오일러 수

1. 개요

오일러 수(Euler number)는 다음과 같은 식으로 정의되는 수열이다. 짝수 차수의 오일러 수 E_2n은 부호가 번갈아 나타나며, E_4n은 양수, E_4n+2는 음수이다. 오일러 수는 제2종 스털링 수, 이중 합, 반복 합, 분할 합, 행렬식, 적분 등을 사용하여 표현할 수 있으며, 점화식을 만족한다. 또한, 오일러 수는 베르누이 수, 탄젠트 수, 교대 순열과 밀접한 관계를 가진다.

2. 정의

오일러 수 E_n은 다음 식으로 정의된다.

::$\backslash frac1\{\backslash cosh\; t\}=\backslash frac\{2\}\{e^\{t\}+e^\{-t\}\}=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{E\_nt^n\}\{n!\}$

일부 저자들은 $E^*\_n=(-1)^nE\_\{2n\}$을 대신 오일러 수라고 부르기도 한다. 이렇게 하면 양의 정수로만 이루어진 수열을 얻는다. 홀수 인덱스 오일러 수는 모두 0이다. 짝수 인덱스 오일러 수는 부호가 교대로 나타난다.

오일러 수는 다음 점화식을 만족하며, 이 점화식에 의해 모든 오일러 수가 정수임을 알 수 있다.

::$$
E_0=1,\quad \sum_{k=0}^n {2n\choose 2k}E_{2k} = 0


이 점화식은 짝수 항의 오일러 수만 제공한다. 홀수 항의 오일러 수는 위에서 설명한 바와 같이, 반드시 0이다.

$n$이 커짐에 따라 오일러 수 $E\_\{2n\}$의 절댓값은 매우 빠르게 증가한다. 그 절댓값은 다음과 같은 점근적인 성질을 따른다.

::$$
|E_{2n}| \simeq 2\,(2n)!\,\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\!2n+1}\quad\quad
(n\rightarrow\infty)


몇 가지 값은 다음과 같다.

3. 성질

홀수 차수의 오일러 수 $E\_\{2n+1\}$은 모두 0이다. $E\_\{4n\}$ 꼴은 모두 양의 정수이고, $E\_\{4n+2\}$ 꼴은 모두 음의 정수다.

홀수 인덱스 오일러 수는 모두 0이다. 짝수 인덱스 오일러 수는 부호가 교대로 나타난다.

일부 저자는 값이 0인 홀수 오일러 수를 생략하거나 모든 부호를 양수로 바꾸기 위해 수열의 인덱스를 재조정하기도 한다. 오일러 수는 다음 점화식을 만족하며, 이 점화식에 의해 모든 오일러 수가 정수임을 알 수 있다.

::$E\_0=1,\backslash quad\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \{2n\backslash choose\; 2k\}E\_\{2k\}\; =\; 0$

위 점화식은 짝수 항의 오일러 수만 제공한다. 홀수 항의 오일러 수는 위에서 설명한 바와 같이 모두 0이다.

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n	E_n		n	E_n
0	1		16	19 391 512 145
2	−1		18	−2 404 879 675 441
4	5		20	370 371 188 237 525
6	−61		22	−69 348 874 393 137 901
8	1 385		24	15 514 534 163 557 086 905
10	−50 521		26	−4 087 072 509 293 123 892 361
12	2 702 765		28	1 252 259 641 403 629 865 468 285
14	−199 360 981		30	−441 543 893 249 023 104 553 682 821

$n$이 커짐에 따라 오일러 수 $E\_\{2n\}$의 절댓값은 매우 빠르게 증가하며, 다음의 점근적인 성질을 따른다.

::$|E\_\{2n\}|\; \backslash simeq\; 2\backslash ,(2n)!\backslash ,\backslash left(\backslash frac\{2\}\{\backslash pi\}\backslash right)^\{\backslash !2n+1\}\backslash quad\backslash quad\; (n\backslash rightarrow\backslash infty)$

4. 명시적 공식

오일러 수는 제2종 스털링 수, 이중 합, 반복 합, 정수 분할의 합, 행렬식, 적분 등 다양한 형태로 표현할 수 있다.

다음은 이중 합을 이용한 표현이다.

:$E\_\{2n\}=(2\; n+1)\backslash sum\_\{\backslash ell=1\}^\{2n\}\; (-1)^\{\backslash ell\}\backslash frac\{1\}\{2^\{\backslash ell\}(\backslash ell\; +1)\}\backslash binom\{2\; n\}\{\backslash ell\}\backslash sum\; \_\{q=0\}^\{\backslash ell\}\backslash binom\{\backslash ell\}\{q\}(2q-\backslash ell)^\{2n\},$
:$E\_\{2n\}=\backslash sum\_\{k=1\}^\{2n\}(-1)^\{k\}\; \backslash frac\{1\}\{2^\{k\}\}\backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\{2k\}(-1)^\{\backslash ell\; \}\; \backslash binom\{2k\}\{\backslash ell\}(k-\backslash ell)^\{2n\}.$

다음은 명시적 공식이다.

:$E\_\{2n\}=i\backslash sum\; \_\{k=1\}^\{2n+1\}\; \backslash sum\; \_\{\backslash ell=0\}^k\; \backslash binom\{k\}\{\backslash ell\}\backslash frac\{(-1)^\backslash ell(k-2\backslash ell)^\{2n+1\}\}\{2^k\; i^k\; k\},$

여기서 $i$는 $i^2\; =\; -1$을 만족하는 허수 단위이다.

4.1. 제2종 스털링 수를 사용한 공식

다음은 제2종 스털링 수를 사용하여 오일러 수를 나타내는 공식이다.

:$E\_\{n\}=2^\{2n-1\}\backslash sum\_\{\backslash ell=1\}^\{n\}\backslash frac\{(-1)^\{\backslash ell\}S(n,\backslash ell)\}\{\backslash ell+1\}\backslash left(3\backslash left(\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash right)^\{\backslash overline\{\backslash ell\backslash phantom\{.\}\}\}-\backslash left(\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash right)^\{\backslash overline\{\backslash ell\backslash phantom\{.\}\}\}\backslash right),$
:$E\_\{2n\}=-4^\{2n\}\backslash sum\_\{\backslash ell=1\}^\{2n\}(-1)^\{\backslash ell\}\backslash cdot\; \backslash frac\{S(2n,\backslash ell)\}\{\backslash ell+1\}\backslash cdot\; \backslash left(\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash right)^\{\backslash overline\{\backslash ell\backslash phantom\{.\}\}\},$

여기서 $S(n,\backslash ell)$는 제2종 스털링 수를 나타내고, $x^\{\backslash overline\{\backslash ell\backslash phantom\{.\}\}\}=(x)(x+1)\backslash cdots\; (x+\backslash ell-1)$는 상승 계승을 나타낸다.

4.2. 분할 합 공식

오일러 수 $E\_\{2n\}$는 짝수 정수 분할의 합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$E\_\{2n\}\; =\; (2n)!\; \backslash sum\_\{0\; \backslash leq\; k\_1,\; \backslash ldots,\; k\_n\; \backslash leq\; n\}\; \backslash binom\; K\; \{k\_1,\; \backslash ldots\; ,\; k\_n\}$
\delta_{n,\sum mk_m} \left( -\frac{1}{2!} \right)^{k_1} \left( -\frac{1}{4!} \right)^{k_2}
\cdots \left( -\frac{1}{(2n)!} \right)^{k_n} ,

또한 $2n\; -\; 1$의 홀수 분할의 합으로도 표현할 수 있다.

:$E\_\{2n\}\; =\; (-1)^\{n-1\}\; (2n-1)!\; \backslash sum\_\{0\; \backslash leq\; k\_1,\; \backslash ldots,\; k\_n\; \backslash leq\; 2n-1\}$
\binom K {k_1, \ldots , k_n}
\delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m } \left( -\frac{1}{1!} \right)^{k_1} \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
\cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n} ,

두 경우 모두 $K\; =\; k\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; k\_n$이고,
:$\backslash binom\; K\; \{k\_1,\; \backslash ldots\; ,\; k\_n\}$
\equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}
는 다항 계수이다. 위의 공식에서 크로네커 델타는 $k$에 대한 합을 각각 $2k\_1\; +\; 4k\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; 2nk\_n\; =\; 2n$과 $k\_1\; +\; 3k\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; (2n\; -\; 1)k\_n\; =\; 2n\; -\; 1$로 제한한다.

예를 들어,
:$$
\begin{align}
E_{10} & = 10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!\,8!} + \frac{2}{4!\,6!}
- \frac{3}{2!^2\, 6!}- \frac{3}{2!\,4!^2} +\frac{4}{2!^3\, 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\[6pt]
& = 9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^2\,7!} + \frac{6}{1!\,3!\,5!}
+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^4\,5!} -\frac{10}{1!^3\,3!^2} + \frac{7}{1!^6\, 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\[6pt]
& = -50\,521.
\end{align}

4.3. 행렬식을 사용한 공식

E_2n^영어는 다음과 같은 행렬식으로 주어진다.

:$$
\begin{align}
E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix} \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
\frac{1}{4!}& \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
\vdots & ~ & \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
\frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} & 1\\
\frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}

4.4. 적분을 사용한 공식

E_2n^영어은 다음 적분으로도 표현된다.

:$$
\begin{align}
(-1)^n E_{2n} & = \int_0^\infty \frac{t^{2n}}{\cosh\frac{\pi t}2}\; dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1} \int_0^\infty \frac{x^{2n}}{\cosh x}\; dx\\[8pt]
&=\left(\frac2\pi\right)^{2n} \int_0^1\log^{2n}\left(\tan \frac{\pi t}{4} \right)\,dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1}\int_0^{\pi/2} \log^{2n}\left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx\\[8pt]
&= \frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}} \int_0^{\pi/2} x \log^{2n} (\tan x)\,dx = \left(\frac2\pi\right)^{2n+2} \int_0^\pi \frac{x}{2} \log^{2n} \left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx.\end{align}

5. 점화식

오일러 수는 다음 점화식을 만족한다. 이 점화식에 의해, 모든 오일러 수가 정수임을 알 수 있다.

:$E\_0\; =\; 1,\; \backslash quad\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \{2n\; \backslash choose\; 2k\}E\_\{2k\}\; =\; 0$

이 점화식은 짝수 항의 오일러 수만 제공한다. 홀수 항의 오일러 수는 위에서 설명한 바와 같이, 반드시 0이다. 이 점화식을 이용하면, 아래 표의 오일러 수가 산출된다.

이 표에서 나타나는 바와 같이, $n$의 상승에 대해 오일러 수 $E\_\{2n\}$의 절댓값은 매우 빠르게 증가한다. 그 절댓값은 다음에 나타내는 점근적인 성질을 따른다.

:$|E\_\{2n\}|\; \backslash simeq\; 2(2n)!\backslash left(\backslash frac\{2\}\{\backslash pi\}\backslash right)^\{2n+1\}\; \backslash quad\; (n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty)$

6. 합동 관계

W. 장은 오일러 수에 관한 다음의 조합적 항등식을 얻었다. 모든 소수 p에 대해 다음이 성립한다.

:

W. 장과 Z. 쉬는 모든 소수 와 정수 에 대해 다음이 성립함을 증명했다.

:$E\_\{\backslash phi(p^\{\backslash alpha\})/2\}\backslash not\; \backslash equiv\; 0\; \backslash pmod\{p^\{\backslash alpha\}\},$

여기서 는 오일러 피 함수이다.

7. 점근적 성질

오일러 수의 절댓값은 n이 증가함에 따라 매우 빠르게 증가하며, 다음과 같은 점근적 성질을 갖는다.

::$$
|E_{2n}| \simeq 2\,(2n)!\,\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\!2n+1}\quad\quad
(n\rightarrow\infty)


또한, 다음과 같은 하한을 갖는다.

::$|E\_\{2\; n\}|\; >\; 8\; \backslash sqrt\; \{\; \backslash frac\{n\}\{\backslash pi\}\; \}\; \backslash left(\backslash frac\{4\; n\}\{\; \backslash pi\; e\}\backslash right)^\{2\; n\}.$

8. 베르누이 수와의 관계

오일러 수와 베르누이 수는 다음 관계를 갖는다.

:$$
\begin{align}
& E_{2n} = \sum_{k=1}^n {2n\choose 2k-1}\frac{2^{2k}-4^{2k}}{2k}B_{2k}+1\\
& B_{2n} = \frac{2n}{4^{2n}-2^{2n}} \sum_{k=0}^{n-1}{2n-1\choose 2k} E_{2k}
\end{align}


베르누이 수 항목에서 설명한 점화식에서는 베르누이 수를 계산할 때 부동 소수점 계산 또는 분수 계산이 필요하지만, 두 번째 관계식을 사용하면 정수 계산만으로 총합 기호 안의 연산을 할 수 있으므로 베르누이 수의 분수 표현을 얻는 데 편리하다.

9. 탄젠트 수와의 관계

오일러 수는 부호가 보정된 시컨트 수 $\backslash hat\{E\}\_k$ 형태로 탄젠트 수와 결합하면 편리하다. 탄젠트 수에서 설명하듯이, 결합된 효과로 시컨트 수와 탄젠트 수를 덧셈만으로 산출하는 점화식이 존재한다.

10. 표

홀수 인덱스 오일러 수는 모두 0이며, 짝수 인덱스 오일러 수는 부호가 교대로 나타난다. 다음은 짝수 인덱스 오일러 수의 표이다.

n이 증가함에 따라 오일러 수 E_2n의 절댓값은 매우 빠르게 증가한다.

11. 교대 순열(Euler zigzag numbers)과의 관계

$\backslash sec\; x\; +\; \backslash tan\; x\; =\; \backslash tan\backslash left(\backslash frac\backslash pi4\; +\; \backslash frac\; x2\backslash right)$의 테일러 급수는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{A\_n\}\{n!\}x^n,$

여기서 $A\_n$은 교대 순열로, 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (OEIS|id=A000111)로 시작한다.

모든 짝수 $n$에 대해,
:$A\_n\; =\; (-1)^\backslash frac\{n\}\{2\}\; E\_n,$
여기서 $E\_n$은 오일러 수이고, 모든 홀수 $n$에 대해,
:$A\_n\; =\; (-1)^\backslash frac\{n-1\}\{2\}\backslash frac\{2^\{n+1\}\backslash left(2^\{n+1\}-1\backslash right)B\_\{n+1\}\}\{n+1\},$
여기서 $B\_n$은 베르누이 수이다.

모든 n에 대해,
:$\backslash frac\{A\_\{n-1\}\}\{(n-1)!\}\backslash sin\{\backslash left(\backslash frac\{n\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\}+\backslash sum\_\{m=0\}^\{n-1\}\backslash frac\{A\_m\}\{m!(n-m-1)!\}\backslash sin\{\backslash left(\backslash frac\{m\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\}=\backslash frac\{1\}\{(n-1)!\}.$