고전역학

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1. 개요

고전역학은 과학, 공학, 기술 분야에서 광범위하게 사용되는 역학의 한 분야로, 자연을 지배하는 원리를 탐구하는 학문이다. 아리스토텔레스의 '아리스토텔레스 물리학'에서 시작되어 뉴턴의 운동 법칙을 통해 발전했으며, 라그랑주 역학, 해밀턴 역학 등의 해석역학이 등장하며 더욱 추상적인 형태로 발전했다. 19세기 후반에는 전자기 이론과의 문제점과 특수 상대성 이론, 양자 역학의 발달로 인해 고전역학은 양자 역학의 근사 이론으로 간주된다. 고전역학은 정역학, 운동학, 동역학으로 구분되며, 힘, 에너지, 운동량 등의 개념을 통해 물체의 운동을 설명한다. 또한, 천체역학, 연속체역학, 상대론적 역학, 통계역학 등 다양한 분야에 적용되며, 특수 상대성 이론 및 양자 역학과도 밀접한 관련을 맺고 있다.

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고전역학
고전 역학
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2. 역사

고대 그리스 철학자들 중 아리스토텔레스는 "모든 일에는 이유가 있다"는 생각과 이론적 원리가 자연 이해에 도움이 될 수 있다는 생각을 주장한 최초의 인물일 것이다.^[19] 그러나 현대적인 관점에서 볼 때, 수학적 이론과 통제된 실험이 부족했다는 점이 두드러진다.

아이작 뉴턴은 프린키피아에서 세 가지 운동법칙을 처음으로 제안했으며, 이 법칙들이 일상적인 물체나 천체의 움직임을 지배한다는 것을 증명했다. 뉴턴은 운동량 보존과 각운동량 보존의 원리 또한 발표하였고, 뉴턴의 만유인력의 법칙에서 중력에 대한 최초의 정확한 과학적 및 수학적 공식을 제공하였다. 뉴턴의 운동 법칙과 중력의 결합은 고전 역학에 대한 가장 완전하고 정확한 설명을 제공한다. 그는 이 법칙들이 일상적인 물체뿐만 아니라 천체에도 적용됨을 보여주었다. 특히 그는 케플러의 법칙 행성 운동에 대한 이론적 설명을 얻었다.^[33]

뉴턴 이후, 고전역학은 라그랑주 역학, 해밀턴 역학과 같이 더욱 수학적이고 추상적인 방향으로 발전했다. 1788년 조제프 루이 라그랑주는 최초의 주목할 만한 수학적 처리를 제시했고, 1833년 윌리엄 로언 해밀턴은 라그랑주 역학을 재공식화했다.

3. 이론 세부 설명

고전 역학에서는 실제 물체를 크기를 무시할 수 있는 질점으로 단순화하여 모델링한다. 질점의 운동은 위치, 질량, 작용하는 힘과 같은 소수의 매개변수로 결정된다. 이러한 맺음변수에는 위치, 질량, 그리고 점입자에 가해지는 힘 등이 있다.

고전 역학은 물질과 에너지가 공간에서의 위치와 속도와 같은 명확하고 알 수 있는 속성을 갖는다고 가정하며, 힘이 순간적으로 작용한다고 가정한다.(원격작용 참조)

실제로 고전 역학으로 기술할 수 있는 물체는 크기를 가지고 있다. 진짜 점입자들(예: 전자)은 양자 역학에 의해 잘 설명될 수 있다. 크기를 가진 물체들은 점입자보다 훨씬 복잡한 운동 형태를 가지는데, 이는 내부 구조가 다른 운동 형태를 가질 수 있기 때문이다. 예를 들어 투수가 회전을 걸어 던진 야구공과 같은 경우가 그 예시이다. 그러나 야구공과 같은 물체를 서로 상호작용하는 수많은 입자의 집합체로 생각하여 점입자에 대해 얻은 결과를 적용할 수 있다.

뉴턴은 힘과 운동량 사이의 관계를 수학적으로 최초로 표현하였다. 뉴턴의 운동 제2법칙은 힘과 질량의 정의로 해석되기도 하고, 기본적인 가정 또는 자연 법칙으로 간주되기도 한다.^[15]

힘 '''F'''를 한 입자에 주게 되면 입자는 변위 δ'''r'''만큼 움직이며 이 힘에 의해 ''행하여진 일''은 스칼라 양으로 표현할 수 있다.

라그랑지안 역학과 해밀토니안 역학은 고전역학에 대응하는 두 가지 중요한 체계이다. 이 둘은 뉴턴 역학과 동등하지만, 문제를 풀 때 더 유용한 경우가 있다. 이들과 현대 물리학 체계들은 보통 힘이라는 개념을 우회하여 에너지와 같은 다른 물리량을 사용하여 역학계를 다룬다.

3. 1. 위치와 위치의 도함수

점입자의 ''위치''는 공간 내의 임의의 고정된 한 점인 원점 '''O'''를 기준으로 정해지며, 원점 '''O'''에서 입자까지의 벡터 '''r'''로 정의된다. 점입자는 일반적으로 움직이므로 '''r'''은 시간 ''t''의 함수이다. 아인슈타인 이전의 상대성(갈릴레이 상대성)에서는 시간을 모든 기준틀에서 절대적인 것으로 보았다.

고전역학은 종종 실제 물체를 크기가 무시할 수 있는 질점으로 단순화하여 모델링한다. 질점의 운동은 위치, 질량, 작용하는 힘과 같은 소수의 매개변수로 결정된다.

고전역학은 물질과 에너지가 공간에서의 위치와 속도와 같은 명확하고 알 수 있는 속성을 갖는다고 가정한다. 또한, 힘이 순간적으로 작용한다고 가정한다.(원격작용 참조)

kg, m, s를 사용하는 SI 유도 단위 (역학)
단위	설명
m	위치
무차원 (라디안)	각 위치/각도
m·s⁻¹	속도
s⁻¹	각속도
m·s⁻²	가속도
s⁻²	각가속도
m·s⁻³	가속도의 시간변화율
s⁻³	"각 가속도의 시간변화율"
m²·s⁻²	비에너지
m²·s⁻³	흡수선량률
kg·m²	관성 모멘트
kg·m·s⁻¹	운동량
kg·m²·s⁻¹	각운동량
kg·m·s⁻²	힘
kg·m²·s⁻²	토크
kg·m²·s⁻²	에너지
kg·m²·s⁻³	일률
kg·m⁻¹·s⁻²	압력 및 에너지 밀도
kg·s⁻²	표면 장력
kg·s⁻²	용수철 상수
kg·s⁻³	조도 및 에너지 플럭스
m²·s⁻¹	동점성계수
kg·m⁻¹·s⁻¹	점성계수
kg·m⁻³	밀도 (질량 밀도)
kg·m⁻²·s⁻²	비중량 (중량 밀도)
m⁻³	수밀도
kg·m²·s⁻¹	작용

점입자의 ''위치''는 임의의 고정된 기준점을 원점 ''O''로 하는 좌표계를 기준으로 정의된다. 일반적으로 점입자는 ''O''에 대해 정지해 있지 않다. ''P''가 ''O''에 대해 움직이는 경우, '''r'''은 시간 ''t''의 함수로 정의된다.

3. 1. 1. 속도

속도는 시간에 따른 위치의 변화율로, 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{v} = {d\mathbf{r} \over dt}

.

아인슈타인 이전의 상대성에서는 속도를 직접 더하거나 뺄 수 있다. 예를 들어, 자동차 A가 60km/h의 속도로 50km/h의 속도로 달리는 다른 자동차 B 옆을 지나간다고 가정해 보자. 이때 자동차 A의 관점에서 보면, 자동차 A는 10km/h (60km/h - 50km/h)로 달리는 자동차 B의 옆을 지나가는 것이다.

수학적으로 표현하면, 자동차 B의 기준좌표계의 속도를 벡터 '''u''' = ''u'''''x''' ('''x'''는 x 방향의 단위벡터)로 정의할 때, 자동차 A가 바라보는 자동차 B의 속도는 다음과 같다.

:

\mathbf{v'} = \mathbf{v} - \mathbf{u}

3. 1. 2. 가속도

''가속도''는 속도의 변화율이며, 시간에 대한 속도의 미분(시간에 대한 이계도함수)이다.

:

\mathbf{a} = {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d^2}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t^2}.

가속도는 시간에 따른 속도의 변화를 나타낸다. 속도는 크기나 방향, 또는 이 둘 모두가 변할 수 있다. 속도의 크기가 줄어드는 것을 ''감속''이라고 부르기도 하지만, 일반적으로 감속을 포함한 시간에 따른 속도의 모든 변화를 가속도라고 한다.

3. 1. 3. 기준틀

두 기준틀 S와 S'를 생각해 보자. S'는 S에 대해 상대속도 u로 움직인다. S와 S'에서 각각 어떤 사건(event)을 관찰한다고 할 때, 두 기준틀에서 관찰되는 사건 사이의 연관성은 다음과 같다.

쉽게 이해하기 위해, 질량 m을 가진 물체가 운동하는 상황을 예로 들어보자. S에는 당신이 있고, S'에는 당신의 친구가 속도 u로 달리고 있다. 당신이 보는 물체의 속도는 v이고, 친구가 보는 속도는 v'이다. 이때 v와 v'의 관계는 다음과 같다.

'''v'''' = '''v''' - '''u''' (u는 기준틀 사이의 상대속도)
'''a'''' = '''a''' (입자의 가속도는 기준틀에 상관없이 모두 같다.)
'''F'''' = '''F''' ('''F''' = ''m'''''a''' 이므로) (입자에 작용하는 힘은 기준틀에 상관없이 모두 같다; 뉴턴 법칙 참고)
광속은 일정하지 않다.
맥스웰 방정식의 모양은 다른 기준틀에서 같은 모양을 유지하지 않는다.

입자의 위치, 속도, 가속도는 어떤 운동 상태의 관측자에 대해서도 기술될 수 있지만, 고전역학은 자연의 역학 법칙이 비교적 단순한 형태를 취하는 특수한 기준틀, 즉 관성 기준틀의 존재를 가정한다. 관성 기준틀은 그 안에서 작용하는 알짜힘이 0인 물체가 정지해 있거나 등속도 운동하는 이상적인 기준틀이다. 관성 기준틀에서 뉴턴의 운동 법칙,

F=ma

가 성립한다.^[14]

비관성 기준틀은 다른 관성 기준틀에 대해 가속된다. 관성 기준틀에 대해 회전하는 기준틀은 관성 기준틀이 아니다. 비관성 기준틀에서는 기준틀 자체의 힘으로 설명되지 않는 방식으로 입자가 움직이는 것처럼 보인다. 따라서 상대 가속도의 결과로 운동 방정식에 추가적인 힘, 즉 겉보기힘 (관성력, 가상력)이 들어간다.

두 기준틀 ''S''와 S'에서, 각 기준틀의 관측자에게 어떤 사건은 ''S''에서 (''x'',''y'',''z'',''t'')의 시공간 좌표를, S'에서 (x',y',z',t')의 시공간 좌표를 갖는다. 모든 기준틀에서 시간이 동일하게 측정된다고 가정하고, x' = x 일 때 t= 0 이라면, ''x'' 방향으로 상대 속도 ''u''로 움직이는 S'와 ''S''에서 관측된 동일 사건의 시공간 좌표 관계는 다음과 같다.

:

\begin{align}x' &= x - tu,\\y' &= y, \\z' &= z, \\t' &= t.\end{align}

이 공식은 갈릴레이 변환(비공식적으로, 갈릴레이 변환)으로 알려진 군 변환을 정의한다. 이 군은 특수 상대성 이론에 사용되는 포앙카레 군의 극한 경우이다. 이 극한은 속도 ''u''가 광속 ''c''에 비해 매우 작을 때 적용된다.

변환 결과는 다음과 같다.

'''v'''′ = '''v''' − '''u''' (''S''′ 관점에서 입자의 속도 '''v'''′은 ''S'' 관점에서의 속도 '''v'''보다 '''u'''만큼 느리다)
'''a'''′ = '''a''' (입자의 가속도는 모든 관성 기준틀에서 동일하다)
'''F'''′ = '''F''' (입자에 작용하는 힘은 모든 관성 기준틀에서 동일하다)
고전역학에서 광속은 일정하지 않으며, 상대론적 역학에서 광속에 주어지는 특수한 위치는 고전역학에 상응하는 것이 없다.

회전 좌표(기준틀)를 사용하는 것이 편리한 문제도 있다. 이 경우, 편리한 관성 기준틀에 대한 매핑을 유지하거나, 추가적으로 가상의 원심력과 코리올리 힘을 도입할 수 있다.

3. 2. 힘; 뉴턴 제2법칙

뉴턴은 힘과 운동량 사이의 관계를 수학적으로 최초로 표현하였다. 뉴턴의 운동 제2법칙은 힘과 질량의 정의로 해석되기도 하고, 기본적인 가정 또는 자연 법칙으로 간주되기도 한다.^[15]

뉴턴의 제2법칙은 다음과 같다.

:

\mathbf{F} = {mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t} = {mathrm{d}(m \mathbf{v}) \over \mathrm{d}t}.

여기서 ''m'''''v'''는 (정준) 운동량을 나타낸다. 즉, 입자에 작용하는 알짜힘은 시간에 따른 입자의 운동량 변화율과 같다. 가속도의 정의(

\mathbf{a} =  \over {\mathrm{d}t}}

)를 이용하면 제2법칙은 다음과 같이 더 간단하게 표현될 수 있다.

:

\mathbf{F} = m \mathbf{a} \, .

입자에 작용하는 힘을 알고 있다면, 뉴턴의 제2법칙만으로 입자의 운동을 설명하기에 충분하다. 각 힘에 대한 독립적인 관계식을 뉴턴의 제2법칙에 대입하면 상미분 방정식을 얻을 수 있으며, 이를 ''운동 방정식''이라고 한다.

예를 들어, 마찰력만이 입자에 작용하는 유일한 힘이고, 이 힘이 입자의 속도의 함수로 모델링될 수 있다고 가정하면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{F}_{\rm R} = - \lambda \mathbf{v} \, ,

여기서 ''λ''는 양의 상수이고, 음의 부호는 힘이 속도의 방향과 반대임을 나타낸다. 그러면 운동 방정식은 다음과 같다.

:

- \lambda \mathbf{v} = m \mathbf{a} = m {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} \, .

이를 적분하면 다음을 얻는다.

:

\mathbf{v} = \mathbf{v}_0 e^

여기서 '''v'''₀는 초기 속도이다. 즉, 이 입자의 속도는 시간이 지남에 따라 지수적으로 0으로 감소한다. 이 경우, 입자의 운동 에너지가 마찰에 의해 흡수되어 에너지 보존 법칙에 따라 열에너지로 변환되고, 입자가 느려진다고 볼 수 있다. 이 식을 더 적분하면 시간의 함수로서 입자의 위치 '''r'''을 얻을 수 있다.

중요한 힘에는 중력과 전자기학에서의 로렌츠 힘이 있다. 또한, 뉴턴의 제3법칙을 사용하여 입자에 작용하는 힘을 추론할 수 있다. 예를 들어, 입자 ''A''가 다른 입자 ''B''에 힘 '''F'''를 작용하면, ''B''는 ''A''에 크기가 같고 방향이 반대인 반작용 −'''F'''를 작용한다.

3. 3. 에너지

힘 '''F'''를 한 입자에 주게 되면 입자는 변위 δ'''r'''만큼 움직이며 이 힘에 의해 ''행하여진 일''은 스칼라양으로 다음과 같다.

:

\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}

.

입자의 질량이 일정하다고 하고 그 입자에 행하여진 총 일은 δ''W''_total 이라고 한다면, 뉴턴의 두 번째 법칙에 의해 다음과 같은 등식을 얻을 수 있다.

:

\delta W_{\rm total} = \delta T

,

여기서 ''T''를 운동 에너지라고 부른다. 점입자의 경우 아래와 같이 정의된다.

:

T = {m |\mathbf{v}|^2 \over 2}

.

여러개의 입자로 구성된 물체의 운동에너지는 각각의 입자들의 운동에너지의 합으로 표현할 수 있다.

특별한 힘의 종류인 보존력은 퍼텐셜 에너지의 스칼라 함수 V의 그라디언트로 나타낼 수 있다.

:

\mathbf{F} = - \nabla V

.

입자에 작용하는 모든 힘이 보존력이라 하고 V를 총 퍼텐셜 에너지라하면 총 퍼텐셜 에너지는 입자에 작용하는 각 힘에 대응하는 퍼텐셜 에너지의 합으로 얻어낼 수 있다. 그러면,

:

\mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} = - \nabla V \cdot \delta \mathbf{r} = - \delta V

:

\Rightarrow - \delta V = \delta T

:

\Rightarrow \delta (T + V) = 0

.

이것이 에너지 보존 법칙이다. 그리고 총 에너지

E = T + V

는 시간에 대해서 상수이다. 우리가 보통 다루는 힘이 보존력이기 때문에 이 법칙은 유용하게 쓰이는 경우가 많다.

일정한 힘 '''F'''가 입자에 작용하여 변위 Δ'''r'''을 발생시키는 경우,^[1] 그 힘이 한 ''일''은 힘과 변위 벡터의 스칼라곱으로 정의된다.

:

W = \mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r} \, .

보다 일반적으로, 입자가 경로 ''C''를 따라 '''r'''₁에서 '''r'''₂로 이동하면서 힘이 위치의 함수로 변하는 경우, 입자에 대한 일은 선적분으로 주어진다.

:

W = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \, .

입자를 '''r'''₁에서 '''r'''₂로 이동시키는 데 드는 일이 경로에 관계없이 항상 같다면, 그 힘은 보존력이라고 한다. 중력은 보존력이며, 용수철에 의한 힘(훅의 법칙에 따름) 또한 보존력이다. 마찰에 의한 힘은 비보존력이다.

속도 ''v''로 이동하는 질량 ''m''의 입자의 운동 에너지 ''E''_k는 다음과 같이 주어진다.

:

E_\mathrm{k} = \tfrac{1}{2}mv^2 \, .

많은 입자로 구성된 확장된 물체의 경우, 복합체의 운동 에너지는 입자들의 운동 에너지의 합이다.

일-에너지 정리는 질량 ''m''이 일정한 입자의 경우, 입자가 위치 '''r'''₁에서 '''r'''₂로 이동할 때 입자에 가해지는 총일 ''W''는 입자의 운동 에너지 ''E''_k의 변화와 같다는 것을 명시한다.

:

W = \Delta E_\mathrm{k} = E_\mathrm{k_2} - E_\mathrm{k_1} = \tfrac{1}{2} m \left(v_2^{\, 2} - v_1^{\, 2}\right) .

보존력은 기울기로 표현될 수 있으며, 이는 스칼라 함수로, 퍼텐셜 에너지로 알려져 있으며 ''E''_p로 표시된다.

:

\mathbf{F} = - \mathbf{\nabla} E_\mathrm{p} \, .

입자에 작용하는 모든 힘이 보존적이고, ''E''_p가 각 힘에 해당하는 퍼텐셜 에너지를 합산하여 얻은 총 퍼텐셜 에너지(이는 물체의 상호 위치를 재배열하기 위해 관련된 힘의 일로 정의됨)인 경우

:

\mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r} = - \mathbf{\nabla} E_\mathrm{p} \cdot \Delta \mathbf{r} = - \Delta E_\mathrm{p} \, .

퍼텐셜 에너지의 감소는 운동 에너지의 증가와 같다.

:

-\Delta E_\mathrm{p} = \Delta E_\mathrm{k} \Rightarrow \Delta (E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p}) = 0 \, .

이 결과는 ''에너지 보존 법칙''으로 알려져 있으며, 총 에너지,

:

\sum E = E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p} \, ,

는 시간에 따라 일정하다는 것을 나타낸다. 많은 일반적인 힘이 보존적이기 때문에 종종 유용하다.

3. 4. 추가 결과

뉴턴의 운동 법칙은 입자계에 대한 유용한 결과를 가져다준다. 예를 들어 각운동량 개념이 있다.^[1]

라그랑지안 역학과 해밀토니안 역학은 고전역학에 대응하는 두 가지 중요한 체계이다. 이 둘은 뉴턴 역학과 동등하지만, 문제를 풀 때 더 유용한 경우가 있다. 이들과 현대 물리학 체계들은 보통 힘이라는 개념을 우회하여 에너지와 같은 다른 물리량을 사용하여 역학계를 다룬다.

4. 고전역학의 분과

고전역학은 여러 분과로 나뉜다. 전통적으로 정역학, 운동학, 동역학으로 나뉘며, 적용 분야에 따라 천체역학, 연속체역학, 상대론적 역학, 통계역학 등으로 나뉜다.

4. 1. 전통적 구분

고전역학은 전통적으로 세 가지 주요 분야로 나뉜다.

'''정역학'''은 가속도를 경험하지 않고 환경과 평형 상태에 있는 물리적 시스템에 작용하는 힘과 토크를 분석하는 고전역학의 한 분야이다.^[3]
'''운동학'''은 힘을 고려하지 않고 점, 물체, 그리고 시스템(물체들의 그룹)의 운동을 설명한다.^[4]^[5]^[3] 운동학은 "운동의 기하학"으로 불리기도 하며, 때로는 수학의 한 분야로 간주되기도 한다.^[6]^[7]^[8]
'''동역학'''은 물체의 운동뿐만 아니라 그 원인이 되는 힘도 고려한다.

4. 1. 1. 동역학

동역학은 물체의 운동과 그 원인이 되는 힘의 관계를 다룬다.^[3]

4. 2. 힘 vs. 에너지

뉴턴 역학은 힘을 벡터량으로 강조하는 반면,^[11] 해석역학은 계 전체를 나타내는 운동의 스칼라 속성(일반적으로 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지)을 사용한다. 해석역학에서 운동 방정식은 최소 작용의 원리에 의해 유도된다. 해석역학의 두 가지 주요 분야는 라그랑주 역학과 해밀턴 역학인데, 두 공식 모두 르장드르 변환을 통해 동등하며, 따라서 시스템의 역학을 설명하는 동일한 정보를 포함하고 있다. 어떤 형식주의에서든 입자와 장에 대한 모든 운동 방정식은 최소 작용의 원리에서 유도될 수 있다. 하나의 결과는 보존 법칙을 관련 대칭성과 연결하는 뇌터 정리이다.

4. 3. 적용 분야에 따른 구분

천체역학: 별, 행성 및 기타 천체와 관련된 내용을 다룬다.
연속체역학: 연속체로 모델링된 재료(예: 고체 및 유체(즉, 액체 및 기체))에 대한 역학을 다룬다.
상대론적 역학(특수 상대성 이론 및 일반 상대성 이론 포함): 속도가 빛의 속도에 가까운 물체에 대한 역학을 다룬다.
통계역학: 개별 원자와 분자의 미시적 특성을 재료의 거시적 또는 벌크 열역학적 특성과 관련짓는 틀을 제공한다.

5. 라그랑주 역학과 해밀턴 역학

라그랑주 역학과 해밀턴 역학은 아이작 뉴턴의 초기 고전역학보다 더 추상적이고 일반적인 방법론이다. 이들은 18세기부터 19세기에 걸쳐 고전역학의 많은 부분을 재구성하였으며, 뉴턴의 업적과는 상당히 동떨어진 해석역학 등의 발전을 포함한다.

5. 1. 라그랑주 역학

라그랑주 역학은 정지 작용 원리(최소 작용의 원리로도 알려져 있음)를 기반으로 한 고전 역학의 공식화이다. 이는 조제프 루이 라그랑주가 1760년 토리노 과학 아카데미에 발표한 업적^[16]이며, 1788년 그의 대작 ''해석 역학''(Mécanique analytique)에서 정점을 찍었다. 라그랑주 역학은 역학계를 배위 공간

M

과 라그랑지안이라고 하는 그 공간 내의 매끄러운 함수

L

로 구성된 쌍

(M,L)

로 설명한다. 많은 계에서,

L = T - V

이며, 여기서

T

와

V

는 각각 계의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지이다. 정지 작용 원리는

L

에서 유도된 계의 작용 함수가 계의 시간적 진화 전반에 걸쳐 정지점(극대, 극소, 또는 안장점)에 머물러야 한다고 요구한다. 이 제약 조건을 통해 라그랑주 방정식을 사용하여 계의 운동 방정식을 계산할 수 있다.^[17]

5. 2. 해밀턴 역학

해밀턴 역학은 1833년 윌리엄 로완 해밀턴 경이 라그랑주 역학을 재구성하여 도입하였다.^[18] 해밀턴 역학은 라그랑주 역학에서 사용되는 일반화된 속도 대신 일반화된 운동량을 사용한다. 두 이론 모두 고전 역학에 대한 해석을 제공하며 동일한 물리적 현상을 설명한다. 해밀턴 역학은 사교 기하학과 푸아송 구조와 밀접한 관련이 있으며, 고전 역학과 양자 역학을 연결하는 역할을 한다.

해밀턴 역학에서 계의 동역학은 해밀턴 방정식에 의해 지배된다. 해밀턴 방정식은 해밀토니안이라고 불리는 함수의 편미분에 따라 위치 및 운동량 변수의 시간 미분을 나타낸다.

해밀토니안은 라그랑지안의 르장드르 변환이며, 많은 물리적으로 흥미로운 상황에서 계의 총 에너지와 같다.

6. 현대 물리학과 고전역학의 관계

고전역학은 일반 상대성 이론과 상대론적 통계 역학과 같이 더 정확한 형태의 물리학 이론들의 단순화된 근사치이다. 기하 광학은 빛의 양자 이론에 대한 근사치이며, 이보다 더 우수한 "고전적인" 형태는 존재하지 않는다.^[4]^[5]

양자 역학과 고전 역학을 모두 적용할 수 없는 경우, 예를 들어 자유도가 많은 양자 수준에서는 양자 장 이론(QFT)이 유용하다. QFT는 작은 거리와 많은 자유도를 가진 고속을 다루며, 상호 작용 전반에 걸쳐 입자 수의 변화 가능성도 고려한다. 거시적 수준에서 많은 자유도를 다룰 때는 통계 역학이 유용해진다. 통계 역학은 거시적 수준에서 많은 수의 입자와 그들의 상호 작용을 전체적으로 설명하며, 주로 고전 열역학의 가정 범위를 벗어나는 시스템에 대한 열역학에서 사용된다.

빛의 속도에 접근하는 고속의 물체의 경우, 고전 역학은 특수 상대성 이론에 의해 향상된다. 물체가 매우 무거워지는 경우 뉴턴 역학의 편차가 명확해지며, 이 경우 일반 상대성 이론(GR)이 적용된다. 그러나 현재까지 물체가 매우 작고 무거워질 때 사용할 수 있는, GR과 QFT를 통합하는 양자 중력 이론은 없다.

6. 1. 특수상대성이론과의 관계

특수 상대성 이론에서 입자의 운동량은 다음과 같이 주어진다.^[4]^[5]

:

\mathbf{p} = \frac{m \mathbf{v}}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \, ,

여기서 ''m''은 입자의 정지 질량, '''v'''는 그 속도, ''v''는 '''v'''의 크기, 그리고 ''c''는 광속이다.

만약 ''v''가 ''c''에 비해 매우 작다면, ''v''²/''c''²는 근사적으로 0이 되므로,

:

\mathbf{p} \approx m\mathbf{v} \, .

따라서 뉴턴 방정식은 광속에 비해 낮은 속도로 움직이는 물체에 대한 상대론적 방정식의 근사값이다.

예를 들어, 사이클로트론, 자이로트론 또는 고전압 마그네트론의 상대론적 사이클로트론 주파수는 다음과 같이 주어진다.

:

f = f_\mathrm{c}\frac{m_0}{m_0 + \frac{T}{c^2}} \, ,

여기서 ''f''_c는 자기장 내에서 원운동하는 전자(또는 다른 대전 입자)의 고전적 주파수이며, ''T''는 운동 에너지, ''m''₀는 (정지) 질량이다. 전자의 (정지) 질량은 511keV이다. 따라서 5.11kV 직류 가속 전압을 가진 자기 진공관의 경우 주파수 보정은 1%이다.

6. 2. 양자역학과의 관계

드 브로이 파장이 계의 다른 차원보다 훨씬 작지 않을 때 고전 역학의 광선 근사는 붕괴된다. 비상대론적 입자의 경우 이 파장은 다음과 같다.

:

\lambda=\frac{h}{p}

여기서 ''h''는 플랑크 상수이고 ''p''는 운동량이다.

전자의 경우, 무거운 입자보다 먼저 이러한 현상이 발생한다. 예를 들어 1927년 클린턴 조지프 데이비슨과 레스터 할버트 거머가 54V로 가속한 전자는 0.167nm의 파장을 가졌는데, 이는 원자 간격이 0.215nm인 니켈 결정 표면에서 반사될 때 단일 회절 측엽을 보일 만큼 충분히 길었다. 더 큰 진공 챔버를 사용하면, 각 분해능을 라디안에서 밀리라디안으로 높여 집적 회로 컴퓨터 메모리의 주기적 패턴으로부터 양자 회절을 관찰하는 것이 상대적으로 용이하다.

공학적 규모에서 고전 역학이 적용되지 않는 보다 실용적인 예로는 터널 다이오드의 양자 터널링에 의한 전도 및 집적 회로 내 매우 좁은 트랜지스터 게이트가 있다.

고전 역학은 기하 광학과 같은 극단적인 고주파 근사이다. 고전 역학은 정지 질량을 가진 입자와 물체를 기술하므로 더 정확한 경우가 많다. 이러한 입자와 물체는 같은 운동 에너지를 가진 빛과 같은 질량이 없는 입자보다 더 큰 운동량을 가지므로 더 짧은 드 브로이 파장을 갖는다.

참조

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