이디-호프스티 다이어그램

1. 개요

이디-호프스티 다이어그램은 효소 반응 속도와 기질 농도 간의 관계를 나타내는 그래프로, 미카엘리스-멘텐 방정식을 직선 형태로 변환하여 시각화한다. 이 다이어그램은 반응 속도(v)를 v/a에 대해 플롯하며, 이를 통해 미카엘리스 상수(Km)와 최대 반응 속도(V)를 쉽게 파악할 수 있다. 이 다이어그램은 실험 설계의 적절성을 평가하는 데 유용하며, 특히 부실한 실험 설계를 시각적으로 드러내는 데 강점이 있다. 과거에는 Km과 V 매개변수를 빠르게 평가하는 데 사용되었으나, 현재는 비선형 회귀 분석 방법이 더 정확하게 사용된다.

2. 방정식 유도

이디-호프스티 다이어그램의 기본이 되는 효소 반응 속도($v$)와 기질 농도($a$)의 관계는 미카엘레스-멘텐 방정식으로 표현된다.

:$v\; =$

여기서 $V$는 기질이 충분히 많아 반응 속도가 최대일 때의 값(최대 반응 속도)이며, $K\_\backslash mathrm\{m\}$은 반응 속도가 최대 속도의 절반($v\; =\; 0.5V$)일 때의 기질 농도로, 미하엘리스 상수라고 한다.

이디와 호프스티는 이 비선형적인 관계를 직선 관계로 변환하여 분석하기 쉽게 만들었다. 미카엘레스-멘텐 방정식의 양변에 $$를 곱하면 다음과 같이 정리된다.

:$K\_\backslash mathrm\{m\}\; \backslash cdot\; \{v\; \backslash over\; a\}\; +\; v\; =\; V$

이 식을 $v$에 대해 정리하면 다음과 같은 직선 방정식을 얻을 수 있다.

:$v\; =\; V\; -\; K\_\backslash mathrm\{m\}\; \backslash cdot\; \{v\; \backslash over\; a\}$

이 식은 $v/a$를 x축, $v$를 y축으로 하는 그래프(호프스티 플롯)를 그렸을 때, y절편이 $V$이고 기울기가 $-K\_\backslash mathrm\{m\}$인 직선이 됨을 보여준다.

한편, 축을 바꾸어 $v$를 x축, $v/a$를 y축으로 하는 그래프(이디 플롯)를 그릴 수도 있다. 이 경우 식은 다음과 같이 변형된다.

:$\{v\; \backslash over\; a\}\; =\; \{V\; \backslash over\; K\_\backslash mathrm\{m\}\}\; -\; \{1\; \backslash over\; K\_\backslash mathrm\{m\}\}\; \backslash cdot\; v$

이 그래프에서는 y절편이 $V\; \backslash over\; K\_\backslash mathrm\{m\}$이고 기울기가 $-\; \{1\; \backslash over\; K\_\backslash mathrm\{m\}\}$인 직선이 그려진다.

이러한 방식의 그래프는 리간드 결합 실험에서 사용되는 스캐차드 플롯과 유사한 형태를 가진다.

3. 오귀스틴손 기여

이 그래프는 때때로 오귀스틴손(Augustinsson)의 기여로 여겨지기도 한다. 이 때문에 울프-오귀스틴손-호프스티 그래프 또는 단순히 오귀스틴손 그래프라고 불리기도 한다. 그러나 오귀스틴손이 $v$ 대 $v/a$ 방정식을 처음 소개했을 때, 홀데인(Haldane), 울프(Woolf) 또는 이디(Eadie)를 명시적으로 인용하지는 않았다. 그럼에도 불구하고, 그의 다른 연구에서는 홀데인과 이디의 연구를 인용하였고, 참고 문헌 목록에도 이들의 연구가 포함되어 있다.

4. 실험 오차의 영향

실험 오차는 일반적으로 기질 농도 $a$가 아닌 반응 속도 $v$에 영향을 미치는 것으로 가정한다. 이는 $v$가 종속 변수이기 때문이다. 결과적으로, 이디-호프스티 다이어그램의 세로축 $v$와 가로축 $v/a$ 모두 실험 오차의 영향을 받게 된다. 따라서 오차로 인해 발생하는 편차는 세로축과 평행하지 않고 원점을 향하거나 원점에서 멀어지는 방향으로 나타난다. 하지만 이 다이어그램이 매개변수 추정이 아닌 분석 결과를 설명하기 위해 사용되는 경우에는 이러한 점이 큰 문제가 되지 않는다. 이러한 고려 사항과 관계없이, 다양한 연구자들은 데이터를 표시하고 분석하기 위한 여러 가지 플롯들의 적합성을 비교해왔다.

5. 매개변수 추정

다이어그램의 가장 기본이 되는 효소와 반응 속도의 관계식은 미카엘레스-멘텐 방정식으로, 효소 촉매 반응의 비율(속도) $v$를 기질 농도 $a$의 함수로 나타내는 가장 간단한 방정식이며 주로 다음과 같이 표현한다.

: $v\; =$

여기서 $V$는 기질이 포화 상태일 때의 반응 속도이며, $a$가 무한대에 가까워질 때의 한계 속도이다. $K\_\backslash mathrm\{m\}$은 미하엘리스 상수로, 반응 속도가 최대 속도의 절반($v\; =\; 0.5V$)일 때의 기질 농도 $a$ 값이다. 이디와 호프스티는 이 식을 다음과 같이 직선 형태로 변환하고자 했다. 먼저, 미카엘레스-멘텐 방정식의 양변에 역수를 취하면 라인위버-버크 방정식을 얻을 수 있다.

: $\{1\; \backslash over\; v\}\; =\; \{1\; \backslash over\; V\}\; +\; \{K\_\backslash mathrm\{m\}\; \backslash over\; V\}$ · $\{1\; \backslash over\; a\}$

이를 다시 정리하여 또 다른 직선 방정식을 만들면 다음과 같다.

: $v\; =\; V\; -\; K\_\backslash mathrm\{m\}$ · $\{v\; \backslash over\; a\}$

이 식은 $v$를 $v/a$에 대해 그래프로 그리면 세로축 절편이 $V$이고 기울기가 $-K\_\backslash mathrm\{m\}$인 직선이 됨을 보여준다 (호프스티 도표). 이디 도표에서는 축이 반대로 표시되지만 원리는 동일하다. 이 도표는 리간드 결합 실험에 사용되는 Scatchard plot^영어의 동역학적 버전으로 볼 수 있다.

미카엘리스-멘텐 방정식을 직선 형태로 변환한 다른 방법들과 마찬가지로, 이디-호프스티 도표는 과거에 $K\_\backslash mathrm\{m\}$과 $V$ 같은 매개변수를 빠르게 추정하기 위해 사용되었다. 그러나 현재는 데이터에 적절한 가중치를 부여하여 훨씬 더 정확한 결과를 얻을 수 있고 계산적으로도 더 이상 어렵지 않은 비선형 회귀 분석 방법이 주로 사용된다.

6. 실험 설계 결함 가시화

이디-호프스티 도표는 세로축이 이론적으로 가능한 모든 반응 속도($v$) 값의 범위, 즉 0에서 최대 반응 속도($V$)까지를 포함한다. 따라서 이 도표를 보면 실험 설계가 이론적인 범위 내에서 데이터를 얼마나 잘 분포시키는지 한눈에 알 수 있다. 이런 특징 때문에 실험 설계가 부실할 경우 이를 숨기기 어렵다. 반면, 다른 잘 알려진 직선 형태의 도표들은 축의 눈금을 조절하여 실제보다 설계가 더 잘 된 것처럼 보이게 만들기 쉬운 경우가 있다.

오른쪽 그림처럼, 실험 설계가 부실한 경우는 흔히 나타난다. 예를 들어 기질(substrate)이 충분히 녹지 않거나, 미카엘리스 상수($K\_\backslash mathrm\{m\}$) 값보다 높은 농도의 기질을 사용하는 것이 비용 문제 등으로 어려울 때 발생할 수 있다. 이런 경우, $V/K\_\backslash mathrm\{m\}$ 값을 정확하게 추정하기 어렵다. 반대로 기질 농도($a$) 값이 $K\_\backslash mathrm\{m\}$보다 높은 범위에 집중되는 경우(왼쪽 그림)는 상대적으로 덜 흔하지만, 예를 들어 질산염 환원 효소 연구 등에서는 관찰되기도 한다.