접선

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 고대 그리스
- 2.2. 근대
3. 곡선의 접선
4. 여러 가지 접선
5. 접하는 원
6. 곡면의 접평면
7. 다차원 다양체의 접공간
참조

1. 개요

접선은 기하학에서 곡선이나 곡면에 한 점에서 닿는 직선 또는 평면을 의미한다. 고대 그리스 시대부터 연구되었으며, 페르마, 데카르트 등 17세기의 수학자들이 접선 계산법을 발전시키면서 미분 적분학의 발전에 기여했다. 평면 곡선 위의 한 점에서의 접선은 그 점에서의 곡선의 기울기를 나타내며, 할선의 극한으로 정의된다. 접선의 존재성과 유일성은 미분 가능성에 달려 있으며, 변곡점에서는 접선이 곡선을 가로지르기도 한다. 접선의 방정식은 곡선의 형태에 따라 다양하게 표현되며, 원, 타원, 쌍곡선 등 다양한 곡선에 대한 접선의 방정식을 구할 수 있다. 또한, 두 원이 한 점에서 만나는 경우 접한다고 하며, 곡면의 접평면과 다차원 다양체의 접공간도 접선의 개념을 확장한 것이다.

2. 역사

접선의 개념은 고대 그리스 시대부터 연구되어 왔다. 1828년의 접선에 대한 정의는 "곡선에 접하지만 연장될 때 그 곡선을 자르지 않는 직선"이었다.^[9] 이 정의는 변곡점에서 접선을 그릴 수 없다는 문제가 있어 기각되었고, 라이프니츠가 정의한 "곡선 위의 무한히 가까운 두 점을 지나는 직선"이라는 현대적인 정의로 대체되었다. 현대적인 용어로는 곡선 위의 점 P에서의 접선은 P로 접근하는 곡선 위의 두 점을 지나는 직선의 극한으로 표현된다.

2. 1. 고대 그리스

유클리드는 기원전 300년경 그의 저서 《원론》 제3권에서 원의 접선(ἐφαπτομένη|에팝토메네^grc)에 대해 여러 번 언급했다.^[4] 아폴로니우스는 기원전 225년경 그의 저서 《원뿔 곡선론》에서 접선을 "다른 어떤 직선도 곡선과 그 사이에 놓일 수 없는 직선"으로 정의했다.^[5]

아르키메데스 (기원전 287년경 – 기원전 212년경)는 곡선을 따라 움직이는 점의 경로를 고려하여 아르키메데스 나선의 접선을 찾았다.^[5]

2. 2. 근대

1630년대에 페르마는 적등성 기법을 개발하여 접선 및 다른 해석학적 문제를 계산했으며, 이 기법으로 포물선의 접선을 계산했다. 르네 데카르트는 원의 반지름이 항상 원에 수직이라는 관찰에 기초한 법선 방법을 독립적으로 사용했다.^[6]

이러한 방법들은 17세기에 미분 적분학의 발전을 이끌었다. 질 드 로베르발은 곡선을 여러 개의 더 간단한 움직임의 결과로 움직이는 점에 의해 묘사되는 것으로 간주하여 접선을 그리는 일반적인 방법을 발견했다.^[7] 르네-프랑수아 드 슬루즈와 요하네스 후데는 접선을 찾는 대수적 알고리즘을 발견했다.^[8] 존 월리스와 아이작 배로의 연구는 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠의 이론으로 이어졌다.

3. 곡선의 접선

평면 곡선 위의 한 점에서의 접선은 그 점에서의 곡선의 기울기를 나타내는 직선이다. 접선은 할선의 극한으로 이해할 수 있다. 즉, 곡선 위의 두 점을 지나는 할선에서 두 점이 한 점으로 가까워질 때, 그 할선은 접선에 수렴한다. 미분 가능한 곡선의 경우, 접선의 기울기는 미분 계수로 주어진다.

원에서 접선 $\overline{DT}$ 는 직경 또는 중심을 지나는 현 $\overline{AB}$ 의 연장선 상의 할선 $\overline{AD}$ 와 한 점 $D$ 에서 만날 때, $\overline{CT}$ 반지름과 함께 삼각함수의 탄젠트를 구성한다.^[32]

대부분의 점에서 접선은 곡선을 가로지르지 않지만, 접선이 곡선을 가로지르는 점을 ''변곡점''이라고 한다. 원, 포물선, 쌍곡선 및 타원은 변곡점을 갖지 않지만, 삼차 함수 그래프나, 주기 함수의 각 주기마다 두 개의 변곡점을 갖는 사인파와 같이 더 복잡한 곡선은 변곡점을 갖는다.

반대로, 곡선이 곡선상의 점을 통과하는 직선의 한쪽에 완전히 놓여 있음에도 불구하고 이 직선이 접선이 아닌 경우가 있을 수 있다. 예를 들어 삼각형의 꼭짓점을 통과하고 다른 곳에서는 교차하지 않는 선의 경우가 있는데, 이때 접선은 존재하지 않는다. 볼록 기하학에서 이러한 선은 지지선이라고 한다.

3. 1. 해석적 접근

접선이 곡선에 "접한다"는 직관적인 개념은 함수 곡선 위에 있는 두 점 ''A''와 ''B''를 통과하는 일련의 직선(할선)을 고려하여 더욱 명확하게 만들 수 있다. ''A''에서의 접선은 점 ''B''가 ''A''에 근접하거나 ''A''로 접근할 때의 극한이다.^[10] 접선의 존재성과 유일성은 "미분 가능성"으로 알려진 특정 유형의 수학적 매끄러움에 달려 있다.

접선이 할선의 극한이라는 기하학적 아이디어는 접선을 명시적으로 찾는 데 사용되는 해석적 방법의 동기가 된다. 그래프에 대한 접선을 찾는 문제, 즉 '''접선 문제'''는 17세기에 미적분학이 발전하는 데 주요한 질문 중 하나였다. 르네 데카르트^[10]는 그의 저서 ''기하학'' 제2권에서 곡선에 대한 접선을 구성하는 문제에 대해 언급했다.^[11]

함수가 y = f(x)로 주어졌다고 가정하고, 점 p = (a, f(a))에서의 접선을 찾기 위해, 곡선 위의 다른 근처 점 q = (a + h, f(a + h))를 고려한다. p와 q를 지나는 할선의 기울기는 차분 몫

:

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

와 같다.

점 q가 p에 접근함에 따라, 즉 h가 점점 작아짐에 따라, 차분 몫은 점 p에서의 접선의 기울기인 특정 극한값 k에 접근해야 한다. k를 알고 있다면, 접선의 방정식을 점-기울기 형태로 찾을 수 있다.

:

y-f(a) = k(x-a).\,

차분 몫이 특정 극한값 ''k''에 접근한다는 것은 극한의 개념에 기반한다. 그래프가 ''p'' 지점에서 끊어지거나 날카로운 모서리를 갖지 않고, 또한 ''p'' 근처에서 수직이거나 지나치게 구불거리지 않다고 가정하면, ''h''가 0에 접근할 때, 차분 몫이 ''k''에 점점 더 가까워지고, ''h''가 충분히 작으면 그들 사이의 거리가 ''h''의 크기에 비해 무시할 수 있을 정도로 작아지는 유일한 값 ''k''가 존재한다. 이는 함수 ''f''의 차분 몫의 극한으로 그래프에 접하는 접선의 기울기를 정의하게 한다. 이 극한은 ''x'' = ''a''에서의 함수 ''f''의 도함수이며, ''f'' ′(''a'')로 표기한다. 도함수를 사용하면, 접선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

y=f(a)+f'(a)(x-a).\,

미적분학은 거듭제곱 함수, 삼각 함수, 지수 함수, 로그 함수 및 이들의 다양한 조합과 같이 공식으로 주어진 함수의 도함수를 계산하기 위한 규칙을 제공한다. 따라서, 이러한 모든 함수뿐만 아니라 다른 많은 함수의 그래프에 대한 접선의 방정식은 미적분학의 방법을 통해 찾을 수 있다.

3. 2. 접선의 방정식

곡선이

y = f(x)

형태로 주어질 때, 점

(X, Y)

에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.^[12]

:

y-Y=\frac{dy}{dx}(X) \cdot (x-X)

여기서

(x, y)

는 접선 위의 임의의 점의 좌표이고, 미분은

x=X

에서 계산된다.

음함수

f(x, y) = 0

형태로 주어질 때, 기울기 값은 음함수 미분을 통해 찾을 수 있으며, 다음과 같다.

:

\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial f}{\partial x} \bigg/\frac{\partial f}{\partial y}.

f(X, Y) = 0

인 점

(X, Y)

에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.^[12]

:

\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot (x-X) +\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot (y-Y) = 0.

매개변수 방정식으로 주어지는 경우, 접선의 기울기는 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \bigg/ \frac{dx}{dt}

t=T, X=x(T), Y=y(T)

에서의 접선 방정식은 다음과 같다.^[16]

:

\frac{dx}{dt}(T) \cdot (y-Y)=\frac{dy}{dt}(T) \cdot (x-X).

3. 3. 접선의 존재성과 유일성

접선이 곡선에 "접한다"는 직관적인 개념은 함수 곡선 위에 있는 두 점 ''A''와 ''B''를 통과하는 일련의 직선(할선)을 고려하여 더욱 명확하게 만들 수 있다. ''A''에서의 접선은 점 ''B''가 ''A''에 근접하거나 ''A''로 접근할 때의 극한이다. 접선의 존재성과 유일성은 "미분 가능성"으로 알려진 특정 유형의 수학적 매끄러움에 달려 있다.^[19] 예를 들어, 두 개의 원호가 날카로운 점(꼭짓점)에서 만나면 꼭짓점에서의 접선은 유일하게 정의되지 않는다. 할선들의 진행의 극한이 "점 ''B''"가 꼭짓점에 접근하는 방향에 따라 달라지기 때문이다.

대부분의 점에서 접선은 곡선을 가로지르지 않고 접하지만(계속되면 접점으로부터 떨어진 다른 지점에서 곡선을 가로지를 수 있다), 접선(이 점에서)이 곡선을 가로지르는 점을 ''변곡점''이라고 한다. 원, 포물선, 쌍곡선 및 타원은 변곡점을 갖지 않지만, 정확히 하나의 변곡점을 갖는 삼차 함수의 그래프나, 주기 함수의 각 주기마다 두 개의 변곡점을 갖는 사인파와 같이 더 복잡한 곡선은 변곡점을 갖는다.

반대로, 곡선이 곡선상의 점을 통과하는 직선의 한쪽에 완전히 놓여 있음에도 불구하고 이 직선이 접선이 아닌 경우가 있을 수 있다. 이것은, 예를 들어, 삼각형의 꼭짓점을 통과하고 다른 곳에서는 교차하지 않는 선의 경우이다. 여기서 접선은 위에 설명된 이유로 존재하지 않는다. 볼록 기하학에서 이러한 선은 지지선이라고 한다.

미분이 불가능한 경우 접선의 기울기를 결정하는 극한이 존재하지 않는다. 이러한 점에서 함수는 미분 불가능하며, 두 가지 경우가 존재한다.

기하학적 접선이 존재하지만, 기울기를 갖지 않으므로 점-기울기 형태로 나타낼 수 없는 수직선
그래프가 기하학적 접선을 배제하는 세 가지 형태

그래프 ''y'' = ''x''^1/3은 첫 번째 가능성을 보여준다. 이 곡선은 원점에서 수직인 접선을 갖는다.

그래프 ''y'' = ''x''^2/3은 첨점을 갖는다. 기본적으로 이 경우 원점에는 접선이 없지만, 어떤 맥락에서는 이 선을 접선으로 간주할 수 있으며, 심지어 대수기하학에서는 ''이중 접선''으로 간주할 수도 있다.

절댓값 함수인 그래프 ''y'' = |''x''|는 원점에서 다른 기울기로 연결된 두 개의 직선으로 구성된다. 따라서 원점에서 그래프에 대한 고유한 접선은 없다. 두 개의 다른 (그러나 유한한) 기울기를 갖는 것을 ''모서리''라고 한다.

대우는 ''불연속성''이 미분 불가능성을 의미한다고 말한다. 그러한 점프 또는 점 불연속성은 접선을 갖지 않는다. 여기에는 한 기울기가 양의 무한대에 접근하는 동시에 다른 기울기가 음의 무한대에 접근하여 무한 점프 불연속성이 발생하는 경우가 포함된다.

특이점일 때, 점을 통과하는 곡선의 두 개 이상의 분기가 있을 수 있으며, 각 분기는 자체 접선을 갖는다.

곡선이 자기 교차하지 않을 때, 참조점에서 접선은 곡선이 다른 곳에서는 미분 가능하지만 해당 점에서는 미분 가능하지 않기 때문에 고유하게 정의되지 않을 수 있다. 이 경우 좌미분과 우미분은 평가되는 점이 각각 왼쪽(낮은 값) 또는 오른쪽(높은 값)에서 참조점에 접근할 때 도함수의 극한으로 정의된다. 예를 들어, 곡선 ''y'' = |''x'' |는 ''x'' = 0에서 미분 가능하지 않다. 좌미분과 우미분은 각각 −1과 1의 기울기를 갖는다. 해당 기울기를 가진 해당 점에서의 접선을 좌접선과 우접선이라고 한다.^[20]

때로는 좌접선과 우접선의 기울기가 같아서 접선이 일치한다. 이는 예를 들어 곡선 ''y'' = ''x'' ^2/3에 해당하며, 여기서 ''x'' = 0에서 좌미분과 우미분 모두 무한대이다. 좌접선과 우접선 모두 방정식 ''x'' = 0을 갖는다.

3. 4. 법선

법선은 곡선상의 접점에서 접선에 수직인 직선이다. 수직인 직선의 기울기의 곱은 -1이므로, 곡선의 방정식이 ''y'' = ''f''(''x'')일 때 법선의 기울기는 다음과 같다.

:

-1 \bigg/ \frac{dy}{dx}

따라서 (X, Y)에서의 법선 방정식은 다음과 같다.

:

(x-X)+\frac{dy}{dx}(y-Y)=0.

마찬가지로, 곡선의 방정식이 ''f''(''x'', ''y'') = 0 형태일 경우 법선 방정식은 다음과 같다.^[17]

:

\frac{\partial f}{\partial y}(x-X)-\frac{\partial f}{\partial x}(y-Y)=0.

곡선이 다음과 같이 매개변수적으로 주어질 경우,

:

x=x(t),\quad y=y(t)

법선 방정식은 다음과 같다.^[16]

:

\frac{dx}{dt}(x-X)+\frac{dy}{dt}(y-Y)=0.

4. 여러 가지 접선

원에서 접선은 직경 또는 중심을 지나는 현의 연장선 상의 할선과 한 점에서 만날 때, 반지름과 함께 삼각함수의 탄젠트를 구성한다.^[32]

2차원 유클리드 공간 내의 임의의 곡선 `y=f(x)` 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은 `y - f(a) = f'(a)(x - a)`이다. (단, `f'(a)`는 곡선 `y=f(x)`의 점 (a, b)에서의 미분계수)

4. 1. 원의 접선

원 `x^2 + y^2 = r^2` 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선의 방정식은 `x₁x + y₁y = r^2`이다.^[32] 기울기가 m인 접선의 방정식은 `y = mx ± r√(m² + 1)`이다.^[32]

4. 2. 타원의 접선

타원 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$이다. 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$이다.

4. 3. 쌍곡선의 접선

쌍곡선 위의 점 $(x_1 ,y_1 )$에서의 접선의 방정식은 $\frac {x_1 x} {a^2} -\frac {y_1 y} {b^2}=1$이다. 쌍곡선 $\frac {x^2} {a^2} -\frac {y^2} {b^2}=1$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx \pm \sqrt {a^2 m^2 -b^2}$이다.

5. 접하는 원

같은 평면에 놓인 서로 다른 두 원이 정확히 한 점에서 만나면 서로 '''접한다'''고 한다.

평면의 점이 데카르트 좌표를 사용하여 설명되는 경우, 반지름

r_1, r_2

와 중심

(x_1, y_1)

및

(x_2, y_2)

를 가진 두 개의 원은 다음과 같은 경우에 서로 접한다.

:

\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1\pm r_2\right)^2.

두 원의 중심 사이의 거리가 반지름의 합과 같으면 두 원은 '''외접'''한다고 한다.

:

\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 + r_2\right)^2.

또는 중심 사이의 거리가 반지름의 차이와 같으면 '''내접'''한다고 한다.^[21]

:

\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 - r_2\right)^2.

6. 곡면의 접평면

'''접평면'''은 주어진 점 ''p''에서의 곡면에 대한 접선과 유사한 방식으로 정의된다. 이는 ''p''에서 평면으로 곡면을 가장 잘 근사한 것이며, 이 점들이 ''p''로 수렴할 때 ''p'' 근처의 곡면 상의 3개의 서로 다른 점을 통과하는 평면의 극한 위치로 얻을 수 있다. 수학적으로, 곡면이 함수 `z = f(x, y)`로 주어지면, 점 `(x₀, y₀, z₀)`에서의 접평면의 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:`z - z₀ = (∂f/∂x)(x₀, y₀)(x - x₀) + (∂f/∂y)(x₀, y₀)(y - y₀)`

여기서 `(∂f/∂x)`와 `(∂f/∂y)`는 점 `(x₀, y₀)`에서 평가된, `x`와 `y`에 대한 함수 `f`의 편미분이다. 본질적으로, 접평면은 특정 점 ''p''에서 곡면의 국소적 거동을 포착한다. 이는 미적분학과 미분기하학에서 사용되는 기본적인 개념이며, 곡면에서 함수의 국소적 변화를 이해하는 데 매우 중요하다.

7. 다차원 다양체의 접공간

일반적으로, ''n''차원 유클리드 공간에 있는 ''k''차원 다양체의 각 점에는 ''k''차원 접선 공간이 존재한다.

주어진 곡면과 그 위의 점 p에 대해, p에서의 '''접평면'''(tangent plane|접평면^영어)은 곡선에 대한 접선의 경우와 유사한 방법으로 정의된다. 이는 접점 p에서의 곡면의 최적 근사 평면이며, p의 충분히 가까운 곳에서 곡면 위의 서로 다른 세 점을 지나는 평면을, 세 점을 p에 접근시킨 극한으로 얻을 수 있다. 더 일반적으로, ''n''-차원 유클리드 공간 내의 ''k''-차원 다양체의 각 점에서는 ''k''-차원 접공간이 접하고 있다.

참조

_[1] 논문 Nova Methodus pro Maximis et Minimis Acta Eruditorum 1684-10
_[2] 서적 Science and the Enlightenment Cambridge University Press
_[3] 문서 Best Affine Approximations https://math.dartmou[...] 2000
_[4] 웹사이트 Euclid's Elements http://aleph0.clarku[...] 2015-06-01
_[5] 웹사이트 e-CALCULUS Section 2.8 http://math.ucsd.edu[...] 2015-06-01
_[6] 서적 A History of Mathematics Addison Wesley
_[7] 간행물 The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents
_[8] 서적 A History of Mathematics Addison Wesley
_[9] 문서 American Dictionary of the English Language https://archive.org/[...] S. Converse 1828
_[10] 서적 The Geometry of René Descartes https://archive.org/[...] Open Court
_[11] 간행물 Rene Descartes Mathematical Association of America 1937-10
_[12] 문서 Edwards Art. 191
_[13] 문서 A simple method for finding tangents to polynomial graphs Mathematical Gazette 2005-11
_[14] 문서 Edwards Art. 192
_[15] 문서 Edwards Art. 193
_[16] 문서 Edwards Art. 196
_[17] 문서 Edwards Art. 194
_[18] 문서 Edwards Art. 195
_[19] 문서 Edwards Art. 197
_[20] 서적 Calculus and Analytic Geometry Addison Wesley Publ. Co. 1979
_[21] 웹사이트 Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O'Sullivan 1997 http://homepage.eirc[...]
_[22] 논문 Nova Methodus pro Maximis et Minimis Acta Eruditorum 1684-10
_[23] 웹사이트 Euclid's Elements http://aleph0.clarku[...] 2015-06-01
_[24] 웹사이트 e-CALCULUS Section 2.8 http://math.ucsd.edu[...] 2015-06-01
_[25] 서적 A History of Mathematics Addison Wesley
_[26] 간행물 The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents
_[27] 서적 A History of Mathematics Addison Wesley
_[28] 문서 American Dictionary of the English Language https://archive.org/[...] S. Converse 1828
_[29] 서적 Projektive Geometrie: Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen Vieweg
_[30] 웹사이트 Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O’Sullivan 1997 http://homepage.eirc[...]
_[31] 웹사이트 접선 http://www.encyber.c[...]
_[32] 웹사이트 유클리드 기하학 원론 http://www.gutenberg[...] 구텐베르크 프로젝트

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