신리만 이론

3. 삼화음 변환

신리만 이론에서는 장3화음과 단3화음 사이의 관계를 설명하기 위해 P, L, R 세 가지 기본 변환을 사용한다. 이 변환들은 음정의 변화를 통해 정의되며, 성부 진행에 대한 고려 없이 순수하게 화성적인 관계로 설명된다.^[35]

• 세 개 이상의 음을 가진 화음(예: 육화음, 미스틱 화음) 사이의 음성 진행 근접성^[17]
• 불협화음 삼화음 사이의 공통 음정 근접성^[18]
• 반음계 공간이 아닌, 온음계 공간 내의 삼화음 진행^[19]
• 다양한 크기와 종류의 음계 간 변환 (드미트리 티모츠코의 작업)^[20]
• 가능한 모든 삼화음 간 변환 (줄리안 훅)^[21]
• 서로 다른 기수(cardinality)를 가진 화음 간 변환^[22]

3. 1. 기본 변환 (P, L, R)

• '''P''' 변환은 화음을 그 동주조(Parallel)와 교환한다.
• 장3화음에서는 제3음을 반음 내린다 (C 장조에서 C 단조로).
• 단3화음에서는 제3음을 반음 올린다 (C 단조에서 C 장조로).
• '''R''' 변환은 화음을 그 평행조(Relative)와 교환한다.
• 장3화음에서는 제5음을 온음 올린다 (C 장조에서 A 단조로).
• 단3화음에서는 근음을 온음 내린다 (A 단조에서 C 장조로).
• '''L''' 변환은 화음을 그 이끌음음(Leading-Tone Exchange)과 교환한다.
• 장3화음에서는 근음을 반음 아래로 이동시킨다 (C 장조에서 E 단조로).
• 단3화음에서는 제5음을 반음 위로 이동시킨다 (E 단조에서 C 장조로).

3. 2. 이차 변환

• '''N''' (또는 ''Nebenverwandt'') 변환: 장3화음을 단조 서브도미넌트로, 단3화음을 장조 도미넌트로 변환한다. (예: C 장조 ↔ F 단조) 이 변환은 R, L, P를 순차적으로 적용하여 얻을 수 있다.^[3]
• '''S''' (또는 ''Slide'') 변환: 3음을 공유하는 두 개의 삼화음을 교환한다. (예: C 장조 ↔ C 단조) L, P, R을 이 순서대로 적용하여 얻을 수 있다.^[4]
• '''H''' 변환: 삼화음을 6음계 극으로 교환한다. (예: C 장조 ↔ A 단조)^[5]

4. 성부 진행

신 리만 이론의 주요 변환은 서로 다른 조(장조와 단조)의 삼화음을 연결하며, 그 자체로 역변환(두 번째 적용은 첫 번째를 되돌린다)이다. 이러한 변환은 순전히 화성적이며, 화음 간의 특별한 성부 진행은 필요하지 않다. C 장조에서 C 단조 삼화음으로의 모든 움직임은 성부가 음역에 어떻게 분포되든 동일한 신 리만 변환을 나타낸다.^[6]

세 가지 기본 변환(P, R, L)은 삼화음의 세 음 중 하나를 이동시켜 다른 삼화음을 생성한다.

이러한 기본 연산을 결합하여 이차 연산(N, S, H)도 구성할 수 있다.

신 리만 이론의 초기 연구에서는 이러한 변환을 주로 화성적인 방식으로 다루었으며, 성부 진행에 대한 명시적인 주의는 기울이지 않았다. 이후, 콘(Cohn)은 신 리만 개념이 성부 진행의 특정 문제에 대해 생각할 때 자연스럽게 나타난다고 지적했다.^[9][6] 예를 들어, 두 개의 삼화음(장조 또는 단조)이 두 개의 공통음을 공유하며, 위에 설명된 L, P, R 변환 중 하나에 의해 연결될 경우에만 셋째 성부의 단계적 성부 진행으로 연결될 수 있다.^[7]

5. 그래프 표현

신리만 이론의 변환은 삼화음 간의 관계를 시각적으로 나타내기 위해 다양한 그래프를 사용한다. 주요 변환은 서로 다른 종류(장3화음과 단3화음)의 화음을 연결하며, 그 자체로 역이다(두 번째 적용이 첫 번째 적용을 되돌린다). 이러한 변환은 화음 간의 특정한 성부 진행을 필요로 하지 않는 순수한 화성적인 관계이다. 예를 들어 C 장조에서 C 단조로의 모든 움직임은 음역에 관계없이 동일한 신리만 변환을 나타낸다.

신리만 이론의 세 가지 기본 변환(P, L, R)은 3화음의 세 음 중 하나를 이동시켜 다른 화음을 생성한다.

• '''P''' 변환: 동주조(Parallel)로 변환 (예: C 장조 ↔ C 단조)
• '''R''' 변환: 평행조(Relative)로 변환 (예: C 장조 ↔ A 단조)
• '''L''' 변환: 이끌음음(Leading-tone) 교환 (예: C 장조 ↔ E 단조)

5. 1. 톤네츠 (Tonnetz)

5. 2. 기타 그래프 표현

신리만 이론에 관한 기하학적 표현의 대부분은 클리프턴 캘린더, 이언 퀸, 드미트리 티모추코에 의해 연구된 연속적인 성부 연결 공간에 의해, 더욱 일반적인 틀로 통합되었다. 2004년 캘린더는 3개의 음으로 이루어진 "코드 타입"("major" 등)을 나타내는 데 초점을 맞춘 연속 공간을 표현했다. 여기에는 한 음을 다른 음으로 슬라이드시키는 "연속적인 변환"을 모델링하는 공간이 사용된다. 이후, 티모추코는 캘린더의 공간 내의 경로가 특정 클래스의 성부 연결과 동형임을 보이며, 신리만 이론의 그것들과 더욱 밀접하게 유사한 공간의 그룹을 개발했다. 티모추코의 공간에서는 점이 더욱 일반적인 코드 타입("major" 등)이 아닌, 모든 크기의 특정 코드("C major" 등)를 나타낸다. 캘린더, 퀸, 티모추코는 이것들과 다양한 음악 이론적 특성을 나타내는 다른 많은 기하학적 공간을 연결하는 통합 프레임워크를 함께 제안했다.

은 이 그래픽 표현을 현대적으로 구현하여 음악 인터페이스를 만드는 것이다.

2011년, 질 발로원은 전통적인 ''톤네츠''를 4D의 초구면을 임베딩하는 Planet-4D 모델(그래프 이론에 기초한 새로운 시각화 시스템)을 제시했다. ''톤네츠''의 또 다른 최근 연속 버전은 [https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-39357-0_1#page-1 The Torii of Phases]이며, 이를 통해 초기 낭만주의 음악에서 더욱 세밀한 분석이 가능하게 된다.

6. 비판

신 리만 이론은 주로 삼화음 간의 관계를 중심으로 설명하기 때문에, 7화음이나 비화성음 등 다른 화성 요소들을 충분히 다루지 못한다는 비판을 받기도 한다.^[8] 또한, 성부 진행의 효율성을 설명하는 데 있어서도 모든 경우를 완벽하게 설명하지 못한다는 지적도 있다.^[8]

예를 들어, 신 리만 이론에서는 공통음 보존을 우선시하여 C 장조 화음이 F 단조보다 F 장조에 더 가깝다고 설명한다. C 장조에서 F 장조로 가려면 R-then-L, 즉 두 번의 변환이 필요한 반면, C 장조에서 F 단조로 가려면 R-then-L-then-P, 즉 세 번의 변환이 필요하기 때문이다. 그러나 반음계적 성부 진행 관점에서는 F 단조가 F 장조보다 C 장조에 더 가깝다. F 단조에서 C 장조로 변환하는 데는 두 개의 반음(A->G 및 F->E)만 필요하지만, F 장조에서 C 장조로 변환하는 데는 세 개의 반음이 필요하기 때문이다. 따라서 신 리만 이론의 LPR 변환은 19세기 화성의 기본 루틴 중 하나인 IV-iv-I 진행의 성부 진행 효율성을 설명할 수 없다.^[8]

공통음에 대해서도 비슷한 문제를 제기할 수 있다. Tonnetz에서 F 단조와 C 장조는 하나의 공통음을 공유하고, E 단조와 C 장조는 공통음이 없지만, F 단조와 E 단조는 모두 C 장조에서 세 단계 떨어져 있다.

이러한 불일치는 화성적 근접성을 최대화하는 방법에 대한 서로 다른 관점에서 비롯된다. 즉, 두 개의 공통음을 공유하는 것과 총 성부 진행 거리를 최소화하는 것 중 어느 것을 우선시하는지에 따라 달라진다. 예를 들어 R 변환에서는 하나의 성부가 온음으로 움직이고, N 또는 S 변환에서는 두 성부가 반음으로 움직인다. 공통음 최대화를 우선시하면 R 변환이 더 효율적이지만, 성부 진행 효율성을 개별 성부의 움직임을 합산하여 측정하는 경우 두 변환은 동일하게 효율적이다. 초기 신 리만 이론은 이 두 가지 개념을 혼합했지만, 최근 연구에서는 이를 분리하여 공통음 보존과 상관없이 성부 진행 근접성에 따라 거리를 측정한다. 이에 따라 "주요" 및 "보조" 변환의 구분은 더 이상 의미가 없어지게 되었다.

1992년 잭 도우셋(Jack Douthett)은 R 관련 삼화음 사이에 증3화음을 삽입하여 삼화음 간의 정확한 기하학적 모델인 "큐브 댄스(Cube Dance)"를 만들었다.^[16] 도우셋의 그림은 1998년에 출판되었지만, 성부 진행 모델로서의 우수성은 캘린더(Callender), 퀸(Quinn), 티모츠코(Tymoczko)의 기하학적 연구 이후인 2009년에야 완전히 인정받았다.^[8] 이러한 연구 흐름에서 삼화음 변환은 초기 신 리만 이론에서 차지했던 근본적인 지위를 잃고, 성부 진행 근접성이 발생하는 기하학이 중심적인 지위를 얻게 되며, 변환은 변환의 정의적 속성이 아닌 특정 종류의 표준 루틴에 대한 발견적 레이블이 된다.

7. 확장

신 리만 이론은 삼화음뿐만 아니라 다양한 화성 구조로 확장되어 연구되고 있다.

• 3음 이상 화음 간의 성부 연결의 근접성 (hexachord^영어의 종 사이)^[47]
• 불협화음에 포함된 공통음의 근접성^[48]
• 크로마틱 공간이 아닌 다이어토닉 공간 내 삼화음 간 진행
• 다양한 크기, 종류의 음계 사이의 변환^[49]
• 가능한 모든 삼화음 간의 변환^[50]
• 카디널리티가 다른 코드 간의 변환^[51]

참조

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_[2] 논문 Some Remarks on the Use of Riemann Transformations http://www.mtosmt.or[...] 1994
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_[4] 서적 Generalized Musical Intervals and Transformations Yale University Press 1987
_[5] 논문 Uncanny Resemblances: Tonal Signification in the Freudian Age 2004-06-01
_[6] 논문 Scale Theory, Serial Theory, and Voice Leading https://dmitri.mycpa[...] 2008-11-27
_[7] 논문 Neo-riemannian operations, parsimonious trichords, and their" tonnetz" representations. 1997
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_[9] 논문 Maximally Smooth Cycles, Hexatonic Systems, and the Analysis of Late-Romantic Triadic Progressions 1996-03-01
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_[11] 논문 The Geometry of Musical Chords http://dmitri.mycpan[...] 2006-07-07
_[12] 논문 Generalized Voice Leading Spaces 2008-04-18
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