십일각형

1. 개요

십일각형은 11개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형을 의미한다. 정십일각형은 모든 변의 길이와 각의 크기가 같으며, 슐래플리 기호 {11}로 나타낸다. 정십일각형의 내각은 약 147.27도이고, 중심각과 외각은 약 32.72도이다. 자와 컴퍼스로 작도할 수는 없지만, 근사값을 작도하거나 뉴시스 작도 및 종이 접기를 통해 작도할 수 있다. 십일각형은 캐나다 1달러 주화(루니) 및 인도 2루피 주화 등에서 활용되며, 관련 도형으로는 4개의 정규 십일각성이 있다.

2. 정십일각형

정십일각형은 모든 변의 길이와 각의 크기가 같은 십일각형으로, 슐래플리 기호는 {11}이다.

정십일각형은 자와 눈금 없는 자 및 컴퍼스로는 작도할 수 없다. 다만, 고대 그리스 수학자들은 단위 원에 내접하는 십일각형의 변의 길이를 14/25 단위로 근사했다.

2.1. 기하학적 성질

정십일각형의 내각은 147.27 도(=147 $\backslash tfrac\{3\}\{11\}$ 도)이다. 중심각과 외각은 32.72…°이다. 변의 길이가 a인 정십일각형의 면적은 다음과 같다.
:$A\; =\; \backslash frac\{11\}\{4\}a^2\; \backslash cot\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{11\}\; \backslash simeq\; 9.36564\backslash ,a^2.$

11은 페르마 소수가 아니므로, 정십일각형은 자와 눈금 없는 자 및 컴퍼스로 작도할 수 없다. 11은 피어폰트 소수가 아니기 때문에, 각 삼등분기를 사용하더라도 정십일각형을 작도할 수 없다.

하지만, 뉴시스 작도를 통해 정십일각형을 정확하게 작도할 수 있으며, 두 번 접는 종이 접기를 통해서도 작도할 수 있다.

$\backslash cos\; (2\backslash pi/11)$의 값은 멱근을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\cos \frac{2\pi}{11} =& -\frac{1}{10}\\
&+\frac{-1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}+\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace } + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}+\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\
&+\frac{-1+\sqrt{5}-i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}-\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace } + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}-\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\
=& 0.841253\dots
\end{align}

2.2. 작도 불가능성

11은 페르마 소수가 아니므로, 정십일각형은 자와 눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도할 수 없다. 11은 피어폰트 소수가 아니기 때문에, 각 삼등분기를 사용하더라도 정십일각형을 작도할 수 없다.

그러나 뉴시스 작도를 사용하면 정십일각형을 정확하게 작도할 수 있으며, 두 번 접는 종이 접기를 통해서도 작도할 수 있다.

2.3. 근사적 작도

고대 그리스 수학자들은 단위 원에 내접하는 십일각형의 변의 길이를 14/25 단위로 근사했다. 1800년 T. Drummond는 십일각형의 근사적 작도법을 제시했다. 이 방법은 단위 원의 반지름이 10m일 때 약 2.3mm의 오차를 가진다.

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다음은 1800년 T. Drummond가 제시한 작도 방법이다.

반지름 A B를 그리고, C에서 이등분한다. 컴퍼스의 열린 간격을 반지름의 절반으로 하여 A와 C를 중심으로 C D I와 A D 호를 그린다. 거리 I D를 이용하여 I에서 호 D O를 그리고 C O선을 그린다. 이 선은 실용적으로 충분히 정확한 십일각형의 한 변의 길이이다.

단위 원에서:

* 작도된 십일각형 변의 길이: $b=0.563692\backslash ldots$
* 이론적인 십일각형 변의 길이: $a=2\backslash sin(\backslash frac\{\backslash pi\}\{11\})=0.563465\backslash ldots$
* 절대 오차: $\backslash delta=b-a=2.27\backslash ldots\backslash cdot10^\{-4\}$ – 만약 가 10m라면 이 오차는 약 2.3 mm이다.

2.4. 대칭성

정십일각형은 Dih₁₁ 대칭(차수 22)을 갖는다. 11은 소수이므로, 이면각 대칭을 갖는 부분군 하나(Dih₁)와 순환군 대칭 두 개(Z₁₁, Z₁)가 존재한다.

이 4개의 대칭은 십일각형에서 4개의 뚜렷한 대칭으로 볼 수 있다. 존 콘웨이는 이러한 대칭을 문자와 군의 차수를 사용하여 표기했다. 정규 형태의 전체 대칭은 r22이고, 대칭이 없는 것은 a1으로 표시된다. 이면각 대칭은 꼭짓점을 통과하는지(d, 대각선), 변을 통과하는지(p, 수직)에 따라 구분되며, 반사선이 변과 꼭짓점 모두를 통과하는 경우 i로 표시된다. 가운데 열의 순환 대칭은 중심 회전 차수에 따라 g로 표시된다.

각 부분군 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다. g11 부분군만이 자유도가 없지만, 유향 변으로 볼 수 있다.

3. 십일각형의 활용

십일각형은 주화 디자인에 활용된 사례가 있다. 캐나다의 1달러 주화(루니)와 미국의 1달러 주화, 인도의 2루피 주화가 그 예이다.

3.1. 외국의 사례

캐나다 1달러 주화(루니)는 정십일각형 모양과 유사하지만, 엄밀하게는 뢸로 십일각형이다. 인도 2루피 주화에도 십일각형 디자인이 사용되었다. 미국의 수잔 B. 앤서니 달러 주화는 가장자리 내부에 십일각형 윤곽을 가지고 있다.

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4. 관련 도형

십일각형은 4개의 정규 십일각성과 동일한 11개의 꼭짓점을 공유한다.