초한수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기수 (Cardinal Number)
- 2.2. 순서수 (Ordinal Number)
3. 역사
4. 예시
5. 연속체 가설
6. 다른 수 체계와의 관계
참조

1. 개요

초한수는 자연수의 개념을 무한 집합으로 확장한 수로, 기수와 순서수로 나뉜다. 기수는 집합의 크기를 나타내며, 가장 작은 초한 기수는 알레프-0이다. 순서수는 정렬된 무한 집합 내의 위치를 나타내며, 가장 작은 초한 순서수는 ω이다. 초한수의 개념은 게오르크 칸토어에 의해 처음 도입되었으며, 연속체 가설과 관련이 있다.

2. 정의

초한수는 유한 집합의 크기나 순서를 나타내는 자연수의 개념을 무한 집합으로 확장한 것이다. 모든 유한 자연수는 기수와 서수, 두 가지 방식으로 사용될 수 있다. 기수는 집합의 크기를 지정하고(예: 5개의 구슬), 서수는 정렬된 집합 내에서 구성원의 순서를 지정한다^[9](예: "왼쪽에서 세 번째 사람"). 무한수를 포함하도록 확장될 때 이 두 개념은 더 이상 일대일 대응 관계가 아니다. 무한 기수는 무한히 큰 집합의 크기를 설명하는 데 사용되는 반면,^[2] 무한 서수는 정렬된 무한히 큰 집합 내의 위치를 설명하는 데 사용된다.^[9]

가장 주목할 만한 서수와 기수는 각각 다음과 같다.

$\omega$ (오메가): 가장 작은 무한 서수. 이는 또한 일반적인 선형 순서에 따른 자연수의 순서 유형이기도 하다.
$\aleph_0$ (알레프-0): 첫 번째 무한 기수. 이는 또한 자연수의 기수이기도 하다. 선택 공리가 성립한다면 다음으로 큰 기수는 알레프-1 ( $\aleph_1$ )이다. 그렇지 않다면 알레프-1과 비교할 수 없고 알레프-0보다 큰 다른 기수가 있을 수 있다. 어느 쪽이든, 알레프-0과 알레프-1 사이에는 기수가 없다.

연속체 가설은

\aleph_0

과 연속체의 기수 (실수 집합의 기수) 사이에는 중간 기수가 없다는 명제이다.^[2] 또는 동등하게

\aleph_1

이 실수 집합의 기수라는 것이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 연속체 가설과 그 부정은 모두 증명할 수 없다.

P. 서페스 및 J. 루빈을 포함한 일부 저자는 "무한 기수"라는 용어를 "무한 기수"와 동일하지 않을 수 있는 맥락, 즉 가산 선택 공리가 가정되지 않거나 성립하는지 알 수 없는 맥락에서 데데킨트 무한 집합의 기수를 지칭하는 데 사용한다. 이 정의에 따르면 다음은 모두 동일하다.

$\mathfrak{m}$ 은 무한 기수이다. 즉, $A$ 의 기수가 $\mathfrak{m}$ 인 데데킨트 무한 집합 $A$ 가 있다.
$\mathfrak{m} + 1 = \mathfrak{m}.$
$\aleph_0 \leq \mathfrak{m}.$
$\aleph_0 + \mathfrak{n} = \mathfrak{m}.$ 인 기수 $\mathfrak{n}$ 이 있다.

무한 서수와 기수는 모두 자연수만 일반화하지만, 초실수와 초현실수를 포함한 다른 수 체계는 실수의 일반화를 제공한다.^[10]

2. 1. 기수 (Cardinal Number)

칸토어가 정의한 기수는 집합에서 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재하면 서로 같다고 본다. 가장 작은 초한 기수

\aleph_0

(알레프 0)은 모든 자연수의 집합에 대응한다. 선택 공리가 성립한다면 다음으로 큰 기수는 알레프-1 (

\aleph_1

)이다.^[23] 그렇지 않다면 알레프-1과 비교할 수 없고 알레프-0보다 큰 다른 기수가 있을 수 있다. 어느 쪽이든, 알레프-0과 알레프-1 사이에는 기수가 없다.

모든 유한 자연수는 기수와 서수, 두 가지 방식으로 사용될 수 있다. 기수는 집합의 크기를 지정하고(예: 5개의 구슬), 서수는 정렬된 집합 내에서 구성원의 순서를 지정한다.^[9] (예: "왼쪽에서 세 번째 사람"). 무한수를 포함하도록 확장될 때 이 두 개념은 더 이상 일대일 대응 관계가 아니다. 무한 기수는 무한히 큰 집합의 크기를 설명하는 데 사용된다.^[2]

2. 2. 순서수 (Ordinal Number)

칸토어가 정의한 순서수는 모든 부분 집합이 최소 원소를 갖는 모든 쌍의 원소가 비교 가능한 순서가 부여된 집합이며, 둘 사이에 순서를 보존하는 일대일 대응이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는 개념이다.^[23] 가장 작은 초한 순서수

\omega

는 표준적인 순서를 갖춘 양의 정수의 집합

1<2<\cdots

에 대응하는 순서수이다. 그 다음 순서수

\omega+1

는

1<2<\cdots<\omega

에 대응하는 순서수이며, 그 다음 순서수

\omega+2

는

1<2<\cdots<\omega<\omega+1

에 대응한다. 처음 몇 초한 순서수들은 다음과 같다.^[23]

:

\omega,\omega+1,\dots,\omega2,\omega2+1,\dots,\omega3,\omega3+1,\dots,\omega^2,\dots,\omega^3,\dots,\omega^\omega,\dots,\omega^{\omega^\omega},\dots

모든 유한 자연수는 서수와 기수, 두 가지 방식으로 사용될 수 있다. 기수는 집합의 크기를 지정하고(예: 구슬 5개), 서수는 정렬된 집합 내에서 구성원의 순서를 지정한다(예: "왼쪽에서 세 번째 사람"). 이 두 개념은 무한수를 포함하도록 확장될 때 더 이상 일대일 대응 관계가 아니다. 무한 기수는 무한히 큰 집합의 크기를 설명하는 데 사용되는 반면,^[2] 무한 서수는 정렬된 무한히 큰 집합 내의 위치를 설명하는 데 사용된다.^[9] 가장 주목할 만한 서수는 다음과 같다.

$\omega$ (오메가): 가장 작은 무한 서수. 이는 또한 일반적인 선형 순서에 따른 자연수의 순서 유형이기도 하다.

칸토어의 서수 이론에서 모든 정수는 후속자를 가져야 한다.^[11] 모든 일반적인 숫자 다음, 즉 첫 번째 무한 정수는

\omega

로 명명된다. 이 맥락에서,

\omega+1

은

\omega

보다 크고,

\omega\cdot2

,

\omega^{2}

및

\omega^{\omega}

은 훨씬 더 크다.

\omega

를 포함하는 산술식은 서수를 지정하며, 그 숫자까지의 모든 정수 집합으로 생각할 수 있다. 주어진 숫자는 일반적으로 그것을 나타내는 여러 표현식을 갖지만, 본질적으로

\omega

의 내림차순 거듭제곱의 계수를 제공하는 일련의 숫자인 고유한 칸토어 정규형이 있다.^[11]

그러나 모든 무한 정수가 칸토어 정규형으로 표현될 수 있는 것은 아니며, 표현할 수 없는 첫 번째는 극한

\omega^{\omega^{\omega^{...}}}

으로 주어지며,

\varepsilon_{0}

로 불린다.^[11]

\varepsilon_{0}

은

\omega^{\varepsilon}=\varepsilon

의 가장 작은 해이며, 다음 해

\varepsilon_{1}, ...,\varepsilon_{\omega}, ...,\varepsilon_{\varepsilon_{0}}, ...

는 훨씬 더 큰 서수를 제공하며,

\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{...}}}

의 극한에 도달할 때까지 따를 수 있으며, 이는

\varepsilon_{\alpha}=\alpha

의 첫 번째 해이다.

3. 역사

게오르크 칸토어가 19세기 말에 처음 도입하였다.^[23]

4. 예시

칸토어의 순서수 이론에 따르면, 모든 정수는 후속자를 가진다.^[11] 가장 작은 초한 순서수 $\omega$ 는 표준적인 순서를 갖춘 양의 정수의 집합 $1<2<\cdots$ 에 대응한다. 그 다음 순서수 $\omega+1$ 는 $1<2<\cdots<\omega$ 에 대응하며, $\omega+2$ 는 $1<2<\cdots<\omega<\omega+1$ 에 대응한다. 처음 몇 초한 순서수들은 다음과 같다.^[23]

: $\omega,\omega+1,\dots,\omega2,\omega2+1,\dots,\omega3,\omega3+1,\dots,\omega^2,\dots,\omega^3,\dots,\omega^\omega,\dots,\omega^{\omega^\omega},\dots$

$\omega$ 를 포함하는 산술식은 순서수를 나타내며, 그 숫자까지의 모든 정수 집합으로 생각할 수 있다. 주어진 숫자는 일반적으로 그것을 나타내는 여러 표현식을 갖지만, 고유한 칸토어 정규형이 존재한다.^[11]

그러나 모든 무한 정수가 칸토어 정규형으로 표현될 수 있는 것은 아니며, 표현할 수 없는 첫 번째 극한은 $\omega^{\omega^{\omega^{...}}}$ 으로 주어지며, $\varepsilon_{0}$ 로 불린다.^[11] $\varepsilon_{0}$ 은 $\omega^{\varepsilon}=\varepsilon$ 의 가장 작은 해이다.

5. 연속체 가설

연속체 가설은 $\aleph_0$ (알레프-0)과 연속체의 기수 (실수 집합의 기수) 사이에 중간 기수가 없다는 명제이다.^[2] 또는 동등하게 $\aleph_1$ (알레프-1)이 실수 집합의 기수라는 것이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 연속체 가설과 그 부정은 모두 증명할 수 없다.

6. 다른 수 체계와의 관계

모든 유한 자연수는 서수와 기수, 최소한 두 가지 방식으로 사용될 수 있다. 기수는 집합의 크기를 지정하는 반면(예: 구슬 다섯 개가 들어 있는 가방), 서수는 정렬된 집합 내에서 구성원의 순서를 지정한다.^[9] (예: "왼쪽에서 세 번째 사람" 또는 "1월 27일"). 이 두 개념은 무한수를 포함하도록 확장될 때 더 이상 일대일 대응 관계가 아니다. 무한 기수는 무한히 큰 집합의 크기를 설명하는 데 사용되는 반면,^[2] 무한 서수는 정렬된 무한히 큰 집합 내의 위치를 설명하는 데 사용된다.^[9] 가장 주목할 만한 서수와 기수는 각각 다음과 같다.

$\omega$ (오메가): 가장 작은 무한 서수. 이는 또한 일반적인 선형 순서에 따른 자연수의 순서 유형이기도 하다.
$\aleph_0$ (알레프-0): 첫 번째 무한 기수. 이는 또한 자연수의 기수이기도 하다. 선택 공리가 성립한다면 다음으로 큰 기수는 알레프-1, $\aleph_1$ 이다. 그렇지 않다면 알레프-1과 비교할 수 없고 알레프-0보다 큰 다른 기수가 있을 수 있다. 어느 쪽이든, 알레프-0과 알레프-1 사이에는 기수가 없다.

연속체 가설은

\aleph_0

과 연속체의 기수(실수 집합의 기수) 사이에는 중간 기수가 없다는 명제이다.^[2] 또는 동등하게

\aleph_1

이 실수 집합의 기수라는 것이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 연속체 가설과 그 부정은 모두 증명할 수 없다.

무한 서수와 기수는 모두 자연수만을 일반화하지만, 초실수와 초현실수를 포함한 다른 수 체계는 실수의 일반화를 제공한다.^[10]

참조

_[1] 웹사이트 Definition of transfinite number {{!}} Dictionary.com https://www.dictiona[...] 2019-12-04
_[2] 웹사이트 Transfinite Numbers and Set Theory https://www.math.uta[...] 2019-12-04
_[3] 웹사이트 Georg Cantor {{!}} Biography, Contributions, Books, & Facts https://www.britanni[...] 2019-12-04
_[4] 논문 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1) http://www.digizeits[...] 1895-11
_[5] 논문 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2) http://www.digizeits[...] 1897-07
_[6] 서적 Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers https://www.maths.ed[...] Dover Publications, Inc.
_[7] 간행물 Review of ''Cardinal and Ordinal Numbers'' (1st ed.)
_[8] 간행물 Review of ''Cardinal and Ordinal Numbers'' (2nd ed.) 1966-12
_[9] 웹사이트 Ordinal Number http://mathworld.wol[...] 2023-05-03
_[10] 간행물 Transfinite function iteration and surreal numbers
_[11] 서적 On Numbers and Games Academic Press
_[12] 웹사이트 Definition of transfinite number {{!}} Dictionary.com https://www.dictiona[...] 2019-12-04
_[13] 웹사이트 Transfinite Numbers and Set Theory https://www.math.uta[...] 2019-12-04
_[14] 웹사이트 Georg Cantor {{!}} Biography, Contributions, Books, & Facts https://www.britanni[...] 2019-12-04
_[15] 논문 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1) http://www.digizeits[...] 1895-11
_[16] 논문 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2) http://www.digizeits[...] 1897-07
_[17] 서적 Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers https://www.maths.ed[...] Dover Publications, Inc.
_[18] 웹사이트 Ordinal Number http://mathworld.wol[...] 2019-12-04
_[19] 웹사이트 Transfinite Numbers and Set Theory https://www.math.uta[...] 2019-12-04
_[20] 웹사이트 Transfinite Numbers and Set Theory https://www.math.uta[...] 2019-12-04
_[21] 간행물 Transfinite function iteration and surreal numbers
_[22] 서적 On Numbers and Games Academic Press
_[23] 서적

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