (즉, $y_i$ 값을 갖는 x들의 집합)의 측도 $m(E_i)$를 계산하여 다음과 같이 적분을 정의한다.
:$\sum_{i=1}^{n} y_i m(E_i)$
일반적인 함수의 적분은 단순 함수 적분의 상한으로 정의했다. 즉, 주어진 함수보다 작은 모든 단순 함수의 적분값 중에서 가장 큰 값을 취하는 것이다.
르베그 적분은 리만 적분을 가진 경계 구간에서 정의된 모든 함수가 르베그 적분도 가지며, 이러한 함수에 대해 두 적분이 일치한다는 속성을 갖는다. 또한, 닫힌 유계 구간에서 모든 유계 함수는 르베그 적분을 가지며, 리만 적분이 없는 르베그 적분을 갖는 많은 함수가 존재한다.
3. 3. 르베그 적분의 장점
리만 적분 가능한 함수는 르베그 적분 가능하며, 그 값은 일치한다. 리만 적분 불가능한 많은 함수들이 르베그 적분 가능하다.[15] 극한 정리가 더 강력하게 성립하여 극한과 적분의 순서를 바꾸는 것이 더 용이하다. 르베그 적분은 헨스톡 적분과 다르게 실수의 특정 순서 특징에 의존하지 않기 때문에, 다양체와 같은 더 일반적인 공간에서 적분을 허용하도록 쉽게 일반화가 가능하다.
르베그 적분은 유계 구간에서 정의된 모든 함수가 르베그 적분을 가지며, 이러한 함수에 대해 두 적분이 일치한다는 속성을 갖는다.[15] 또한, 닫힌 유계 구간에서 모든 유계 함수는 르베그 적분을 가지며, 리만 적분이 없는 르베그 적분을 갖는 많은 함수가 있다.
르베그 적분의 개발 과정에서 르베그는 측도의 개념을 발명했는데, 이는 길이의 개념을 구간에서 가측 집합이라고 불리는 매우 큰 집합 클래스로 확장한다.[15] 측도를 적분으로 변환하는 르베그의 기술은 다른 많은 상황으로 쉽게 일반화되어 측도론의 현대 분야로 이어진다.
르베그 적분에는 한 가지 결함이 있다. 이상 리만 적분으로 일반화되어 정의역이 닫힌 구간이 아닌 함수를 측정하는 리만 적분과 다르게, 르베그 적분은 이러한 함수 중 많은 함수를 적분하고 있지만(항상 동일한 답을 재현함) 모두 적분하지는 않는다.[15]
4. 업적 및 영향
앙리 르베그의 연구는 현대 해석학에 큰 영향을 미쳤다. 그의 르베그 적분은 리만 적분을 일반화하여 더 넓은 범위의 함수를 다룰 수 있게 하였으며, 이는 측도론, 확률론, 푸리에 해석 등 다양한 분야의 발전에 핵심적인 역할을 했다.[1]
르베그 적분은 함수의 치역을 분할하는 방식으로, 리만 적분으로는 적분할 수 없는 함수들도 적분 가능하게 만들었다. 르베그는 "수열 fn(x)가 f(x)로 증가하면 fn(x)의 적분은 f(x)의 적분으로 수렴한다"는 조건을 제시했는데,[17] 이는 측도론과 가측 함수 이론으로 이어졌다.
그는 삼각함수와 푸리에 급수에 대한 연구도 진행하여, 리만-르베그 보조정리, 푸리에 급수의 항별 적분 가능성, 르베그 상수 등 중요한 개념들을 제시했다.
르베그-스틸체스 적분은 르베그 적분을 더욱 일반화한 것으로, 현대 측도론의 핵심적인 도구로 사용되고 있다. 르베그의 방법론은 현대 해석학의 필수적인 부분이 되었으며, 물리학 등 다른 분야에도 중요한 영향을 미치고 있다.
노르베르트 위너는 르베그 적분이 윌러드 기브스의 통계 역학 기초 연구의 타당성을 확립하는 데 중요한 의미를 갖는다고 주장했다.[12] '평균'과 '측도'의 개념은 기브스의 에르고딕 가설에 대한 엄밀한 증명을 제공하는 데 필요했다.[13]
4. 1. 주요 논문 및 저서
- "함수의 근사"(Sur l'approximation des fonctions, 1898)[1]: 바이어슈트라스의 연속 함수를 다항식으로 근사하는 정리에 관한 첫 논문이다.
- "적분, 길이, 면적"(Intégrale, longueur, aire, 1902)[15]: 박사 학위 논문으로, 측도론(보렐 측도)을 전개하고 기하학적, 해석적으로 적분을 정의했으며, 길이, 면적 및 적용 가능한 면을 다루는 ''Comptes Rendus'' 논문을 확장하고, 플라토 문제를 다루었다.
- "적분과 원시 함수를 구하는 문제에 대한 강의"(Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904)[17]: 1902년부터 1903년까지의 강의 내용을 묶은 것이다. 오귀스탱 루이 코시, 페터 구스타프 르죈 디리클레, 베른하르트 리만을 언급하며 적분 문제를 역사적 맥락에서 제시하고, 적분이 만족해야 하는 여섯 가지 조건을 제시한다.
- "삼각 급수에 관하여"(Sur les séries trigonométriques, 1903)[18]: 경계가 있는 함수를 나타내는 삼각 급수는 푸리에 급수이고, n번째 푸리에 계수는 0으로 수렴하며(리만-르베그 보조정리), 푸리에 급수는 항별로 적분 가능하다는 세 가지 주요 정리를 제시했다.
- "립시츠 조건을 만족하는 함수를 근사하는 삼각 급수 표시"(Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz, 1910)[1]: 립시츠 조건을 만족하는 함수의 푸리에 급수를 다루면서, 나머지 항의 크기를 평가하고, 리만-르베그 보조정리가 연속 함수에 대한 최상의 결과임을 증명하고, 르베그 상수에 대한 내용을 제시한다.
4. 2. 학문적 영향
앙리 르베그의 연구는 현대 해석학에 큰 영향을 미쳤다. 그의 르베그 적분은 리만 적분을 일반화하여 더 넓은 범위의 함수를 다룰 수 있게 하였으며, 이는 측도론, 확률론, 푸리에 해석 등 다양한 분야의 발전에 핵심적인 역할을 했다.[1]르베그 적분은 함수의 치역을 분할하는 방식으로, 리만 적분으로는 적분할 수 없는 함수들도 적분 가능하게 만들었다. 이는 르베그가 제시한 6가지 조건 중 마지막 조건, 즉 "수열 fn(x)가 f(x)로 증가하면 fn(x)의 적분은 f(x)의 적분으로 수렴한다"는 조건을 만족한다.[17] 르베그는 이 조건이 측도론과 가측 함수의 이론으로 이어진다는 것을 보였다.
그의 연구는 1902년 박사 논문 "적분, 길이 및 면적"[15]과 1902-1903년 강의 내용을 묶은 ''적분과 원시 함수를 구하는 문제에 대한 강의''[17]에서 체계적으로 정리되었다. 이 책에서 르베그는 적분 문제를 역사적 맥락에서 제시하고, 자신의 새로운 적분 이론을 설명했다.
르베그는 삼각함수와 푸리에 급수에 대한 연구도 진행하여, 1903년 논문 "삼각 급수에 관하여"[18]와 1910년 논문 "립시츠 조건을 만족하는 함수를 근사하는 삼각 급수 표시"를 발표했다. 이 연구에서 그는 리만-르베그 보조정리, 푸리에 급수의 항별 적분 가능성, 르베그 상수 등 중요한 개념들을 제시했다.
르베그-스틸체스 적분은 르베그 적분을 더욱 일반화한 것으로, 현대 측도론의 핵심적인 도구로 사용되고 있다. 르베그의 방법론은 현대 해석학의 필수적인 부분이 되었으며, 물리학 등 다른 분야에도 중요한 영향을 미치고 있다.
4. 3. 통계 역학에의 기여
노르베르트 위너는 르베그 적분이 윌러드 기브스의 통계 역학 기초 연구의 타당성을 확립하는 데 중요한 의미를 갖는다고 주장했다.[12] '평균'과 '측도'의 개념은 기브스의 에르고딕 가설에 대한 엄밀한 증명을 제공하는 데 필요했다.[13]5. 평가
르베그의 박사 학위 논문 "Intégrale, longueur, aire"는 1902년 ''Annali di Matematica''에 게재되었는데, 수학자가 쓴 최고의 논문 중 하나로 평가받는다.[1] 1902년부터 1903년까지의 강의는 보렐 트랙트(Borel tract)인 ''Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives''로 묶여 출판되었다. 이 책에서 르베그는 오귀스탱 루이 코시, 페터 구스타프 르죈 디리클레, 베른하르트 리만을 언급하며 적분 문제를 역사적 맥락에서 제시한다.
그는 실해석학에 지대한 공헌을 하였으며, 그의 방법은 현대 분석의 필수적인 부분이 되었다. 그의 연구는 측도론과 가측 함수 이론, 그리고 적분의 해석적, 기하학적 정의로 이어졌다. 르베그는 삼각함수에 대한 연구도 진행하여, 1903년 논문 "Sur les séries trigonométriques"에서 세 가지 주요 정리를 제시했다. 또한, 1910년 논문에서는 립시츠 조건을 만족하는 함수의 푸리에 급수를 다루면서, 나머지 항의 크기를 평가하고, 리만-르베그 보조정리가 연속 함수에 대한 최상의 결과임을 증명했다.
측도론적 분석 및 관련 수학 분야에서 르베그-스틸체스 적분은 리만-스틸체스 적분과 르베그 적분을 일반화하여 후자의 많은 장점을 보다 일반적인 측도론적 틀 내에서 유지한다.
르베그는 복소 해석과 위상수학 분야에도 진출했지만, 실해석학에 대한 그의 기여에 비하면 미미하다. 르베그는 "일반적인 이론으로 축소되면, 수학은 내용 없는 아름다운 형태가 될 것이다."라고 썼다.
참조
[1]
논문
Henri Lebesgue. 1875-1941
[2]
논문
Prizes Awarded by the Paris Academy of Sciences for 1914
1915-01-07
[3]
MathGenealogy
[4]
MacTutor Biography
[5]
서적
God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history
Running Press
[6]
서적
A to Z of mathematicians
https://archive.org/[...]
Infobase Publishing
[7]
서적
Great Currents of Mathematical Thought
Courier Dover Publications
[8]
서적
Classical and Modern Integration Theories
https://books.google[...]
Academic Press
[9]
논문
Remarques sur les théories de la mesure et de l'intégration
http://archive.numda[...]
[10]
논문
L'intégration des fonctions non bornées
http://archive.numda[...]
[11]
논문
Sur une définition due à M. Borel (lettre à M. le Directeur des Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure)
http://archive.numda[...]
[12]
서적
Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine
[13]
서적
The Fourier Integral and Certain of its Applications
[14]
서적
Sur l'approximation des fonctions
[15]
서적
Intégrale, longueur, aire
[16]
논문
http://links.jstor.o[...]
[17]
서적
Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives
[18]
서적
"Sur les séries trigonométriques"
[19]
서적
Neyman
[20]
논문
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