역 (논리학)

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1. 개요
2. 명제의 역
- 2.1. 진리표
- 2.2. 함의와 역
3. 정리의 역
4. 관계의 역
5. 전통 논리학에서의 전환
6. 한국 수학 교육과정에서의 함의와 역
참조

1. 개요

역(논리학)은 명제 'P는 Q를 함의한다'의 역은 'Q는 P를 함의한다'는 명제이며, 원래 명제의 참/거짓과 역의 참/거짓은 논리적으로 동치인 경우를 제외하고는 아무런 관련이 없다. 수학적 정리의 역은 전건과 후건의 위치를 바꾼 것이며, 원래 정리가 참이라고 해서 역이 반드시 참인 것은 아니다. 집합 A에서 B로의 관계 R의 역관계는 R^T로, B에서 A로의 관계이며, 전통 논리학에서 전환은 주어와 술어의 위치를 바꾸는 과정을 의미한다. 한국의 수학 교육과정에서는 명제와 증명, 특히 함의와 역의 관계를 중요하게 다루며, 학생들은 명제의 참, 거짓을 판별하고 역, 이, 대우를 구별하도록 교육받는다.

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역 (논리학)
논리학 기본 정보
유형	용어
분야	논리학, 수학
관련 개념	조건문, 역
정의
정의	어떤 조건문(conditional statement)이 주어졌을 때, 그 조건문의 가정과 결론을 뒤바꾼 것.
예시	"만약 P이면 Q이다"의 역은 "만약 Q이면 P이다"이다.
논리적 의미
진리값	원래 명제가 참이라고 해서 그 역이 반드시 참인 것은 아니다. 역이 참인 경우도 있고, 거짓인 경우도 있다.
필요 조건	어떤 명제가 참이기 위한 필요 조건을 나타낼 때 사용될 수 있다.
예시 (수학)
원 명제	"만약 어떤 도형이 정사각형이면, 그 도형은 직사각형이다." (참)
역	"만약 어떤 도형이 직사각형이면, 그 도형은 정사각형이다." (거짓)
주의사항
필요충분조건	원래 명제와 그 역이 모두 참일 때, 두 조건은 필요충분조건 관계에 있다.
혼동	원래 명제가 참이라고 해서 역도 반드시 참이라고 생각하는 오류를 범하지 않도록 주의해야 한다.
한국어 용어
역	명제의 가정과 결론을 바꾼 것.

2. 명제의 역

"P이면 Q이다"(P → Q)라는 명제가 주어졌을 때, 가정과 결론을 바꾼 "Q이면 P이다"(Q → P)를 역이라고 한다.^[2]

예를 들어 "내가 인간이면, 나는 죽는다."는 참인 명제이지만, 이 명제의 역인 "내가 죽으면, 나는 인간이다."는 참이 아닐 수 있다.

하지만, "내가 삼각형이면, 나는 세 변을 가진 다각형이다"처럼, 삼각형은 "세 변을 가진 다각형"으로 정의되므로 역도 참이 된다.

2. 1. 진리표

p	q	p→q	q→p
참	참	참	참
참	거짓	거짓	참
거짓	참	참	거짓
거짓	거짓	참	참

위 진리표에서 볼 수 있듯이, 원래 명제가 참이라고 해서 그 역이 반드시 참이 되는 것은 아니다.^[2]

2. 2. 함의와 역

''S''를 "''P''는 ''Q''를 함의한다" (''P'' → ''Q'') 형태의 명제라고 하자. 그러면 ''S''의 ''역''은 "''Q''는 ''P''를 함의한다" (''Q'' → ''P'')는 명제이다. 일반적으로, ''S''의 참/거짓은 전건 ''P''와 후건 ''Q''가 논리적으로 동치인 경우를 제외하고, 그 역의 참/거짓에 대해 아무것도 말해주지 않는다.^[2]

예를 들어, "사람은 동물이다"라는 참인 명제가 있을 때, 그 역인 "동물은 사람이다"는 거짓이다.

그러나, 두 명제가 서로 동치인 경우 (P ↔ Q), 즉 P와 Q가 서로 필요충분조건인 경우에는 역도 참이 된다. 예를 들어 "삼각형은 세 변을 가진 다각형이다"라는 명제는 "세 변을 가진 다각형은 삼각형이다"와 논리적으로 동치인데, "삼각형"의 정의가 "세 변을 가진 다각형"이기 때문이다.

벤 다이어그램 $P \leftarrow Q$
흰색 영역은 명제가 거짓인 부분을 보여줍니다.

진리표는 ''S''와 ''S''의 역이 두 용어가 서로를 함의하는 경우를 제외하고는 논리적으로 동치가 아님을 명확히 보여준다.

P	Q	$P \rightarrow Q$	$P \leftarrow Q$ (역)
참	참	참	참
참	거짓	거짓	참
거짓	참	참	거짓
거짓	거짓	참	참

명제에서 그 역으로 가는 것은 후건 긍정의 오류이다. 그러나, 명제 ''S''와 그 역이 동치이면 (즉, ''P''가 참일 때에만 ''Q''도 참이라면), 후건 긍정은 타당할 것이다.

역 함의는 $P$ 와 $\neg Q$ 의 분리와 논리적으로 동치이다.

$P \leftarrow Q$	$\Leftrightarrow$	$P$	$\lor$	$\neg Q$
	$\Leftrightarrow$		$\lor$

자연어로는 이것을 "''Q''가 없으면 ''P''가 아니다"로 표현할 수 있다.

3. 정리의 역

수학에서, "P이면 Q이다" 형태의 정리의 역은 "Q이면 P이다"가 된다. 역은 참일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있으며, 심지어 참이라고 해도 증명이 어려울 수 있다. 예를 들어, 네 꼭지점 정리는 1912년에 증명되었지만, 그 역은 1997년에야 증명되었다.^[3]

실제로, 수학 정리의 역을 결정할 때, 전건의 측면이 맥락을 설정하는 것으로 간주될 수 있다. 즉, "P가 주어졌을 때, Q이면 R"의 역은 "P가 주어졌을 때, R이면 Q"가 될 것이다. 예를 들어, 피타고라스 정리는 다음과 같이 표현할 수 있다.

> 변의 길이가 각각 ''a'', ''b'', ''c''인 삼각형이 주어졌을 때, 변의 길이 ''c''의 대각이 직각이면, ''a''² + ''b''² = ''c''²이다.

유클리드의 ''원론'' (제1권, 명제 48)에도 나오는 역은 다음과 같이 표현할 수 있다.

> 변의 길이가 각각 ''a'', ''b'', ''c''인 삼각형이 주어졌을 때, ''a''² + ''b''² = ''c''²이면, 변의 길이 ''c''의 대각은 직각이다.

4. 관계의 역

만약

R

이

R \subseteq A \times B

를 만족하는 이항 관계라면, 역 관계

R^T = \{ (b,a) : (a,b) \in R \}

는 ''전치''라고도 불린다.^[4]

5. 전통 논리학에서의 전환

전통 논리학에서 주어와 술어의 위치를 바꾸는 과정을 '전환'이라고 한다. 예를 들어, "어떤 ''S''도 ''P''가 아니다"라는 명제를 "어떤 ''P''도 ''S''가 아니다"로 바꾸는 것이다. 아사 메이헌은 다음과 같이 말했다.

> "원래 명제는 설명 명제라고 불리고, 전환되었을 때는 전환 명제라고 불린다. 전환은 전환 명제에서 설명 명제에서 긍정되거나 암시되지 않은 어떤 것도 주장하지 않을 때, 그리고 오직 그럴 때만 유효하다."^[5]

"설명 명제"는 더 흔히 "전환 명제"라고 불린다. 단순한 형태에서, 전환은 '''E'''와 '''I''' 명제에 대해서만 유효하다.^[6]

유형	전환 명제	단순 전환 명제	우연적 전환 명제 (P가 존재할 경우 유효)
A	모든 S는 P이다	유효하지 않음	어떤 P는 S이다
E	어떤 S도 P가 아니다	어떤 P도 S가 아니다	어떤 P는 S가 아니다
I	어떤 S는 P이다	어떤 P는 S이다	–
O	어떤 S는 P가 아니다	유효하지 않음	–

'''E'''와 '''I''' 명제에 대해서만 단순 전환이 유효하다는 것은 "전환 명제에서 전환 명제에 분배되지 않은 용어가 분배되어서는 안 된다"는 제한으로 표현할 수 있다.^[7] '''E''' 명제의 경우, 주어와 술어 모두가 분배되는 반면, '''I''' 명제의 경우 둘 다 분배되지 않는다.

'''A''' 명제의 경우, 주어는 분배되지만 술어는 분배되지 않으므로, '''A''' 명제에서 그 전환 명제로의 추론은 유효하지 않다. 예를 들어, '''A''' 명제 "모든 고양이는 포유류이다"에 대해, 그 전환 명제인 "모든 포유류는 고양이이다"는 명백히 거짓이다. 그러나 더 약한 명제인 "어떤 포유류는 고양이이다"는 참이다. 논리학자들은 이러한 더 약한 명제를 생성하는 과정을 우연적 전환이라고 정의한다. 명제에서 그 우연적 전환 명제로의 추론은 일반적으로 유효하다. 그러나 삼단논법과 마찬가지로, 이 보편적인 것에서 특수한 것으로의 전환은 빈 범주에서 문제를 일으킨다. "모든 유니콘은 포유류이다"는 종종 참으로 간주되는 반면, 우연적 전환 명제인 "어떤 포유류는 유니콘이다"는 명백히 거짓이다.

6. 한국 수학 교육과정에서의 함의와 역

한국의 수학 교육과정에서는 명제와 증명, 특히 함의와 역의 관계를 중요하게 다룬다. 교육과정에서는 학생들에게 명제의 참, 거짓을 판별하고, 역, 이, 대우를 구별하며, 필요조건과 충분조건을 이해하도록 지도한다. 하지만, 일부 학생들은 함의와 역의 관계를 혼동하는 경우가 많다. 예를 들어, "x=2이면 x²=4이다"는 참이지만, 그 역인 "x²=4이면 x=2이다"는 거짓이다 (x=-2인 경우).^[2]

참조

_[1] 서적 The Cambridge Dictionary of Philosophy Cambridge University Press 1999
_[2] 웹사이트 What Are the Converse, Contrapositive, and Inverse? https://www.thoughtc[...] 2019-11-27
_[3] 웹사이트 The Four Vertex Theorem and its Converse https://www.math.col[...] 2006-10-06
_[4] 서적 Relations and Graphs Springer books 1993
_[5] 서적 The Science of Logic: or, An Analysis of the Laws of Thought https://books.google[...] 1857
_[6] 서적 Aristotelian Logic https://books.google[...] SUNY Press 1991
_[7] 서적 The Elements of Logic C. Scribner's sons 1892
_[8] 서적 The World and Language in Wittgenstein's Philosophy https://books.google[...] SUNY Press 1988

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