최대 절댓값 원리

1. 개요

최대 절댓값 원리는 복소해석학에서 정칙 함수의 절댓값이 극대점을 가질 수 없다는 원리이다. 이 원리에 따르면, 상수 함수가 아닌 정칙 함수 f가 열린 집합 D에서 정의될 때, |f|는 D의 내부에서 최댓값을 가질 수 없다. 이 원리는 유계 영역에서 연속 함수로 확장되며, |f|의 최댓값은 D의 경계에서 나타난다. 최대 절댓값 원리는 개방 사상 정리와 밀접한 관련이 있으며, 코시 적분 공식, 조화 함수, 가우스 평균값 정리 등을 사용하여 증명할 수 있다. 이 원리는 대수학의 기본 정리, 슈바르츠 보조정리 등 다양한 복소해석학의 정리들을 증명하는 데 사용되며, 열 방정식의 물리적 해석과도 관련이 있다.

2. 정의

연결 열린집합 $D\backslash subseteq\backslash mathbb\; C$에 정의된 정칙 함수 $f\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; C$가 상수 함수가 아니라고 하자. 최대 절댓값 원리에 따르면, $|f|$는 $D$에서 극대점을 가지지 않는다. 즉, 임의의 $z\backslash in\; D$ 및 근방 $N\backslash ni\; z$에 대하여, 다음이 성립한다.
:

이는 비상수 정칙 함수가 열린 집합을 열린 집합으로 사상한다는 개방 사상 정리의 특별한 경우이다. $|f|$가 $z$에서 국소 최댓값을 가지면, $z$의 충분히 작은 열린 근방의 이미지는 열린 집합이 될 수 없으므로 $f$는 상수 함수이다.

복소 평면 $\backslash mathbb\{C\}$의 연결된 열린 집합 $D$에서 정의되고 복소수 값을 갖는 정칙 함수 $f$에 대해, $|f(z\_0)|\backslash ge\; |f(z)|$가 $D$의 점 $z\_0$의 어떤 근방에 있는 모든 $z$에 대해 성립한다면, $f$는 $D$에서 상수 함수이다.

2.1. 유계 영역에서의 최대 절댓값 원리

유계 연결 열린집합 $D\backslash subseteq\backslash mathbb\; C$에 정의된 연속 함수 $f\backslash colon\backslash operatorname\{cl\}D\backslash to\backslash mathbb\; C$가 $D$에서 정칙 함수이며, 상수 함수가 아니라고 하자. 그렇다면, $|f|$의 모든 최댓값은 $D$의 경계점에 존재한다. 즉, 임의의 $z\backslash in\; D$에 대하여, 다음이 성립한다.
:
이는 경계점이 아닌 최댓값은 $D$에서의 극대점이기 때문이다.

$D$가 $\backslash mathbb\{C\}$의 유계이고, 비어있지 않으며, 연결된 열린 부분집합이라고 가정하고, $\backslash overline\{D\}$를 $D$의 폐포라고 하자. $f\; \backslash colon\; \backslash overline\{D\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}$가 $D$에서 정칙인 연속 함수라고 가정하면, $|f(z)|$는 $D$의 경계의 어떤 점에서 최댓값을 갖는다.

이는 다음과 같이 유도된다. $\backslash overline\{D\}$가 콤팩트하고 비어있지 않으므로, 연속 함수 $|f(z)|$는 $\backslash overline\{D\}$의 어떤 점 $z\_0$에서 최댓값을 갖는다. 만약 $z\_0$가 경계에 있지 않다면, 최대 절댓값 원리에 의해 $f$는 상수이므로, $|f(z)|$는 경계의 임의의 점에서도 같은 최댓값을 갖는다.

복소 함수 f(z)가 (열린) 영역 D에서 정칙이고, 상수 함수가 아니라면, D에서 |f(z)|가 최댓값을 가질 수 없다.

2.2. 최솟값 원리 (Minimum Modulus Principle)

연결된 열린 집합 $D$의 정칙함수 $f$에 대해, $D$ 내의 어떤 점 $z\_0$의 근방 내의 모든 $z$에 대해 다음이 성립한다면,

:

그러면 $f$는 $D$에서 상수이다.

증명: $1/f$에 최대 절댓값 원리를 적용한다.

3. 증명

최대 절댓값 원리는 여러 방법으로 증명할 수 있다.

귀류법^한국어을 사용하여 증명할 수 있다. 복소 함수 f(z)가 (열린) 영역 D에서 정칙이고, 상수 함수가 아니라고 가정하자. D 내의 어떤 점 z₀에서 |f(z)|가 최댓값을 갖는다고 가정하자. r을 양의 실수로 하고, D_r = {z : | z - z₀ | < r }, C_r = {z : | z - z₀ | = r }로 한다. 즉, C_r는 z₀를 중심으로 하는 반지름 r의 원이고, D_r는 그 내부 영역이다. r 값을 적절히 작게 선택하면, D_r + C_r ⊂ D로 만들 수 있다.

코시 적분 공식에 의해 D_r 내의 임의의 점 z에서 다음이 성립한다.

:$f(z)=\backslash frac\{1\}\{2\{\backslash pi\}i\}\backslash oint\_\{C\_r\}\backslash frac\{f(\backslash zeta)\}\{\backslash zeta\; -\; z\}d\; \backslash zeta$

C_r 상에서의 |f(z)|의 최댓값을 M으로 하면, 다음이 성립한다.

:$$
\left|f(z_0)\right|
= \left|\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)}d\zeta\right|

:$$
\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\left|f(\zeta)\right|}{r}\,r d\theta
= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(\zeta)\right| d\theta
\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} M d\theta = M


가정에 의해 M ≤ |f(z₀)|이므로, 다음이 성립한다.

:$$
\left|f(z_0)\right|
= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(\zeta)\right| d\theta
= M


즉, C_r 상의 임의의 점 ζ에서 |f(z₀)| = |f(ζ)|가 성립하게 된다. r을 임의로 작게 해서 생각해도 같은 논법이 성립하므로, D_r + C_r의 임의의 점 z에서 |f(z₀)| = |f(z)|가 성립하게 된다.

|f(z₀)| = 0이면, f(z)는 D_r에서 항등적으로 0이다. |f(z₀)|가 0이 아니면 D_r 내의 임의의 점에서 |f(z)|도 0이 아니므로 다음을 생각할 수 있다.

:$$
h(z) = \log f(z) = \log |f(z)| + i \arg f(z)


D_r에 포함되는 어떤 영역 V를 적절히 선택하면, V 내에서 h(z)를 일가 정칙으로 만들 수 있다.

V 내에서 |f(z)|는 상수이므로 h(z)의 실수부 log |f(z)|도 상수이다. 이 때문에 코시-리만 방정식으로부터 V 내에서 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{dh(z)\}\{dz\}\; =\; 0$

따라서 h(z)의 허수부 arg f (z)도 V 내에서 상수가 된다. 따라서 V 내에서 f(z)는 상수이다. 일치 정리에 의해, 결국 D 전체에서 f(z)는 상수가 되어, 정리의 가정에 반한다.

이 외에 열린 사상 정리, 조화 함수, 가우스 평균값 정리를 이용한 증명 방법이 있다.

3.1. 열린 사상 정리를 통한 증명

열린 사상 정리에 의하여, 임의의 `z∈D` 및 근방 `N∋z`에 대하여, `f(N∩D)`는 열린집합이므로, `f(z)`는 `f(N∩D)`의 내부점이다. 따라서, `|f(z')|>|f(z)|`인 `z'∈N∩D`가 존재한다. 즉, `|f(z)|`는 `N∩D`에서의 최댓값이 아니다.

복소 평면 `ℂ`의 연결된 열린 집합 `D`에서 정의되고 복소수 값을 갖는 정칙 함수를 `f`라고 하자. 만약 `z_0`가 `D`의 점이고,

:`|f(z_0)|≥|f(z)|`

가 `z_0`의 어떤 근방에 있는 모든 `z`에 대해 성립한다면, `f`는 `D`에서 상수 함수이다.

이 명제는 비상수 정칙 함수가 열린 집합을 열린 집합으로 사상한다는 개방 사상 정리의 특별한 경우로 볼 수 있다. 즉, `|f|`가 `z`에서 국소 최댓값을 가지면, `z`의 충분히 작은 열린 근방의 이미지는 열린 집합이 될 수 없으므로 `f`는 상수 함수이다.

3.2. 코시 적분 공식을 통한 증명

귀류법을 사용하여, $z\backslash in\; D$가 근방 $N\backslash ni\; z$에서 $|f|$의 최대점이라고 가정하자. $\backslash \{w\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash colon|w-z|\backslash le\; r\backslash \}\backslash subseteq\; N$인 $r>0$을 잡자. 코시 적분 공식에 의하여
:$f(z)=\backslash frac\; 1\{2\backslash pi\}\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}f(z+re^\{i\backslash theta\})\backslash mathrm\; d\backslash theta$
이다. 만약
:$|f(z)|>|f(z+re^\{i\backslash theta\})|$
인 $\backslash theta\backslash in[0,2\backslash pi)$가 존재한다면,
:$|f(z)|\backslash le\backslash frac\; 1\{2\backslash pi\}\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}|f(z+re^\{i\backslash theta\})|\backslash mathrm\; d\backslash theta$
에 모순이므로, 임의의 $\backslash theta\backslash in[0,2\backslash pi)$에 대하여,
:$|f(z)|=|f(z+re^\{i\backslash theta\})|$
이다. 따라서 $f$는 상수 함수이며, 이는 모순이다.

3.3. 조화 함수를 이용한 증명

복소 평면 \(\mathbb{C}\)의 연결된 열린 집합 \(D\)에서 정의된 정칙 함수 \(f\)를 생각하자. \(z_0\)가 \(D\)의 점이고, \(z_0\)의 어떤 근방에 있는 모든 \(z\)에 대해 \(|f(z_0)| \ge |f(z)|\)가 성립한다고 가정한다.

다음 등식을 이용한다.

:\(\log f(z) = \ln |f(z)| + i\arg f(z)\)

복소 자연로그의 성질에 의해 \(\ln |f(z)|\)는 조화 함수이다. \(z_0\)가 이 함수의 국소 최댓값이므로, 최대 원리에 따라 \(|f(z)|\)는 상수 함수이다. 코시-리만 방정식을 사용하면 \(f'(z) = 0\)임을 보일 수 있고, 따라서 \(f(z)\)도 상수 함수이다.

3.4. 가우스 평균값 정리를 이용한 증명

가우스 평균값 정리를 사용하면, 겹치는 열린 원반 내의 모든 점이 최댓값과 동일한 값을 갖도록 "강제"할 수 있다. 원반은 중심이 $f(z)$가 최대화된 값에서 정의 영역 내의 다른 모든 점까지의 다각형 경로를 형성하도록 배치되며, 정의 영역 내에 완전히 포함된다. 따라서 최댓값의 존재는 정의 영역 내의 모든 값이 동일함을 의미하며, 따라서 $f(z)$는 상수 함수이다.

4. 따름정리 및 응용

최대 절댓값 원리는 다음과 같은 명제들을 증명하는 데 쓰인다.

* 대수학의 기본 정리
* 슈바르츠 보조정리
* 프라그멘-린델뢰프 원리
* 보렐-카라테오도리 정리
* 아다마르 삼선 정리

5. 물리적 해석

열 방정식에서 비롯된 물리적 해석에 따르면, $\backslash log\; |\; f(z)\; |$는 조화 함수이므로, 이는 영역 $D$에서 열 흐름의 정상 상태를 나타낸다. 만약 엄격한 최댓값이 $D$의 내부에서 얻어진다고 가정하면, 이 최댓값에서의 열은 주변 점들로 분산될 것이고, 이는 이 값이 시스템의 정상 상태를 나타낸다는 가정과 모순된다.