연결합

3. 성질

연결합은 교환 법칙과 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 다양체 또는 매끄러운 다양체의 연결합에서, 다음이 성립한다.^[1]

:$M\backslash \#N\backslash cong\; N\backslash \#M$

2차원 이상의 다양체에서, 두 연결 비가향 또는 유향 다양체의 연결합은 연결 공간이다. 이 경우, 연결합은 (위상 동형 아래) 결합 법칙을 만족시키며, 매끄러운 다양체의 경우도 마찬가지이다. 따라서, 2차원 이상에서 연결 비가향 또는 유향 다양체들은 가환 모노이드를 이룬다.

연결합 모노이드의 항등원은 초구 $\backslash mathbb\; S^n$이다. 즉, 임의의 $n$차원 연결 비가향 또는 유향 다양체에 대하여 다음이 성립한다.

:$M\backslash \#\backslash mathbb\; S^n\backslash cong\; M$

3차원 이하에서는 연결합 모노이드에 역원이 존재하지 않는다. 즉, $M\backslash \#\; N\backslash cong\backslash mathbb\; S^n$이라면 $M\backslash cong\; N\backslash cong\backslash mathbb\; S^n$이어야 한다 ($n\backslash le3$). 그러나 이는 5차원 이상의 매끄러운 다양체에서는 성립하지 않는다. 5차원 이상에서는 자명하지 않은 매끄러운 호모토피 초구(초구와 호모토피 동치인 매끄러운 다양체)가 존재하며, 매끄러운 다양체에 대하여 호모토피 초구인 것은 연결합 모노이드에서 역원을 갖는 것과 동치이다.^[1]

4. 예

• 임의의 차원 n>0에서, 두 유클리드 공간의 연결합은 기둥 $\backslash mathbb\; R^n\backslash \#\backslash mathbb\; R^n\backslash cong\backslash mathbb\; S^\{n-1\}\backslash times\backslash mathbb\; R$이다.
• 보다 일반적으로, 임의의 차원 n>0에서, 구멍이 p개 뚫린 초구와 q개 뚫린 초구의 연결합은 구멍이 p+q개 뚫린 초구이다. (유클리드 공간은 구멍이 1개 뚫린 초구와 위상 동형이며, 기둥 $\backslash mathbb\; S^\{n-1\}\backslash times\backslash mathbb\; R$은 구멍이 2개 뚫린 초구와 위상 동형이다.)

• 두 m차원 다양체의 '''연결합'''은 각 다양체 내부에서 공을 삭제하고 결과 경계 구를 합착 공간을 통해 접착하여 형성된 다양체이다.
• 두 다양체가 모두 방향을 가지는 경우, 접착 맵이 방향을 반전시켜 정의되는 고유한 연결합이 존재한다. 이 구성은 공의 선택을 사용하지만, 결과는 위상 동형까지 고유하다.
• 이 연산을 매끄러운 함수 범주에서 작동시킬 수 있으며, 이때 결과는 미분 동형까지 고유하다. 매끄러운 경우 미묘한 문제가 있는데, 구의 경계 사이의 모든 미분 동형이 방향이 올바르게 선택된 경우에도 동일한 합성 다양체를 제공하는 것은 아니다. 예를 들어, 밀너는 두 개의 7-세포를 경계를 따라 접착하여 결과가 7-구와 위상 동형이지만 미분 동형이 아닌 이상한 구가 될 수 있음을 보였다.
• 연결합 연산은 $\backslash \#$로 표시된다. 연결합 연산은 구 $S^m$을 항등원으로 갖는다. 즉, $M\; \backslash mathbin\{\backslash \#\}\; S^m$은 $M$과 위상 동형(또는 미분 동형)이다.
• 위상수학의 기초적이고 역사적으로 중요한 결과인 닫힌 곡면의 분류는 모든 닫힌 곡면이 구와 몇 개의 토러스와 몇 개의 실 투영 평면의 연결합으로 표현될 수 있다고 말한다.
• 두 개의 매끄러운 유향 다양체 $M\_1$과 $M\_2$가 같은 차원을 가지고, $V$는 두 $M\_1$과 $M\_2$에 모두 부분다양체로 임베딩된 매끄럽고 닫힌 유향 다양체라고 가정하자. 또한 각 섬유의 방향을 반전시키는 정규 벡터 다발의 동형 사상 $\backslash psi:\; N\_\{M\_1\}\; V\; \backslash to\; N\_\{M\_2\}\; V$가 존재한다고 가정하면, $\backslash psi$는 방향을 보존하는 미분 동형 사상을 유도한다.

• $V$를 따라 $M\_1$과 $M\_2$의 '''연결합'''은 $(M\_1\; \backslash setminus\; V)\; \backslash bigcup\_\{N\_1\; \backslash setminus\; V\; =\; N\_2\; \backslash setminus\; V\}\; (M\_2\; \backslash setminus\; V)$이며, 방향을 보존하는 미분 동형 사상에 의해 삭제된 근방들을 함께 접착하여 얻어진다. 합은 종종 $(M\_1,\; V)\; \backslash mathbin\{\backslash \#\}\; (M\_2,\; V)$으로 표시된다. 그것의 미분 동형 유형은 $V$의 두 임베딩의 선택과 $\backslash psi$의 선택에 따라 달라진다.
• 대략적으로 말하면, 부분다양체 $V$의 각 정규 섬유는 $V$의 단일 점을 포함하며, $V$를 따라 연결합은 단순히 앞 절에서 설명한 연결합으로, 각 섬유를 따라 수행된다. 이러한 이유로, $V$를 따른 연결합은 종종 '''섬유 합'''이라고 불린다. $V$가 점인 특수한 경우는 앞 절의 연결합을 복구한다.
• 또 다른 중요한 특수한 경우는 $V$의 차원이 $M\_i$의 차원보다 2만큼 작을 때 발생한다. 이 경우, 정규 번들의 오일러류가 반대일 때마다 정규 번들의 동형사상 $\backslash psi$가 존재한다.

• 코드차원 2인 $V$를 따라 연결합은 심플렉틱 다양체 범주에서도 수행될 수 있으며, 이러한 확장은 심플렉틱 합이라고 한다.
• 연결합은 다양체에 대한 국소 연산으로, $V$의 근방에서만 피합수들을 변경한다는 의미이다. 이는 예를 들어, $M$이 $V$의 상호소 복사본 두 개를 포함하는 단일 다양체 $M$에서 합이 수행될 수 있으며, 그 결과 $M$을 자체에 붙이는 효과를 가진다는 것을 의미한다. 예를 들어, 2-구의 서로 다른 두 점에서 2-구의 연결합은 2-원환면을 생성한다.
• 두 매듭의 연결합과 밀접하게 관련된 개념이 있다. 실제로 매듭을 단순히 1-다양체로 간주한다면 두 매듭의 연결합은 단지 1차원 다양체로서의 연결합일 뿐이다. 그러나 매듭의 본질적인 속성은 (모든 매듭이 원과 동등하게 되는) 다양체 구조가 아니라 임베딩을 주위 공간에 임베딩하는 것이다. 따라서 매듭의 연결합은 다음과 같이 잘 정의된 임베딩을 생성하는 더 정교한 정의를 갖는다.

• 이 절차는 새로운 매듭의 투영, 즉 원래 매듭의 '''연결합''' (또는 '''매듭 합''' 또는 '''합성''')을 생성한다. 매듭의 연결합이 잘 정의되려면 3차원에서 '''방향이 있는 매듭'''을 고려해야 한다. 두 개의 방향이 있는 매듭에 대한 연결합을 정의하려면 다음과 같이 한다.

• 결과 연결합 매듭은 두 개의 원래 매듭의 방향과 일치하는 방향을 상속하며, 결과의 방향이 있는 주위 공간 아이소토피 클래스는 잘 정의되며 원래 두 매듭의 방향이 있는 주위 공간 아이소토피 클래스에만 의존한다.
• 이 연산 하에서 3차원의 방향이 있는 매듭은 고유한 소인수 분해를 갖는 가환 모노이드를 형성하므로 소수 매듭의 의미를 정의할 수 있다. 가환성은 한 피가수를 매우 작아질 때까지 줄인 다음 다른 매듭을 따라 당겨서 수학적 증명을 통해 확인할 수 있다. 매듭 없음은 단위 원이다. 두 개의 세잎 매듭은 가장 간단한 소수 매듭이다. 더 높은 차원의 매듭은 n-구체를 이어 붙여 추가할 수 있다.
• 3차원에서 매듭 없음은 두 개의 비자명한 매듭의 합으로 표현될 수 없다. 이 사실은 매듭 종수의 가법성에서 비롯되며, 또 다른 증명은 때때로 마주르 사기라고 불리는 무한한 구성을 사용한다. 더 높은 차원(코디멘션이 3 이상인 경우)에서는 두 개의 비자명 매듭을 더하여 매듭 없음을 얻을 수 있다.
• 매듭의 방향을 '''고려하지''' 않으면 연결합 연산은 (방향이 없는) 매듭의 아이소토피 클래스에서 잘 정의되지 않는다. 이를 확인하려면 동등하지 않은 (방향이 없는 매듭으로) 두 개의 비가역 매듭 K, L을 고려한다. 예를 들어 두 개의 프레즐 링크 K = P(3, 5, 7) 및 L = P(3, 5, 9)를 사용한다. K₊와 K₋는 두 개의 동등하지 않은 방향을 가진 K이고, L₊와 L₋는 두 개의 동등하지 않은 방향을 가진 L이다. 형성할 수 있는 네 개의 방향이 있는 연결합이 있다.
• A = K₊ # L₊
• B = K₋ # L₋
• C = K₊ # L₋
• D = K₋ # L₊
• 이 네 개의 방향이 있는 매듭의 방향이 있는 주위 공간 아이소토피 클래스는 모두 다르며, 방향에 관계없이 매듭의 주위 공간 아이소토피를 고려하면 '''두 개의 뚜렷한''' 등가 클래스 {A ~ B} 및 {C ~ D}가 있다. A와 B가 방향이 없는 동등함을 보려면 위와 같이 동일한 한 쌍의 분리된 매듭 투영에서 모두 구성될 수 있다는 점에 유의하면 된다. 유일한 차이점은 매듭의 방향이다. 마찬가지로 C와 D는 동일한 한 쌍의 분리된 매듭 투영에서 구성될 수 있음을 알 수 있다.

4. 1. 1차원 다양체

4. 2. 2차원 다양체

4. 3. 3차원 다양체

4. 4. 4차원 이상

5. 부분 다양체를 따른 연결합

$M\_1$과 $M\_2$를 같은 차원의 매끄럽고 방향을 갖는 다양체라 하고, $V$를 $M\_1$과 $M\_2$ 모두에 부분다양체로 매끄럽게 임베딩된 닫힌 유향 다양체라고 하자. 그리고 각 섬유의 방향을 반전시키는 정규 벡터 다발의 동형 사상

:$\backslash psi:\; N\_\{M\_1\}\; V\; \backslash to\; N\_\{M\_2\}\; V$

이 존재한다고 가정한다. 그러면 $\backslash psi$는 방향을 보존하는 미분 동형 사상을 유도한다.

:$N\_1\; \backslash setminus\; V\; \backslash cong\; N\_\{M\_1\}\; V\; \backslash setminus\; V\; \backslash to\; N\_\{M\_2\}\; V\; \backslash setminus\; V\; \backslash cong\; N\_2\; \backslash setminus\; V,$

여기서 각 정규 다발 $N\_\{M\_i\}\; V$는 $M\_i$에서 $V$의 근방 $N\_i$와 미분 동형적으로 식별되며, 사상

:$N\_\{M\_1\}\; V\; \backslash setminus\; V\; \backslash to\; N\_\{M\_2\}\; V\; \backslash setminus\; V$

는 정규 벡터에 방향을 반전시키는 미분 동형 대합

:$v\; \backslash mapsto\; v\; /\; |v|^2$

을 적용한 것이다. $V$를 따라 $M\_1$과 $M\_2$의 연결합은

:$(M\_1\; \backslash setminus\; V)\; \backslash bigcup\_\{N\_1\; \backslash setminus\; V\; =\; N\_2\; \backslash setminus\; V\}\; (M\_2\; \backslash setminus\; V)$

와 같이, 방향을 보존하는 미분 동형 사상에 의해 삭제된 근방들을 함께 접착하여 얻어진다. 이 합은 종종

:$(M\_1,\; V)\; \backslash mathbin\{\backslash \#\}\; (M\_2,\; V).$

로 표시된다. 이 결과의 미분 동형 유형은 $V$의 두 임베딩의 선택과 $\backslash psi$의 선택에 따라 달라진다.^[1]

$V$의 각 정규 섬유는 $V$의 단일 점을 포함하며, $V$를 따라 연결합을 하는 것은 각 섬유를 따라 연결합을 수행하는 것과 같다. 이러한 이유로, $V$를 따른 연결합은 섬유 합이라고도 불린다.^[1]

$V$가 점인 특수한 경우는 점에서의 연결합과 같다.

연결합은 다양체에 대한 국소 연산이므로, $V$의 근방에서만 피합수들을 변경한다.^[1]

5. 1. 여차원 2인 경우

6. 매듭의 연결합

두 매듭의 연결합은 각 매듭에서 호(arc)를 제거하고, 그 경계를 따라 붙여서 정의한다. 이 연산은 매듭 이론에서 중요한 개념으로, 소수 매듭을 정의하는 데 사용된다.^[1]

3차원에서 방향이 있는 두 매듭의 연결합을 구체적으로 정의하면 다음과 같다.^[1]

1. 각 매듭을 평면에 사영했을 때, 서로 겹치지 않도록 위치시킨다.^[1]

2. 각 매듭의 호(arc)를 한 변으로 하는 직사각형을 찾는다. 이때, 직사각형의 변을 따라 매듭의 방향이 같은 방향을 향하도록 한다.^[1]

3. 각 매듭에서 직사각형과 겹치는 호(arc) 부분을 제거하고, 직사각형의 나머지 두 변을 이용하여 두 매듭을 연결한다.^[1]

이렇게 만들어진 연결합 매듭은 원래 두 매듭의 방향을 이어받으며, 그 주위 공간 아이소토피 클래스는 원래 두 매듭의 주위 공간 아이소토피 클래스에 의해서만 결정된다.^[1]

이 연결합 연산을 통해 3차원 공간의 방향 있는 매듭들은 가환 모노이드를 이루며, 소인수 분해와 유사한 고유한 분해를 갖는다. 여기서 매듭 없음은 단위원이 된다. 세잎 매듭은 가장 간단한 소수 매듭이다.^[1]

3차원에서는 매듭 없음이 두 개의 비자명한 매듭의 연결합으로 표현될 수 없다. 이는 매듭 종수의 덧셈 성질로부터 유도된다.^[1]

하지만 매듭의 방향을 고려하지 않으면 연결합 연산이 잘 정의되지 않는 경우가 발생한다. 예를 들어, 비가역적인 두 매듭 *K*, *L*에 대해 서로 다른 방향을 부여하여 네 가지 연결합을 만들 수 있는데, 이들은 방향을 무시하면 두 개의 동치류로 묶이게 된다.^[1]

7. 역사

매끄러운 다양체의 경우, 연결합의 유일성은 미셸 케르베르와 존 밀너가 1963년에 증명하였다.^[3] 위상 다양체의 경우, 연결합의 유일성은 원환 정리(annulus theorem^영어)로부터 유도된다. 원환 정리의 증명은 복잡하며, 2차원에서는 러도 티보르((Radó Tibor^hu))가 1924년에 증명하였고,^[4] 3차원에서는 에드윈 에바리스트 모이즈((Edwin Evariste Moise^영어))가 1952년에 증명하였고,^[5] 4차원에서는 프랭크 퀸((Frank Quinn^영어))이 1982년에 증명하였고,^[6] 5차원 이상에서는 로비언 크롬웰 커비((Robion Cromwell Kirby^영어))가 1969년에 증명하였다.^[7]

3차원 다양체의 소분해의 존재는 1929년에 헬무트 크네저((Hellmuth Kneser^de))가 증명하였고,^[8] 그 유일성은 존 밀너가 증명하였다.^[9]

참조

_[1] 서적 Groups of Homotopy Spheres I 1963-05
_[2] 서적 Differential Manifolds Academic Press Inc 1992
_[3] 저널 Groups of homotopy spheres. I 1963
_[4] 저널 Über den Begriff der Riemannschen Fläche
_[5] 저널 Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung
_[6] 저널 Ends of maps. III. Dimensions 4 and 5 http://projecteuclid[...]
_[7] 저널 Stable homeomorphisms and the annulus conjecture
_[8] 저널 Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten http://resolver.sub.[...]
_[9] 저널 A unique decomposition theorem for 3-manifolds 1962-01