고른 다면체는 정다각형 면으로 이루어져 있고, 모든 꼭짓점이 합동인 다면체를 의미한다. 정다면체, 준정다면체, 각기둥, 엇각기둥 등이 있으며, 비볼록 고른 다면체는 별 모양의 면이나 꼭짓점 도형을 가질 수 있다. 고른 다면체의 정의는 연결성, 불가능한 구현화 등의 조건에 따라 일반화될 수 있으며, 숨겨진 면, 불가능한 결합체, 이중 덮개, 이중 면, 이중 모서리 등의 불가능한 경우도 존재한다. 고른 다면체는 고대 그리스 수학자들에 의해 연구되었으며, 케플러와 푸앵소에 의해 별 다면체가 발견되었고, 콕세터 등에 의해 목록이 완성되었다. 고른 다면체는 위토프 구성을 통해 분류될 수 있으며, 볼록 고른 다면체는 정다면체, 준정다면체, 각기둥, 엇각기둥으로 나뉜다. 비볼록 고른 다면체는 별 다면체에 속하며, 57개의 비각기둥 비볼록 형태가 존재한다.
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고른 다면체 - 사면반육면체 사면반육면체는 7개의 면, 12개의 모서리, 6개의 꼭짓점을 가지며 오일러 지표가 1인 무방향성 다면체이다.
고른 다면체 - 깎은 큰 십이면체 깎은 큰 십이면체는 정십각형 12개와 별 모양 오각형 12개로 이루어진 다면체로, 큰 십이면체를 깎아서 만들 수 있으며 작은 별 오각 십이면체와 쌍대 관계를 가진다.
고른 다면체
개요
삼각기둥
정사각형 반기둥
정사면체
깎은 정육면체
작은 별모양 십이면체
깎은 들쭉날쭉 십이십이면체
정의
설명
면이 정다각형으로 이루어진 등각 다면체이다.
2. 정의
고른 다면체(Uniform polyhedron영어)는 정다각형 면을 가지며, 모든 꼭짓점이 합동인 (점추이, 등각) 다면체이다. [1]
고른 다면체는 정다면체 (볼록 및 별), 준정다면체, 각기둥 및 엇각기둥을 포함한다. 비볼록 고른 다면체는 별 모양의 면이나 꼭짓점 도형을 포함할 수 있다. [1]
고른 다면체의 정의에는 몇 가지 일반화가 가능하다. 연결성 가정이 없어지면, 정육면체 5개의 결합과 같이 다면체 여럿으로 분리될 수 있는 고른 결합체를 얻을 수 있다. 만약 다면체가 불가능하지 않다는 구현화 조건이 없으면, 소위 불가능한 고른 다면체를 얻는다. 불가능한 경우는 다음과 같다:[1]
숨겨진 면: 어떤 다면체는 면이 숨겨져 있다. 즉, 그 면의 내부의 어떤 점도 외부에서 볼 수 없다. 이것들은 보통 고른다면체로 세지 않는다.[1]
불가능한 결합체: 어떤 다면체는 다중의 모서리를 가지고 그 면들은 둘 이상의 다면체의 면이지만 이것들은 다면체들이 모서리를 공유하므로 이전 개념의 결합체는 아니다.[1]
이중 덮음: 고른 다면체의 정의를 만족하는 이중으로 덮는 비등방성 다면체가 있다. 이것은 그 면과 모서리와 꼭짓점을 두 배로 가진다. 이것은 대부분 고른 다면체로 계수하지 않는다.[1]
이중 면: 위토프 생성으로 생긴 이중 면을 가지는 다면체가 일부 있다. 대부분의 사람들은 이중 면을 허용하지 않고 생성으로 생긴 것에서 제한다.[1]
이중 모서리: 스킬링의 형태는 이중 모서리(불가능한 고른 다면체가 가지는 특성)를 가지지만 그 면들은 고른 다면체 둘의 결합으로 쓰이지는 않는다.[1]
3. 역사
정다면체는 고대 그리스 시대부터 연구되었으며, 피타고라스 학파, 플라톤(기원전 424년 – 기원전 348년), 테아이테토스(기원전 417년 – 기원전 369년), 로크리의 티마이오스(기원전 420년–기원전 380년), 유클리드(기원전 300년경) 등이 연구했다. 에트루리아인들은 기원전 500년 이전에 정십이면체를 발견했다.[1]
아르키메데스(기원전 287년 – 기원전 212년)는 13개의 아르키메데스 다면체를 모두 발견했다. 이 주제에 대한 그의 원본 저서는 유실되었지만, 알렉산드리아의 파푸스(c. 290 – c. 350 AD)가 아르키메데스가 13개의 다면체를 나열했다고 언급했다.
피에로 델라 프란체스카(1415 – 1492)는 플라톤 다면체의 다섯 가지 깎은 도형(깎은 정사면체, 깎은 정팔면체, 깎은 정육면체, 깎은 정십이면체, 깎은 정이십면체)을 재발견하고, ''De quinque corporibus regularibus''에 이들의 계량적 속성에 대한 그림과 계산을 포함시켰다. 그는 다른 책에서 깎은 정육면체에 대해서도 논의했다.[2]
루카 파치올리는 1509년에 ''De divina proportione''에서 프란체스카의 저작을 표절하여 마름모깎은 정육면체를 추가하고, 26개의 면을 가진 도형으로 ''이코시헥사헤드론''이라고 불렀으며, 레오나르도 다 빈치가 그렸다.
요하네스 케플러(1571–1630)는 1619년에 아르키메데스 다면체의 완전한 목록을 처음으로 출판했다. 그는 또한 무한한 종류의 균일한 각기둥과 엇각기둥도 확인했다.
케플러(1619)는 정규 케플러-푸앵소 다면체 중 두 개( 작은 별 모양 십이면체와 큰 별 모양 십이면체)를 발견했다.
4개의 집합은 1813년 오귀스탱 루이 코시에 의해 완전함이 증명되었고, 1859년 아서 케일리에 의해 명명되었다.
나머지 53개 중 에드문트 헤스(Edmund Hess, 1878)가 2개를 발견했고, 알베르 바두로(Albert Badoureau, 1881)가 36개를 더 발견했으며, 피츠(Pitsch, 1881)는 18개를 독립적으로 발견했는데, 이 중 3개는 이전에 발견되지 않았었다. 이들을 합하면 41개의 다면체가 된다.
기하학자 H.S.M. 콕세터(H.S.M. Coxeter)는 J. C. P. 밀러(J. C. P. Miller)와 공동으로 나머지 12개를 발견했지만 (1930–1932) 출판하지 않았다. M.S. 롱게-히긴스(M.S. Longuet-Higgins)와 H.C. 롱게-히긴스(H.C. Longuet-Higgins)는 이 중 11개를 독립적으로 발견했다. 레사브르(Lesavre)와 메르시에(Mercier)는 1947년에 이들 중 5개를 재발견했다.
1974년, 마그누스 웬닝거(Magnus Wenninger)는 노먼 존슨(Norman Johnson)이 이름을 붙인 75개의 비각기둥 정다면체가 모두 수록된 ''다면체 모형''을 출판했다.
스키링(1975)은 독립적으로 완전성을 증명했으며, 정다면체의 정의를 완화하여 모서리의 일치를 허용할 경우 단 하나의 추가적인 가능성(큰 이중 스너브 마름모십이면체)이 있다는 것을 보여주었다.
1987년, 에드몽 보낭(Edmond Bonan)은 '''Polyca'''라는 터보 파스칼(Turbo Pascal) 프로그램으로 모든 정다면체와 쌍대 다면체를 3D로 그렸다. 이들 중 대부분은 1993년 영국 이스트본의 컨그레스 극장과 2005년 프랑스 브장송의 쿠르잘에서 전시되었다.[3]
1993년, 츠비 하르엘(Zvi Har'El, 1949–2008)[4]은 '''Kaleido'''라는 컴퓨터 프로그램을 사용하여 정다면체와 쌍대 다면체의 완전한 만화경 구조를 만들고, ''정다면체의 균일한 해법''에서 이를 요약하여 그림 1-80을 계산했다.[5]
1993년, R. 메더(R. Mäder)는 이 Kaleido 해법을 Mathematica로 이식했다.[6]
2002년, 피터 W. 메서(Peter W. Messer)는 와이토프 기호만 주어지면 모든 정다면체(및 그 쌍대 다면체)의 주요 조합 및 계량 수량을 결정하는 최소한의 폐쇄형 표현식을 발견했다.[7]
고른 다면체의 개념은 연결성 가정이 없어지거나, 다면체가 불가능하지 않다는 구현화 조건이 없을 때 일반화될 수 있다.
3. 1. 한국 역사 속의 다면체
한국 전통 건축과 공예품에서 정다면체와 준정다면체의 형태 및 대칭성을 발견할 수 있다. 예를 들어, 석굴암 본존불상의 연화대좌는 깎은 정팔면체의 형태를 띠고 있으며, 불국사다보탑의 기단은 마름모육팔면체의 형태를 띠고 있다. 전통 문양과 장식에서도 다면체의 기하학적 특징을 활용한 사례를 찾아볼 수 있다.
Wythoff construction영어은 거울 대칭을 이용하여 고른 다면체를 생성하는 방법이다. 이 방법은 슈바르츠 삼각형과 콕서터-딘킨 도형을 사용하여 표현할 수 있다. 위토프 구성을 통해 볼록 고른 다면체와 구면 타일링을 체계적으로 분류할 수 있다.[1]
구면에서 정사면체 대칭은 고른 다면체 5개를 만들고, 다듬음 연산을 통해 여섯 번째 형태를 만든다. 정사면체 대칭은 한 꼭짓점은 거울이 두 개 있고, 다른 두 꼭짓점은 거울이 세 개 있는 기본 삼각형 (3 3 2)로 나타난다. 콕서터 군 A2 또는 [3,3]과 콕서터 다이어그램으로도 나타낼 수 있다.
구면에서 정팔면체 대칭은 고른 다면체 7개를 만들고, 교대 연산을 하면 7개를 더 만든다. 이 형태 중 여섯 개는 위에 있는 정사면체 대칭 표의 내용과 중복된다. 정팔면체 대칭은 꼭짓점에 있는 거울 개수로 (4 3 2)인 기본 삼각형으로 나타난다. 콕서터 군으로 B2 또는 [4,3]과 콕서터 다이어그램으로 표시할 수 있다.
구면에서 정이십면체 대칭은 고른 다면체 7개를 생성하고, 교대 연산을 통해 한 개를 더 생성한다. 정이십면체 대칭은 각 꼭짓점의 거울을 세는 기본 삼각형 (5 3 2)로 표현된다. 콕서터 군 I2(p) 또는 [n,2]로, 그리고 각기둥 콕서터 다이어그램으로 표현할 수 있다.
고른 다면체의 기하학적 특성은 건축, 디자인, 분자 구조, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에 응용된다. 다면체의 대칭성과 안정성은 구조물 설계에 영감을 줄 수 있으며, 다면체의 형태는 조형 예술 작품의 소재로 활용될 수 있다.[1]
정이십면체 대칭은 구면에서 7개의 고른 다면체를 만들고, 교대 연산을 통해 하나를 더 만든다. 이 중 하나만이 정사면체나 정팔면체 대칭과 중복된다. 정이십면체 대칭은 꼭짓점에 있는 거울의 개수로 (5 3 2)인 기본 삼각형으로 나타낼 수 있으며, 콕서터 군으로는 G2이나 [5,3]과 콕서터 다이어그램으로 나타낼 수 있다.[1]
고른 다면체는 한국 전통 건축과 공예의 미적 가치를 재조명하고 현대적으로 계승하는 데 활용될 수 있다. 예를 들어, 전통 건축물의 기하학적 구조와 문양, 공예품의 섬세한 형태 등에서 고른 다면체의 특징을 발견하고, 이를 현대 디자인에 응용할 수 있다.
4차 산업혁명 시대에는 융합적 사고와 창의적 문제 해결 능력이 중요해지고 있다. 고른 다면체는 이러한 능력을 함양하기 위한 교육 콘텐츠로 활용될 수 있다. 다양한 형태의 고른 다면체를 직접 만들고 조합하는 과정을 통해 공간 지각 능력, 창의적 사고력, 문제 해결 능력을 기를 수 있다.
또한, 고른 다면체는 지속 가능한 건축 및 디자인을 위한 새로운 형태와 구조를 탐색하는 데 기여할 수 있다. 자연에서 영감을 얻은 고른 다면체의 구조는 효율적인 공간 활용과 안정성을 동시에 확보할 수 있는 가능성을 제시한다.
참조
[1]
서적
Regular Polytopes
[2]
웹사이트
Piero della Francesca's Polyhedra
http://www.georgehar[...] [3]
간행물
Edmond Bonan, "Polyèdres Eastbourne 1993", Stéréo-Club Français 1993
https://www.image-en[...] [4]
뉴스
Dr. Zvi Har’El (December 14, 1949 – February 2, 2008) and International Jules Verne Studies - A Tribute
http://www.verniana.[...] [5]
논문
Uniform Solution for Uniform Polyhedra
http://harel.org.il/[...]
1993
[6]
논문
Uniform Polyhedra.
http://www.mathconsu[...]
1993
[7]
논문
Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals
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