베르누이 수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 베르누이 다항식
3. 성질
4. 표
5. 역사
6. 응용
참조

1. 개요

베르누이 수는 생성 함수를 통해 정의되는 수열로, 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 이 수열은 다음과 같은 정의를 가진다. $\frac t{\exp(t)-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_nt^n}{n!}$ 베르누이 수는 1, −1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, 0, −1/30, … 와 같이 시작하며, 일부 저자는 첫 번째 항을 다르게 정의하기도 한다. 이 수들은 베르누이 다항식, 삼각 함수, 리만 제타 함수, 스털링 수 등과 밀접한 관련을 가지며, 오일러-매클로린 공식과 같은 점근적 분석, 위상수학, 조합론 등 다양한 분야에 응용된다. 베르누이 수는 세키 다카카즈와 야코프 베르누이에 의해 독립적으로 발견되었으며, 폰 슈타우트-클라우젠 정리와 같은 수론적 성질을 갖는다.

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베르누이 수
개요
이름	베르누이 수
영어	Bernoulli numbers
설명	수학에서 베르누이 수는 정수열 B0, B1, B2, ...으로, 여러 수학 분야에 나타난다.
다른 표기	Bₙ (n은 첨자)
정의	지수 생성 함수를 통해 정의됨
생성 함수	(단, \|x\| < 2π)
역사	17세기 후반, 세키 다카카즈에 의해 독립적으로 발견되었으며, 야코프 베르누이가 그의 저서 "Ars Conjectandi"에서 발표함
성질
B₁	B₁ = ± (문맥에 따라 부호가 다름)
홀수 첨자	Bₙ = 0 (n이 1보다 큰 홀수일 때)
짝수 첨자	B₂ = , B₄ = -, B₆ = , B₈ = -, B₁₀ = , B₁₂ = -, B₁₄ = , B₁₆ = -, B₁₈ = , B₂₀ = -
종류
관례적인 표기	두 가지 관례가 존재함: Bₙ은 B₁ = - 또는 B₁ = +로 정의될 수 있다.
B+ₙ	B+ₙ (B₁ = + 사용)
B−ₙ	B−ₙ (B₁ = - 사용)
응용
수학 분야	수론 해석학 조합론 위상수학
급수 계산	베르누이 수는 특정 급수의 합을 계산하는 데 사용될 수 있다. (예: 파울하버 공식)
리만 제타 함수	리만 제타 함수의 특정 값과 관련됨
오일러-매클로린 공식	오일러-매클로린 공식에 등장
테일러 급수	탄젠트 함수와 쌍곡 탄젠트 함수의 테일러 급수 계수로 나타남.
관련 항목
관련 항목	제타 함수 파울하버 공식 오일러 수 세키 다카카즈 야코프 베르누이

2. 정의

베르누이 수열 $B_n$ 은 생성함수를 통해 정의할 수 있다.^[3]

: $\frac t{\exp(t)-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_nt^n}{n!}$

일부 저자들은 첫 베르누이 수를 $-1/2$ 대신 $+1/2$ 로 사용하기도 하는데, 이를 $\tilde B_n$ 로 표기하면 다음과 같다.

: $\frac t{1-\exp(-t)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\tilde B_nt^n}{n!}$

베르누이 수는 다음 합 공식을 따른다.^[4]

: $\begin{align} \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{-{}}_k &= \delta_{m, 0} \\ \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{+{}}_k &= m+1 \end{align}$

여기서 $m=0,1,2...$ 이고 $\delta$ 는 크로네커 델타를 나타낸다.

$B^{\mp{}}_m$ 에 대해 풀면 다음과 같은 재귀 공식을 얻을 수 있다.^[5]

: $\begin{align}B_m^{-{}} &= \delta_{m, 0} - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^{-{}}_k}{m - k + 1} \\B_m^+ &= 1 - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^+_k}{m - k + 1}.\end{align}$

1893년 루이 잘쉬츠는 베르누이 수에 대한 명시적 공식을 38개 나열했는데, 그 중 하나는 다음과 같다. ( $m\geq 1$ )

: $\begin{align}B^-_m &= \sum_{k=0}^m \frac1{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j j^m \\B^+_m &= \sum_{k=0}^m \frac1{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j (j + 1)^m.\end{align}$

지수 생성 함수는 다음과 같다.

: $\begin{alignat}{3}\frac{t}{e^t - 1} &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} -1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^{-{}}_m t^m}{m!}\\\frac{te^t}{e^t - 1} = \frac{t}{1 - e^{-t}} &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} +1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^+_m t^m}{m!}.\end{alignat}$

여기서 대입은 $t \to - t$ 이며, 두 생성 함수는 't' 항만 다르다.

베르누이 수 $B_n$ 을 정의하는 전개식은 다음과 같다.

:: $f(x) = \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

베르누이 수는 다음 점화식을 사용하여 계산할 수 있으며, 이를 통해 베르누이 수가 모두 유리수임을 알 수 있다.

:: $B_0 = 1,\quad{}B_n = -{1 \over n+1}\sum^{n-1}_{k=0}{n+1 \choose k}B_k.$

여기서 $\left(\right)$ 는 이항 계수이다.

2. 1. 베르누이 다항식

베르누이 수

B_n

가 주어졌을 때, 이로부터 다음과 같은 '''베르누이 다항식'''(Bernoulli polynomial^영어)

B_n(x)\in\mathbb Q[x]

을 정의할 수 있다.

:

B_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkB_{n-k}x^k

이는 아펠 다항식열을 이룬다.

베르누이 수는 베르누이 다항식으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

B_n=B_n(0)

:

\tilde B_n=B_n(1)

3. 성질

$B_1$ 을 제외한 홀수차 베르누이 수는 모두 0이며, 짝수차 베르누이 수는 부호가 번갈아 나타난다.^[46]^[47] 4의 배수 번째 베르누이 수는 음수이며, 4의 배수가 아닌 짝수 번째 베르누이 수는 양수이다.

: $\operatorname{sgn}B_n=\begin{cases}$

1&n=1\\

0&1\ne n\equiv1,3\pmod4\\

1&n\equiv0\pmod4\\

+1&n\equiv2\pmod4\end{cases}

폰 슈타우트-클라우젠 정리(von Staudt–Clausen theorem^영어)에 따르면, 모든 양의 정수

n

에 대하여,

B_n\ne0

일 경우 다음이 성립한다.

:

B_n + \sum_{(p-1)\mid n} \frac1p\in\mathbb Z

여기서

\textstyle\sum_{(p-1)\mid n}

은

p-1

이

n

의 약수가 되는 모든 소수

p

에 대한 합이다. 즉,

B_n\ne0

의 분모는

\textstyle\prod_{(p-1)\mid n}p

이다.

다음은 29번째 항까지의 베르누이 수의 분자와 분모를 계산한 표이다.

n	분자	분모
0	1	1
1	−1	2
2	1	6
3	0	—
4	−1	30
5	0	—
6	1	42
7	0	—
8	−1	30
9	0	—
10	5	66
11	0	—
12	−691	2730
13	0	—
14	7	6
15	0	—
16	−3617	510
17	0	—
18	43867	798
19	0	—
20	−174611	330
21	0	—
22	854513	138
23	0	—
24	−236364091	2730
25	0	—
26	8553103	6
27	0	—
28	−23749461029	870
29	0	—

3. 1. 생성 함수

베르누이 수열

B_n

은 다음 생성함수로 정의할 수 있다.^[3]

:

\frac t{\exp(t)-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_nt^n}{n!}

일부 저자들은 첫 베르누이 수를

-1/2

대신

+1/2

로 사용하기도 하는데, 여기서는 이를

\tilde B

로 표기하여 다음과 같이 나타낸다.

:

\frac t{1-\exp(-t)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\tilde B_nt^n}{n!}

베르누이 다항식의 생성 함수는 다음과 같다.^[3]

:

\sum_{n=0}^\infty B_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{t\exp(xt)}{\exp(t)-1}

따라서, 베르누이 수의 생성 함수는 다음과 같다.^[3]

:

\sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}=\frac t{\exp t-1}

:

\sum_{n=0}^\infty \tilde B_n\frac{t^n}{n!}=\frac{t\exp t}{\exp t-1}

지수 생성함수는 다음과 같다.^[3]

:

\begin{alignat}{3}\frac{t}{e^t - 1}    &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} -1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^{-{}}_m t^m}{m!}\\\frac{te^t}{e^t - 1} = \frac{t}{1 - e^{-t}} &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} +1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^+_m t^m}{m!}.\end{alignat}

여기서 대입은

t \to - t

이다. 두 생성 함수는 't'만 다르다.

(일반) 생성 함수

:

z^{-1} \psi_1(z^{-1}) = \sum_{m=0}^{\infty} B^+_m z^m

은 점근 급수이다. 이 급수는 삼중 감마 함수를 포함한다.

베르누이 수

B_n

을 정의하는 전개식은 다음과 같다.

::

f(x) = \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n

3. 2. 대칭

베르누이 다항식은 다음 항등식들을 만족시킨다.

:

B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x)\qquad n\ge0

:

(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}

3. 3. 삼각 함수의 멱급수

베르누이 수는 여러 삼각 함수와 쌍곡선 함수의 테일러 급수 전개에 나타난다.

'''탄젠트 함수:'''

::

\tan x = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} }{(2n)!}\; x^{2n-1}, \qquad \left|x \right| < \frac \pi 2.

'''코탄젠트 함수:'''

::

\cot x = {1\over x} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n B_{2n} (2x)^{2n}}{(2n)!}, \qquad 0 < |x| < \pi.

'''쌍곡 탄젠트 함수:'''

::

\tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}\;x^{2n-1}, \qquad |x| < \frac \pi 2.

여접선 함수(cotangent)의 로랑 급수 전개는 다음과 같다.

::

\begin{align}\coth z &= \frac1z + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}z^{2k-1},\\\cot z  &= \frac1z + \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}z^{2k-1}.\end{align}

이 급수의 수렴 반지름은

|z| < \pi

이다.

정접 함수(tangent)의 테일러 전개는 다음과 같다.

::

\tan z = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k\,(2^{2k}-4^{2k})\,B_{2k}}{(2k)!}z^{2k-1}.

이 급수의 수렴 반지름은

|z| < \frac{\pi}{2}

이다. 이 정접 함수의 테일러 전개의 전개 계수에 의한 수열은 탄젠트 수라고 불린다.

여할 함수(cosecant)는 다음과 같이 로랑 급수 전개된다.

::

\csc z = \frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} +\sum_{k=1}^\infin \frac{(-1)^k\,(2-2^{2k})\,B_{2k}}{(2k)!}z^{2k-1}.

이 급수의 수렴 반지름은

|z| < \pi

이다.

3. 4. 제타 함수와의 관계

베르누이 수는 리만 제타 함수의 특수한 값으로 표현될 수 있다.

n \ge 1

에 대하여,

:

B_n^+ = -n\zeta(1-n)

여기서 제타 함수의 인수는 0 또는 음수이다. 자명한 영점(음의 짝수 정수)에 대해

\zeta(k)

가 0이므로, ''n>1''이 홀수이면

\zeta(1-n)

는 0이다.^[6]

함수 방정식 및 반사 공식을 통해 다음 관계를 얻을 수 있다.^[6]

:

B_{2n} = \frac {(-1)^{n+1}2(2n)!} {(2\pi)^{2n}} \zeta(2n) \quad

(

n \ge 1

에 대하여.)

여기서 제타 함수의 인수는 양수이다.

n \to \infty

일 때,

\zeta \to 1

이고, 스털링의 공식으로부터 다음이 따른다.

:

|B_{2 n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n} \quad

(

n \to \infty

에 대하여.)

다음의 적분을 통해,

:

b(s) = 2e^{s i \pi/2}\int_0^\infty \frac{st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t} = \frac{s!}{2^{s-1}}\frac{\zeta(s)}{(-i)^s}= \frac{2s!\zeta(s)}{(2\pi i)^s}

n>0

에 대해

b(2n) = B_{2n}

라는 특수한 값을 갖는다.

레온하르트 오일러는 이와 관련하여 다음과 같이 계산하였다.

:

\begin{align}p &=  \frac{3}{2\pi^3}\left(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots \right) = 0.0581522\ldots \\q &= \frac{15}{2\pi^5}\left(1+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{3^5}+\cdots \right) = 0.0254132\ldots\end{align}

베르누이 수는 리만 가설과도 관련이 있다. 마르셀 리에츠는 리만 가설이 다음 명제와 동치임을 증명했다.^[6]

:모든

\epsilon > \frac{1}{4}

에 대해 상수

C_\epsilon > 0

(

\epsilon

에 의존)이 존재하여,

x \to \infty

일 때

|R(x)| < C_\epsilon x^\epsilon

가 성립한다.

여기서

R(x)

는 리에츠 함수이다.

:

R(x) = 2 \sum_{k=1}^\infty\frac{k^{\overline{k}} x^{k}}{(2\pi)^{2k}\left(\frac{B_{2k}}{2k}\right)}= 2\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{\overline{k}}x^k}{(2\pi)^{2k}\beta_{2k}}.

일반 베르누이 수는 대수적 수이며, 디리클레 ''L''-함수의 특수값과 관련하여 정의된다.

3. 5. 스털링 수와의 관계

베르누이 수와 베르누이 다항식은 제1종 스털링 수, 제2종 스털링 수와 관련이 있다.

베르누이 다항식과 베르누이 수는 제2종 스털링 수와 하강 포흐하머 기호를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

B_{n+1}(x) = B_{n+1} + \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left\

:

B_n=\sum_{k=0}^k(-1)^k\frac{k!}{k+1}\left\ = \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left[ {n\atop k}\right] \left(B_{k+1}(x) - B_{k+1} \right)

여기서

\textstyle [{n\atop k}]

는 제1종 스털링 수이다.

무부호 제1종 스털링 수를 베르누이 수(

B_1 = +

)와 관련시키는 두 가지 주요 공식은 다음과 같다.

:

\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^{k} \left[{m+1\atop k+1}\right] B_k = \frac{1}{m+1},

그리고 이 합의 역수(

n \ge 0

,

m \ge 0

)

:

\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^k \left[{m+1\atop k+1}\right] B_{n+k} = A_{n,m}.

여기서 수

A_{n,m}

는 유리수 아키야마-타니가와 수이며, 그 중 처음 몇 개는 다음 표와 같다.

아키야마-타니가와 수
	0	1	2	3	4
0	1
1					...
2				...	...
3	0		...	...	...
4	−	...	...	...	...

제2종 스털링 수와의 관계에서, 다음과 같은 베르누이 수의 일반항을 산출하는 공식이 존재한다.

: $B_n = \sum_{j=0}^n (-1)^j\,j^n\sum_{m=j}^n \frac{1}{m+1}{m\choose j}.$

이 공식은 시그마 기호가 이중으로 되어 있기 때문에, 위에 제시된 점화식만큼 간편하게 베르누이 수를 계산하는 공식은 아니다.

3. 6. 거듭제곱수의 합

세키 다카카즈(1642~1708)는 1712년 사후에 출판된 《괄요산법》(括要算法, 가쓰요산포)^[60]에서 거듭제곱수의 합에 대한 일반 공식 및 베르누이 수를 제시하였다. 《괄요산법》에는 산가지로 표기된 파스칼 삼각형 밑에 처음 12개의 베르누이 수가 수록되어 있다.^[60]

야코프 베르누이는 1713년 사후에 출판된 저서 《추측술》(Ars Conjectandi, 아르스 코녝탄디)^[61] 2부 3장 97쪽에 거듭제곱수의 합의 일반 공식을 제시하였지만, 증명하지 않았다. 베르누이 공식을 통해 거듭제곱수의 합을 계산할 수 있는데, 이를 파울하버 공식이라고도 한다.^[61]

1631년에 요한 파울하버(Johann Faulhaber^de, 1580~1635)는 거듭제곱수의 합을 계산하는 알고리즘을 출판하였다.^[58] 파울하버는 효율적인 알고리즘을 제시했지만, 베르누이 수를 통해 나타내지는 않았다.^[59]

베르누이 수는 처음 n개의 양의 정수의 m제곱의 합을 나타내는 닫힌 형식에서 중요한 역할을 한다. m, n ≥ 0에 대해 다음과 같이 정의한다.

:

S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m.

이 합은 항상 차수가 m+1인 n에 관한 다항식으로 표현 가능하다. 이 다항식의 계수는 베르누이 수와 다음과 같은 '''베르누이 공식'''으로 연관된다.

:

S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m \binom{m + 1}{k} B^+_k n^{m + 1 - k} = m! \sum_{k=0}^m \frac{B^+_k n^{m + 1 - k}}{k! (m+1-k)!}.

여기서 는 이항 계수를 나타낸다.

예를 들어 m=1이면 삼각수 를 얻는다.

:

1 + 2 + \cdots + n = \frac{1}{2} (B_0 n^2 + 2 B^+_1 n^1) = \tfrac{1}{2} (n^2 + n).

m=2이면 사각뿔수 를 얻는다.

:

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{3} (B_0 n^3 + 3 B^+_1 n^2 + 3 B_2 n^1) = \tfrac{1}{3} \left(n^3 + \tfrac{3}{2} n^2 + \tfrac{1}{2} n\right).

엄브랄 미적분학을 사용하면 베르누이 공식을 간결하게 표현할 수 있다.

:

S_m(n) = \frac{1}{m+1} ((\mathbf{B} + n)^{m+1} - B_{m+1}).

3. 7. 알고리즘

베르누이 수를 효율적으로 계산하는 알고리즘은 여러 가지가 개발되었다. 이 중 일부 응용 분야에서는 소수 $p$에 대해 $B_0$부터 $B_{p-3}$까지의 베르누이 수를 $p$를 법으로 계산하는 것이 유용하다. 예를 들어, $p$에 대해 반디버의 추측이 성립하는지 테스트하거나, $p$가 불규칙 소수인지 판단할 수 있다.

하지만, 위의 재귀적 공식을 사용하면 최소한 (상수 배수) $p^2$ 번의 산술 연산이 필요하여 계산이 비효율적이다. 따라서 $O(p (\log p)^2)$ 번의 연산만 필요한 더 빠른 방법이 개발되었다. (자세한 내용은 빅 오 표기법 참조)

데이비드 하비(David Harvey)는 여러 작은 소수 $p$에 대해 $B_n$를 $p$를 법으로 계산한 다음 중국인의 나머지 정리를 통해 $B_n$을 재구성하는 알고리즘을 설명한다. 하비는 이 알고리즘의 점근적 시간 복잡도가 $O(n^2 \log(n)^{2 + \epsilon})$이며, 이 구현이 다른 방법을 기반으로 한 구현보다 훨씬 빠르다고 주장한다.

하비의 구현은 버전 3.1부터 SageMath에 포함되었다. 그 이전에는, 베른트 켈너(Bernd Kellner)가 2002년 12월에 $B_n$을 $n = 10^6$까지, 올렉산드르 파블릭(Oleksandr Pavlyk)은 2008년 4월에 Mathematica를 사용하여 $n = 10^7$까지 완전한 정밀도로 계산했다.

베르누이 수 계산 기록은 다음과 같다.

컴퓨터	연도	n	자릿수*
J. 베르누이	~1689	10	1
L. 오일러	1748	30	8
J. C. 아담스	1878	62	36
D. E. 크누스, T. J. 벅홀츠	1967	1672	3330
G. 피, S. 플루페	1996	10000	27677
G. 피, S. 플루페	1996	100000	376755
B. C. 켈너	2002	1000000	4767529
O. 파블릭	2008	10000000	57675260
D. 하비	2008	100000000	676752569

''자릿수''는 $B_n$이 정규화된 과학적 표기법으로 실수로 표현될 때 10의 지수로 이해해야 한다.

필리프 루드비히 폰 자이델은 1877년에 $T_n$을 간단하게 계산할 수 있는 알고리즘을 발표했다.

자이델의 알고리즘은 다음과 같다.

1. 0행에 1을 넣고, $k$를 현재 채우고 있는 행의 번호로 한다.

2. $k$가 홀수이면, 행 $k-1$의 왼쪽 끝에 있는 숫자를 행 $k$의 첫 번째 위치에 넣고, 왼쪽에서 오른쪽으로 행을 채운다. 각 항목은 왼쪽에 있는 숫자와 위에 있는 숫자의 합이다.

3. 행의 끝에서 마지막 숫자를 복제한다.

4. $k$가 짝수이면 다른 방향으로 유사하게 진행한다.

자이델의 알고리즘은 실제로 훨씬 더 일반적이며, 그 후 여러 번 재발견되었다. (도미니크 듀몽의 설명 참조)

자이델의 접근 방식과 유사하게 D. E. 크누스와 T. J. 버클홀츠는 수 $T_{2n}$에 대한 재귀 방정식을 제시하고 $B_{2n}$와 $E_{2n}$를 "정수에 대한 간단한 연산만 사용하여 전자 컴퓨터에서" 계산하는 방법을 권장했다.

3. 8. 수론적 성질

폰 슈타우트-클라우젠 정리(von Staudt–Clausen theorem^영어)에 따르면, 모든 양의 정수

n

에 대하여,

B_n\ne0

일 경우 다음이 성립한다.^[46]^[47]

:

B_n + \sum_{(p-1)\mid n} \frac1p\in\mathbb Z

여기서

\textstyle\sum_{(p-1)\mid n}

은

p-1

이

n

의 약수가 되는 모든 소수

p

에 대한 합이다. 즉,

B_n\ne0

의 분모는

\textstyle\prod_{(p-1)\mid n}p

이다.

소수

p

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 소수를 '''정규 소수'''라고 한다.

$p\nmid B_{2n}\qquad\forall 2n\in\{2,4,6,\dots,p-3\}$
$p\nmid h_{\mathbb Q(\zeta_p))$ . 여기서 $h_K$ 는 $K$ 의 유수이며, $\mathbb Q(\zeta_p)$ 는 원분체이다.

이를 정규 소수의 '''쿠머 조건'''(Kummer’s criterion^영어)이라고 한다.

베르누이 수는 페르마의 마지막 정리와 관련이 있다. 홀수 소수

p

가 베르누이 수

B_{2}, B_{4}, \dots, B_{p-3}

의 분자 중 어떤 것도 나누지 않으면,

x^p + y^p + z^p = 0

은 0이 아닌 정수 해를 갖지 않는다. 이러한 성질을 가진 소수를 정규 소수라고 한다.

다음은 29번째 항까지의 베르누이 수의 분자와 분모를 계산한 표이다.

n	분자	분모
0	1	1
1	−1	2
2	1	6
3	0	—
4	−1	30
5	0	—
6	1	42
7	0	—
8	−1	30
9	0	—
10	5	66
11	0	—
12	−691	2 730
13	0	—
14	7	6
15	0	—
16	−3 617	510
17	0	—
18	43 867	798
19	0	—
20	−174 611	330
21	0	—
22	854 513	138
23	0	—
24	−236 364 091	2 730
25	0	—
26	8 553 103	6
27	0	—
28	−23 749 461 029	870
29	0	—

4. 표

다음은 점화식을 사용하여 29번째 항까지의 베르누이 수의 분자와 분모를 계산한 결과이다.^[46]^[47]

n	분자	분모	n	분자	분모	n	분자	분모
0	1	1	10	5	66	20	−174 611	330
1	−1	2	11	0	—	21	0	—
2	1	6	12	−691	2 730	22	854 513	138
3	0	—	13	0	—	23	0	—
4	−1	30	14	7	6	24	−236 364 091	2 730
5	0	—	15	0	—	25	0	—
6	1	42	16	−3 617	510	26	8 553 103	6
7	0	—	17	0	—	27	0	—
8	−1	30	18	43 867	798	28	−23 749 461 029	870
9	0	—	19	0	—	29	0	—

홀수 번째 베르누이 수는 ''B''₁ 이외에는 모두 0이며, 짝수 번째는 ''B''₀을 제외하고 양수와 음수가 번갈아 나타난다.

5. 역사

세키 다카카즈와 야코프 베르누이는 거의 동시에 베르누이 수를 발견했다.^[60]^[61]

1631년에 요한 파울하버는 거듭제곱수의 합을 계산하는 알고리즘을 출판하였지만, 베르누이 수를 사용하여 나타내지는 않았다.^[58] 도널드 커누스는 파울하버가 베르누이 수를 발견하지 못했다고 지적했다.^[59]

세키 다카카즈는 1712년 사후 출판된 《괄요산법》(括要算法^일본어|가쓰요산포^일본어)에 거듭제곱수의 합에 대한 일반 공식 및 베르누이 수를 제시했다.^[60] 《괄요산법》에는 처음 12개의 베르누이 수가 산가지로 표기되어 있다.

야코프 베르누이는 1713년 사후 출판된 《추측술》(Ars Conjectandi|아르스 코녝탄디^la)에서 거듭제곱수의 합의 일반 공식을 제시했지만 증명하지는 않았다.^[61] 베르누이는 이 표를 사용하여 처음 1000개의 10제곱수들의 합을 빠르게 계산할 수 있었다고 언급하며, 이스마엘 불리오(Ismaël Boulliau)의 연구가 얼마나 비효율적인지를 지적했다.^[61]

1830년대에 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린은 오일러-매클로린 공식을 발견하면서 베르누이 수를 재발견하였다. 아브라함 드무아브르와 레온하르트 오일러는 "베르누이 수"라는 표현을 최초로 사용하였다.^[62] 1834년에 카를 구스타프 야코프 야코비는 베르누이 공식을 엄밀하게 증명하였다.^[63]

에이다 러브레이스는 1843년에 찰스 배비지의 해석기관에 대한 책^[64]의 주석 G(Note G^영어)에 베르누이 수를 계산하는 알고리즘을 기술했다. 이는 세계 최초의 컴퓨터 프로그램으로 여겨진다.

폰 슈타우트-클라우젠 정리는 카를 게오르크 크리스티안 폰 슈타우트(Karl Georg Christian von Staudt^de)^[65]와 토마스 클라우젠(Thomas Clausen^de)^[66]이 1840년에 독자적으로 발견하였다.

정규 소수의 쿠머 조건은 에른스트 쿠머가 1850년에 증명하였다.^[67]

6. 응용

베르누이 수는 오일러-매클로린 공식을 통해 함수의 합과 적분을 연결하여 점근적 분석에 활용된다. 예를 들어, 리만 제타 함수의 오일러-매클로린 전개는 다음과 같다.

: $\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}s + \cdots + R(s,m).$ ^[1]

또한 베르누이 수는 디감마 함수의 점근 전개에도 사용된다.

: $\psi(z) \sim \ln z - \sum_{k=1}^\infty \frac{B^+_k}{k z^k}$

마르셀 리에츠는 리만 가설이 리에츠 함수를 통해 베르누이 수와 관련됨을 보였다.^[2]

베르누이 수는 위상수학에서 이국적 구의 미분 동형류의 차수를 나타내는 켈베어-밀너 공식과 매끄러운 다양체의 L 종을 계산하는 히르체브루흐 부호 정리에 등장한다.

조합론적으로 베르누이 수는 워피츠키 수, 제1종 스털링 수, 오일러 수 등과 같은 다양한 조합론적 수와 연결된다. 워피츠키 수를 사용하면 베르누이 수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $B_{n}=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{W_{n,k}}{k+1}\ =\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \sum_{v=0}^k (-1)^v (v+1)^n {k \choose v}\ .$

6. 1. 점근적 분석

오일러-매클로린 공식에서 베르누이 수가 사용되는 것은 베르누이 수의 가장 중요한 응용 분야 중 하나이다. 충분히 미분 가능한 함수 f에 대해, 오일러-매클로린 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\sum_{k=a}^{b-1} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^-_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_-(f,m).

이 공식은

B_1 = -1/2

라는 관례를 따른다.

B_1 = +1/2

라는 관례를 사용하면 공식은 다음과 같이 된다.

:

\sum_{k=a+1}^{b} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^+_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_+(f,m).

여기서

f^{(0)}=f

이고,

f^{(-1)}

은

f

의 부정적분을 나타낸다. 미적분학의 기본 정리에 의해,

:

\int_a^b f(x)\,dx = f^{(-1)}(b) - f^{(-1)}(a).

이므로, 오일러-매클로린 공식은 다음과 같이 더 단순화할 수 있다.

:

\sum_{k=a+1}^{b} f(k)= \sum_{k=0}^m \frac{B_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).

이 공식은 리만 제타 함수의 오일러-매클로린 전개에 사용된다. 예를 들어, 제타 함수의 오일러-매클로린 전개는 다음과 같다.

:

\begin{align}\zeta(s) & =\sum_{k=0}^m \frac{B^+_k}{k!} s^{\overline{k-1}} + R(s,m) \\& = \frac{B_0}{0!}s^{\overline{-1}} + \frac{B^+_1}{1!} s^{\overline{0}} + \frac{B_2}{2!} s^{\overline{1}} +\cdots+R(s,m) \\& = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}s + \cdots + R(s,m).\end{align}

여기서

s^{\overline{k}}

는 상승 팩토리얼 멱을 나타낸다.^[1]

베르누이 수는 디감마 함수의 푸앵카레 형식 점근 전개와 같은 다른 종류의 점근 전개에도 사용된다.

:

\psi(z) \sim \ln z - \sum_{k=1}^\infty \frac{B^+_k}{k z^k}

베르누이 수는 리만 가설과도 관련이 있다. 마르셀 리에츠는 리만 가설이 리에츠 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있음을 증명했다.^[2]

: 모든

\epsilon > 1/4

에 대해 상수

C_\epsilon > 0

(

\epsilon

에 의존)이 존재하여,

x \rightarrow \infty

일 때

|R(x)| < C_\epsilon x^\epsilon

가 성립한다.

여기서

R(x)

는 다음과 같다.

:

R(x) = 2 \sum_{k=1}^\infty\frac{k^{\overline{k}} x^{k}}{(2\pi)^{2k}\left(\frac{B_{2k}}{2k}\right)}= 2\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{\overline{k}}x^k}{(2\pi)^{2k}\beta_{2k}}.

n^{\overline{k}}

는 도널드 커누스의 표기법으로 나타낸 상승 계승 멱이다.

\beta_n = B_n / n

는 '나눗셈 베르누이 수'라고 불리며, 리만 제타 함수 연구에서 자주 나타난다.

베르누이 수와 리만 제타 함수의 관계로부터, 다음이 성립한다.

:

B_{2n} = (-1)^{n+1}\frac {2(2n)!} {(2\pi)^{2n}} \left( 1 + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \dotsb \right)

따라서 스털링 근사로부터,

n \rightarrow \infty

일 때, 다음이 성립한다.

:

|B_{2 n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n}

6. 2. 위상수학

켈베어-밀너 공식은 병행 가능 다양체를 경계로 하는 이국적 (4n − 1)-구의 미분 동형류의 순환군의 차수에 대한 공식을 나타내며, 이 공식은 베르누이 수를 포함한다. 을 에 대한 그러한 이국적 구의 수라고 하면 다음과 같다.

:

\textit{ES}_n = (2^{2n-2}-2^{4n-3}) \operatorname{Numerator}\left(\frac{B_{4n}}{4n} \right) .

히르체브루흐 부호 정리는 L 종과 차원 4''n''의 매끄러운 가향된 닫힌 다양체에 대한 정리이며, 이 역시 베르누이 수를 포함한다.

6. 3. 조합론적 수와의 관계

베르누이 수는 포함-배제의 원리와 유한 차분 이론을 통해 다양한 조합론적 수와 연결된다.
베르누이 수와 워피츠키 수1883년 율리우스 워피츠키는 베르누이 수를 워피츠키 수를 통해 표현하는 방법을 제시했다. 워피츠키 수는 다음과 같이 정의된다.

:

W_{n,k}=\sum_{v=0}^k (-1)^{v+k} (v+1)^n \frac{k!}{v!(k-v)!} .

이는 제2종 스털링 수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

W_{n,k}=k! \left\{ {n+1\atop k+1} \right\}.

베르누이 수는 조화 수열로 가중된 워피츠키 수의 포함-배제 합으로 표현된다.

:

B_{n}=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{W_{n,k}}{k+1}\ =\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \sum_{v=0}^k (-1)^v (v+1)^n {k \choose v}\ .

워피츠키 수를 이용한 베르누이 수의 또 다른 표현은 다음과 같다. (n ≥ 1)

:

B_n=\frac n {2^{n+1}-2}\sum_{k=0}^{n-1} (-2)^{-k}\, W_{n-1,k} .

베르누이 수와 제1종 스털링 수제1종 스털링 수와 베르누이 수 () 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

:

\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^{k} \left[{m+1\atop k+1}\right] B_k = \frac{1}{m+1},

그리고 이 합의 역수 (n ≥ 0, m ≥ 0)는 다음과 같다.

:

\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^k \left[{m+1\atop k+1}\right] B_{n+k} = A_{n,m}.

여기서

A_{n,m}

는 아키야마-타니가와 수이다.
베르누이 수와 오일러 수오일러 수와 베르누이 수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

:

\begin{align}\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle &= 2^{n+1} (2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \\\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle \binom{n}{m}^{-1} &= (n+1) B_n.\end{align}

두 공식 모두

B_1

을

\frac{1}{2}

로 설정하면 n ≥ 0에 대해 유효하다.

참조

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