싱크 필터

1. 개요

싱크 필터는 컷오프 주파수 이상의 주파수 성분을 제거하고 선형 위상 응답을 가지는 이상적인 필터이다. 시간 도메인에서 싱크 함수, 주파수 도메인에서 직사각형 함수를 가지며, 이를 통해 저역 통과, 대역 통과, 고역 통과 필터를 구성할 수 있다. 싱크 필터는 비인과적이며 BIBO 안정성을 만족하지 않지만, 샘플링 정리 및 휘태커-섀넌 보간 공식과 같은 개념 증명에 사용된다. 주파수 영역 싱크 필터는 단순 이동 평균 필터로 구현되며 다운샘플링에 사용될 수 있고, 역 싱크 필터는 이퀄라이제이션에 사용될 수 있다.

2. 싱크-인-타임 (Sinc-in-time)

싱크-인-타임(Sinc-in-time)은 컷오프 주파수 이상의 모든 주파수 성분을 감쇠 없이 제거하고 선형 위상 응답을 갖는 이상적인 필터이다. 이는 '브릭월 필터' 또는 '직사각형 필터'로 간주될 수 있다.

2.1. 임펄스 응답과 주파수 응답

싱크-인-타임(sinc-in-time)은 주어진 컷오프 주파수 이상의 모든 주파수 성분을 감쇠 없이 제거하고 선형 위상 응답을 갖는 이상적인 필터이다. 따라서 이는 브릭월 필터(brick-wall filter) 또는 직사각형 필터로 간주될 수 있다.

이 필터의 임펄스 응답은 시간 도메인에서 싱크 함수이다.

:$\backslash frac\{\backslash sin(\backslash pi\; t)\}\{\backslash pi\; t\}$

반면, 이 필터의 주파수 응답은 직사각형 함수이다.

:$H(f)\; =\; \backslash operatorname\{rect\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{f\}\{2B\}\; \backslash right)$
=
\begin{cases}
0, & \text{if } |f| > B, \\
\frac{1}{2}, & \text{if } |f| = B, \\
1, & \text{if } |f| < B,
\end{cases}


여기서 $B$ (그것의 대역폭을 나타냄)는 임의의 컷오프 주파수이다.

이 필터의 임펄스 응답은 주파수 응답의 역 푸리에 변환에 의해 주어진다.

:$$
\begin{align}
h(t) = \mathcal{F}^{-1} \{ H (f)\}
&= \int_{-B}^B \exp(2\pi i f t) \, df \\
&= 2B \operatorname{sinc}(2 B t)
\end{align}


여기서 sinc는 정규화된 싱크 함수이다.

2.2. 브릭월 필터 (Brick-wall filters)

싱크 필터는 주어진 컷오프 주파수 이상의 모든 주파수 성분을 감쇠 없이 제거하고 선형 위상 응답을 갖는 이상적인 필터이다. 따라서 '브릭월 필터' 또는 '직사각형 필터'라고도 부른다.

이상적인 전자 필터는 통과 대역에서 완전한 투과, 차단 대역에서 완전한 감쇠, 그리고 급격한 천이를 가지며, 흔히 (전달 함수의 모양 때문에) "벽돌 벽 필터"라고 한다. 시간 영역 싱크 필터는 벽돌 벽 저역 통과 필터이며, 이를 통해 벽돌 벽 대역 통과 필터와 고역 통과 필터를 쉽게 구성할 수 있다.

저역 통과 필터(Low-pass filter, LPF), 대역 통과 필터(Band-pass filter, BPF), 고역 통과 필터(High-pass filter, HPF)의 임펄스 응답과 전달 함수는 다음과 같다.

* 저역 통과 필터 (LPF)
* 임펄스 응답: :$h\_\{LPF\}(t)\; =\; 2B\_L\; \backslash operatorname\{sinc\}\backslash left(2B\_L\; t\backslash right)$
* 전달 함수: :$H\_\{LPF\}(f)\; =\; \backslash operatorname\{rect\}\backslash left(\; \backslash frac\{f\}\{2B\_L\}\; \backslash right).$
* ($B\_L$은 차단 주파수)

* 대역 통과 필터 (BPF)
* 임펄스 응답: :$h\_\{BPF\}(t)\; =\; 2B\_H\; \backslash operatorname\{sinc\}\backslash left(2B\_H\; t\backslash right)\; -\; 2B\_L\; \backslash operatorname\{sinc\}\backslash left(2B\_L\; t\backslash right)$
* 전달 함수: :$H\_\{BPF\}(f)\; =\; \backslash operatorname\{rect\}\backslash left(\; \backslash frac\{f\}\{2B\_H\}\; \backslash right)\; -\; \backslash operatorname\{rect\}\backslash left(\; \backslash frac\{f\}\{2B\_L\}\; \backslash right).$
* ($B\_L$은 하단 대역 경계, $B\_H$는 상단 대역 경계)

* 고역 통과 필터 (HPF)
* 임펄스 응답: :$h\_\{HPF\}(t)\; =\; \backslash delta(t)\; -\; 2B\_H\; \backslash operatorname\{sinc\}\backslash left(2B\_H\; t\backslash right)$
* 전달 함수: :$H\_\{HPF\}(f)\; =\; 1\; -\; \backslash operatorname\{rect\}\backslash left(\; \backslash frac\{f\}\{2B\_H\}\; \backslash right).$
* ($B\_H$는 하단 대역 경계)

2.3. 비현실성 (Unrealizable)

시간 영역의 싱크 필터는 양과 음의 시간 방향 모두에서 무한 임펄스 응답을 가지므로, 비인과적이며 무한 지연 및 무한 차수를 갖는다. 여기서 무한 지연은 콤팩트 지지가 주파수 영역에서 시간 응답이 콤팩트 지지를 가질 수 없도록 하여 영구적으로 지속됨을 의미한다. 그러나, 이는 샘플링 정리 및 휘태커-섀넌 보간 공식과 같은 개념 증명 또는 증명에 사용된다.

시간 영역의 싱크 필터는 현실 세계(추상적이지 않은) 응용 분야에 맞게 근사되어야 하며, 일반적으로 이상적인 시간 영역 싱크 필터 윈도우 처리와 절단을 통해 이루어진다. 하지만, 그렇게 하면 이상적인 특성이 감소한다. 이는 시간 영역의 싱크 필터를 사용하여 구성된 다른 벽돌 벽 필터에도 적용된다.

2.4. 안정성 (Stability)

싱크 필터는 유계 입력–유계 출력 (BIBO) 안정성을 만족하지 않는다. 싱크 함수의 절댓값의 적분값이 무한대이므로, 유계 입력이 무계 출력값을 생성할 수 있다. 무계 출력을 생성하는 유계 입력의 예시로는 sgn(sinc(t))가 있다. 또 다른 예시로는 시간 0에서 시작하는 차단 주파수의 사인파인 sin(2πBt)u(t)가 있다.

3. 주파수-도메인 싱크 (Frequency-domain sinc)

주파수 영역에서 싱크 함수 형태를 갖는 필터를 주파수 영역 sinc 필터라고 부른다.

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1000 Hz 샘플링 속도를 사용하는 그룹 평균 필터의 전송 플롯을 위의 그림에서 확인할 수 있다.

이 필터는 주파수 응답의 절댓값을 통해 주파수가 얼마나 감쇠되는지 확인할 수 있다. sinc 함수는 음수와 양수 값 사이에서 진동하지만, 주파수 응답의 음수 값은 180도 위상 이동에 해당한다.

3.1. 단순 이동 평균 필터 (Simple Moving Average Filter)

주파수 영역 sinc 필터의 가장 간단한 구현은 모든 $N$ 계수가 동일한 단순 이동 평균 (특히 샘플 수로 나눈 경우)을 생성하기 위해 박스카 임펄스 응답을 사용한다는 것이다. 이는 누적 및 덤프 필터(특히 단순히 나눗셈 없이 합산하는 경우)라고도 한다. 이 필터는 모든 $N$ 계수가 동일한 FIR 필터로 모델링할 수 있으며, 때로는 더 높은 차수의 이동 평균을 생성하기 위해 캐스케이드로 연결되기도 한다.

이 필터는 거칠지만 빠르고 쉬운 다운샘플링(decimation)에 $N$의 인수로 사용할 수 있다. 필터의 단순성($N$개의 데이터 샘플 누적, 누산기 결과 출력, 누산기 0으로 초기화, 반복)은 저조한 로우패스 기능으로 인해 단점으로 작용한다. 스톱 밴드에서 가장 낮은 감쇠는 -13.3 dB이며, 대부분의 고주파 성분은 그보다 약간 더 감쇠된다. $f\_S$에서 샘플링된 $N$-샘플 필터는 $\backslash frac\{f\_S\}\{2N\}$보다 높은 모든 비완전 감쇠 신호 구성 요소를 베이스 밴드(DC에서 $\backslash frac\{f\_S\}\{2N\}$까지)로 에일리어싱한다.

$N$개의 샘플을 처리하는 그룹 평균 필터는 $\backslash tfrac\{f\_S\}\{N\}$ 간격으로 균등하게 간격을 둔 $\backslash tfrac\{N\}\{2\}$개의 전송 제로를 가지며, 가장 낮은 제로는 $\backslash tfrac\{f\_S\}\{N\}$이고 가장 높은 제로는 $\backslash tfrac\{f\_S\}\{2\}$(나이퀴스트 주파수)이다. 나이퀴스트 주파수 이상에서는 주파수 응답이 미러링된 다음 $f\_S$ 이상에서 영원히 주기적으로 반복된다.

주파수 응답의 절댓값 그래프에서 sinc 함수는 실제로 음수와 양수 값 사이에서 진동하지만, 주파수 응답의 음수 값은 단순히 180도 위상 이동에 해당한다.

3.2. 전송 제로 (Transmission Zeros)

$N$개의 샘플을 처리하는 그룹 평균 필터는 $\backslash tfrac\{f\_S\}\{N\}$ 간격으로 균등하게 간격을 둔 $\backslash tfrac\{N\}\{2\}$개의 전송 제로를 가지며, 가장 낮은 제로는 $\backslash tfrac\{f\_S\}\{N\}$이고 가장 높은 제로는 $\backslash tfrac\{f\_S\}\{2\}$(나이퀴스트 주파수)이다. 나이퀴스트 주파수 이상에서는 주파수 응답이 미러링된 다음 $f\_S$ 이상에서 영원히 주기적으로 반복된다.

3.3. 역 싱크 필터 (Inverse Sinc Filter)

역 싱크 필터는 디지털 영역(예: FIR 필터) 또는 아날로그 영역(예: opamp 필터)에서 이퀄라이제이션을 할 때 사용된다. 이를 통해 관심 주파수 대역에서 원치 않는 감쇠를 상쇄하여 평탄한 주파수 응답을 얻을 수 있다.

3.4. 윈도우 함수 (Window Function)

이상적인 싱크 필터를 현실에서 구현하기 위해 윈도우 함수를 적용할 수 있다. 가장 간단한 예로 sinc 커널에 직사각형 윈도우를 적용하는 방법이 있다.