소 매듭

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 매듭의 연결합
- 2.2. 소 매듭
3. 성질
4. 목록
5. 역사
참조

1. 개요

소 매듭은 매듭의 연결합 연산을 통해 정의되는 매듭의 한 종류이다. 유향 매듭 K가 자명한 매듭이 아닌 두 매듭 K'와 K''의 연결합 K = K'#K''로 표현될 때, K' 또는 K'' 중 하나가 자명한 매듭이면 K를 소 매듭이라고 한다. 모든 유향 매듭은 유한 개의 유향 소 매듭의 연결합으로 유일하게 표현되며, 교차수에 따라 소 매듭의 수가 달라진다. 소 매듭은 알렉산더-브리그스 표기법, 시슬스웨이트 표기법, 다우커 표기법, 콘웨이 표기법 등 다양한 방법으로 표현되며, 세잎매듭, 8자 매듭 등 일부 소 매듭은 그 모양이나 유래에 따라 이름이 붙여진다.

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소 매듭
매듭 이론
정의	소 매듭은 두 개의 자명하지 않은 매듭의 연결합으로 표현할 수 없는 매듭이다. 소수가 소수의 곱으로 표현할 수 없는 수인 것처럼, 소 매듭은 다른 매듭의 연결합으로 분해할 수 없는 매듭이다.
다른 이름	프라임 매듭
성질
개수	매듭 교차 수가 주어졌을 때 소 매듭의 개수는 다음과 같다.
참고	소 매듭의 수열은 A002863에 나타나 있다. 매듭 교차 수가 10개 이하인 소 매듭은 이미 표로 작성되어 있다.

2. 정의

knot^영어은 3차원 공간에서 원을 꼬아 만든 도형이다. 매듭 이론에서는 양 끝을 서로 붙여 고리 모양으로 만든 매듭을 다룬다.

2. 1. 매듭의 연결합

두 유향 매듭

K, K' \colon\mathbb S^1\to\mathbb S^3

이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산을 생각할 수 있다.

두 매듭의 그림을 임의로 고른다.

이 두 매듭의 그림에서, 서로 반대 방향을 향하는 두 변들을 고른다.

이 두 변들을 잇는다.

이 연산에 따라, 유향 매듭들은 가환 모노이드를 이룬다. (그러나 이 연산은 매듭의 방향에 의존한다.) 이 연산을 매듭의 '''연결합'''이라고 하고,

\#

로 표기한다. 이 연산은 다음을 만족시킨다.

:

\overline{K\#K'} \cong \bar K\#\bar K'

여기서

\bar K

는 유향 매듭

K

에서, 반대 방향을 부여한 유향 매듭이다. 그러나 일반적으로

:

K \# K' \not\cong K \# \bar K'

이다. (예를 들어, 두 세잎매듭의 연결합은 방향에 따라 두 가지가 있다.)

호르스트 슈베르트가 증명한 정리에 따르면, 모든 매듭은 소수 매듭의 연결합으로 유일하게 표현될 수 있다.^[1]

2. 2. 소 매듭

두 유향 매듭

K

,

K'

의 매듭 연결합이 자명한 매듭일 필요충분조건은

K

와

K'

둘 다 자명한 매듭인 것이다. 또한, 자명한 매듭은 매듭 연결합의 항등원이다.

이제, 유향 매듭

K

이 다음 조건을 만족시킨다면, '''유향 소 매듭'''이라고 한다.

$K\cong K'\# K''$ 일 때, $K'$ 와 $K''$ 가운데 하나가 자명한 매듭이며, 다른 하나는 자명한 매듭이 아니다.

유향 매듭

K

가 유향 소 매듭일 필요충분조건은

\bar K

가 유향 소 매듭인 것이다. 즉, 이 조건은 매듭의 방향에 의존하지 않는다. 이에 따라, 임의로 방향을 부여하였을 때 유향 소 매듭이 되는 매듭을 '''소 매듭'''이라고 한다. (특히, 자명한 매듭은 소 매듭이 아니다.)

호르스트 슈베르트(1919-2001)에 의해 증명된 정리는 모든 매듭은 소수 매듭의 연결합으로 유일하게 표현될 수 있다는 것이다.^[1]

3. 성질

모든 유향 매듭은 유한 개의 유향 소 매듭들의 연결합으로 유일하게 표현된다. 이 정리가 성립하려면, 자명한 매듭이 소 매듭이 될 수 없다.^[1]

호르스트 슈베르트가 증명한 정리에 따르면, 모든 매듭은 소수 매듭의 연결합으로 유일하게 표현될 수 있다.^[1]

각 교차수에 따른 소 매듭의 수는 다음과 같다.

교차수	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
소 매듭의 수	0	0	1	1	2	3	7	21	49	165	552	2176	9988	46972	253293	1388705

4. 목록

이름	알렉산더-브리그스 표기법	시슬스웨이트 표기법	다우커 표기법	콘웨이 표기법
세잎매듭	3₁	3a1	4 6 2	[3]
8자 매듭	4₁	4a1	4 6 8 2	[22]
다섯잎매듭	5₁	5a2	6 8 10 2 4	[5]
3겹 뒤튼 매듭	5₂	5a1	4 8 10 2 6	[32]
하역 매듭	6₁	6a3	4 8 12 10 2 6	[42]
밀러 연구소 매듭	6₂	6a2	4 8 10 12 2 6	[312]
	6₃	6a1	4 8 10 2 12 6	[2112]
일곱잎매듭	7₁	7a7	8 10 12 14 2 4 6	[7]
5겹 뒤튼 매듭	7₂	7a4	4 10 14 12 2 8 6	[52]
	7₃	7a5	6 10 12 14 2 4 8	[43]
	7₄	7a6	6 10 12 14 4 2 8	[313]
	7₅	7a3	4 10 12 14 2 8 6	[322]
	7₆	7a2	4 8 12 2 14 6 10	[2212]
	7₇	7a1	4 8 10 12 2 14 6	[21112]

여기서 사용된 표기법은 다음과 같다.

'''알렉산더-브리그스 표기법'''(Alexander–Briggs notation^영어): 제임스 워델 알렉산더와 갈런드 버드 브리그스(Garland Baird Briggs)의 1927년 논문^[2]에서 최초로 사용되었으며, 이후 데일 롤프슨이 그 목록을 확장하였다. 이 표기법에서, n_m은 교차수 n을 갖는 소 매듭을 뜻하며, m은 같은 교차수 속에서 임의로 순서를 매긴 것이다.
'''시슬스웨이트 표기법'''(Thistlethwaite notation^영어): 모원 시슬스웨이트가 도입하였다.
'''다우커 표기법'''(Dowker notation^영어): 클리퍼드 휴 다우커가 도입하였다.
'''콘웨이 표기법'''(Conway notation^영어): 존 호턴 콘웨이가 도입하였다.

5. 역사

일부 소 매듭의 어원은 다음과 같다.

세잎매듭(trefoil knot^영어), 다섯잎매듭(cinquefoil knot^영어), 일곱잎매듭(septfoil knot^영어): 매듭의 모양을 세잎 토끼풀 및 (가상의) 다섯잎·일곱잎 토끼풀에 빗댄 것이다.
8자 매듭(figure-eight knot^영어): 매듭의 중앙에 아라비아 숫자 8과 비슷한 모양이 있다.
3겹 뒤튼 매듭(three-twist knot^영어), 5겹 뒤튼 매듭(five-twist knot^영어): 맨 위에 3번·5번 뒤튼 모양이 있다. (1겹 뒤튼 매듭은 세잎매듭과 같으며, 2겹 뒤튼 매듭은 8자 매듭과 같으며, 4겹 뒤튼 매듭은 하역 매듭과 같다.)
하역 매듭(荷役-, stevedore’s knot^영어): 부두에서 짐을 싣거나 내릴 때 이 매듭을 사용했다고 한다. stevedore|스티브도어^영어는 항만(港灣) 노동자를 뜻한다.
밀러 연구소 매듭(Miller Institute knot^영어): 미국 캘리포니아 대학교 버클리 밀러 기초 과학 연구소(The Miller Institute for Basic Research in Science^영어)의 로고에 이 매듭이 등장한다.

참조

_[1] 논문 Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949
_[2] 저널 On types of knotted curves http://www.maths.ed.[...] 1926

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