자기유사성

1. 개요

자기유사성은 어떤 대상의 일부분이 전체와 닮은 성질을 의미한다. 콤팩트 위상 공간 X가 비전사 위상동형사상 집합을 통해 표현될 때 자기유사하다고 정의되며, 이러한 구조를 자기유사 구조라고 한다. 자기유사성은 망델브로 집합, 컴퓨터 네트워크 트래픽, 주식 시장 동향, 자연 현상, 음악 등 다양한 분야에서 관찰된다. 특히 컴퓨터 네트워크 설계 및 금융 시장 분석에서 중요한 개념으로 활용되며, 유한 세분 규칙을 통해 자기 유사 집합을 만들 수 있다.

2. 정의

콤팩트 위상 공간 X는 다음을 만족하는 비전사 위상동형사상 $\backslash \{\; f\_s\; :\; s\backslash in\; S\; \backslash \}$을 가리키는 유한 집합 S가 존재하면 자기유사하다.

:$X=\backslash bigcup\_\{s\backslash in\; S\}\; f\_s(X)$

$X\backslash subset\; Y$이면, X가 $\backslash \{\; f\_s\; :\; s\backslash in\; S\; \backslash \}$에 대한 위의 식을 만족하는 Y의 유일한 공집합이 아닌 부분집합이면 X는 자기유사하다. 그리고 다음을 자기유사 구조라고 부른다.

:$\backslash mathfrak\{L\}=(X,S,\backslash \{\; f\_s\; :\; s\backslash in\; S\; \backslash \}\; )$

위상동형사상은 반복 함수일 수 있어서, 그럴 경우에는 반복 함수 계가 된다. 함수의 구성은 모노이드의 대수적 구성을 만든다. 집합 S의 원소가 두 개 밖에 없을 경우, 이 모노이드는 이진 모노이드로 알려져 있다. 이진 모노이드는 무한 이진 트리를 통해서 시각화 할 수 있다. 더 일반적으로, 집합 S의 원소가 p개 있으면, 그 모노이드는 p진 트리로 표현할 수 있다.

이진 모노이드의 자기 동형 사상은 모듈러 군이다. 자기 동형 사상은 이진 트리의 쌍곡 회전으로 볼 수 있다.

2.1. 자기 아핀 구조

콤팩트 위상 공간 X는 다음을 만족하는 비전사 위상동형사상 $\backslash \{\; f\_s\; :\; s\backslash in\; S\; \backslash \}$을 가리키는 유한 집합 S가 존재하면 자기유사하다.

:$X=\backslash bigcup\_\{s\backslash in\; S\}\; f\_s(X)$

$X\backslash subset\; Y$이면, X가 $\backslash \{\; f\_s\; :\; s\backslash in\; S\; \backslash \}$에 대한 위의 식을 만족하는 Y의 유일한 공집합이 아닌 부분집합이면 X는 자기유사하다. 그리고 다음을 자기유사 구조라고 부른다.

:$\backslash mathfrak\{L\}=(X,S,\backslash \{\; f\_s\; :\; s\backslash in\; S\; \backslash \}\; )$

위상동형사상은 반복 함수일 수 있어서, 그럴 경우에는 반복 함수 계가 된다. 함수의 구성은 모노이드의 대수적 구성을 만든다. 집합 S의 원소가 두 개 밖에 없을 경우, 이 모노이드는 이진 모노이드로 알려져 있다. 이진 모노이드는 무한 이진 트리를 통해서 시각화 할 수 있다. 더 일반적으로, 집합 S의 원소가 p개 있으면, 그 모노이드는 p진 트리로 표현할 수 있다.

이진 모노이드의 자기 동형 사상은 모듈러 군이다. 자기 동형 사상은 이진 트리의 쌍곡 회전으로 볼 수 있다.

3. 예시

망델브로 집합은 Misiurewicz 점 주위에서도 자기유사하다.

자기유사성은 컴퓨터 네트워크의 디자인에 전형적인 네트워크 트래픽이 자기유사 속성을 가지기 때문에 중요하다. 예를 들어, 텔레트래픽 공학에서, 패킷 교환된 데이터 트래픽 패턴은 통계적으로 자기유사적으로 나타난다. 이 특성은 푸아송 분포를 사용하는 단순한 모델은 부정확하고 자기유사성을 적용하지 않은 네트워크는 예상하지 못한 방향으로 작동한다는 의미이다.

비슷하게, 주식 시장의 동향은 자기 아핀성을 나타내는 것으로 설명된다. 즉, 이 동향이 나타난 세부 사항에 적절한 아핀 변환을 하면 자기유사하게 나타난다는 의미이다. 앤드류 로는 주식 시장 기록은 계량경제학에서 자기유사성으로 복귀한다는 것을 설명했다.

유한 세분 규칙은 칸토어 집합이나 시에르핀스키 삼각형을 포함하는 자기 유사 집합을 만드는 강력한 기술이다.

|섬네일|무게중심 분할을 이용해서 반복적으로 나눠진 삼각형. 큰 원들의 나머지는 시에르핀스키 카펫이 된다]]

만델브로 집합은 미시우레비츠 점 주위에서도 자기 유사성을 갖는다.

자기 유사성은 컴퓨터 네트워크 설계에 중요한 영향을 미치는데, 전형적인 네트워크 트래픽이 자기 유사 특성을 보이기 때문이다. 예를 들어, 전기 통신 트래픽 공학에서 패킷 교환 데이터 트래픽 패턴은 통계적으로 자기 유사성을 띠는 것으로 보인다. 이러한 특성은 푸아송 분포를 사용하는 간단한 모델이 부정확하며, 자기 유사성을 고려하지 않고 설계된 네트워크는 예상치 못한 방식으로 작동할 가능성이 있음을 의미한다.

마찬가지로, 주식 시장의 움직임은 자기 유사성을 나타내는 것으로 묘사된다. 즉, 표시되는 세부 수준에 적합한 아핀 변환을 통해 변환될 때 자기 유사하게 보인다. 앤드루 로는 계량 경제학에서 주식 시장 로그 수익률 자기 유사성을 설명한다.

유한 분할 규칙은 칸토어 집합 및 시에르핀스키 삼각형을 포함한 자기 유사 집합을 구축하는 강력한 기술이다.

|섬네일|바리 중심 분할을 사용하여 반복적으로 분할된 삼각형. 큰 원의 여집합은 시에르핀스키 카펫이 된다.

3.1. 자연에서의 자기 아핀성

자연에서도 자기유사성을 찾을 수 있다. 로마네스코 브로콜리는 강한 자기 아핀성을 띠는 꽃차례를 가지고 있다. 양치류 잎은 수학적으로 생성된 자기 아핀적인 양치류 이미지와 매우 유사하며, 이는 자연에서 자기 아핀성을 보여주는 대표적인 예시이다.

3.2. 사이버네틱스

스태포드 비어의 생존 가능한 시스템 모델은 아핀 자기 유사 계층 구조를 가진 조직 모델이다. 여기서 주어진 생존 가능한 시스템은 한 단계 더 높은 재귀 수준의 생존 가능한 시스템의 시스템 1의 한 요소이며, 해당 시스템 1의 요소는 한 단계 더 낮은 재귀 수준의 생존 가능한 시스템이다.

3.3. 음악

엄격한 카논과 푸가는 다양한 종류와 양의 자기유사성을 나타낸다. 셰퍼드 음은 주파수나 파장 영역에서 자기유사하다. 덴마크 작곡가인 페르 뇌고르는 자신의 음악에 '무한 급수'라고 불리는 자기유사 정수 수열을 사용했다. 음악 정보 검색 영역에서 자기유사성은 음악이 반복되는 부분들로 구성되어 있다는 사실을 의미한다.

3.4. 금융 시장

주식 시장이나 외환 시장의 가격 변동은 통계적 자기 유사성을 갖는다. 다만, 상사비를 나타내는 허스트 지수(스케일링 지수)가 시간 스케일에 따라 변화하는 멀티프랙탈이다. 앤드루 로는 계량 경제학에서 주식 시장 로그 수익률 자기 유사성을 설명했다.

3.5. 인터넷 트래픽

컴퓨터 네트워크의 트래픽은 자기 유사 속성을 가지기 때문에 자기 유사성이 중요하다. 텔레트래픽 공학에서, 패킷 교환된 데이터 트래픽 패턴은 통계적으로 자기 유사적으로 나타난다. 따라서 푸아송 분포를 사용한 단순한 모델로는 불충분하며, 통계적 자기 유사성을 고려하지 않고 설계된 통신망은 모델의 예상대로 기능하지 않을 수 있다. 즉, 통신망 설계를 할 때 자기 유사성은 중요한 고려 특성 중 하나이다.

3.6. 해안선 길이

해안선의 길이는 측정에 사용하는 자의 눈금 굵기(스케일)에 따라 달라지며, 눈금이 더 세밀한 자를 사용할수록 해안선의 길이는 더 길게 측정된다(해안선 역설). 눈금 스케일을 G라고 하면, 측정되는 해안선의 길이는 대략 L(G)=MG^1-D가 된다. 여기서, D는 프랙탈 차원이다

4. 기술적 응용

4.1. 유한 세분 규칙

5. 같이 보기

* 프랙탈
* 프랙탈 차원
* 하우스도르프 차원
* 자기유사성