슈피커 중심

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1. 개요

슈피커 중심은 삼각형의 중점 삼각형의 내접원인 슈피커 원의 중심을 의미한다. 슈피커 중심은 삼각형의 중심 삼각형의 내심이자, 세 클리버의 교차점에 위치하며, 세 변의 중점에 질량을 가진 와이어 프레임의 질량 중심과 같다. 슈피커 중심의 삼선좌표는 bc(b+c) : ca(c+a) : ab(a+b)이고, 세 방접원의 멱중심이며, 내심, 무게중심, 나겔 점과 공선 관계에 있다. 또한, 슈피커 중심은 키퍼트 쌍곡선 위에 위치한다.

슈피커 중심

정의

정의	삼각형 둘레의 질량 중심
다른 이름	둘레 중심 둘레 무게 중심

성질

위치	방심 삼각형의 내심
좌표	바리중심 좌표: ((a : b : c)) 삼선 좌표: (b + c : c + a : a + b)
관련 개념	슈피커 원
이름 유래	테오도르 슈피커

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삼각형의 중심 - 수심 (기하학)
수심은 삼각형의 세 꼭짓점에서 각 변에 내린 수선이 만나는 점으로, 삼각형의 종류에 따라 위치가 달라지며, 외심, 무게중심 등 다른 중심들과 관련되어 기하학적 문제 해결에 활용되는 중요한 기하학적 성질이다.

1. 개요
2. 정의
3. 위치
4. 성질

2. 정의

삼각형 $ABC$ 의 중점 삼각형의 내접원을 원래 삼각형 $ABC$ 의 슈피커 원(슈피커 원/Spieker^독일어)이라고 하고, 이 원의 중심 $S$ 를 삼각형 $ABC$ 의 슈피커 중심이라고 한다.

3. 위치

삼각형 의 슈피커 중심은 의 중심 삼각형의 내심이며, 의 중심 삼각형에 내접하는 원의 중심이다. 이 원은 슈피커 원으로 알려져 있다.

슈피커 중심은 또한 삼각형 의 세 클리버의 교차점에 위치한다. 클리버는 삼각형의 둘레를 이등분하고 세 변 중 하나의 중점을 끝점으로 갖는 선분이다. 각 클리버는 경계의 질량 중심을 포함하므로 세 개의 클리버는 슈피커 중심에서 만난다.

길이 를 갖는 선분 형태의 세 개의 와이어로 구성된 삼각형 모양의 균질한 와이어 프레임을 고려해 보면, 중심 삼각형의 내심이 클리버의 교차점과 일치한다는 것을 알 수 있다. 와이어 프레임은 변 의 중점 에 배치된 질량 의 세 개의 입자 시스템과 동일한 질량 중심을 갖는다. 와 의 입자 질량 중심은 세그먼트 를 비율 로 나누는 점 이다. 선 는 의 내각 이등분선이다. 따라서 세 입자 시스템의 질량 중심은 의 내각 이등분선 위에 있다. 유사한 논증은 세 입자 시스템의 질량 중심이 또한 와 의 내각 이등분선 위에 있다는 것을 보여준다. 결과적으로 와이어 프레임의 질량 중심은 삼각형 의 각의 내각 이등분선의 공점인 점이며, 이는 중심 삼각형 의 내심이다.

4. 성질

삼각형 의 슈피커 중심을 라고 할 때, 의 삼선좌표는 $bc(b+c) : ca(c+a) : ab(a+b)$ 이다. 무게중심 좌표는 $b+c : c+a : a+b$ 이다.

는 세 개의 방접원의 멱중심이다. 또한, 는 삼각형 의 절단점이다.

는 삼각형 의 내심 (), 무게중심 (), 나겔 점 ()과 공선이다. 게다가, $IS= SM, \quad IG= 2 \cdot GS, \quad MG= 2\cdot IG$ 이다. 따라서 적절하게 크기를 조정하고 위치를 지정한 수직선에서 , , , and 이다. 즉, $3 \overrightarrow{\mathrm{IG}}= 2 \overrightarrow{\mathrm{IS}}= \overrightarrow{\mathrm{IN}}$ 가 성립한다.

는 키퍼트 쌍곡선 위에 있다. 는 선 의 공점이며, 여기서 는 삼각형 의 변을 밑변으로 하여 구성된 유사하고, 이등변이며, 유사하게 위치한 삼각형이며, 공통 밑각은 $\theta = \tan^{-1}\left[ \tan\left(\frac{A}{2}\right) \tan\left(\frac{B}{2}\right) \tan\left(\frac{C}{2}\right) \right]$ 이다.