아벨의 합 공식 (적분 기법)

1. 개요

아벨의 합 공식 (적분 기법)은 리만 적분 가능한 함수에 대한 적분 값을 구하는 방법 중 하나이다. 함수 f(x)에 대해 적분 ∫f(x)dx가 수렴할 때, ∫e^(-ax)f(x)dx = F(a)는 0 ≤ a ≤ 1에서 균등 수렴하며, ∫f(x)dx = lim (a→+0) F(a)가 성립한다. 이 공식을 이용하여 적분 ∫(sin x)/x dx를 계산하는 예시가 제시된다.

2. 공식화

일반적으로 아벨의 합 공식은 다음과 같이 공식화된다.

* 보조정리 : $[c,\; \backslash infty]$에서 리만 적분가능함수 $f(x)$에 대해 $\backslash int\_c^\backslash infty\; f(x)\; \backslash ,dx$ 가 수렴하면, 적분 $\backslash int\_c^\backslash infty\; e^\{-ax\}f(x)\; \backslash ,dx=\; F(a)$는 $0\; \backslash le\; a\; \backslash le\; 1$에 대해 균등수렴한다.

* 정리 : 이 때, 실제로 $\backslash int\_c^\backslash infty\; f(x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; +0\}F(a)$ 가 성립한다.

2.1. 보조정리

$[c,\; \backslash infty]$에서 리만 적분가능함수 $f(x)$에 대해 $\backslash int\_c^\backslash infty\; f(x)\; \backslash ,dx$ 가 수렴하면, 적분 $\backslash int\_c^\backslash infty\; e^\{-ax\}f(x)\; \backslash ,dx=\; F(a)$는 $0\; \backslash le\; a\; \backslash le\; 1$에 대해 균등수렴한다.

2.2. 정리

일반적으로 아벨의 합 공식은 다음과 같이 공식화된다.

* 정리 : $[c,\; \backslash infty]$에서 리만적분가능함수 $f(x)$에 대해 $\backslash int\_c^\backslash infty\; f(x)\; \backslash ,dx$ 가 수렴하면, 적분 $\backslash int\_c^\backslash infty\; e^\{-ax\}f(x)\; \backslash ,dx=\; F(a)$는 $0\; \backslash le\; a\; \backslash le\; 1$에 대해 균등수렴하고, $\backslash int\_c^\backslash infty\; f(x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; +0\}F(a)$ 가 성립한다.

3. 응용

아벨의 합 공식을 이용하는 방법은, 공식에서 다른 방법으로 F(a)에 관한 식을 찾은 뒤 이것을 a에 관해 풀어서 적분을 구하는 것이다.

아벨의 합 공식을 이용하여 적분 $\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin\{x\}\}\{x\}\; \backslash ,dx$를 계산할 수 있다. 공식에 대입하면,
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin\{x\}\}\{x\}\; \backslash ,dx\; =\; \backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; +0\}\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-ax\}\backslash frac\{\backslash sin\{x\}\}\{x\}\; \backslash ,dx\; =\; \backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; +0\}F(a)$
이 된다. $F\text{'}(a)=\; -\; \backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-ax\}\backslash sin\{x\}\; \backslash ,dx\; =\; -\backslash frac\{1\}\{1+\; a^2\}$이므로, 이를 다시 $a$에 관해 적분하면,
:$F(a)=\; -\; \backslash arctan\{a\}\; +\; C$
와 같이 된다. $F(a)$의 원 식에서 $a$가 무한대로 가면, 적분식 안이 $0$으로 접근하므로 $F(a)$ 역시 $0$으로 접근한다. 또 이때 아크탄젠트 함수의 값은 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$로 접근하므로, 적분상수는 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$이다. 따라서,
:$\backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; +0\}\; \{[-\; \backslash arctan\{a\}\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}]\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$
가 되고, 이는 원 적분과 같다.

3.1. 적분 계산 예시

아벨의 합 공식을 이용하여 적분 $\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin\{x\}\}\{x\}\; \backslash ,dx$를 계산할 수 있다. 공식에 대입하면,
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin\{x\}\}\{x\}\; \backslash ,dx\; =\; \backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; +0\}\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-ax\}\backslash frac\{\backslash sin\{x\}\}\{x\}\; \backslash ,dx\; =\; \backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; +0\}F(a)$
이 된다. $F\text{'}(a)=\; -\; \backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-ax\}\backslash sin\{x\}\; \backslash ,dx\; =\; -\backslash frac\{1\}\{1+\; a^2\}$이므로, 이를 다시 $a$에 관해 적분하면,
:$F(a)=\; -\; \backslash arctan\{a\}\; +\; C$
와 같이 된다. $F(a)$의 원 식에서 $a$가 무한대로 가면, 적분식 안이 $0$으로 접근하므로 $F(a)$ 역시 $0$으로 접근한다. 또 이때 아크탄젠트 함수의 값은 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$로 접근하므로, 적분상수는 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$이다. 따라서,
:$\backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; +0\}\; \{[-\; \backslash arctan\{a\}\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}]\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$
가 되고, 이는 원 적분과 같다.