초한수

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1. 개요

초한수는 자연수의 개념을 무한 집합으로 확장한 수로, 기수와 순서수로 나뉜다. 기수는 집합의 크기를 나타내며, 가장 작은 초한 기수는 알레프-0이다. 순서수는 정렬된 무한 집합 내의 위치를 나타내며, 가장 작은 초한 순서수는 ω이다. 초한수의 개념은 게오르크 칸토어에 의해 처음 도입되었으며, 연속체 가설과 관련이 있다.

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자연수는 수를 세는 데 사용되는 가장 기본적인 수로, 덧셈과 곱셈에 닫혀 있고, 페아노 공리계를 통해 정의되며, 수학적 귀납법으로 명제를 증명하는 데 활용된다.
순서수 - 공종도
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기수 - 칸토어의 정리
칸토어의 정리는 집합 X의 멱집합의 크기가 X의 크기보다 항상 크다는 것을 나타내며, 임의의 기수 κ에 대해 2<sup>κ</sup> > κ가 성립한다는 내용으로, 칸토어의 대각선 논법으로 증명되고 집합론의 역설과 관련되어 전체 집합의 존재를 가정할 때 칸토어의 역설을 유발한다.
기수 - 연속체 가설
연속체 가설은 가산 무한 집합의 크기와 실수 집합의 크기 사이에 다른 기수가 존재하지 않는다는 명제들의 동치이며, 체르멜로-프렠켈 집합론으로부터 독립임이 증명되었다.
무한 - 무한원점
무한원점은 사영평면에서 z=0인 동차좌표로 표현되는 점들의 집합으로 무한원직선을 구성하며, 유클리드 기하학에는 없지만 사영기하학 등에서 평행선의 교점으로 정의되고 투영기하학에서 소실점과 관련되어 응용되지만 교육적 어려움을 야기한다는 비판도 있다.
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유한주의는 수학에서 무한의 존재를 부정하거나 제한하는 관점으로, 무한 집합론 등장 이후 철학적 논쟁과 함께 부각되었으며, 잠재적 무한만을 인정하는 고전적 유한주의와 큰 대상도 부정하는 초유한주의로 나뉜다.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기수 (Cardinal Number)
- 2.2. 순서수 (Ordinal Number)
3. 역사
4. 예시
5. 연속체 가설
6. 다른 수 체계와의 관계

2. 정의

초한수는 유한 집합의 크기나 순서를 나타내는 자연수의 개념을 무한 집합으로 확장한 것이다. 모든 유한 자연수는 기수와 서수, 두 가지 방식으로 사용될 수 있다. 기수는 집합의 크기를 지정하고(예: 5개의 구슬), 서수는 정렬된 집합 내에서 구성원의 순서를 지정한다(예: "왼쪽에서 세 번째 사람"). 무한수를 포함하도록 확장될 때 이 두 개념은 더 이상 일대일 대응 관계가 아니다. 무한 기수는 무한히 큰 집합의 크기를 설명하는 데 사용되는 반면, 무한 서수는 정렬된 무한히 큰 집합 내의 위치를 설명하는 데 사용된다.

가장 주목할 만한 서수와 기수는 각각 다음과 같다.

* $\omega$ (오메가): 가장 작은 무한 서수. 이는 또한 일반적인 선형 순서에 따른 자연수의 순서 유형이기도 하다.
* $\aleph_0$ (알레프-0): 첫 번째 무한 기수. 이는 또한 자연수의 기수이기도 하다. 선택 공리가 성립한다면 다음으로 큰 기수는 알레프-1 ( $\aleph_1$ )이다. 그렇지 않다면 알레프-1과 비교할 수 없고 알레프-0보다 큰 다른 기수가 있을 수 있다. 어느 쪽이든, 알레프-0과 알레프-1 사이에는 기수가 없다.

연속체 가설은 $\aleph_0$ 과 연속체의 기수 (실수 집합의 기수) 사이에는 중간 기수가 없다는 명제이다. 또는 동등하게 $\aleph_1$ 이 실수 집합의 기수라는 것이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 연속체 가설과 그 부정은 모두 증명할 수 없다.

P. 서페스 및 J. 루빈을 포함한 일부 저자는 "무한 기수"라는 용어를 "무한 기수"와 동일하지 않을 수 있는 맥락, 즉 가산 선택 공리가 가정되지 않거나 성립하는지 알 수 없는 맥락에서 데데킨트 무한 집합의 기수를 지칭하는 데 사용한다. 이 정의에 따르면 다음은 모두 동일하다.

* $\mathfrak{m}$ 은 무한 기수이다. 즉, $A$ 의 기수가 $\mathfrak{m}$ 인 데데킨트 무한 집합 $A$ 가 있다.
* $\mathfrak{m} + 1 = \mathfrak{m}.$
* $\aleph_0 \leq \mathfrak{m}.$
* $\aleph_0 + \mathfrak{n} = \mathfrak{m}.$ 인 기수 $\mathfrak{n}$ 이 있다.

무한 서수와 기수는 모두 자연수만 일반화하지만, 초실수와 초현실수를 포함한 다른 수 체계는 실수의 일반화를 제공한다.

2.1. 기수 (Cardinal Number)

칸토어가 정의한 기수는 집합에서 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재하면 서로 같다고 본다. 가장 작은 초한 기수 $\aleph_0$ (알레프 0)은 모든 자연수의 집합에 대응한다. 선택 공리가 성립한다면 다음으로 큰 기수는 알레프-1 ( $\aleph_1$ )이다. 그렇지 않다면 알레프-1과 비교할 수 없고 알레프-0보다 큰 다른 기수가 있을 수 있다. 어느 쪽이든, 알레프-0과 알레프-1 사이에는 기수가 없다.

모든 유한 자연수는 기수와 서수, 두 가지 방식으로 사용될 수 있다. 기수는 집합의 크기를 지정하고(예: 5개의 구슬), 서수는 정렬된 집합 내에서 구성원의 순서를 지정한다. (예: "왼쪽에서 세 번째 사람"). 무한수를 포함하도록 확장될 때 이 두 개념은 더 이상 일대일 대응 관계가 아니다. 무한 기수는 무한히 큰 집합의 크기를 설명하는 데 사용된다.

2.2. 순서수 (Ordinal Number)

칸토어가 정의한 순서수는 모든 부분 집합이 최소 원소를 갖는 모든 쌍의 원소가 비교 가능한 순서가 부여된 집합이며, 둘 사이에 순서를 보존하는 일대일 대응이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는 개념이다. 가장 작은 초한 순서수 $\omega$ 는 표준적인 순서를 갖춘 양의 정수의 집합 $1<2<\cdots$ 에 대응하는 순서수이다. 그 다음 순서수 $\omega+1$ 는 $1<2<\cdots<\omega$ 에 대응하는 순서수이며, 그 다음 순서수 $\omega+2$ 는 $1<2<\cdots<\omega<\omega+1$ 에 대응한다. 처음 몇 초한 순서수들은 다음과 같다.
: $\omega,\omega+1,\dots,\omega2,\omega2+1,\dots,\omega3,\omega3+1,\dots,\omega^2,\dots,\omega^3,\dots,\omega^\omega,\dots,\omega^{\omega^\omega},\dots$
모든 유한 자연수는 서수와 기수, 두 가지 방식으로 사용될 수 있다. 기수는 집합의 크기를 지정하고(예: 구슬 5개), 서수는 정렬된 집합 내에서 구성원의 순서를 지정한다(예: "왼쪽에서 세 번째 사람"). 이 두 개념은 무한수를 포함하도록 확장될 때 더 이상 일대일 대응 관계가 아니다. 무한 기수는 무한히 큰 집합의 크기를 설명하는 데 사용되는 반면, 무한 서수는 정렬된 무한히 큰 집합 내의 위치를 설명하는 데 사용된다. 가장 주목할 만한 서수는 다음과 같다.

* $\omega$ (오메가): 가장 작은 무한 서수. 이는 또한 일반적인 선형 순서에 따른 자연수의 순서 유형이기도 하다.

칸토어의 서수 이론에서 모든 정수는 후속자를 가져야 한다. 모든 일반적인 숫자 다음, 즉 첫 번째 무한 정수는 $\omega$ 로 명명된다. 이 맥락에서, $\omega+1$ 은 $\omega$ 보다 크고, $\omega\cdot2$ , $\omega^{2}$ 및 $\omega^{\omega}$ 은 훨씬 더 크다. $\omega$ 를 포함하는 산술식은 서수를 지정하며, 그 숫자까지의 모든 정수 집합으로 생각할 수 있다. 주어진 숫자는 일반적으로 그것을 나타내는 여러 표현식을 갖지만, 본질적으로 $\omega$ 의 내림차순 거듭제곱의 계수를 제공하는 일련의 숫자인 고유한 칸토어 정규형이 있다.

그러나 모든 무한 정수가 칸토어 정규형으로 표현될 수 있는 것은 아니며, 표현할 수 없는 첫 번째는 극한 $\omega^{\omega^{\omega^{...}}}$ 으로 주어지며, $\varepsilon_{0}$ 로 불린다. $\varepsilon_{0}$ 은 $\omega^{\varepsilon}=\varepsilon$ 의 가장 작은 해이며, 다음 해 $\varepsilon_{1}, ...,\varepsilon_{\omega}, ...,\varepsilon_{\varepsilon_{0}}, ...$ 는 훨씬 더 큰 서수를 제공하며, $\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{...}}}$ 의 극한에 도달할 때까지 따를 수 있으며, 이는 $\varepsilon_{\alpha}=\alpha$ 의 첫 번째 해이다.

3. 역사

게오르크 칸토어가 19세기 말에 처음 도입하였다.

4. 예시

칸토어의 순서수 이론에 따르면, 모든 정수는 후속자를 가진다. 가장 작은 초한 순서수 $\omega$ 는 표준적인 순서를 갖춘 양의 정수의 집합 $1<2<\cdots$ 에 대응한다. 그 다음 순서수 $\omega+1$ 는 $1<2<\cdots<\omega$ 에 대응하며, $\omega+2$ 는 $1<2<\cdots<\omega<\omega+1$ 에 대응한다. 처음 몇 초한 순서수들은 다음과 같다.

: $\omega,\omega+1,\dots,\omega2,\omega2+1,\dots,\omega3,\omega3+1,\dots,\omega^2,\dots,\omega^3,\dots,\omega^\omega,\dots,\omega^{\omega^\omega},\dots$

$\omega$ 를 포함하는 산술식은 순서수를 나타내며, 그 숫자까지의 모든 정수 집합으로 생각할 수 있다. 주어진 숫자는 일반적으로 그것을 나타내는 여러 표현식을 갖지만, 고유한 칸토어 정규형이 존재한다.

그러나 모든 무한 정수가 칸토어 정규형으로 표현될 수 있는 것은 아니며, 표현할 수 없는 첫 번째 극한은 $\omega^{\omega^{\omega^{...}}}$ 으로 주어지며, $\varepsilon_{0}$ 로 불린다. $\varepsilon_{0}$ 은 $\omega^{\varepsilon}=\varepsilon$ 의 가장 작은 해이다.

5. 연속체 가설

연속체 가설은 $\aleph_0$ (알레프-0)과 연속체의 기수 (실수 집합의 기수) 사이에 중간 기수가 없다는 명제이다. 또는 동등하게 $\aleph_1$ (알레프-1)이 실수 집합의 기수라는 것이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 연속체 가설과 그 부정은 모두 증명할 수 없다.

6. 다른 수 체계와의 관계

모든 유한 자연수는 서수와 기수, 최소한 두 가지 방식으로 사용될 수 있다. 기수는 집합의 크기를 지정하는 반면(예: 구슬 다섯 개가 들어 있는 가방), 서수는 정렬된 집합 내에서 구성원의 순서를 지정한다. (예: "왼쪽에서 세 번째 사람" 또는 "1월 27일"). 이 두 개념은 무한수를 포함하도록 확장될 때 더 이상 일대일 대응 관계가 아니다. 무한 기수는 무한히 큰 집합의 크기를 설명하는 데 사용되는 반면, 무한 서수는 정렬된 무한히 큰 집합 내의 위치를 설명하는 데 사용된다. 가장 주목할 만한 서수와 기수는 각각 다음과 같다.

* $\omega$ (오메가): 가장 작은 무한 서수. 이는 또한 일반적인 선형 순서에 따른 자연수의 순서 유형이기도 하다.
* $\aleph_0$ (알레프-0): 첫 번째 무한 기수. 이는 또한 자연수의 기수이기도 하다. 선택 공리가 성립한다면 다음으로 큰 기수는 알레프-1, $\aleph_1$ 이다. 그렇지 않다면 알레프-1과 비교할 수 없고 알레프-0보다 큰 다른 기수가 있을 수 있다. 어느 쪽이든, 알레프-0과 알레프-1 사이에는 기수가 없다.

연속체 가설은 $\aleph_0$ 과 연속체의 기수(실수 집합의 기수) 사이에는 중간 기수가 없다는 명제이다. 또는 동등하게 $\aleph_1$ 이 실수 집합의 기수라는 것이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 연속체 가설과 그 부정은 모두 증명할 수 없다.

무한 서수와 기수는 모두 자연수만을 일반화하지만, 초실수와 초현실수를 포함한 다른 수 체계는 실수의 일반화를 제공한다.