상대 속도

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1. 개요

상대 속도는 한 물체 또는 관찰자가 다른 물체 또는 관찰자를 기준으로 측정하는 속도이다. 고전역학에서는 갈릴레이 변환을 사용하여 상대 속도를 계산하며, 두 속도를 더하여 구할 수 있다. 그러나 특수 상대성 이론에서는 빛의 속도에 가까워질수록 이러한 계산 방식이 적용되지 않으며, 상대론적 속도 덧셈 공식을 사용해야 한다. 상대론적 상대 속도는 평행, 수직, 일반적인 경우에 따라 다른 공식으로 계산된다.

상대 속도

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1. 개요
2. 고전역학에서의 상대 속도
3. 특수 상대성 이론에서의 상대 속도
- 3.1. 평행한 속도
- 3.2. 수직인 속도

2. 고전역학에서의 상대 속도

고전역학에서 상대 속도는 두 속도의 벡터 차이로 계산된다. 이는 일상생활에서 경험하는 속도의 덧셈, 뺄셈과 일치한다.

-- 예를 들어 기차 안에서 사람이 걷는 경우, 지면에 대한 사람의 속도는 사람의 속도와 기차의 속도를 더하여 계산한다. 이는 갈릴레이 변환을 통해 설명할 수 있다.

: $\mathbf v_{M\mid E} = \mathbf v_{M\mid T} + \mathbf v_{T\mid E}$

여기서,

* $\mathbf v_{M\mid E}$ 는 지구(Earth)에 대한 사람(Man)의 속도
* $\mathbf v_{M\mid T}$ 는 기차(Train)에 대한 사람(Man)의 속도
* $\mathbf v_{T\mid E}$ 는 지구(Earth)에 대한 기차(Train)의 속도

"B에 대한 A의 속도"는 "B가 항상 정지해 있는 좌표계에서 A의 속도"를 포함한다.

2차원 평면에서 일정한 속도로 움직이는 두 물체 A와 B의 상대속도는 다음과 같다.

:\mathbf v_{B\mid A}=\mathbf v_B-\mathbf v_A.

2.1. 1차원 (비상대론적)

속도가 빛의 속도보다 매우 작은 경우(고전역학 또는 비-상대론적 또는 뉴턴 근사)에서 상대 속도는 두 속도의 단순 합으로 계산할 수 있다. 예를 들어, -- 기차 안에서 사람이 걷는 경우, 사람의 속도와 기차의 속도를 더하면 지면에 대한 사람의 속도를 얻을 수 있다. 이는 갈릴레이 변환을 통해 설명된다. 그림을 보면 기차의 맨 뒤 가장자리에 있는 남자가 있다. 오후 1시에 그는 시속 10km의 속도로 앞으로 걷기 시작한다. 기차는 시속 40km로 이동하고 있다. 그림은 여정이 시작된 때와 1시간 후인 오후 2시의 남자와 기차를 묘사한다. 그림은 남자가 한 시간 동안 (걷고 기차를 타서) 이동한 후 출발 지점에서 50km 떨어져 있음을 시사한다. 이것은 정의에 따라 시속 50km이며, 이러한 방식으로 상대 속도를 계산하는 방법은 두 속도를 더하는 것임을 시사한다.

이 계산의 논리가 완벽해 보이지만, 이 다이어그램은 시계와 자의 동작에 대한 잘못된 가정을 하고 있음을 시계와 자를 통해 보여준다. (기차와 플랫폼 사고 실험 참조). 상대 운동의 이 고전역학 모델이 특수 상대성 이론을 위반한다는 것을 인식하기 위해 이 예를 방정식으로 일반화하면 다음과 같다.

: $\underbrace{\mathbf v_{M\mid E}}_\text{50 km/h} = \underbrace{\mathbf v_{M\mid T}}_\text{10 km/h} + \underbrace{\mathbf v_{T\mid E}}_\text{40 km/h},$

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다.

* $\mathbf v_{M\mid E}$ 는 지구(Earth)에 대한 남자(Man)의 속도
* $\mathbf v_{M\mid T}$ 는 기차(Train)에 대한 남자(Man)의 속도
* $\mathbf v_{T\mid E}$ 는 지구(Earth)에 대한 기차(Train)의 속도

"B에 대한 A의 속도"는 "B에 대한 A의 속도"와 "B가 항상 정지해 있는 좌표계에서 A의 속도"를 포함한다. 특수 상대성 이론의 위반은 상대 속도에 대한 이 방정식이 서로 다른 관찰자가 빛의 움직임을 관찰할 때 서로 다른 속도를 측정할 것이라고 잘못 예측하기 때문에 발생한다.

2.2. 2차원 (비상대론적)

2차원 평면에서 일정한 속도로 움직이는 두 물체 A와 B의 운동 방정식은 다음과 같다.

:\mathbf r_A=\mathbf r_{Ai}+\mathbf v_A t,

:\mathbf r_B=\mathbf r_{Bi}+ \mathbf v_B t,

여기서 아래 첨자 i는 초기 변위(시간 t가 0일 때)를 나타낸다. A에서 보았을 때 B의 위치를 나타내는 두 변위 벡터의 차이 \mathbf r_B-\mathbf r_A는 다음과 같다.

: \mathbf r_B-\mathbf r_A= \underbrace{\mathbf r_{Bi}-\mathbf r_{Ai}}_\text{초기 분리} + \underbrace{(\mathbf v_B-\mathbf v_A ) t}_\text{상대 속도}.

따라서 상대속도는 다음과 같다.

:\mathbf v_{B\mid A}=\mathbf v_B-\mathbf v_A.

\mathbf v_{A|C}=\mathbf v_A 및 \mathbf v_{B|C}=\mathbf v_B를 대입하면 다음을 얻는다.

: \mathbf v_{B\mid A} = \mathbf v_{B\mid C}-\mathbf v_{A\mid C} \Rightarrow \mathbf v_{B\mid C}=\mathbf v_{B\mid A} +\mathbf v_{A\mid C}.

2.3. 갈릴레이 변환 (비상대론적)

고전역학(또는 비-상대론적 뉴턴 근사)에서 상대 운동은 갈릴레이 변환과 관련이 있다. 이 변환에 따르면, 상대 속도는 두 좌표계의 상대 속도와 각 물체의 속도를 이용하여 계산할 수 있다.

예를 들어, 기차가 시속 40km로 이동하고 있고, 기차 안의 사람이 시속 10km로 걷고 있다면, 지면에 대한 사람의 속도는 두 속도를 더한 시속 50km가 된다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

: $\mathbf v_{M\mid E} = \mathbf v_{M\mid T} + \mathbf v_{T\mid E}$

여기서,

* $\mathbf v_{M\mid E}$ 는 지구(Earth)에 대한 사람(Man)의 속도,
* $\mathbf v_{M\mid T}$ 는 기차(Train)에 대한 사람(Man)의 속도,
* $\mathbf v_{T\mid E}$ 는 지구(Earth)에 대한 기차(Train)의 속도이다.

"B에 대한 A의 속도"는 "B가 항상 정지해 있는 좌표계에서 A의 속도"를 의미한다.

1차원 갈릴레이 변환은 다음과 같다.

: $x'=x-vt$
: $t'=t$

여기서 x'는 "소수점이 없는"(x) 기준 프레임에서 속도 v로 이동하는 기준 프레임에서 본 위치이다.

위 식을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

: $\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx}{dt}-v$

상대 속도 공식을 일반화하면 다음과 같다.

: $v_{A\mid O'}= v_{A\mid O}-v_{O'\mid O} \Rightarrow v_{A\mid O} = v_{A\mid O'} + v_{O'\mid O}$

여기서,
* $O$ 와 $O'$ 는 각각 소수점이 없는 프레임과 소수점이 있는 프레임에서 관찰자가 본 A의 운동을 나타낸다.

3. 특수 상대성 이론에서의 상대 속도

특수 상대성 이론에서 상대 속도 $\mathbf v_\mathrm{B|A}$ 는 다른 물체 또는 관찰자 A의 정지 좌표계에서 물체 또는 관찰자 B의 속도이다. 그러나 고전 역학과 달리, 일반적으로 다음이 성립하지 않는다.

: $\mathbf v_\mathrm{B|A}=-\mathbf v_\mathrm{A|B}$

이러한 비대칭성은 토마스 세차와 두 개의 연속적인 로렌츠 변환이 좌표계를 회전시킨다는 사실과 관련이 있다. 이 회전은 벡터의 크기에 영향을 미치지 않으므로 상대적인 속력은 대칭적이다.

: $\|\mathbf v_\mathrm{B|A}\|=\|\mathbf v_\mathrm{A|B}\|=v_\mathrm{B|A}=v_\mathrm{A|B}$

3.1. 평행한 속도

두 물체가 평행한 방향으로 움직이는 경우, 상대론적 상대 속도 공식은 상대론적 속도 합에 대한 공식과 형태가 유사하다.

: $\mathbf v_\mathrm{B|A}=\frac{\mathbf v_\mathrm{B}-\mathbf v_\mathrm{A}}{1-\frac{\mathbf v_\mathrm{A}\mathbf v_\mathrm{B}}{c^2}}$

상대 속도는 다음 공식으로 주어진다.

: $v_\mathrm{B|A}=\frac{\left | \mathbf v_\mathrm{B}-\mathbf v_\mathrm{A}\right | }{1-\frac{\mathbf v_\mathrm{A}\mathbf v_\mathrm{B}}{c^2}}$

3.2. 수직인 속도

고전 역학과 마찬가지로 특수 상대성 이론에서 상대 속도 $\mathbf v_\mathrm{B|A}$ 는 다른 물체 또는 관찰자 A의 정지 좌표계에서 물체 또는 관찰자 B의 속도이다.

두 물체가 서로 수직 방향으로 움직이는 경우, 상대론적 상대 속도 $\mathbf v_\mathrm{B|A}$ 는 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다.

: $\mathbf v_\mathrm{B|A}={\frac{\mathbf v_\mathrm{B}}{\gamma_\mathrm{A}}}-\mathbf v_\mathrm{A}$

여기서,

: $\gamma_\mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v_\mathrm{A}}{c} \right)^2}}$

상대 속력은 다음 공식으로 주어진다.

: $v_\mathrm{B|A} = \frac{\sqrt{c^4 - \left(c^2-v_\mathrm{A}^2\right) \left(c^2 -v_\mathrm{B}^2\right)}}{c}$