시에르핀스키 카펫

3. 성질

시에르핀스키 카펫의 면적은 표준 르베그 측도에서 0이다.^[2]

:'''증명:''' ''a_i''를 ''i''번째 반복에서 얻어지는 도형의 면적으로 나타낸다. 그러면 ''a_i+1'' = (8/9)''a_i''이다. 따라서 ''a_i'' = (8/9)^''i''인데, 이 값은 ''i''가 무한대로 갈 때 0으로 수렴한다.

카펫의 내부는 비어있다.^[2]

:'''증명:''' 귀류법을 사용하여 카펫 내부에 점 P가 있다고 가정하자. 그러면 P를 중심으로 하고 카펫에 완전히 포함된 정사각형이 존재한다. 이 정사각형은 어떤 k에 대해 좌표가 1/3^k의 배수인 더 작은 정사각형을 포함한다. 그러나 이 정사각형은 k+1번째 반복에서 제거되므로 카펫에 포함될 수 없다. 이는 모순이다.

카펫의 하우스도르프 차원은 $\backslash frac\{\backslash log\; 8\}\{\backslash log\; 3\}\; \backslash approx\; 1.8928$이다.^[2]

시에르핀스키는 그의 카펫이 보편 평면 곡선임을 증명했다.^[3] 즉, 시에르핀스키 카펫은 르베그 피복 차원이 1인 평면의 컴팩트 부분 집합이며, 이러한 속성을 가진 평면의 모든 부분 집합은 시에르핀스키 카펫의 일부 부분 집합과 위상 동형이다.

이러한 시에르핀스키 카펫의 "보편성"은 범주론의 의미에서 진정한 보편적 속성이 아니다. 즉, 위상 동형만으로 이 공간을 고유하게 특징짓지 않는다. 예를 들어, 시에르핀스키 카펫과 원의 분리된 합집합도 보편 평면 곡선이다. 그러나 1958년 고든 와이번^[4]은 시에르핀스키 카펫을 다음과 같이 고유하게 특징지었다. 국소 연결되어 있고 '국소 절단점'이 없는 모든 곡선은 시에르핀스키 카펫과 위상 동형이다. 여기서 '''국소 절단점'''은 점 ''p''의 어떤 연결된 이웃 ''U''에 대해 ''U'' - {''p''}가 연결되어 있지 않은 점 ''p''를 의미한다. 예를 들어, 원의 모든 점은 국소 절단점이다.

와이번은 같은 논문에서 시에르핀스키 카펫에 대한 또 다른 특징을 제시했다. 연속체는 비어 있지 않은 연결된 컴팩트 거리 공간이다. ''X''가 평면에 포함된 연속체라고 가정하고, 평면에서 ''X''의 여집합이 가산 개의 연결 성분 ''C''₁, ''C''₂, ''C''₃, ...을 가지며 다음 조건을 만족한다고 가정하자.

• ''C_i''의 지름은 ''i''가 무한대로 갈 때 0으로 수렴한다.
• ''i'' ≠ ''j''이면 ''C_i''의 경계와 ''C_j''의 경계는 서로소이다.
• 각 ''i''에 대해 ''C_i''의 경계는 단순 닫힌 곡선이다.
• 집합 ''C_i'' 경계들의 합집합은 ''X''에서 조밀하다.

4. 브라운 운동과의 관계

최근 몇 년 동안 시에르핀스키 카펫에서의 브라운 운동에 대한 주제가 관심을 끌고 있다.^[5] Martin Barlow와 Richard Bass는 시에르핀스키 카펫에서의 랜덤 워크가 평면에서의 제한 없는 랜덤 워크보다 느린 속도로 확산된다는 것을 보여주었다. 후자는 $n$ 단계 후에 $\sqrt{n}$에 비례하는 평균 거리에 도달하지만, 이산 시에르핀스키 카펫에서의 랜덤 워크는 어떤 $\beta > 2$에 대해 $\sqrt[\beta]{n}$에 비례하는 평균 거리에만 도달한다. 또한, 그들은 이 랜덤 워크가 더 강한 대수 편차 부등식(소위 "서브 가우시안 부등식")을 만족하며, 타원형 하르나크 부등식은 만족하지만 포물선형 하르나크 부등식은 만족하지 않는다는 것을 보여주었다. 이러한 예의 존재는 수년 동안 해결되지 않은 문제였다.^[11][12][13]

5. 왈리스 체

6. 응용

휴대폰 및 와이파이 프랙탈 안테나는 시에르핀스키 카펫의 몇몇 반복 형태로 제작되었다. 자기 유사성과 스케일 불변성으로 인해 여러 주파수를 쉽게 수용할 수 있다. 또한 제작이 용이하고 유사한 성능의 기존 안테나보다 작아 소형 휴대폰에 최적화되어 있다.^[8][9][10]

7. 기타

• Fractals and chaos^영어, 안대영 ; 교우사 ; (2015.3.5), 221쪽
• 하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록
• ''더 뷰티 오프 프랙탈스'' (1986년 책)

참조

_[1] 서적 Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 Some Novel Types of Fractal Geometry Oxford University Press
_[3] 간행물 Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée
_[4] 간행물 Topological chcracterization of the Sierpinski curve
_[5] Citation Brownian motion and harmonic analysis on Sierpiński carpets https://www.math.ubc[...]
_[6] OEIS Odd squares: a(n) {{=}} (2n+1)^2. Also centered octagonal numbers.
_[7] 간행물 Squaring the circle with holes
_[8] 문서 "A development of Fractal PIFA (planar inverted F antenna) with bandwidth enhancement for mobile phone applications,"
_[9] 문서 "A modified Sierpinski carpet fractal antenna for wireless applications,"
_[10] 문서 "Small-Size Microstrip Patch Antennas Combining Koch and Sierpinski Fractal-Shapes,"
_[11] 웹사이트 第35回-熊谷氏 https://osaka-prize.[...] 2022-10-02
_[12] 웹사이트 学位論文要旨詳細 http://gakui.dl.itc.[...] 2022-10-02
_[13] 문서 Brounian motion on the Sierpinski carpet https://arxiv.org/ab[...]