아벨의 합 공식 (적분 기법)

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1. 개요
2. 공식화
- 2.1. 보조정리
- 2.2. 정리
3. 응용
- 3.1. 적분 계산 예시
참조

1. 개요

아벨의 합 공식 (적분 기법)은 리만 적분 가능한 함수에 대한 적분 값을 구하는 방법 중 하나이다. 함수 f(x)에 대해 적분 ∫f(x)dx가 수렴할 때, ∫e^(-ax)f(x)dx = F(a)는 0 ≤ a ≤ 1에서 균등 수렴하며, ∫f(x)dx = lim (a→+0) F(a)가 성립한다. 이 공식을 이용하여 적분 ∫(sin x)/x dx를 계산하는 예시가 제시된다.

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아벨의 합 공식 (적분 기법)
아벨의 합 공식 (적분 기법)
유형	적분 기술

2. 공식화

일반적으로 아벨의 합 공식은 다음과 같이 공식화된다.

'''보조정리''' : $[c, \infty]$ 에서 리만 적분가능함수 $f(x)$ 에 대해 $\int_c^\infty f(x) \,dx$ 가 수렴하면, 적분 $\int_c^\infty e^{-ax}f(x) \,dx= F(a)$ 는 $0 \le a \le 1$ 에 대해 균등수렴한다.

'''정리''' : 이 때, 실제로 $\int_c^\infty f(x) \,dx = \lim_{a\rightarrow +0}F(a)$ 가 성립한다.

2. 1. 보조정리

[c, \infty]

에서 리만 적분가능함수

f(x)

에 대해

\int_c^\infty f(x) \,dx

가 수렴하면, 적분

\int_c^\infty e^{-ax}f(x) \,dx= F(a)

는

0 \le a \le 1

에 대해 균등수렴한다.

2. 2. 정리

일반적으로 아벨의 합 공식은 다음과 같이 공식화된다.

정리 : $[c, \infty]$ 에서 리만적분가능함수 $f(x)$ 에 대해 $\int_c^\infty f(x) \,dx$ 가 수렴하면, 적분 $\int_c^\infty e^{-ax}f(x) \,dx= F(a)$ 는 $0 \le a \le 1$ 에 대해 균등수렴하고, $\int_c^\infty f(x) \,dx = \lim_{a\rightarrow +0}F(a)$ 가 성립한다.

3. 응용

아벨의 합 공식을 이용하는 방법은, 공식에서 다른 방법으로 ''F''(''a'')에 관한 식을 찾은 뒤 이것을 ''a''에 관해 풀어서 적분을 구하는 것이다.

아벨의 합 공식을 이용하여 적분 $\int_0^\infty \frac{\sin{x}}{x} \,dx$ 를 계산할 수 있다. 공식에 대입하면,

: $\int_0^\infty \frac{\sin{x}}{x} \,dx = \lim_{a\rightarrow +0}\int_0^\infty e^{-ax}\frac{\sin{x}}{x} \,dx = \lim_{a\rightarrow +0}F(a)$

이 된다. $F'(a)= - \int_0^\infty e^{-ax}\sin{x} \,dx = -\frac{1}{1+ a^2}$ 이므로, 이를 다시 $a$ 에 관해 적분하면,

: $F(a)= - \arctan{a} + C$

와 같이 된다. $F(a)$ 의 원 식에서 $a$ 가 무한대로 가면, 적분식 안이 $0$ 으로 접근하므로 $F(a)$ 역시 $0$ 으로 접근한다. 또 이때 아크탄젠트 함수의 값은 $\frac{\pi}{2}$ 로 접근하므로, 적분상수는 $\frac{\pi}{2}$ 이다. 따라서,

: $\lim_{a\rightarrow +0} {[- \arctan{a} + \frac{\pi}{2}]} = \frac{\pi}{2}$

가 되고, 이는 원 적분과 같다.

3. 1. 적분 계산 예시

아벨의 합 공식을 이용하여 적분

\int_0^\infty \frac{\sin{x}}{x} \,dx

를 계산할 수 있다. 공식에 대입하면,

:

\int_0^\infty \frac{\sin{x}}{x} \,dx = \lim_{a\rightarrow +0}\int_0^\infty e^{-ax}\frac{\sin{x}}{x} \,dx = \lim_{a\rightarrow +0}F(a)

이 된다.

F'(a)= - \int_0^\infty e^{-ax}\sin{x} \,dx = -\frac{1}{1+ a^2}

이므로, 이를 다시

a

에 관해 적분하면,

:

F(a)= - \arctan{a} + C

와 같이 된다.

F(a)

의 원 식에서

a

가 무한대로 가면, 적분식 안이

0

으로 접근하므로

F(a)

역시

0

으로 접근한다. 또 이때 아크탄젠트 함수의 값은

\frac{\pi}{2}

로 접근하므로, 적분상수는

\frac{\pi}{2}

이다. 따라서,

:

\lim_{a\rightarrow +0} {[- \arctan{a} + \frac{\pi}{2}]} = \frac{\pi}{2}

가 되고, 이는 원 적분과 같다.

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