오일러 수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 명시적 공식
5. 점화식
6. 합동 관계
7. 점근적 성질
8. 베르누이 수와의 관계
9. 탄젠트 수와의 관계
10. 표
11. 교대 순열(Euler zigzag numbers)과의 관계
참조

1. 개요

오일러 수(Euler number)는 다음과 같은 식으로 정의되는 수열이다. 짝수 차수의 오일러 수 E_2n은 부호가 번갈아 나타나며, E_4n은 양수, E_4n+2는 음수이다. 오일러 수는 제2종 스털링 수, 이중 합, 반복 합, 분할 합, 행렬식, 적분 등을 사용하여 표현할 수 있으며, 점화식을 만족한다. 또한, 오일러 수는 베르누이 수, 탄젠트 수, 교대 순열과 밀접한 관계를 가진다.

2. 정의

오일러 수 '''E_n'''은 다음 식으로 정의된다.

:: $\frac1{\cosh t}=\frac{2}{e^{t}+e^{-t}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{E_nt^n}{n!}$

일부 저자들은 $E^*_n=(-1)^nE_{2n}$ 을 대신 오일러 수라고 부르기도 한다. 이렇게 하면 양의 정수로만 이루어진 수열을 얻는다. 홀수 인덱스 오일러 수는 모두 0이다. 짝수 인덱스 오일러 수는 부호가 교대로 나타난다.

오일러 수는 다음 점화식을 만족하며, 이 점화식에 의해 모든 오일러 수가 정수임을 알 수 있다.

:: $E_0=1,\quad \sum_{k=0}^n {2n\choose 2k}E_{2k} = 0$

이 점화식은 짝수 항의 오일러 수만 제공한다. 홀수 항의 오일러 수는 위에서 설명한 바와 같이, 반드시 0이다.

$n$ 이 커짐에 따라 오일러 수 $E_{2n}$ 의 절댓값은 매우 빠르게 증가한다. 그 절댓값은 다음과 같은 점근적인 성질을 따른다.

:: $|E_{2n}| \simeq 2\,(2n)!\,\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\!2n+1}\quad\quad(n\rightarrow\infty)$

몇 가지 값은 다음과 같다.

n	E_n	n	E_n
0	1	16	19 391 512 145
2	−1	18	−2 404 879 675 441
4	5	20	370 371 188 237 525
6	−61	22	−69 348 874 393 137 901
8	1 385	24	15 514 534 163 557 086 905
10	−50 521	26	−4 087 072 509 293 123 892 361
12	2 702 765	28	1 252 259 641 403 629 865 468 285
14	−199 360 981	30	−441 543 893 249 023 104 553 682 821

3. 성질

홀수 차수의 오일러 수 $E_{2n+1}$ 은 모두 0이다. $E_{4n}$ 꼴은 모두 양의 정수이고, $E_{4n+2}$ 꼴은 모두 음의 정수다.

홀수 인덱스 오일러 수는 모두 0이다. 짝수 인덱스 오일러 수는 부호가 교대로 나타난다.

E₀	1
E₂	−1
E₄	5
E₆	−61
E₈	1385
E₁₀	−50521
E₁₂	2702765
E₁₄	−199360981
E₁₆	19391512145
E₁₈	−2404879675441

일부 저자는 값이 0인 홀수 오일러 수를 생략하거나 모든 부호를 양수로 바꾸기 위해 수열의 인덱스를 재조정하기도 한다. 오일러 수는 다음 점화식을 만족하며, 이 점화식에 의해 모든 오일러 수가 정수임을 알 수 있다.

:: $E_0=1,\quad \sum_{k=0}^n {2n\choose 2k}E_{2k} = 0$

위 점화식은 짝수 항의 오일러 수만 제공한다. 홀수 항의 오일러 수는 위에서 설명한 바와 같이 모두 0이다.

n	E_n	n	E_n
0	1	16	19 391 512 145
2	−1	18	−2 404 879 675 441
4	5	20	370 371 188 237 525
6	−61	22	−69 348 874 393 137 901
8	1 385	24	15 514 534 163 557 086 905
10	−50 521	26	−4 087 072 509 293 123 892 361
12	2 702 765	28	1 252 259 641 403 629 865 468 285
14	−199 360 981	30	−441 543 893 249 023 104 553 682 821

$n$ 이 커짐에 따라 오일러 수 $E_{2n}$ 의 절댓값은 매우 빠르게 증가하며, 다음의 점근적인 성질을 따른다.

:: $|E_{2n}| \simeq 2\,(2n)!\,\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\!2n+1}\quad\quad (n\rightarrow\infty)$

4. 명시적 공식

오일러 수는 제2종 스털링 수, 이중 합, 반복 합, 정수 분할의 합, 행렬식, 적분 등 다양한 형태로 표현할 수 있다.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]

다음은 이중 합을 이용한 표현이다.^[3]

: $E_{2n}=(2 n+1)\sum_{\ell=1}^{2n} (-1)^{\ell}\frac{1}{2^{\ell}(\ell +1)}\binom{2 n}{\ell}\sum _{q=0}^{\ell}\binom{\ell}{q}(2q-\ell)^{2n},$

: $E_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k} \frac{1}{2^{k}}\sum_{\ell=0}^{2k}(-1)^{\ell } \binom{2k}{\ell}(k-\ell)^{2n}.$

다음은 명시적 공식이다.^[4]

: $E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{\ell=0}^k \binom{k}{\ell}\frac{(-1)^\ell(k-2\ell)^{2n+1}}{2^k i^k k},$

여기서 $i$ 는 $i^2 = -1$ 을 만족하는 허수 단위이다.

4. 1. 제2종 스털링 수를 사용한 공식

다음은 제2종 스털링 수를 사용하여 오일러 수를 나타내는 공식이다.^[1]^[2]

:

E_{n}=2^{2n-1}\sum_{\ell=1}^{n}\frac{(-1)^{\ell}S(n,\ell)}{\ell+1}\left(3\left(\frac{1}{4}\right)^{\overline{\ell\phantom{.}}}-\left(\frac{3}{4}\right)^{\overline{\ell\phantom{.}}}\right),

:

E_{2n}=-4^{2n}\sum_{\ell=1}^{2n}(-1)^{\ell}\cdot \frac{S(2n,\ell)}{\ell+1}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{\overline{\ell\phantom{.}}},

여기서

S(n,\ell)

는 제2종 스털링 수를 나타내고,

x^{\overline{\ell\phantom{.}}}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell-1)

는 상승 계승을 나타낸다.

4. 2. 분할 합 공식

오일러 수

E_{2n}

는 짝수 정수 분할의 합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.^[5]

:

E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n} \binom K {k_1, \ldots , k_n}\delta_{n,\sum mk_m}  \left( -\frac{1}{2!} \right)^{k_1} \left( -\frac{1}{4!} \right)^{k_2}\cdots \left( -\frac{1}{(2n)!} \right)^{k_n} ,

또한

2n - 1

의 홀수 분할의 합으로도 표현할 수 있다.^[6]

:

E_{2n} =  (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}\binom K {k_1, \ldots , k_n}\delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }   \left( -\frac{1}{1!} \right)^{k_1}  \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}\cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n}   ,

두 경우 모두

K = k_1 + \cdots + k_n

이고,

:

\binom K {k_1, \ldots , k_n}\equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}

는 다항 계수이다. 위의 공식에서 크로네커 델타는

k

에 대한 합을 각각

2k_1 + 4k_2 + \cdots + 2nk_n = 2n

과

k_1 + 3k_2 + \cdots + (2n - 1)k_n = 2n - 1

로 제한한다.

예를 들어,

:

\begin{align}E_{10} & = 10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!\,8!} + \frac{2}{4!\,6!}

\frac{3}{2!^2\, 6!}- \frac{3}{2!\,4!^2} +\frac{4}{2!^3\, 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\[6pt]

& = 9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^2\,7!} + \frac{6}{1!\,3!\,5!}+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^4\,5!} -\frac{10}{1!^3\,3!^2} + \frac{7}{1!^6\, 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\[6pt]& = -50\,521.\end{align}

4. 3. 행렬식을 사용한 공식

''E''_2''n''^영어는 다음과 같은 행렬식으로 주어진다.

:

\begin{align}E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix}   \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\\frac{1}{4!}&  \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\\vdots & ~  &  \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\\frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} &  1\\\frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots &  \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.\end{align}

4. 4. 적분을 사용한 공식

''E''_2''n''^영어은 다음 적분으로도 표현된다.

:

\begin{align}(-1)^n E_{2n} & = \int_0^\infty \frac{t^{2n}}{\cosh\frac{\pi t}2}\; dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1} \int_0^\infty \frac{x^{2n}}{\cosh x}\; dx\\[8pt]&=\left(\frac2\pi\right)^{2n} \int_0^1\log^{2n}\left(\tan \frac{\pi t}{4} \right)\,dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1}\int_0^{\pi/2} \log^{2n}\left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx\\[8pt]&= \frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}} \int_0^{\pi/2} x \log^{2n} (\tan x)\,dx = \left(\frac2\pi\right)^{2n+2} \int_0^\pi \frac{x}{2} \log^{2n} \left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx.\end{align}

5. 점화식

오일러 수는 다음 점화식을 만족한다. 이 점화식에 의해, 모든 오일러 수가 정수임을 알 수 있다.^[1]

: $E_0 = 1, \quad \sum_{k=0}^n {2n \choose 2k}E_{2k} = 0$

이 점화식은 짝수 항의 오일러 수만 제공한다. 홀수 항의 오일러 수는 위에서 설명한 바와 같이, 반드시 0이다. 이 점화식을 이용하면, 아래 표의 오일러 수가 산출된다.^[1]

n	E_n	n	E_n
0	1	16	19,391,512,145
2	−1	18	−2,404,879,675,441
4	5	20	370,371,188,237,525
6	−61	22	−69,348,874,393,137,901
8	1,385	24	15,514,534,163,557,086,905
10	−50,521	26	−4,087,072,509,293,123,892,361
12	2,702,765	28	1,252,259,641,403,629,865,468,285
14	−199,360,981	30	−441,543,893,249,023,104,553,682,821

이 표에서 나타나는 바와 같이, $n$ 의 상승에 대해 오일러 수 $E_{2n}$ 의 절댓값은 매우 빠르게 증가한다. 그 절댓값은 다음에 나타내는 점근적인 성질을 따른다.^[1]

: $|E_{2n}| \simeq 2(2n)!\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2n+1} \quad (n \rightarrow \infty)$

6. 합동 관계

W. 장^[7]은 오일러 수에 관한 다음의 조합적 항등식을 얻었다. 모든 소수 p에 대해 다음이 성립한다.

: $(-1)^{\frac{p-1}{2}} E_{p-1} \equiv \textstyle\begin{cases} \phantom{-} 0 \pmod p &\text{if }p\equiv 1\pmod 4; \\ -2 \pmod p & \text{if }p\equiv 3\pmod 4. \end{cases}$

W. 장과 Z. 쉬^[8]는 모든 소수 와 정수 에 대해 다음이 성립함을 증명했다.

: $E_{\phi(p^{\alpha})/2}\not \equiv 0 \pmod{p^{\alpha}},$

여기서 는 오일러 피 함수이다.

7. 점근적 성질

오일러 수의 절댓값은 n이 증가함에 따라 매우 빠르게 증가하며, 다음과 같은 점근적 성질을 갖는다.^[1]

:: $|E_{2n}| \simeq 2\,(2n)!\,\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\!2n+1}\quad\quad(n\rightarrow\infty)$

또한, 다음과 같은 하한을 갖는다.^[1]

:: $|E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}.$

8. 베르누이 수와의 관계

오일러 수와 베르누이 수는 다음 관계를 갖는다.^[1]

: $\begin{align}& E_{2n} = \sum_{k=1}^n {2n\choose 2k-1}\frac{2^{2k}-4^{2k}}{2k}B_{2k}+1\\& B_{2n} = \frac{2n}{4^{2n}-2^{2n}} \sum_{k=0}^{n-1}{2n-1\choose 2k} E_{2k}\end{align}$

베르누이 수 항목에서 설명한 점화식에서는 베르누이 수를 계산할 때 부동 소수점 계산 또는 분수 계산이 필요하지만, 두 번째 관계식을 사용하면 정수 계산만으로 총합 기호 안의 연산을 할 수 있으므로 베르누이 수의 분수 표현을 얻는 데 편리하다.

9. 탄젠트 수와의 관계

오일러 수는 부호가 보정된 시컨트 수 $\hat{E}_k$ 형태로 탄젠트 수와 결합하면 편리하다. 탄젠트 수에서 설명하듯이, 결합된 효과로 시컨트 수와 탄젠트 수를 덧셈만으로 산출하는 점화식이 존재한다.

10. 표

홀수 인덱스 오일러 수는 모두 0이며, 짝수 인덱스 오일러 수는 부호가 교대로 나타난다. 다음은 짝수 인덱스 오일러 수의 표이다.

n	E_n
0	1
2	−1
4	5
6	−61
8	1385
10	−50 521
12	2 702 765
14	−199 360 981
16	19 391 512 145
18	−2 404 879 675 441
20	370 371 188 237 525
22	−69 348 874 393 137 901
24	15 514 534 163 557 086 905
26	−4 087 072 509 293 123 892 361
28	1 252 259 641 403 629 865 468 285
30	−441 543 893 249 023 104 553 682 821

''n''이 증가함에 따라 오일러 수 ''E''_2''n''의 절댓값은 매우 빠르게 증가한다.

11. 교대 순열(Euler zigzag numbers)과의 관계

$\sec x + \tan x = \tan\left(\frac\pi4 + \frac x2\right)$ 의 테일러 급수는 다음과 같다.

: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A_n}{n!}x^n,$

여기서 $A_n$ 은 교대 순열로, 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (OEIS|id=A000111)로 시작한다.

모든 짝수 $n$ 에 대해,

: $A_n = (-1)^\frac{n}{2} E_n,$

여기서 $E_n$ 은 오일러 수이고, 모든 홀수 $n$ 에 대해,

: $A_n = (-1)^\frac{n-1}{2}\frac{2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1},$

여기서 $B_n$ 은 베르누이 수이다.

모든 ''n''에 대해,

: $\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}+\sum_{m=0}^{n-1}\frac{A_m}{m!(n-m-1)!}\sin{\left(\frac{m\pi}{2}\right)}=\frac{1}{(n-1)!}.$

참조

_[1] 논문 A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number https://projecteucli[...]
_[2] 웹사이트 A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind https://osf.io/smw7h[...] 2019-11-15
_[3] 논문 Several closed expressions for the Euler numbers
_[4] 웹사이트 An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series https://oeis.org/A00[...] 2012-05-11
_[5] 논문 Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers http://www.integers-[...]
_[6] arXiv Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers
_[7] 논문 Some identities involving the Euler and the central factorial numbers https://www.mathstat[...]
_[8] 논문 On a conjecture of the Euler numbers
_[9] 문서 Weisstein

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