방접원

1. 개요

방접원은 삼각형의 세 변의 직선에 접하는 네 개의 원 중 내접원을 제외한 세 원을 의미한다. 각 방접원의 중심을 방심이라고 하며, 방심과 삼각형의 변 사이의 거리는 방접원의 반지름과 같다. 방심은 두 외각의 이등분선과 한 내각의 이등분선의 교점이다. 방접원과 관련된 성질로, 구점원은 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접하며, 방심 삼각형, 베번 점, 나겔 점, 외촉 삼각형 등이 있다.

2. 정의

삼각형의 세 변의 직선에 동시에 접하는 원은 정확히 4개 존재한다. 이 중 세 변의 내부에서 접하는 원을 내접원이라 한다. 나머지 3개의 원은 각각 삼각형의 한 변과 다른 두 변의 연장선에 접하며, 이들을 방접원이라 한다. 각 방접원의 중심을 방심이라 하며, 보통 $J\_A$, $J\_B$, $J\_C$로 표기한다.

3. 성질

방심은 삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점이다. 방심과 삼각형의 세 변 사이의 거리는 모두 같으며, 이는 해당 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름과 같다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 세 방접원과 외접하고 내접원과는 내접한다.

3.1. 반지름

삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$, 반둘레를 $s$, 넓이를 $S$라고 하자. 외접원과 내접원의 반지름을 각각 $R$와 $r$라고 하자. 꼭짓점 $A$, $B$, $C$와 마주보는 방접원의 반지름을 각각 $r\_A$, $r\_B$, $r\_C$라고 하자. 다음 항등식들이 성립한다.

:$r\_A=\backslash frac\; S\{s-a\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\{s(s-b)(s-c)\}\{s-a\}\}=s\backslash tan\backslash frac\; A2$
:$r\_B=\backslash frac\; S\{s-b\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\{s(s-a)(s-c)\}\{s-b\}\}=s\backslash tan\backslash frac\; B2$
:$r\_C=\backslash frac\; S\{s-c\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\{s(s-a)(s-b)\}\{s-c\}\}=s\backslash tan\backslash frac\; C2$
:$\backslash frac\; 1\{r\_A\}+\backslash frac\; 1\{r\_B\}+\backslash frac\; 1\{r\_C\}=\backslash frac\; 1r$
:$r\_A+r\_B+r\_C-r=4R$

3.2. 접점

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$와 마주보는 방접원이 대변과 접하는 점을 각각 $T\_A$, $T\_B$, $T\_C$라고 하자. 직선 $AT\_A$, $BT\_B$, $CT\_C$는 모두 삼각형의 둘레를 이등분한다. 반둘레를 $s$라고 할 때, 다음이 성립한다.

:$BT\_C=CT\_B=s-a$
:$CT\_A=AT\_C=s-b$
:$AT\_B=BT\_A=s-c$

4. 방심 삼각형과 베번 점

삼각형 $ABC$의 세 방심 $J\_A$, $J\_B$, $J\_C$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $J\_AJ\_BJ\_C$를 방심 삼각형이라고 한다. 방심 삼각형의 외접원을 베번 원이라고 하며, 베번 원의 중심을 베번 점($V$)이라고 한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 삼각형의 외심은 내심과 베번 점의 중점이다. 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다. 방심 삼각형의 넓이 $S\_\{J\_AJ\_BJ\_C\}$는 다음과 같이 주어진다. ($s$: 반둘레, $R$: 외접원의 반지름)

:$S\_\{J\_AJ\_BJ\_C\}=2sR$

5. 나겔 점과 외촉 삼각형

삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 마주보는 방접원과 대변의 접점을 각각 $T\_A$, $T\_B$, $T\_C$라고 할 때, 체바 정리에 따라 선분 $AT\_A$, $BT\_B$, $CT\_C$는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 $ABC$의 나겔 점(Nagel point^영어) $X\_8$이라고 한다. 나겔 점에 대한 체바 삼각형(즉, 세 방접원의 접점을 꼭짓점으로 하는 삼각형)을 외촉 삼각형(extouch triangle^영어) $T\_A\text{'}T\_B\text{'}T\_C\text{'}$이라고 한다. 나겔 점은 독일의 수학자 크리스티안 하인리히 폰 나겔(Christian Heinrich von Nagel^독일어)의 이름을 따서 명명되었다.