중점 삼각형

1. 개요

중점 삼각형은 삼각형의 세 변의 중점을 연결하여 만들어지는 삼각형이다. 중점 삼각형은 원래 삼각형의 무게중심을 중심으로 -1/2 비율로 축소된 도형이며, 세 변은 원래 삼각형의 변에 평행하고 길이는 1/2이다. 중점 삼각형의 수심은 원래 삼각형의 외심과 일치하며, 9점원은 중점 삼각형의 외접원이다. 중점 삼각형의 나겔 점은 원래 삼각형의 내심과 일치한다. 반대로, 원래 삼각형은 중점 삼각형의 반보충 삼각형 또는 역보 삼각형이라고 불린다.

2. 정의

삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB의 중점을 각각 D, E, F라고 할 때, 삼각형 DEF를 삼각형 ABC의 중점 삼각형이라고 한다.

3. 성질

중점 삼각형은 원래 삼각형과 여러 흥미로운 기하학적 관계를 맺고 있다. 중점 삼각형은 무게 중심을 중심으로 하고 -1/2을 비로 하는 중심 닮음 변환에 대한 원래 삼각형의 상이다.

* M: 의 외심, 의 수심
* N: 의 내심, 의 나겔 점
* S: 와 의 무게중심
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또한, 중점 삼각형은 닮음 변환에 의해 변환된 의 이미지로 볼 수 있으며, 이때 변환의 중심은 무게중심이고 비율은 -1/2이다.

참조 삼각형의 중점 삼각형은 참조 삼각형의 수심과 꼭짓점 사이의 중점을 꼭짓점으로 하는 삼각형과 합동이다.

3.1. 기본 성질

삼각형 ABC의 세 변 BC, AC, AB의 중점을 각각 D, E, F라고 할 때, 삼각형 DEF를 삼각형 ABC의 중점 삼각형이라고 한다.

중점 삼각형의 세 변은 각각 원래 삼각형의 세 변에 평행하며, 길이는 각각 원래 삼각형 세 변의 길이의 1/2이다. 이는 중점 연결 정리로부터 쉽게 유도된다. 중점 삼각형과 원래 삼각형은 닮음이며, 닮음비는 1:2이다. 또한, 닮음의 중심은 무게중심 (두 삼각형의 무게중심은 일치한다)이다.

중점 삼각형의 둘레는 삼각형 ABC의 반둘레와 같고, 넓이는 삼각형 ABC 넓이의 1/4이다. 원래 삼각형이 중점 삼각형에 의해 나뉘어진 네 개의 작은 삼각형들은 모두 합동이다.

원래 삼각형에 대한 중점 삼각형처럼, 무게중심을 중심으로 -1/2 배 확대한 도형을 원래 도형의 "Complement"라고 한다. 도형이 점이라면, 그 Complement를 보점이라고 한다.

3.2. 삼각형의 중심

중점 삼각형의 무게 중심은 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 중점 삼각형의 수심은 원래 삼각형의 외심과 일치하며, 이 사실은 외심, 무게중심, 수심의 공선을 증명하는 도구를 제공한다. 중점 삼각형의 외접원은 원래 삼각형의 구점원과 일치하며, 따라서 구점원의 중심은 중점 삼각형의 외심이다. 중점 삼각형의 나겔 점은 원래 삼각형의 내심과 일치한다.

원래 삼각형에 대한 중점 삼각형처럼, 무게중심을 중심으로 -1/2 배 확대한 도형을, 원래 도형의 "Complement"라고 하며, 도형이 점이라면, 그 Complement를 보점이라고 한다.

다음은 Complement의 예시이다.

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좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

중점 삼각형	원래 삼각형
꼭짓점	변의 중점
무게중심	무게중심
내심	슈피커 점
외심	9점 원의 중심
수심	외심
제르곤 점	미텐푸크트
나겔 점	내심
드 롱샹 점	수심
제3 브로카르 점	브로카르 중점
오일러 선	오일러 선
외접원	9점 원
내접원	슈피커 원
슈타이너 외접 타원	슈타이너 내접 타원

3.3. 기타 성질

중점 삼각형은 원래 삼각형의 외심의 족삼각형이다. 원래 삼각형과 그 중점 삼각형은 직교 삼각형이다. 삼각형의 내심은 항상 중점 삼각형 안에 존재한다. 어떤 점이 삼각형 내부의 내접 타원의 중심이 될 필요충분조건은 그 점이 중점 삼각형 내부에 있는 것이다. 중점 삼각형은 다른 세 개의 내부 삼각형 중 어떤 것도 더 작은 넓이를 갖지 않는 유일한 내접 삼각형이다.

중점 삼각형의 수심은 원래 삼각형의 외심과 일치하고, 중점 삼각형의 나겔 점은 원래 삼각형의 내심이다.

4. 좌표

삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 변의 길이를 $a\; =\; |BC|,\; b\; =\; |CA|,\; c\; =\; |AB|$라고 할 때, 중점 삼각형 $\backslash triangle\; EFD$의 꼭짓점에 대한 삼선좌표는 다음과 같다.

바리 중심 좌표계에서 중점 삼각형은 다음과 같이 표현된다.

$\backslash begin\{bmatrix\}$
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}

5. 반보충 삼각형 (역보 삼각형)

삼각형 EFD가 삼각형 ABC의 중점 삼각형이라면, 삼각형 ABC는 삼각형 EFD의 반보충 삼각형 또는 역보 삼각형이다. 반보충 삼각형은 원래 삼각형의 각 꼭짓점을 지나면서 대변에 평행한 세 직선으로 이루어진다. 즉, C를 지나면서 AB에 평행한 직선, B를 지나면서 AC에 평행한 직선, A를 지나면서 BC에 평행한 직선으로 구성된다.

반보충 삼각형의 꼭짓점은 원래 삼각형의 반보충점(무게중심에 대해 -2배 닮음 변환된 점)이다. 이는 중점 삼각형의 꼭짓점이 A, B, C의 보충점인 것과 대응된다.

삼각형 ABC에 대한 반보충 삼각형 E'F'D'의 꼭짓점에 대한 삼선좌표는 다음과 같다.

바리 중심 좌표계에서 반보충 삼각형은 다음과 같이 표현된다.

$\backslash begin\{bmatrix\}$
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
\end{bmatrix}