역평행사변형
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1. 개요
역평행사변형은 두 쌍의 길이가 같은 변을 가진 교차 사각형의 특수한 경우이다. 모든 반평행사변형은 원내 사각형이며, 네 개의 연장된 변은 두 원의 공통 접선이 된다. 이러한 기하학적 성질을 통해 접선 사각형, 외접선 사각형, 연과 밀접한 관련을 가진다. 반평행사변형은 다면체의 꼭짓점 도형으로 사용되거나, 4절 링크, 기어 디자인, 천체 역학 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 4절 링크에서는 와트 링크, 하트의 반전기, 켐페의 보편성 정리 등과 관련되며, 기어 디자인에서는 타원 기어 설계에 활용된다. 또한, n체 문제의 중심 배치 연구에도 활용된다.
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2. 기하학적 성질
반평행사변형은 두 쌍의 길이가 같은 변을 가진 교차 사각형의 특별한 경우이다. 일반적으로 교차 사각형은 길이가 같지 않은 변을 가질 수 있다. 반평행사변형의 특별한 형태는 두 개의 반대편 변이 평행한 교차 직사각형이다. 모든 반평행사변형은 네 개의 꼭짓점이 모두 하나의 원 위에 있는 원내 사각형이다. 또한, 모든 반평행사변형의 네 개의 연장된 변은 두 원의 공통 접선이므로 반평행사변형은 접선 사각형, 외접선 사각형, 그리고 연과 밀접한 관련이 있다.
모든 반평행사변형은 교차점을 지나는 대칭축을 갖는다. 이러한 대칭성 때문에 두 쌍의 같은 각과 두 쌍의 같은 변을 갖는다. 변의 네 중점은 대칭축에 수직인 선 위에 놓인다. 즉, 이러한 종류의 사각형의 경우, 바리뇽 평행사변형은 네 개의 공선점(collinear points)으로 구성된 면적이 0인 퇴화된 사각형이다. 반평행사변형의 볼록 껍질은 이등변 사다리꼴이며, 모든 반평행사변형은 두 개의 평행한 변을 사다리꼴의 두 대각선으로 대체하여 이등변 사다리꼴(또는 특별한 경우인 직사각형 및 정사각형)에서 형성될 수 있다.
반평행사변형은 평면의 두 개의 합동 삼각형 영역을 형성하지만, 그 두 영역을 반대 방향으로 루프하므로, 그 부호 있는 면적은 영역 면적의 차이이고 따라서 0이다. 다각형의 부호 없는 면적(둘러싸는 총 면적)은 이러한 면적의 차이가 아닌 합이다. 길이가 p와 q이고 높이 h로 분리된 두 개의 평행한 대각선을 가진 반평행사변형의 경우, 이 합은 hpq/(p+q)이다. 반평행사변형의 두 삼각형 영역에 삼각 부등식을 적용하면, 반평행사변형에서 교차하는 변의 쌍은 항상 교차하지 않는 두 변보다 더 길어야 한다.
2. 1. 정의 및 기본 성질
반평행사변형은 두 쌍의 길이가 같은 변을 가진 교차 사각형의 특별한 경우이다. 일반적으로 교차 사각형은 길이가 같지 않은 변을 가질 수 있다. 반평행사변형의 특별한 형태는 두 개의 반대편 변이 평행한 교차 직사각형이다. 모든 반평행사변형은 네 개의 꼭짓점이 모두 하나의 원 위에 있는 원내 사각형이다. 또한, 모든 반평행사변형의 네 개의 연장된 변은 두 원의 공통 접선이므로 반평행사변형은 접선 사각형, 외접선 사각형, 그리고 연과 밀접한 관련이 있다.모든 반평행사변형은 교차점을 지나는 대칭축을 갖는다. 이러한 대칭성 때문에 두 쌍의 같은 각과 두 쌍의 같은 변을 갖는다. 변의 네 중점은 대칭축에 수직인 선 위에 놓인다. 즉, 이러한 종류의 사각형의 경우, 바리뇽 평행사변형은 네 개의 공선점(collinear points)으로 구성된 면적이 0인 퇴화된 사각형이다. 반평행사변형의 볼록 껍질은 이등변 사다리꼴이며, 모든 반평행사변형은 두 개의 평행한 변을 사다리꼴의 두 대각선으로 대체하여 이등변 사다리꼴(또는 특별한 경우인 직사각형 및 정사각형)에서 형성될 수 있다.
반평행사변형은 평면의 두 개의 합동 삼각형 영역을 형성하지만, 그 두 영역을 반대 방향으로 루프하므로, 그 부호 있는 면적은 영역 면적의 차이이고 따라서 0이다. 다각형의 부호 없는 면적(둘러싸는 총 면적)은 이러한 면적의 차이가 아닌 합이다. 길이가 와 이고 높이 로 분리된 두 개의 평행한 대각선을 가진 반평행사변형의 경우, 이 합은 이다. 반평행사변형의 두 삼각형 영역에 삼각 부등식을 적용하면, 반평행사변형에서 교차하는 변의 쌍은 항상 교차하지 않는 두 변보다 더 길어야 한다.
2. 2. 면적
2. 3. 삼각 부등식
3. 종류
역평행사변형은 일반적인 사각형의 한 종류이며, 사다리꼴, 등변사다리꼴, 연꼴, 평행사변형, 마름모, 직사각형, 정사각형 등과의 관계를 가진다.
반평행사변형의 특수한 경우는 두 개의 반대편 변이 평행한 경우로, 교차 직사각형과 같은 형태를 띤다.
3. 1. 일반적인 사각형과의 관계
wikitext역평행사변형은 일반적인 사각형의 한 종류이며, 사다리꼴, 등변사다리꼴, 연꼴, 평행사변형, 마름모, 직사각형, 정사각형 등과의 관계를 가진다.
3. 2. 특수한 경우
반평행사변형의 특수한 경우는 두 개의 반대편 변이 평행한 경우로, 교차 직사각형과 같은 형태를 띤다.4. 다면체에서의 응용
사면반육면체, 육면반팔면체, 팔면반팔면체, 작은 마름모육면체, 작은 이십면반십이면체, 작은 십이면반십이면체와 같은 일부 고른 다면체는 꼭짓점 도형으로 역평행사변형을 가지고 있다. 따라서 그 쌍대다면체는 면에 역평행사변형을 가진다.
볼록하지 않은 고른 다면체 중 일부인 반정육면체사면체, 육방반팔면체, 팔반팔면체, 작은 롬비육면체, 작은 이십반육각별십이면체, 작은 십이반육각별십이면체는 꼭짓점 근처를 지나 꼭짓점과 중심 사이의 축에 수직으로 다면체를 잘라 얻은 단면인 꼭짓점 도형으로 역평행사변형을 갖는다.
비고른 다면체의 한 형태이지만 가변 다면체인 브리카르 팔면체는 역평행사변형 위에 있는 이중뿔로 구성될 수 있다.
4. 1. 고른 다면체
사면반육면체, 육면반팔면체, 팔면반팔면체, 작은 마름모육면체, 작은 이십면반십이면체, 작은 십이면반십이면체와 같은 일부 고른 다면체는 꼭짓점 도형으로 역평행사변형을 가지고 있다. 따라서 그 쌍대다면체는 면에 역평행사변형을 가진다.볼록하지 않은 고른 다면체 중 일부인 반정육면체사면체, 육방반팔면체, 팔반팔면체, 작은 롬비육면체, 작은 이십반육각별십이면체, 작은 십이반육각별십이면체는 꼭짓점 근처를 지나 꼭짓점과 중심 사이의 축에 수직으로 다면체를 잘라 얻은 단면인 꼭짓점 도형으로 역평행사변형을 갖는다.
비고른 다면체의 한 형태이지만 가변 다면체인 브리카르 팔면체는 역평행사변형 위에 있는 이중뿔로 구성될 수 있다.
4. 2. 브리카르 팔면체
작은 롬비육면체의 꼭지점을 잘라내면 꼭짓점 도형으로 역평행사변형 단면이 생성된다. 작은 롬비육각별십이면체는 면이 역평행사변형(공면 삼각형 쌍으로 형성)인 다면체이다. 반정육면체사면체, 육방반팔면체, 팔반팔면체, 작은 롬비육면체, 작은 이십반육각별십이면체, 작은 십이반육각별십이면체와 같은 볼록하지 않은 고른 다면체들은 꼭짓점 도형으로 역평행사변형을 갖는다.가변 다면체인 브리카르 팔면체는 역평행사변형 위에 있는 이중뿔로 구성될 수 있다.
5. 4절 링크에서의 응용
점선은 네 번째 연결에 필요한 마지막 링크를 나타냅니다.
역평행사변형은 네 개의 고정된 길이의 강성 빔(역평행사변형의 네 변)이 역평행사변형의 네 꼭짓점에 위치한 관절에서 서로 회전할 수 있는 형태의 사절 링크로 사용되었다. 이 맥락에서 이 링크는 "나비" 또는 "보타이 링크"라고도 불린다. 링크로서, 평행사변형으로 변환될 수 있는 불안정성이 있으며, 그 반대도 가능하지만, 이러한 링크는 모두 이 불안정성을 방지하기 위해 지지될 수 있다.
평행사변형과 역평행사변형 링크 모두에서 링크의 긴(교차된) 가장자리 중 하나가 기저로 고정되면 자유 관절이 동일한 원을 따라 움직이지만, 평행사변형에서는 동일한 방향으로 동일한 속도로 움직이는 반면, 역평행사변형에서는 반대 방향으로 서로 다른 속도로 움직인다. 제임스 와트가 발견한 바와 같이, 역평행사변형의 긴 변이 이러한 방식으로 고정되면 고정되지 않은 긴 가장자리의 중간점이 렘니스케이트 또는 숫자 8자 곡선을 그리게 된다. 정사각형의 변과 대각선으로 형성된 역평행사변형의 경우, 이것은 베르누이의 렘니스케이트이다.
긴 변이 고정된 역평행사변형은 와트 링크의 변형이다. 역평행사변형은 회전 운동을 직선 운동으로 변환할 수 있는 링크(포셀리에-립킨 링크 와 유사)인 하트의 반전기 설계에서 중요한 특징이다. 역평행사변형 모양의 링크는 또한 4륜 차량의 두 차축을 연결하여 하나의 차축만 회전할 수 있는 서스펜션에 비해 차량의 회전 반경을 줄이는 데 사용할 수 있다. 알프레드 켐페가 정의한 링크에서 두 쌍의 중첩된 역평행사변형이 사용되었으며, 이 링크는 켐페의 보편성 정리의 일부로, 적절하게 정의된 링크의 관절을 통해 모든 대수 곡선을 추적할 수 있다고 명시한다. 켐페는 중첩된 역평행사변형 링크를 "곱셈기"라고 불렀으며, 각도를 정수로 곱하는 데 사용할 수 있다. 반대 방향으로, 즉 각도를 나누는 데 사용하면 각의 삼등분에 사용할 수 있다(물론 자 및 컴퍼스 작도로는 사용할 수 없다). 켐페의 이 링크를 사용한 원래의 작도는 평행사변형-역평행사변형 불안정성을 간과했지만, 링크를 지지함으로써 보편성 정리에 대한 그의 증명이 고정된다.
5. 1. 기본 원리
역평행사변형은 네 개의 고정된 길이의 강성 빔(역평행사변형의 네 변)이 역평행사변형의 네 꼭짓점에 위치한 관절에서 서로 회전할 수 있는 형태의 사절 링크로 사용되었다. 이 맥락에서 이 링크는 "나비" 또는 "보타이 링크"라고도 불린다. 평행사변형과 역평행사변형 링크 모두에서 링크의 긴(교차된) 가장자리 중 하나가 기저로 고정되면 자유 관절이 동일한 원을 따라 움직이지만, 평행사변형에서는 동일한 방향으로 동일한 속도로 움직이는 반면, 역평행사변형에서는 반대 방향으로 서로 다른 속도로 움직인다. 제임스 와트가 발견한 바와 같이, 역평행사변형의 긴 변이 이러한 방식으로 고정되면 고정되지 않은 긴 가장자리의 중간점이 르미니스케이트 또는 숫자 8자 곡선을 그리게 된다. 정사각형의 변과 대각선으로 형성된 역평행사변형의 경우, 이것은 베르누이의 르미니스케이트이다.
긴 변이 고정된 역평행사변형은 와트 링크의 변형이다. 역평행사변형은 회전 운동을 직선 운동으로 변환할 수 있는 링크( 포셀리에-립킨 링크 와 유사)인 하트의 반전기 설계에서 중요한 특징이다. 역평행사변형 모양의 링크는 또한 4륜 차량의 두 차축을 연결하여 하나의 차축만 회전할 수 있는 서스펜션에 비해 차량의 회전 반경을 줄이는 데 사용할 수 있다.
5. 2. 와트 링크
역평행사변형은 네 개의 고정된 길이의 강성 빔이 역평행사변형의 네 꼭짓점에 위치한 관절에서 서로 회전할 수 있는 형태의 사절 링크로 사용되었다. 이 맥락에서 이 링크는 "나비" 또는 "보타이 링크"라고도 불린다. 링크로서, 평행사변형으로 변환될 수 있는 불안정성이 있으며, 그 반대도 가능하지만, 이러한 링크는 모두 이 불안정성을 방지하기 위해 지지될 수 있다.
평행사변형과 역평행사변형 링크 모두에서 링크의 긴(교차된) 가장자리 중 하나가 기저로 고정되면 자유 관절이 동일한 원을 따라 움직이지만, 평행사변형에서는 동일한 방향으로 동일한 속도로 움직이는 반면, 역평행사변형에서는 반대 방향으로 서로 다른 속도로 움직인다. 제임스 와트가 발견한 바와 같이, 역평행사변형의 긴 변이 이러한 방식으로 고정되면 고정되지 않은 긴 가장자리의 중간점이 렘니스케이트 또는 숫자 8자 곡선을 그리게 된다. 정사각형의 변과 대각선으로 형성된 역평행사변형의 경우, 이것은 베르누이의 렘니스케이트이다.
긴 변이 고정된 역평행사변형은 와트 링크의 변형이다. 역평행사변형은 회전 운동을 직선 운동으로 변환할 수 있는 링크(포셀리에-립킨 링크 와 유사)인 하트의 반전기 설계에서 중요한 특징이다. 역평행사변형 모양의 링크는 또한 4륜 차량의 두 차축을 연결하여 하나의 차축만 회전할 수 있는 서스펜션에 비해 차량의 회전 반경을 줄이는 데 사용할 수 있다. 알프레드 켐페가 정의한 링크에서 두 쌍의 중첩된 역평행사변형이 사용되었으며, 이 링크는 켐페의 보편성 정리의 일부로, 적절하게 정의된 링크의 관절을 통해 모든 대수 곡선을 추적할 수 있다고 명시한다. 켐페는 중첩된 역평행사변형 링크를 "곱셈기"라고 불렀으며, 각도를 정수로 곱하는 데 사용할 수 있다. 반대 방향으로, 즉 각도를 나누는 데 사용하면 각의 삼등분에 사용할 수 있다(물론 자 및 컴퍼스 작도로는 사용할 수 없다). 켐페의 이 링크를 사용한 원래의 작도는 평행사변형-역평행사변형 불안정성을 간과했지만, 링크를 지지함으로써 보편성 정리에 대한 그의 증명이 고정된다.
5. 3. 하트의 반전기
역평행사변형은 네 개의 고정된 길이의 강성 빔이 역평행사변형의 네 꼭짓점에 위치한 관절에서 서로 회전할 수 있는 형태의 사절 링크로 사용되었다. 이 링크는 "나비" 또는 "보타이 링크"라고도 불린다. 링크로서, 평행사변형으로 변환될 수 있는 불안정성이 있으며, 그 반대도 가능하지만, 이러한 링크는 모두 이 불안정성을 방지하기 위해 지지될 수 있다.평행사변형과 역평행사변형 링크 모두에서 링크의 긴(교차된) 가장자리 중 하나가 기저로 고정되면 자유 관절이 동일한 원을 따라 움직이지만, 평행사변형에서는 동일한 방향으로 동일한 속도로 움직이는 반면, 역평행사변형에서는 반대 방향으로 서로 다른 속도로 움직인다. 제임스 와트가 발견한 바와 같이, 역평행사변형의 긴 변이 이러한 방식으로 고정되면 고정되지 않은 긴 가장자리의 중간점이 르미니스케이트 또는 숫자 8자 곡선을 그리게 된다.
긴 변이 고정된 역평행사변형은 와트 링크의 변형이다. 역평행사변형은 회전 운동을 직선 운동으로 변환할 수 있는 링크(포셀리에-립킨 링크 와 유사)인 하트의 반전기 설계에서 중요한 특징이다. 역평행사변형 모양의 링크는 또한 4륜 차량의 두 차축을 연결하는데 사용될 수 있다. 알프레드 켐페가 정의한 링크에서 두 쌍의 중첩된 역평행사변형이 사용되었으며,켐페의 보편성 정리의 일부로 사용되었다. 켐페는 중첩된 역평행사변형 링크를 "곱셈기"라고 불렀으며, 각도를 정수로 곱하는 데 사용했다. 반대 방향으로, 즉 각도를 나누는 데 사용하면 각의 삼등분에 사용할 수 있다.
5. 4. 켐페의 보편성 정리
역평행사변형은 사절 링크의 일종으로, 네 개의 빔이 네 꼭짓점에서 회전하는 구조이다. 이 링크는 "나비" 또는 "보타이 링크"라고도 불린다. 평행사변형으로 변환될 수 있는 불안정성을 가지지만, 지지를 통해 방지할 수 있다.긴 변이 고정된 역평행사변형은 와트 링크의 변형이다. 포셀리에-립킨 링크와 유사하게 회전 운동을 직선 운동으로 변환하는 하트의 반전기 설계에 사용된다. 또한 4륜 차량의 두 차축을 연결하여 회전 반경을 줄이는 서스펜션에도 사용된다.
알프레드 켐페는 중첩된 역평행사변형 링크("곱셈기")를 사용하여 각도를 정수로 곱하는 방법을 고안했다. 이 링크는 켐페의 보편성 정리 증명에 사용되었는데, 이 정리는 적절한 링크의 관절을 통해 모든 대수 곡선을 추적할 수 있다는 내용을 담고 있다. 켐페의 곱셈기는 각도를 나누는 데에도 사용될 수 있으며, 이는 각의 삼등분 문제와 관련이 있다. 켐페의 원래 증명은 평행사변형-역평행사변형 불안정성을 간과했지만, 링크를 지지함으로써 수정되었다.
6. 기어 디자인에서의 응용
역평행사변형 링크에서 교차하지 않은 변 중 하나를 고정하고 나머지 링크를 자유롭게 움직이게 하면, 링크의 움직임에 따라 각 역평행사변형은 교차점에서 만나는 두 개의 합동 삼각형으로 나눌 수 있다. 고정된 변을 기반으로 하는 삼각형에서 두 움직이는 변의 길이는 역평행사변형의 교차된 변 중 하나의 일정한 길이의 합과 같으므로, 움직이는 교차점은 고정된 점을 초점으로 하는 타원을 그린다. 대칭적으로 역평행사변형의 두 번째(움직이는) 교차하지 않은 변은 교차점을 통과하는 접선에 대한 반사를 통해 첫 번째 타원으로부터 형성된 두 번째 타원의 초점이다.
두 번째 타원이 첫 번째 타원을 중심으로 구르기 때문에, 역평행사변형의 움직임에서 이러한 타원 구성은 균일한 회전을 불균일한 회전으로 또는 그 반대로 변환하는 타원 기어 설계에 사용될 수 있다.
6. 1. 타원과의 관계
역평행사변형 링크에서 교차하지 않은 변 중 하나를 고정하고 나머지 링크를 자유롭게 움직이게 하면, 링크의 움직임에 따라 각 역평행사변형은 교차점에서 만나는 두 개의 합동 삼각형으로 나눌 수 있다. 고정된 변을 기반으로 하는 삼각형에서 두 움직이는 변의 길이는 역평행사변형의 교차된 변 중 하나의 일정한 길이의 합과 같으므로, 움직이는 교차점은 고정된 점을 초점으로 하는 타원을 그린다. 대칭적으로 역평행사변형의 두 번째(움직이는) 교차하지 않은 변은 교차점을 통과하는 접선에 대한 반사를 통해 첫 번째 타원으로부터 형성된 두 번째 타원의 초점이다.두 번째 타원이 첫 번째 타원을 중심으로 구르기 때문에, 역평행사변형의 움직임에서 이러한 타원 구성은 균일한 회전을 불균일한 회전으로 또는 그 반대로 변환하는 타원 기어 설계에 사용될 수 있다.
6. 2. 타원 기어 설계
역평행사변형 링크에서 교차하지 않은 변 중 하나를 고정하고 나머지 링크를 자유롭게 움직이면, 링크의 움직임에 따라 각 역평행사변형은 교차점에서 만나는 두 개의 합동 삼각형으로 나눌 수 있다. 고정된 변을 기반으로 하는 삼각형에서 두 움직이는 변의 길이는 역평행사변형의 교차된 변 중 하나의 일정한 길이의 합과 같으므로, 움직이는 교차점은 고정된 점을 초점으로 하는 타원을 그린다. 대칭적으로 역평행사변형의 두 번째 (움직이는) 교차하지 않은 변은 교차점을 통과하는 접선에 대한 반사를 통해 첫 번째 타원으로부터 형성된 두 번째 타원의 초점이다.이러한 두 번째 타원이 첫 번째 타원을 중심으로 구르기 때문에, 역평행사변형의 움직임에서 타원 구성은 균일한 회전을 불균일한 회전으로 또는 그 반대로 변환하는 타원 기어 설계에 사용될 수 있다.
7. 천체 역학에서의 응용
n체 문제는 뉴턴의 만유인력의 법칙에 따라 점 질량들의 움직임을 연구하는 문제이다. 여기서 중심 배치는 모든 물체가 서로 단단하게 연결된 것처럼 어떤 중심점을 중심으로 회전하는 n체 문제의 해답으로 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 세 개의 물체의 경우, 다섯 개의 라그랑주 점으로 주어진 이 유형의 다섯 가지 해답이 있다. 네 개의 물체에서 두 쌍의 물체가 동일한 질량을 가지고 있고 (하지만 두 쌍의 질량 비율이 연속적으로 변함), 수치적 증거에 따르면 반평행사변형 연결의 움직임과 관련된 연속적인 중심 배치의 집합이 존재한다.
7. 1. 중심 배치
n체 문제는 뉴턴의 만유인력의 법칙에 따라 점 질량들의 움직임을 연구하는 문제이다. 여기서 중심 배치는 모든 물체가 서로 단단하게 연결된 것처럼 어떤 중심점을 중심으로 회전하는 n체 문제의 해답으로 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 세 개의 물체의 경우, 다섯 개의 라그랑주 점으로 주어진 이 유형의 다섯 가지 해답이 있다. 네 개의 물체에서 두 쌍의 물체가 동일한 질량을 가지고 있고 (하지만 두 쌍의 질량 비율이 연속적으로 변함), 수치적 증거에 따르면 반평행사변형 연결의 움직임과 관련된 연속적인 중심 배치의 집합이 존재한다.
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