케일리 변환

1. 개요

케일리 변환은 가역원 2를 갖는 환 위의 사영 직선에서 정의되는 함수로, 복소수, 행렬, 사원수 등 다양한 수학적 구조에서 특정 형태로 나타난다. 복소수에서는 뫼비우스 변환으로, 행렬에서는 반대칭 행렬을 직교 행렬로 변환하는 데 사용되며, 사원수에서는 3차원 공간의 알렉산드로프 콤팩트화를 3차원 초구에 대응시킨다. 이러한 변환은 실수 및 복소 호모그래피, 쌍곡 기하학 모형, 전기 임피던스 매칭, 회전의 유리수 매개변수 설명 등 다양한 분야에 응용된다. 아서 케일리가 1846년에 반대칭 행렬에 대해 처음 도입했다.

2. 정의

케일리 변환은 수학의 여러 분야에서 사용되는 중요한 변환 중 하나이다. 기본적으로, 2가 가역원인 환 위의 사영 직선에서 정의되는 함수로 볼 수 있다. 이 변환의 중요한 특징 중 하나는 두 번 적용하면 원래대로 돌아오는 멱등 함수라는 점이다.

2.1. 일반적인 정의

2가 가역원인 환 $R$(즉, $R$에서 2의 곱셈 역원 $2^\{-1\}$가 존재하는 환) 위의 사영 직선
:$\backslash mathbb\; P\_R^1\; =\; R^2\; /\; \backslash sim$
을 생각해보자. 여기서 동치 관계 $\backslash sim$는 다음과 같이 정의된다.
:$[x,y]\; \backslash sim\; [ax,ay]\backslash qquad\backslash forall\; x,y\; \backslash in\; R,\; a\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Unit\}(R)$ (단, $a$는 $R$의 가역원)

이 사영 직선 $\backslash mathbb\; P\_R^1$ 위의 케일리 변환 $f$는 다음과 같이 정의되는 함수이다.
:$f\; \backslash colon\; [x,y]\; \backslash mapsto\; [y-x,x+y]$

이 변환 $f$는 자기 자신을 두 번 적용하면 항등 변환이 되는 성질을 가진다. 즉, 멱등 함수의 일종인 대합이다.
:$f\; \backslash circ\; f\; =\; \backslash operatorname\{id\}$
여기서 $\backslash operatorname\{id\}$는 항등 함수를 의미한다. 따라서, 케일리 변환 $f$는 $R$ 위의 사영 직선에서 자기 자신으로 가는 전단사 함수이다.

더 일반적으로, 환 $R$의 임의의 가역원 $u\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Unit\}(R)$에 대하여 케일리 변환 $f\_u$를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:$f\_u\; \backslash colon\; [x,y]\; \backslash mapsto\; [yu-x,yu+x]$
이 일반화된 케일리 변환 $f\_u$의 역변환 $f\_u^\{-1\}$는 다음과 같다.
:$f\_u^\{-1\}\; \backslash colon\; [x,y]\; \backslash mapsto\; [y-x,(x+y)u^\{-1\}]$
여기서 $u^\{-1\}$는 $u$의 곱셈 역원이다.

2.2. 복소수에서의 정의

복소 평면에서 케일리 변환은 뫼비우스 변환의 한 종류이다. 대표적으로 두 가지 형태가 사용된다.

첫 번째 형태는 리만 구 $\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash mathbb\; C\}\; =\; \backslash mathbb\; C\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash infty\backslash \}$ 전체에서 정의되며, 다음과 같다.
:$f(z)\; =\; \backslash frac\{1-z\}\{1+z\}$
이 변환은 자기 자신의 역변환이기도 하다($f(f(z))=z$). 주요 변환 관계는 아래 표와 같다.

즉, 이 변환은 허수축과 단위 원을 서로 변환시키며, 실수축은 자기 자신으로 보낸다. 또한, 실수부가 0 이상인 오른쪽 반평면을 단위 원판 내부와 경계로 변환시킨다.

--

두 번째 형태는 복소 평면의 상반평면 (허수부가 양수인 영역)에서 주로 사용되며, 다음과 같이 정의된다.
:$f(z)\; =\; \backslash frac\; \{z\; -\; i\}\{z\; +\; i\}\; .$
이 변환은 뫼비우스 변환의 성질에 따라 일반화된 원(원 또는 직선)을 다른 일반화된 원으로 변환한다. 구체적으로, 실수축 위의 세 점 $\backslash \{\backslash infty,\; 1,\; -1\backslash \}$을 단위 원 위의 세 점 $\backslash \{1,\; -i,\; i\backslash \}$로 각각 변환시키므로, 실수축 전체를 단위 원으로 변환한다. 또한, 이 변환은 위상 동형이며, 상반평면 위의 점 $i$를 원점 0으로 보내므로, 상반평면 전체를 단위 원판 (크기가 1 이하인 원 내부)으로 변환한다.

쌍곡 기하학의 모형에서는 이 케일리 변환이 푸앵카레 상반평면 모형을 푸앵카레 원반 모형으로 바꾸는 역할을 한다.

전기 공학에서는 리액턴스 반평면을 스미스 차트로 변환하는 데 사용되어, 전송선의 임피던스 매칭 문제를 다룰 때 유용하게 활용된다.

2.3. 행렬에서의 정의

$n\backslash times\; n$ 실수 정사각 행렬의 환 $\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; R)$ 위에서 케일리 변환 $f$는 다음과 같이 정의된다.
:$f\; \backslash colon\; \backslash \{M\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; R)\; \backslash mid\; \backslash det(I+M)\; \backslash neq\; 0\backslash \}\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; R)$
:$M\; \backslash mapsto\; (I-M)(I+M)^\{-1\}$
여기서 $I$는 항등행렬이다. $(I-M)$과 $(I+M)^\{-1\}$는 교환 가능하므로, $f(M)\; =\; (I+M)^\{-1\}(I-M)$로도 쓸 수 있다. 이 변환은 $I+M$이 가역 행렬인 경우, 즉 $-1$이 $M$의 고유값이 아닌 경우에만 정의된다.

특히, $M$이 반대칭 행렬($M^\backslash top\; =\; -M$)인 경우, $M$의 고유값은 순수 허수이거나 0이므로 $-1$은 고유값이 될 수 없다. 따라서 $I+M$은 항상 가역 행렬이다. 이때 케일리 변환 $Q\; =\; f(M)$을 계산하면 다음과 같다.
:$Q^\backslash top\; Q\; =\; ((I-M)(I+M)^\{-1\})^\backslash top\; (I-M)(I+M)^\{-1\}$
:$=\; ((I+M)^\{-1\})^\backslash top\; (I-M)^\backslash top\; (I-M)(I+M)^\{-1\}$
:$=\; (I+M^\backslash top)^\{-1\}\; (I-M^\backslash top)\; (I-M)(I+M)^\{-1\}$
:$=\; (I-M)^\{-1\}\; (I+M)\; (I-M)(I+M)^\{-1\}$
여기서 $(I+M)$과 $(I-M)$이 교환 가능하고, $(I-M)$과 $(I+M)^\{-1\}$도 교환 가능하므로 (케일리 변환의 존재 조건 상 $(I\backslash pm\; M)$은 모두 가역),
:$Q^\backslash top\; Q\; =\; (I-M)^\{-1\}\; (I-M)\; (I+M)\; (I+M)^\{-1\}\; =\; I\; \backslash cdot\; I\; =\; I$
따라서 $Q$는 직교 행렬이다. 또한 행렬식을 계산하면,
:$\backslash det(Q)\; =\; \backslash det((I-M)(I+M)^\{-1\})\; =\; \backslash frac\{\backslash det(I-M)\}\{\backslash det(I+M)\}$
이고, $\backslash det(I-M)\; =\; \backslash det((I-M)^\backslash top)\; =\; \backslash det(I-M^\backslash top)\; =\; \backslash det(I+M)$ 이므로,
:$\backslash det(Q)\; =\; \backslash frac\{\backslash det(I+M)\}\{\backslash det(I+M)\}\; =\; 1$
이다. 즉, $Q$는 특수 직교 행렬 ($Q\; \backslash in\; \backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; R)$)이다.

결론적으로 케일리 변환은 반대칭 행렬의 리 대수 $\backslash mathfrak\{o\}(n;\backslash mathbb\; R)$에서 특수직교군 $\backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; R)$으로 가는 매끄러운 함수
:$f\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\{o\}(n;\backslash mathbb\; R)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; R)$
를 정의하며, $f(0)\; =\; I$를 만족시킨다. 하지만 이 함수는 전사 함수가 아니다. 케일리 변환의 결과로 나오는 직교 행렬 $Q\; =\; (I-M)(I+M)^\{-1\}$는 $I+Q\; =\; I\; +\; (I-M)(I+M)^\{-1\}\; =\; (\; (I+M)\; +\; (I-M)\; )\; (I+M)^\{-1\}\; =\; 2I(I+M)^\{-1\}$ 이므로, $I+Q$는 항상 가역이다. 이는 $Q$가 $-1$을 고유값으로 가질 수 없음을 의미한다. 따라서 $-1$을 고유값으로 갖는 특수 직교 행렬(예: $n=2$일 때 $-I$)은 케일리 변환 $f$의 치역에 포함되지 않는다.

반대로, $-1$을 고유값으로 갖지 않는 임의의 직교 행렬 $Q$에 대해, 역변환
:$A\; =\; (I\; -\; Q)(I\; +\; Q)^\{-1\}$
는 반대칭 행렬이다. $(I-Q)$와 $(I+Q)^\{-1\}$는 교환 가능하므로 $A\; =\; (I+Q)^\{-1\}(I-Q)$로도 쓸 수 있다.

케일리 변환은 약간 다른 형태로 정의되기도 한다.
:
이 정의들은 위의 정의와 동치이다. 예를 들어 $Q\; =\; (I+A)(I-A)^\{-1\}$이면 $Q(I-A)\; =\; I+A$이고 $Q-QA=I+A$, $Q-I\; =\; A+QA\; =\; (I+Q)A$ 이므로 $A=(I+Q)^\{-1\}(Q-I)$ 이다.

임의의 회전 행렬(특수 직교 행렬) $Q$는 어떤 반대칭 행렬 $A$에 대해
:$Q\; =\; \backslash bigl((I\; -\; A)(I\; +\; A)^\{-1\}\backslash bigr)^2$
로 나타낼 수 있다. 더 일반적으로, 임의의 직교 행렬 $Q$는
:$Q\; =\; E(I\; -\; A)(I\; +\; A)^\{-1\}$
로 쓸 수 있으며, 여기서 $A$는 반대칭 행렬이고 $E$는 대각 성분이 ±1인 대각행렬이다.

복소수 정사각 행렬의 환 $\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; C)$ 위에서도 유사하게 케일리 변환을 정의할 수 있다. 이 변환을 특정 리 대수에 제한하면 다음과 같은 매끄러운 함수들을 얻는다.
* 복소수 반대칭 행렬의 복소수 리 대수 $\backslash mathfrak\{o\}(n;\backslash mathbb\; C)$에서 복소수 특수 직교 군 $\backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; C)$으로:
:$(f\; \backslash restriction\; \backslash mathfrak\{o\}(n;\backslash mathbb\; C))\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\{o\}(n;\backslash mathbb\; C)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; C)$
* 반에르미트 행렬 ($M^\backslash dagger\; =\; -M$)의 실수 리 대수 $\backslash mathfrak\{u\}(n)$에서 유니터리 군 $\backslash operatorname\{U\}(n)$으로:
:$(f\; \backslash restriction\; \backslash mathfrak\{u\}(n))\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\{u\}(n)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{U\}(n)$
여기서 $\backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; C)$는 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬로 구성된 리 군이고, $\backslash operatorname\{U\}(n)$은 유니터리 군이다.

2.4. 사원수에서의 정의

사원수 대수 $\backslash mathbb\; H$ 위의 케일리 변환은 다음과 같이 정의된다.
:$f\; \backslash colon\; \backslash mathbb\; H\backslash cup\backslash \{\backslash infty\backslash \}\; \backslash to\; \backslash mathbb\; H\backslash cup\backslash \{\backslash infty\backslash \}$
:$f\; \backslash colon\; q\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{1-q\}\{1+q\}$

여기서 $1-q$와 $1+q$는 서로 가환하므로, 나눗셈을 왼쪽에서 하든 오른쪽에서 하든 결과는 같다. 이 변환은 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화
:$(\backslash mathrm\; i\backslash mathbb\; R+\backslash mathrm\; j\backslash mathbb\; R+\backslash mathrm\; k\backslash mathbb\; R)\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash infty\backslash \}$
를 절댓값이 1인 사원수로 구성된 3차원 초구
:$\backslash mathbb\; S^3\; =\; \backslash \{q\backslash in\backslash mathbb\; H\; \backslash colon\; |q|\; =\; 1\; \backslash \}$
에 대응시킨다. 이는 리 대수 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$(의 알렉산드로프 콤팩트화)와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 해석될 수 있다. (이는 리 대응과는 다른 사상이다.)

사원수 $a+b\backslash vec\{i\}+c\backslash vec\{j\}+d\backslash vec\{k\}$의 4차원 공간에서, versor
:$u(\backslash theta,\; r)\; =\; \backslash cos\; \backslash theta\; +\; r\; \backslash sin\; \backslash theta$는 단위 3-구를 형성한다. 여기서 $r$은 허수 단위 벡터 (예: $\backslash mathrm\; i,\; \backslash mathrm\; j,\; \backslash mathrm\; k$ 중 하나 또는 이들의 조합)이고 $r^2\; =\; -1$이다.

사원수는 곱셈에 대해 비가환적이므로, 그 환 위의 사영 직선의 원소는 동차 좌표를 $U[a,b]$로 표기하여 동차 인자가 왼쪽에 곱해짐을 나타낸다. 사원수 케일리 변환은 다음과 같이 표현될 수 있다.
:

앞서 설명된 실수 및 복소수 케일리 변환은 각각 $\backslash theta$가 0 또는 $\backslash pi/2$인 versor $u$를 사용하는 사원수 케일리 변환의 특수한 경우에 해당한다.
변환은 $u\; \backslash to\; 0\; \backslash to\; -1$ 로, $-u\; \backslash to\; \backslash infty\; \backslash to\; 1$ 로 대응시킨다.

이 변환을 $q=1$에서 계산하면, versor $u$를 다음과 같이 매핑한다.
:$f(u,1)\; =(1+u)^\{-1\}(1-u)$
이는 다음과 같이 계산될 수 있다.
:$f(u,1)\; =\; (1+u)^*(1-u)/\; |1+u|^2.$
여기서 $|1+u|^2\; =\; (1+u)(1+u^*)\; =\; (1+\backslash cos\backslash theta+r\backslash sin\backslash theta)(1+\backslash cos\backslash theta-r\backslash sin\backslash theta)\; =\; (1+\backslash cos\backslash theta)^2\; +\; \backslash sin^2\backslash theta\; =\; 1\; +\; 2\backslash cos\backslash theta\; +\; \backslash cos^2\backslash theta\; +\; \backslash sin^2\backslash theta\; =\; 2\; +\; 2\; \backslash cos\; \backslash theta$ 이고,
$(1+u^*)(1-u)\; =\; (1+\backslash cos\backslash theta-r\backslash sin\backslash theta)(1-(\backslash cos\backslash theta+r\backslash sin\backslash theta))\; =\; (1+\backslash cos\backslash theta-r\backslash sin\backslash theta)(1-\backslash cos\backslash theta-r\backslash sin\backslash theta)$
$=\; (1-r\backslash sin\backslash theta)^2\; -\; \backslash cos^2\backslash theta\; =\; 1\; -\; 2r\backslash sin\backslash theta\; -\; \backslash sin^2\backslash theta\; -\; \backslash cos^2\backslash theta\; =\; 1\; -\; 2r\backslash sin\backslash theta\; -\; 1\; =\; -2r\; \backslash sin\; \backslash theta$ 이다.

따라서,
:$f(u,1)\; =\; \backslash frac\{-2r\; \backslash sin\; \backslash theta\}\{2\; +\; 2\; \backslash cos\; \backslash theta\}\; =\; -r\; \backslash frac\; \{\backslash sin\; \backslash theta\}\{1\; +\; \backslash cos\; \backslash theta\}\; =\; -r\; \backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; .$

이러한 형식에서 케일리 변환은 회전의 유리수 매개변수화로 설명될 수 있다. 복소수에서의 항등식
:$e^\{-i\; \backslash varphi\}\; =\; \backslash frac\{1\; -\; ti\}\{1\; +\; ti\}$
에서 $t=\backslash tan(\backslash phi/2)$라고 하면, 우변은 $ti$의 케일리 변환이고 좌변은 복소평면에서의 $-\backslash phi$ 라디안 회전을 나타낸다. 사원수 케일리 변환은 이를 3차원 공간에서의 회전으로 확장한 것으로 볼 수 있다.

3. 성질

케일리 변환은 복소수, 행렬, 사원수 등 다양한 수학적 대상 위에서 정의되며, 각 대상의 구조적 특징을 반영하는 중요한 성질들을 가진다. 이 변환은 특정 공간이나 집합을 다른 형태의 공간이나 집합으로 대응시키는 역할을 하며, 대수적 구조와 기하학적 구조 사이의 관계를 탐구하는 데 유용하게 사용된다.

* [[복소수]]: 복소 평면 또는 리만 구 위에서 케일리 변환은 뫼비우스 변환의 일종으로 작용한다. 이는 특정 영역(예: 상반평면 또는 허수축)을 다른 영역(예: 단위 원판 또는 단위 원)으로 변환하는 성질을 가진다.
* [[행렬]]: 행렬 공간에서 케일리 변환은 특정 유형의 행렬(예: 반대칭 행렬, 반에르미트 행렬)을 다른 유형의 행렬(예: 직교 행렬, 유니터리 행렬)으로 대응시킨다. 이는 리 군과 그에 대응하는 리 대수 사이의 관계를 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.
* [[사원수]]: 사원수 대수에서도 케일리 변환을 정의할 수 있으며, 이는 특정 사원수 집합(예: 순허수 사원수)을 다른 집합(예: 단위 사원수, 즉 3차원 초구)으로 대응시키는 역할을 한다.

이처럼 케일리 변환은 다양한 수학적 구조에서 유사하면서도 각각의 특성을 반영하는 변환 관계를 제공하며, 해석학, 기하학, 대수학 등 여러 분야에서 중요한 응용을 가진다. 각 대상에서의 구체적인 정의와 성질은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

3.1. 복소수에서의 성질

케일리 변환
:$f\; \backslash colon\; z\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{1-z\}\{1+z\}$
은 리만 구 $\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash mathbb\; C\}\; =\; \backslash mathbb\; C\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash infty\backslash \}$ 위의 뫼비우스 변환을 이룬다. 이 변환은 다음과 같은 성질을 갖는다.

즉, 이 변환은 허수축과 단위원을 서로 바꾸며, 실수축은 고정시킨다. 또한, 실수부가 0 이상인 반평면(우반평면)은 닫힌 단위 원판에 대응된다.

--

복소 평면의 상반평면에서 정의되는 또 다른 형태의 케일리 변환은 다음과 같다.
:$f(z)\; =\; \backslash frac\; \{z\; -\; i\}\{z\; +\; i\}\; .$
이 변환은 세 점 $\backslash \{\backslash infty,\; 1,\; -1\backslash \}$을 각각 $\backslash \{1,\; -i,\; i\backslash \}$로 대응시킨다. 뫼비우스 변환은 복소 평면에서 일반화된 원(원 또는 직선)을 다른 일반화된 원으로 보내므로, 이 케일리 변환 $f$는 실수축을 단위 원으로 대응시킨다. 또한, $f$는 위상 동형이고 점 $i$는 $f$에 의해 0으로 변환되므로, 상반평면은 단위 원반으로 대응된다.

3.2. 행렬에서의 성질

$n\; \backslash times\; n$ 실수 정사각 행렬의 공간 $\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; R)$ 위에서 케일리 변환 $f$는 다음과 같이 정의된다.
:$f(M)\; =\; (I-M)(I+M)^\{-1\}$
여기서 $I$는 항등 행렬이고, $M$은 $I+M$이 가역 행렬이 되는 행렬이다. 이 변환은 $f(M)\; =\; (I+M)^\{-1\}(I-M)$과 같이 순서를 바꾸어 계산해도 동일하다.

실수 행렬의 경우

만약 $A$가 반대칭 행렬 ($A^\backslash top\; =\; -A$)이면, $I+A$는 항상 가역 행렬이며, 케일리 변환으로 얻어지는 행렬 $Q\; =\; f(A)$는 다음과 같은 성질을 가진다.
:$Q^\backslash top\; Q\; =\; ((I-A)(I+A)^\{-1\})^\backslash top\; (I-A)(I+A)^\{-1\}\; =\; (I+A^\backslash top)^\{-1\}\; (I-A^\backslash top)\; (I-A)(I+A)^\{-1\}$
$A^\backslash top\; =\; -A$이고 $(I+A)$와 $(I-A)$는 서로 교환 가능하므로, 위 식은 다음과 같이 정리된다.
:$Q^\backslash top\; Q\; =\; (I-A)^\{-1\}\; (I+A)\; (I-A)(I+A)^\{-1\}\; =\; (I-A)^\{-1\}\; (I-A)\; (I+A)(I+A)^\{-1\}\; =\; I\; \backslash cdot\; I\; =\; I$
따라서 $Q$는 직교 행렬이다 ($Q^\backslash top\; Q\; =\; I$).

또한, $Q$의 행렬식은 $\backslash det(Q)\; =\; \backslash det((I-A)(I+A)^\{-1\})\; =\; \backslash frac\{\backslash det(I-A)\}\{\backslash det(I+A)\}$이다. 함수 $t\; \backslash mapsto\; \backslash det(I-tA)/\backslash det(I+tA)$는 $t=0$일 때 값이 1이고, $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에서 연속이다. 직교 행렬의 행렬식은 $\backslash pm\; 1$만 가능하므로, 연속성에 의해 $\backslash det(Q)$는 항상 1이다. 즉, $Q$는 특수 직교 행렬이다.

결론적으로, 케일리 변환은 실수 반대칭 행렬의 리 대수 $\backslash mathfrak\{o\}(n,\; \backslash mathbb\{R\})$에서 특수 직교군 $\backslash operatorname\{SO\}(n,\; \backslash mathbb\{R\})$으로 가는 매끄러운 함수를 정의한다.
:$f\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\{o\}(n,\; \backslash mathbb\{R\})\; \backslash to\; \backslash operatorname\{SO\}(n,\; \backslash mathbb\{R\})$
:$A\; \backslash mapsto\; (I-A)(I+A)^\{-1\}$
이 함수는 $f(0)\; =\; I$를 만족하지만, 전사 함수는 아니다. 예를 들어 $\backslash mathfrak\{o\}(n,\; \backslash mathbb\{R\})$는 축약 가능 공간이지만 $\backslash operatorname\{SO\}(n,\; \backslash mathbb\{R\})$는 그렇지 않다.

역변환 (실수)

반대로, $-1$을 고유값으로 갖지 않는 임의의 직교 행렬 $Q$에 대해, 다음 변환은 반대칭 행렬 $A$를 생성한다.
:$A\; =\; (I-Q)(I+Q)^\{-1\}$
$Q$가 $-1$을 고유값으로 갖지 않는다는 조건은 $I+Q$가 가역 행렬임을 보장한다. 이 조건은 행렬식이 $-1$인 직교 행렬을 자동으로 제외하며, 일부 특수 직교 행렬도 제외될 수 있다.

다른 형태 및 일반화 (실수)

케일리 변환은 다음과 같은 형태로도 표현될 수 있다.
:
임의의 회전 행렬(특수 직교 행렬) $Q$는 어떤 반대칭 행렬 $A$에 대해 $Q\; =\; \backslash bigl((I\; -\; A)(I\; +\; A)^\{-1\}\backslash bigr)^2$ 형태로 쓸 수 있다. 더 일반적으로, 임의의 직교 행렬 $Q$는 $Q\; =\; E(I\; -\; A)(I\; +\; A)^\{-1\}$ 형태로 표현 가능하며, 여기서 $E$는 대각 성분이 $\backslash pm\; 1$인 대각 행렬이다.

복소수 행렬의 경우

케일리 변환은 복소수 행렬로 확장될 수 있다. 이 경우 "직교 행렬"은 "유니터리 행렬"로, "반대칭 행렬"은 "반에르미트 행렬" ($A^H\; =\; -A$)로 대체되며, 행렬 전치($\backslash cdot^\backslash top$)는 켤레 전치($\backslash cdot^H$)로 대체된다. 즉, 표준 실수 내적을 표준 복소수 내적으로 대체하는 것과 같다.

* 반에르미트 행렬 $\backslash leftrightarrow$ 유니터리 행렬: $A$가 반에르미트 행렬이면, 케일리 변환 $Q\; =\; (I-A)(I+A)^\{-1\}$는 유니터리 행렬 ($Q^H\; Q\; =\; I$)을 생성한다. 이 변환은 반에르미트 행렬의 실수 리 대수 $\backslash mathfrak\{u\}(n)$에서 유니터리 군 $\backslash operatorname\{U\}(n)$으로 가는 매끄러운 함수 $f\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\{u\}(n)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{U\}(n)$를 정의한다.
* 복소수 반대칭 행렬 $\backslash leftrightarrow$ 복소수 특수 직교 행렬: 복소수 반대칭 행렬 ($A^\backslash top\; =\; -A$, $A\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; C)$)의 복소수 리 대수 $\backslash mathfrak\{o\}(n,\; \backslash mathbb\{C\})$에서 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬의 리 군 $\backslash operatorname\{SO\}(n,\; \backslash mathbb\{C\})$으로 가는 함수 $f\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\{o\}(n,\; \backslash mathbb\{C\})\; \backslash to\; \backslash operatorname\{SO\}(n,\; \backslash mathbb\{C\})$도 정의할 수 있다.

주의사항

행렬 $A$가 반대칭 행렬(또는 반에르미트 행렬)이라는 조건은 변환된 행렬 $Q$가 $-1$을 고유값으로 갖지 않는 직교 행렬(또는 유니터리 행렬)이라는 조건과 동치이다.

케일리 변환 자체는 $I+M$이 가역이기만 하면 임의의 정사각 행렬 $M$에 대해 정의될 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 변환이 가능하다.
:$$
\begin{bmatrix} 0 & -a & ab - c \\ 0 & 0 & -b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\leftrightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 2a & 2c \\ 0 & 1 & 2b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} .

그러나 이 경우 변환된 행렬이 반드시 직교 행렬이나 유니터리 행렬이 되는 것은 아니다.

3.3. 사원수에서의 성질

사원수 대수 $\backslash mathbb\; H$ 위에서도 케일리 변환을 정의할 수 있다.
:$f:\; \backslash mathbb\; H\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash infty\backslash \}\; \backslash to\; \backslash mathbb\; H\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash infty\backslash \}$
:$f(q)\; =\; \backslash frac\{1-q\}\{1+q\}$
여기서 $1-q$와 $1+q$는 서로 교환 가능하므로 나눗셈 순서는 상관없다. 이 변환은 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화
:$(\backslash mathrm\; i\backslash mathbb\; R+\backslash mathrm\; j\backslash mathbb\; R+\backslash mathrm\; k\backslash mathbb\; R)\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash infty\backslash \}$
를 절댓값이 1인 사원수로 구성된 3차원 초구
:$\backslash mathbb\; S^3\; =\; \backslash \{q\; \backslash in\; \backslash mathbb\; H\; \backslash mid\; |q|\; =\; 1\; \backslash \}$
로 대응시킨다. 이는 리 대수 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$(의 알렉산드로프 콤팩트화)와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 볼 수 있지만, 리 대응과는 다른 사상이다.

사원수 $a+b\backslash vec\{i\}+c\backslash vec\{j\}+d\backslash vec\{k\}$는 4차원 공간의 점으로 볼 수 있는데, 이 공간에서 versor
:$u(\backslash theta,\; r)\; =\; \backslash cos\; \backslash theta\; +\; r\; \backslash sin\; \backslash theta$
는 단위 3-구를 형성한다.

사원수는 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않기 때문에, 환 위의 사영 직선의 원소는 동차 좌표를 $U[a,b]$와 같이 표기하여 동차 인자가 왼쪽에 곱해짐을 나타낸다. 사원수 케일리 변환은 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:

실수 및 복소수에서의 케일리 변환(호모그래피)은 각각 $\backslash theta$가 0 또는 $\backslash pi/2$인 경우의 사원수 호모그래피로 볼 수 있다. 이 변환은 $u\; \backslash to\; 0\; \backslash to\; -1$ 로, $-u\; \backslash to\; \backslash infty\; \backslash to\; 1$ 로 점을 이동시킨다.

이 변환을 $q=1$에서 계산하면, versor $u$를 다음 값으로 매핑한다.
:$f(u,1)\; =(1+u)^\{-1\}(1-u)$
계산을 통해 다음 결과를 얻을 수 있다.
:$f(u,1)\; =\; -r\; \backslash frac\; \{\backslash sin\; \backslash theta\}\{1\; +\; \backslash cos\; \backslash theta\}\; =\; -r\; \backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; .$

이러한 형식은 회전을 유리수 매개변수로 표현하는 방식과 관련이 있다. 복소수에서의 항등식
:$e^\{-i\; \backslash varphi\}\; =\; \backslash frac\{1\; -\; ti\}\{1\; +\; ti\}$
(여기서 $t=\backslash tan(\backslash phi/2)$)과 유사한 관계를 보여준다. 이 복소수 항등식의 우변은 $ti$에 대한 케일리 변환이고, 좌변은 복소평면에서 $-\backslash phi$ 라디안만큼 회전하는 것을 나타낸다.

4. 응용

케일리 변환은 실수, 복소수, 사원수, 행렬 등 다양한 수학적 대상에 적용되어 여러 분야에서 활용된다. 이는 대수적 구조와 기하학적 구조를 연결하는 중요한 도구로 기능한다.

* [[호모그래피]]: 실수, 복소수, 사원수 위에서의 호모그래피 변환으로 정의될 수 있다.
* 실수 영역에서는 실수 투사 직선 위의 점들을 변환하며, 예를 들어 양의 실수 전체를 특정 구간으로 대응시키는 데 사용된다.
* 복소수 영역에서는 복소 평면의 상반평면을 단위 원반으로 변환하는 데 중요하게 사용된다. 이는 쌍곡 기하학의 푸앵카레 모형들을 연결하고, 전기 공학의 스미스 차트 작성에도 응용된다.
* 사원수 영역에서는 3차원 벡터 공간과 3차원 초구 사이의 대응 관계를 제공하며, 3차원 회전 표현과 리 군 이론(예: SU(2)와 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$)과 관련된다.
* [[행렬]] 매핑: 정사각 행렬 공간에서 정의되어, 특정 종류의 행렬(예: 반대칭 행렬)을 다른 종류의 행렬(예: 직교 행렬)로 변환한다. 이는 리 군과 리 대수 사이의 관계를 탐구하는 데 사용된다.

각 응용 분야에서의 구체적인 정의와 성질은 이어지는 하위 섹션들에서 자세히 설명된다.

4.1. 실수 호모그래피

케일리 변환의 간단한 예는 실수 투사 직선에서 수행될 수 있다. 여기서 케일리 변환은 {1, 0, −1, ∞}의 요소를 순서대로 순열시킨다. 예를 들어, 양의 실수를 구간 [−1, 1]로 매핑한다. 따라서 케일리 변환은 르장드르 유리 함수를 사용하여 양의 실수에 대한 함수에 사용할 수 있도록 르장드르 다항식을 적용하는 데 사용된다.

실수 호모그래피로서, 점은 사영 좌표로 설명되며, 매핑은 다음과 같다.
:

4.2. 복소수 호모그래피

--
복소 평면의 상반평면에서 케일리 변환은 다음과 같이 정의된다.
:$f(z)\; =\; \backslash frac\; \{z\; -\; i\}\{z\; +\; i\}$

이 변환은 뫼비우스 변환의 성질에 따라 복소 평면에서 일반화된 원(원 또는 직선)을 다른 일반화된 원으로 보낸다. 실수축 위의 세 점 $\backslash \{\backslash infty,\; 1,\; -1\backslash \}$이 단위 원 위의 세 점 $\backslash \{1,\; -i,\; i\backslash \}$으로 매핑되므로, $f$는 실수축 전체를 단위 원으로 변환한다. 또한, $f$는 위상 동형이며 상반평면의 점 $i$를 $0$으로 변환시키므로, 상반평면 전체를 단위 원반으로 매핑한다.

쌍곡 기하학의 모형 관점에서, 이 케일리 변환은 푸앵카레 상반평면 모형을 푸앵카레 원반 모형과 관련시킨다.

전기 공학에서는 케일리 변환을 이용하여 리액턴스 반평면을 스미스 차트로 매핑하며, 이는 전송선의 임피던스 매칭에 사용된다.

4.3. 사원수 호모그래피

사원수 대수 $\backslash mathbb\; H$ 위에서의 케일리 변환은 다음과 같이 정의된다.
:$f\; \backslash colon\; \backslash mathbb\; H\backslash cup\backslash \{\backslash infty\backslash \}\; \backslash to\; \backslash mathbb\; H\backslash cup\backslash \{\backslash infty\backslash \}$
:$f(q)\; =\; \backslash frac\{1-q\}\{1+q\}$
여기서 $1-q$와 $1+q$는 서로 가환이므로, 분수를 왼쪽 나눗셈으로 보든 오른쪽 나눗셈으로 보든 결과는 같다. 이 변환은 실수부가 0인 순허수 사원수들로 이루어진 3차원 유클리드 공간에 무한대 점을 추가한 알렉산드로프 콤팩트화 공간
:$(\backslash mathrm\; i\backslash mathbb\; R+\backslash mathrm\; j\backslash mathbb\; R+\backslash mathrm\; k\backslash mathbb\; R)\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash infty\backslash \}$
을 절댓값이 1인 사원수들의 집합인 3차원 초구
:$\backslash mathbb\; S^3\; =\; \backslash \{q\backslash in\backslash mathbb\; H\; \backslash colon\; |q|\; =\; 1\; \backslash \}$
로 대응시킨다. 이는 리 대수 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$의 알렉산드로프 콤팩트화와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 해석할 수도 있다. (이는 리 대응과는 다른 사상이다.)

사원수 $a+b\backslash vec\{i\}+c\backslash vec\{j\}+d\backslash vec\{k\}$로 표현되는 4차원 공간에서, 특정 형태의 사원수인 버서(versor)
:$u(\backslash theta,\; r)\; =\; \backslash cos\; \backslash theta\; +\; r\; \backslash sin\; \backslash theta$ (여기서 $r$은 절댓값이 1인 순허수 사원수, 즉 $r^2\; =\; -1$이다)
는 단위 3차원 초구 $\backslash mathbb\; S^3$ 위의 점을 나타낸다.

사원수는 곱셈에 대해 비가환적이므로, 환 위의 사영 직선의 원소는 동차 좌표 $U[a,b]$로 표기하여 동차 인자가 왼쪽에 곱해짐을 나타낸다. 사원수 호모그래피 변환은 다음과 같이 정의된다.
:
여기서 $u$는 버서이고 $q$는 사원수이다. $\backslash sim$는 동치관계를 나타내며, 이는 사원수 스칼라 곱에 의한 동치이다.

앞서 설명된 실수 및 복소수 호모그래피는 각각 버서 $u$의 각도 $\backslash theta$가 0 ($u=1$) 또는 $\backslash pi/2$ ($u=r$)인 특별한 경우에 해당한다.
이 변환은 $u\; \backslash mapsto\; 0\; \backslash mapsto\; -1$ 이고 $-u\; \backslash mapsto\; \backslash infty\; \backslash mapsto\; 1$ 이다.

이 호모그래피를 $q=1$에서 계산하면, 버서 $u$를 특정 축 벡터로 매핑하는 것을 볼 수 있다.
:$f(u,1)\; =(1+u)^\{-1\}(1-u)$
$|1+u|^2\; =\; (1+u)(1+u^*)\; =\; (1+u)(1+u^\{-1\})\; =\; 1+u+u^\{-1\}+1\; =\; 2\; +\; (\backslash cos\backslash theta\; +\; r\backslash sin\backslash theta)\; +\; (\backslash cos\backslash theta\; -\; r\backslash sin\backslash theta)\; =\; 2\; +\; 2\; \backslash cos\; \backslash theta$ 이고,
$(1+u^*)(1-u)\; =\; (1+u^\{-1\})(1-u)\; =\; 1-u+u^\{-1\}-1\; =\; u^\{-1\}-u\; =\; (\backslash cos\backslash theta\; -\; r\backslash sin\backslash theta)\; -\; (\backslash cos\backslash theta\; +\; r\backslash sin\backslash theta)\; =\; -2\; r\; \backslash sin\; \backslash theta$ 이므로,
:$f(u,1)\; =\; \backslash frac\{(1+u^*)(1-u)\}\{|1+u|^2\}\; =\; \backslash frac\{-2r\; \backslash sin\; \backslash theta\}\{2\; +\; 2\; \backslash cos\; \backslash theta\}\; =\; -r\; \backslash frac\{\backslash sin\; \backslash theta\}\{1\; +\; \backslash cos\; \backslash theta\}$
삼각함수 반각 공식에 의해 $\backslash tan(\backslash theta/2)\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; \backslash theta\}\{1\; +\; \backslash cos\; \backslash theta\}$ 이므로, 다음을 얻는다.
:$f(u,1)\; =\; -r\; \backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; .$
즉, 버서 $u\; =\; \backslash cos\; \backslash theta\; +\; r\; \backslash sin\; \backslash theta$는 케일리 변환을 통해 순허수 벡터 $-r\; \backslash tan(\backslash theta/2)$로 변환된다. 이는 버서를 그 회전축 방향($r$)과 관련된 벡터로 대응시키는 것을 의미한다.

이러한 형태는 회전을 유리수 매개변수로 나타내는 방법과 관련이 있다. 복소수의 경우, 오일러 공식과 유사한 관계식에서 $t=\backslash tan(\backslash phi/2)$라고 하면 다음과 같다.
:$e^\{-i\; \backslash varphi\}\; =\; \backslash frac\{1\; -\; ti\}\{1\; +\; ti\}$
여기서 우변은 $ti$에 대한 케일리 변환이고, 좌변은 복소평면에서 $-\backslash phi$ 라디안만큼 회전시키는 것을 나타낸다. 사원수 케일리 변환 $f(u,1)\; =\; -r\; \backslash tan(\backslash theta/2)$는 3차원 공간에서의 회전과 관련된 유사한 역할을 한다.

$u^*\; =\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; u^\{-1\}$는 $u$의 켤레 사원수이자 역원이다. 변환 행렬과 그 역행렬(에 비례하는 행렬)의 곱은 다음과 같다.
:
여기서 동치 관계 $\backslash sim$는 사원수 위에서의 사영 선형군 안에서 성립한다. 이를 이용하여 $f(u,\; q)$의 역함수 $f^\{-1\}(u,\; p)$를 구할 수 있다. $p\; =\; (q+u)^\{-1\}(q-u)$라고 하면,
:

호모그래피는 전단사 함수이므로, 역변환 $f^\{-1\}$는 벡터 사원수(즉, 순허수 사원수, ℝ³에 해당)를 버서($\backslash mathbb\{S\}^3$ 위의 점)로 사상한다. 버서는 3차원 공간에서의 회전을 나타내므로, 역변환 $f^\{-1\}$는 3차원 벡터 공간 ℝ³의 점들로부터 3차원 회전을 생성하는 방법으로 해석될 수 있다.

4.4. 행렬 매핑

$n\backslash times\; n$ 실수 정사각 행렬의 환 $\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; R)$ 위의 케일리 변환은 다음과 같이 정의된다.
:$f\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; R)\; \backslash setminus\; X\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; R)$
:$M\; \backslash mapsto\; (I-M)(I+M)^\{-1\}\; =\; (I+M)^\{-1\}(I-M)$
여기서 $X$는 $I+M$이 가역 행렬이 아니게 되는 행렬들의 부분 집합이고, $I$는 항등 행렬이다.

만약 $M$이 반대칭 행렬 ($M^\backslash top\; =\; -M$)이라면, $I+M$은 항상 가역 행렬이며, 케일리 변환으로 얻어지는 행렬 $Q\; =\; f(M)$은 직교 행렬이다 (즉, $Q^\backslash top\; Q\; =\; I$). 또한, 이 행렬 $Q$의 행렬식은 항상 +1이므로, $Q$는 특수 직교 행렬 ($Q\; \backslash in\; \backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; R)$)이다. 이는 반대칭 행렬의 공간 $\backslash mathfrak\; o(n;\backslash mathbb\; R)$이 연결 공간이고, 행렬식 함수 $\backslash det\; \backslash circ\; f$가 연속 함수이며 $\backslash det\; f(0)\; =\; 1$이기 때문이다. 따라서 케일리 변환은 반대칭 행렬의 공간에서 특수 직교 행렬의 공간으로 가는 매끄러운 함수를 정의한다.
:$f\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\; o(n;\backslash mathbb\; R)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; R)$
:$f\; \backslash colon\; 0\; \backslash mapsto\; I$
하지만 이 함수는 전사 함수는 아니다. (예를 들어, $\backslash mathfrak\; o(n;\backslash mathbb\; R)$는 축약 가능 공간이지만 $\backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; R)$는 그렇지 않다.)

반대로, 고유값으로 -1을 갖지 않는 임의의 직교 행렬 Q에 대해, 다음과 같이 정의된 A는 반대칭 행렬이다.
:$A\; =\; (I\; -\; Q)(I\; +\; Q)^\{-1\}\; \backslash ,\backslash !$
이 변환은 행렬식이 -1인 직교 행렬과 일부 특수 직교 행렬을 제외한다.

임의의 회전(특수 직교 행렬) 행렬 Q는 어떤 반대칭 행렬 A에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다.
:$Q\; =\; \backslash bigl((I\; -\; A)(I\; +\; A)^\{-1\}\backslash bigr)^2$
더 일반적으로, 임의의 직교 행렬 Q는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$Q\; =\; E(I\; -\; A)(I\; +\; A)^\{-1\}$
여기서 E는 대각 성분이 ±1인 대각 행렬이다.

약간 다른 형태의 변환 공식도 존재한다.
:$\backslash begin\{align\}$
Q &= (I - A)^{-1}(I + A), \\[5mu]
A &= (Q - I)(Q + I)^{-1}.
\end{align}
변환식은 인수의 순서를 바꾸어 쓸 수도 있지만($Q\; =\; (I+A)(I-A)^\{-1\}$ 등), A는 항상 $(\backslash mu\; I\; \backslash pm\; A)^\{-1\}$와 교환 가능하므로 결과는 동일하다.

복소수 정사각 행렬의 환 $\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; C)$ 위에서도 유사한 케일리 변환을 정의할 수 있다. 이를 제한하면 다음과 같은 매끄러운 함수들을 얻는다.
:$(f\; \backslash restriction\; \backslash mathfrak\; o(n;\backslash mathbb\; C))\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\; o(n;\backslash mathbb\; C)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; C)$
:$(f\; \backslash restriction\; \backslash mathfrak\; u(n;\backslash mathbb\; C))\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\; u(n;\backslash mathbb\; C)\; \backslash to\; \backslash operatorname\; U(n;\backslash mathbb\; C)$
여기서 각 기호는 다음을 의미한다.
* $\backslash mathfrak\; o(n;\backslash mathbb\; C)$: 복소수 반대칭 행렬의 복소수 리 대수.
* $\backslash mathfrak\; u(n;\backslash mathbb\; C)$: 복소수 반에르미트 행렬의 실수 리 대수.
* $\backslash operatorname\{SO\}(n;\backslash mathbb\; C)$: 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬로 구성된 리 군.
* $\backslash operatorname\; U(n;\backslash mathbb\; C)$: 유니터리 군.

=== 예시 ===
==== 2×2 경우 ====
2차원 회전 행렬의 경우, 케일리 변환은 다음과 같다.
:$$
\begin{bmatrix} 0 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 0 \end{bmatrix}
\leftrightarrow
\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} .

여기서 180° 회전 행렬($-I$)은 $\backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}$가 무한대로 발산하므로 제외된다.

==== 3×3 경우 ====
3차원 회전 행렬의 경우, 변환은 다음과 같다.
:$$
A = \begin{bmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0 \end{bmatrix}
\leftrightarrow
Q = \frac{1}{K}
\begin{bmatrix}
w^2+x^2-y^2-z^2 & 2 (x y-w z) & 2 (w y+x z) \\
2 (x y+w z) & w^2-x^2+y^2-z^2 & 2 (y z-w x) \\
2 (x z-w y) & 2 (w x+y z) & w^2-x^2-y^2+z^2
\end{bmatrix} ,

여기서 $K\; =\; w^2+x^2+y^2+z^2$이고 $w=1$이다. 이 행렬 Q는 사원수 $w\; +\; \backslash mathbf\{i\}\; x\; +\; \backslash mathbf\{j\}\; y\; +\; \backslash mathbf\{k\}\; z$에 해당하는 회전 행렬과 같다 (단, $w=1$로 스케일링됨). 벡터 $(x,\; y,\; z)$는 $\backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}$로 스케일링된 회전 축 벡터에 해당한다. 이 경우에도 180° 회전(즉, 대칭 행렬인 Q)은 제외된다.

5. 역사

아서 케일리가 반대칭 행렬에 대하여 1846년에 최초로 도입했다.