아벨의 합 공식

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1. 개요
2. 공식화
3. 활용 예시
4. 관련 정리 및 개념
참조

1. 개요

아벨의 합 공식은 수열과 함수의 곱의 합을 계산하는 데 사용되는 수학 공식이다. 이 공식은 실수 또는 복소수 항의 수열과 연속적으로 미분 가능한 함수에 대해 항등식을 제공하며, 리만-스틸체스 적분을 사용하여 유도된다. 아벨의 합 공식은 조화 급수, 리만 제타 함수, 오일러-마스케로니 상수 등 다양한 수학적 문제의 해결에 활용되며, 극한 형태와 특수한 경우에 대한 변형된 공식도 존재한다.

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아벨의 합 공식
개요
종류	수학적 공식, 해석학
분야	미적분학, 해석학
관련 항목	부분 적분, 급수, 수열
공식
설명	수열 {an}과 {bn}에 대해 다음이 성립한다. 여기서 Δbn = bn+1 − bn이다. ∑n=pakpanΔbn = apbp+1 − baap − ∑n=pa+1bnΔan. 부분합의 형태로 표현하면 다음과 같다. ∑n=pakpanbn = apbp − ba−1 − ∑n=pa−1(bn+1 − bn)an
다른 표현	함수 f, g : [1, ∞) → C에 대해 다음이 성립한다. ∑p≤x≤qf(x)g'(x) = f(q)g(q) − f(p−1)g(p−1) − ∑p≤x
활용
활용 분야	수론 해석학 확률론

2. 공식화

$(a_n)$ 을 실수나 복소수 항의 수열이라 하고, $\phi(x)$ 를 $\mathcal{C}^1$ 급 함수라 할 때, 아벨의 합 공식은 다음과 같이 표현된다.

: $\sum_{1 \le n \le x} a_n \phi(n) = A(x) \phi(x) - \int_1^x A(u) \phi'(u) \, \mathrm{d}u$

여기서 $A(x) := \sum_{0 < n \le x} a_n$ 이다.

이는 리만-스틸체스 적분에 대한 부분적분 공식과 같다.

2. 1. 기본 공식

a_n

을 실수나 복소수 항의 수열이라 하고,

\phi(x)

를

[x, y]

에서 연속적으로 미분 가능한 함수라고 할 때, 다음 항등식이 성립한다.

:

\sum_{x< n\le y} a_n\phi(n) = A(y)\phi(y) - A(x)\phi(x) -\int_x^y A(u)\phi'(u)\,\mathrm{d}u \,

여기서

A(x):= \sum_{0 < n \le x} a_n \,

이다.

이는 부분 적분을 리만-스틸체스 적분에 적용하여 유도된다.

왼쪽 끝점을

-1

로 하면 다음과 같은 공식이 된다.

:

\sum_{0 \le n \le x} a_n\phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_0^x A(u)\phi'(u)\,du.

수열

(a_n)

이

n = 1

부터 시작하는 경우,

a_0 = 0

으로 정의할 수 있다. 이전 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\sum_{1\le n \le x} a_n\phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u)\,\mathrm{d}u \,

2. 2. 일반화된 공식

아벨의 합 공식(Abel's summation formula)의 일반화된 공식은 다음과 같다.

:

\sum_{x< n\le y} a_n\phi(n) = A(y)\phi(y) - A(x)\phi(x) -\int_x^y A(u)\phi'(u)\,\mathrm{d}u \,

여기서

a_n \,

는 실수나 복소수 항의 수열이고,

\phi (x) \,

는

\mathcal{C}^1 \,

급의 함수이며,

A(x):= \sum_{0 < n \le x} a_n \,

이다. 이 공식은 리만-스틸체스 적분에 대한 부분적분을 통해 유도할 수 있다.

2. 3. 리만-스틸체스 적분 표현

실수나 복소수 항의 수열

a_n \,

과

\mathcal{C}^1 \,

급 함수

\phi (x) \,

에 대해, 다음 항등식이 성립한다.

:

\sum_{1\le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u) \, \mathrm{d}u \,

여기서

A(x):= \sum_{0 < n \le x} a_n \,

이다. 이는 리만-스틸체스 적분에 대한 부분적분 공식과 같으며, 더 일반적인 식은 다음과 같다.

:

\sum_{x< n\le y} a_n\phi(n) = A(y)\phi(y) - A(x)\phi(x) -\int_x^y A(u)\phi'(u)\,\mathrm{d}u \,.

t

가 임의의 실수일 때, 부분 합 함수

A(t) = \sum_{0 \le n \le t} a_n

와

[x, y]

에서 연속적으로 미분 가능한 함수

\phi

에 대해, 위 공식은 부분 적분을 리만-스틸체스 적분에 적용하여 유도된다.

리만-스틸체스 적분을 사용하면 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\int_x^y fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^y Adf

2. 4. 시작점 변형

왼쪽 끝점을

-1

로 하면 다음과 같은 공식이 얻어진다.

:

\sum_{0 \le n \le x} a_n\phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_0^x A(u)\phi'(u)\,du.

수열

(a_n)

이

n = 1

부터 시작하는 경우,

a_0 = 0

으로 정의하면 다음과 같다.

:

\sum_{1 \le n \le x} a_n\phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u)\,du.

2. 5. 극한 형태

아벨의 합 공식(Abel's summation formula)을 사용하는 일반적인 방법은 공식의 극한을

x \to \infty

로 취하는 것이다. 그러면 다음과 같은 무한급수에 대한 공식을 얻는다.

:

\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_n\phi(n) &= \lim_{x \to \infty}\bigl(A(x)\phi(x)\bigr) - \int_0^\infty A(u)\phi'(u)\,du, \\\sum_{n=1}^\infty a_n\phi(n) &= \lim_{x \to \infty}\bigl(A(x)\phi(x)\bigr) - \int_1^\infty A(u)\phi'(u)\,du.\end{align}

이 공식들은 오른쪽 항의 두 극한이 모두 존재하고 유한할 때 성립한다.

특히 모든

n \ge 0

에 대해 수열

a_n = 1

인 경우가 유용하다. 이 경우

A(x) = \lfloor x + 1 \rfloor

이고, 아벨의 합 공식은 다음과 같이 간단해진다.

:

\sum_{0 \le n \le x} \phi(n) = \lfloor x + 1 \rfloor\phi(x) - \int_0^x \lfloor u + 1\rfloor \phi'(u)\,du.

마찬가지로

a_0 = 0

이고 모든

n \ge 1

에 대해

a_n = 1

인 수열에 대한 공식은 다음과 같다.

:

\sum_{1 \le n \le x} \phi(n) = \lfloor x \rfloor\phi(x) - \int_1^x \lfloor u \rfloor \phi'(u)\,du.

x \to \infty

로 극한을 취하면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\sum_{n=0}^\infty \phi(n) &= \lim_{x \to \infty}\bigl(\lfloor x + 1 \rfloor\phi(x)\bigr) - \int_0^\infty \lfloor u + 1\rfloor \phi'(u)\,du, \\\sum_{n=1}^\infty \phi(n) &= \lim_{x \to \infty}\bigl(\lfloor x \rfloor\phi(x)\bigr) - \int_1^\infty \lfloor u\rfloor \phi'(u)\,du,\end{align}

여기서 오른쪽 항의 두 항이 모두 존재하고 유한하다고 가정한다.

2. 6. 특수한 경우

모든

n \ge 0

에 대해

a_n = 1

인 경우,

A(x) = \lfloor x + 1 \rfloor

이다. 이 경우 아벨의 합 공식은 다음과 같이 간단해진다.

:

\sum_{0 \le n \le x} \phi(n) = \lfloor x + 1 \rfloor\phi(x) - \int_0^x \lfloor u + 1\rfloor \phi'(u)\,du.

마찬가지로,

a_0 = 0

이고 모든

n \ge 1

에 대해

a_n = 1

인 경우, 공식은 다음과 같다.

:

\sum_{1 \le n \le x} \phi(n) = \lfloor x \rfloor\phi(x) - \int_1^x \lfloor u \rfloor \phi'(u)\,du.

3. 활용 예시

아벨 합 공식은 여러 수론적 문제를 해결하는 데 유용하게 쓰인다. 예를 들어 디리클레 급수에 적용할 수 있다.

$a_n = \mu(n)$ 이 뫼비우스 함수이고 $\phi(x) = x^{-s}$ 이면, $A(x) = M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)$ 는 메르텐스 함수이며, 다음 공식이 $\Re(s) > 1$ 에서 성립한다.

: $\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{M(u)}{u^{1+s}}\,du.$

3. 1. 오일러-마스케로니 상수

만약

a_n = 1

이고

\phi(x) = \frac{1}{x}

이면,

A(x) = \lfloor x \rfloor

이며 공식은 다음과 같다.

:

\sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \,du.

좌변은 조화수

H_{\lfloor x \rfloor}

이다.

조화 급수

\sum_{1\leq n\leq x} \frac{1}{n}

에 대해,

a_n=1 (n=1,2, \cdots), f(t)= \frac{1}{t}

로 두면

A(x)=\lfloor x\rfloor

이므로

:

\sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x\rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor t\rfloor}{t^2} dt = \log x+1- \frac{\{x\}}{x} - \int_1^x \frac{\{t\}}{t^2}dt

가 성립한다. 이로부터

:

\sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \log x+\gamma + O \left( \frac{1}{x} \right)

가 되는 상수

\gamma

가 존재함을 알 수 있다. 이 상수

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수라고 한다.

3. 2. 리만 제타 함수

a_n = 1

이고

\phi (x) = \frac{1}{x^s}

이라면,

A(x) = \lfloor x \rfloor

이고 다음이 성립한다.

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u

이 공식은

\Re(s) > 1

에 대해서 성립한다. 이 공식을 이용하면 리만 제타 함수

\zeta(s)

가 s = 1에서 유수 1인 단순극을 갖는다는 디리클레 정리를 증명할 수 있다.

복소수

s

를 고정한다. 만약

n \ge 1

에 대해

a_n = 1

이고

\phi(x) = x^{-s}

이면,

A(x) = \lfloor x \rfloor

이고 공식은 다음과 같다.

:

\sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \frac{1}{n^s} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x^s} + s\int_1^x \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}}\,du.

만약

\Re(s) > 1

이면,

x \to \infty

로 갈 때 극한이 존재하며, 다음과 같은 공식을 얻는다.

:

\zeta(s) = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}}\,du.

여기서

\zeta(s)

는 리만 제타 함수이다.

이것은

\zeta(s)

가 s = 1에서 단순 극점을 가지며 잉여가 1이라는 디리클레 정리를 유도하는 데 사용될 수 있다.

3. 3. 리만 제타 함수의 역수

a_n = \mu(n)

(뫼비우스 함수)이고

\phi(x) = \frac{1}{x^s}

인 경우,

A (x) = M(u) = \sum_{n \le x} \mu (x) \,

는 메르텐스 함수이고 다음이 성립한다.

:

\sum_1^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = s \int_1^\infty \frac{M(u)}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.

이 공식은

\Re(s) > 1 \,

에서 성립한다.

앞선 예제의 기법은 다른 디리클레 급수에도 적용될 수 있다.

a_n = \mu(n)

이 뫼비우스 함수이고

\phi(x) = x^{-s}

이면,

A(x) = M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)

는 메르텐스 함수이며, 다음 공식이 성립한다.

:

\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{M(u)}{u^{1+s}}\,du.

이 공식은

\Re(s) > 1

에서 성립한다.

4. 관련 정리 및 개념

이 정리는 아벨의 급수 변형법의 특수한 경우이다.

또한, 리만-스틸체스 적분의 부분 적분 공식이기도 하며, 리만-스틸체스 적분을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: $\int_x^y fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^y Adf$

증명에 관해서는 Apostol, 제3장 및 제4장이나 Hardy-Wright, 제22장을 참조하라.

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