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이중진자

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목차

1. 개요

이중 진자는 두 개의 막대 또는 진자가 연결된 역학 시스템으로, 다양한 형태와 운동을 보이며 분석된다. 라그랑지 역학을 사용하여 운동 방정식을 유도할 수 있으며, 이 방정식은 닫힌 형식의 해가 없어 수치 적분을 통해 해석한다. 이중 진자는 초기 조건에 민감하게 반응하는 혼돈 운동을 보이며, 이는 카오스 이론을 시각적으로 보여주는 데 활용된다. 교육 및 시연 목적으로도 활용되며, 과학 원리 교육 및 카오스 이론 소개를 위한 교재로 사용된다.

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이중진자
개요
이중 진자의 애니메이션
이중 진자의 애니메이션
유형혼돈계
관련 분야역학, 동역학, 진자, 혼돈 이론
설명
정의하나의 진자 끝에 다른 진자가 연결된 형태
특징복잡한 운동 양상
초기 조건에 민감한 반응 (혼돈 현상)
운동예측 불가능한 궤적
에너지 보존
각운동량 보존
응용로봇 공학
구조 역학
지진 연구
역사19세기 후반, 수학자 및 물리학자들에 의해 연구됨
관련 개념단진자
혼돈 이론
비선형 동역학
수식
라그랑주 함수복잡한 형태 (운동 에너지 및 위치 에너지 항 포함)
운동 방정식비선형 미분 방정식
해석적인 해를 구하기 어려움
해법수치 해석적 방법 (예: 룽게-쿠타 방법)
컴퓨터 시뮬레이션
추가 정보
참고 문헌레빈 & 탄, "Double Pendulum: An experiment in chaos" (1993)
관련 연구이중 진자의 운동에 대한 다양한 연구 존재
주의사항이중 진자는 초기 조건에 매우 민감하므로, 작은 변화에도 결과가 크게 달라질 수 있음

2. 분석 및 해석

이중 진자는 두 팔의 길이, 질량, 진자의 종류(단진자, 복합 진자) 및 운동이 일어나는 차원(2차원, 3차원) 등에 따라 다양한 형태를 가질 수 있다. 일반적인 분석에서는 두 팔의 길이와 질량이 같고, 2차원 평면에서 운동하는 복합 진자로 가정한다.[4]

복합 이중 진자


복합 진자에서는 질량이 진자의 길이에 걸쳐 분포되어 있다. 이중 진자에서 질량이 균등하게 분포되어 있다면, 각 팔의 질량 중심은 팔의 중앙에 위치하며, 각 팔은 그 점에 대해 I = \frac{1}{12} m \ell^2의 관성 모멘트를 갖는다.

각 팔과 수직선 사이의 각도를 일반화 좌표로 사용하면 시스템의 구성을 편리하게 나타낼 수 있다. 이 각도는 각각 \theta_1과 \theta_2로 표시한다. 각 막대의 질량 중심 위치는 이 두 좌표를 사용하여 표현할 수 있다. 데카르트 좌표계의 원점을 첫 번째 진자가 매달린 지점으로 가정하면, 각 진자의 질량 중심은 다음과 같이 주어진다.

  • 첫 번째 진자의 질량 중심:

:x_1 = \tfrac{1}{2} \ell \sin \theta_1

:y_1 = -\tfrac{1}{2} \ell \cos \theta_1

  • 두 번째 진자의 질량 중심:

:x_2 = \ell \left ( \sin \theta_1 + \tfrac{1}{2} \sin \theta_2 \right )

:y_2 = -\ell \left ( \cos \theta_1 + \tfrac{1}{2} \cos \theta_2 \right )

2. 1. 라그랑지안

라그랑지 역학을 이용하여 이중 진자의 운동 방정식을 유도할 수 있다. 라그랑지안(Lagrangian영어)은 운동 에너지와 위치 에너지의 차이로 표현된다.

복합 이중 진자에서, 각 팔의 질량 중심 위치는 두 좌표 ''θ''1 및 ''θ''2 (각 팔과 수직선 사이의 각도)를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • 첫 번째 진자의 질량 중심:

:: x_1 = \tfrac{1}{2} \ell \sin \theta_1

:: y_1 = -\tfrac{1}{2} \ell \cos \theta_1

  • 두 번째 진자의 질량 중심:

:: x_2 = \ell \left ( \sin \theta_1 + \tfrac{1}{2} \sin \theta_2 \right )

:: y_2 = -\ell \left ( \cos \theta_1 + \tfrac{1}{2} \cos \theta_2 \right )

이때, 데카르트 좌표계의 원점은 첫 번째 진자의 매달린 지점이다.

라그랑지안 ''L''은 다음과 같이 정의된다.

:L = \text{운동 에너지} - \text{위치 에너지}

각 부분의 운동 에너지와 위치 에너지를 계산하여 대입하면, 라그랑지안은 다음과 같이 정리된다.

:L = \tfrac{1}{6} m \ell^2 \left ( \dot \theta_2^2 + 4 \dot \theta_1^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right) + \tfrac{1}{2} m g \ell \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right )

여기서 점 표기법(dot notation영어)은 해당 변수의 시간 미분을 나타낸다.

오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 운동 방정식을 유도하면 다음과 같다.

:\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_i} - \frac{\partial L}{\partial \theta_i} = 0, \quad i = 1,2

이 식을 풀면 ''θ''1과 ''θ''2에 대한 두 개의 운동 방정식을 얻을 수 있다.

  • \theta_1에 대한 운동 방정식:

: \tfrac{4}{3} \ell \ddot{\theta}_1 + \tfrac{1}{2} \ell \ddot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) + \tfrac{1}{2} \ell \dot{\theta}_2^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + \tfrac{3}{2} g \sin\theta_1 = 0

  • \theta_2에 대한 운동 방정식:

: \tfrac{1}{3} \ell \ddot{\theta}_2 + \tfrac{1}{2} \ell \ddot{\theta}_1 \cos(\theta_1 - \theta_2) - \tfrac{1}{2} \ell \dot{\theta}_1^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + \tfrac{1}{2} g \sin\theta_2 = 0

이 운동 방정식은 닫힌 형식 해가 알려져 있지 않으므로, 수치 적분을 사용하여 룬게-쿠타 방법 등으로 수치적으로만 풀 수 있다.

각 진자의 팔 끝에 질점이 있는 경우, 운동 방정식은 다음과 같다.[5]

: (m_1+m_2)l_1 \ddot \theta_1 + m_2 l_2 \ddot \theta_2 \cos(\theta_1-\theta_2) + m_2 l_2 \dot \theta_2^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + (m_1+m_2)g \sin \theta_1 = 0

: l_1 l_2 \ddot \theta_1 \cos(\theta_1-\theta_2) + l_2^2 \ddot \theta_2 - l_1 l_2 \dot \theta_1^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + g l_2 \sin \theta_2 = 0

각 진자의 팔 중간에 질점이 있는 경우, 운동 방정식은 다음과 같다.[4]

: (m_1+4m_2)l_1 \ddot \theta_1 + 2m_2 l_2 \ddot \theta_2 \cos(\theta_1-\theta_2) + 2m_2 l_2 \dot \theta_2^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + (m_1+2m_2)g \sin \theta_1 = 0

: l_2 \ddot \theta_2 +2 l_1 \ddot \theta_1 \cos(\theta_1-\theta_2) - 2 l_1 \dot \theta_1^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + g \sin \theta_2 = 0

진폭이 작고, ''m''1 = ''m''2 = ''m'', ''l''1 = ''l''2 = ''l'' 인 경우, 운동은 2개의 고유 진동의 덧셈으로 표현되며, 각 고유 진동수 ''ω''1, ''ω''2는 다음과 같다.[5]

: \omega_1 = \sqrt{2-\sqrt{2}} \sqrt{\frac{g}{l}} = 0.765 \sqrt{\frac{g}{l}}

: \omega_2 = \sqrt{2+\sqrt{2}} \sqrt{\frac{g}{l}} = 1.848 \sqrt{\frac{g}{l}}

2. 2. 운동 방정식

라그랑지안을 이용하여 이중 진자의 운동 방정식을 유도할 수 있다. 이중 진자의 운동 방정식은 시간에 대한 각도(θ₁, θ₂)를 나타내는 비선형 미분 방정식이다.

먼저, 라그랑지안(L)은 운동 에너지와 위치 에너지의 차이로 정의된다.

:L = \text{운동 에너지} - \text{위치 에너지}

이 식에 이중 진자의 운동 에너지와 위치 에너지를 대입하여 정리하면, 라그랑지안은 다음과 같이 표현된다.

:

L = \tfrac{1}{6} m \ell^2 \left (

\dot \theta_2^2 + 4 \dot \theta_1^2

+ 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2)

\right)

+ \tfrac{1}{2} m g \ell \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).



여기서 점 표기법은 해당 변수의 시간 미분을 나타낸다.

오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_i} - \frac{\partial L}{\partial \theta_i} = 0, \quad i = 1,2.



이 식에 위에서 구한 라그랑지안을 대입하여 θ₁과 θ₂ 각각에 대해 편미분하고 정리하면, 다음과 같은 두 개의 운동 방정식을 얻을 수 있다.

  • θ₁에 대한 운동 방정식:


:

\tfrac{4}{3} \ell \ddot{\theta}_1 + \tfrac{1}{2} \ell \ddot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) + \tfrac{1}{2} \ell \dot{\theta}_2^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + \tfrac{3}{2} g \sin\theta_1 = 0.


  • θ₂에 대한 운동 방정식:


:

\tfrac{1}{3} \ell \ddot{\theta}_2 + \tfrac{1}{2} \ell \ddot{\theta}_1 \cos(\theta_1 - \theta_2) - \tfrac{1}{2} \ell \dot{\theta}_1^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + \tfrac{1}{2} g \sin\theta_2 = 0.



이 운동 방정식은 폐쇄 형식 해가 알려져 있지 않다. 따라서 수치 적분을 사용하여 룬게-쿠타 방법과 같은 방법을 통해 운동을 분석한다.[5][4]
진자 모델에 따른 운동 방정식| 모델 | θ₁에 대한 운동 방정식 | θ₂에 대한 운동 방정식 |

| -------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |

| 각 진자의 팔 끝에 질점이 존재하는 모델(단진자를 연결한 모델)[5] | (m_1+m_2)l_1 \ddot \theta_1 + m_2 l_2 \ddot \theta_2 \cos(\theta_1-\theta_2) + m_2 l_2 \dot \theta_2^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + (m_1+m_2)g \sin \theta_1 = 0 | l_1 l_2 \ddot \theta_1 \cos(\theta_1-\theta_2) + l_2^2 \ddot \theta_2 - l_1 l_2 \dot \theta_1^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + g l_2 \sin \theta_2 = 0 |

| 각 진자의 팔 중간에 질점이 존재하는 모델(물리 진자를 연결한 모델)[4] | (m_1+4m_2)l_1 \ddot \theta_1 + 2m_2 l_2 \ddot \theta_2 \cos(\theta_1-\theta_2) + 2m_2 l_2 \dot \theta_2^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + (m_1+2m_2)g \sin \theta_1 = 0 | l_2 \ddot \theta_2 +2 l_1 \ddot \theta_1 \cos(\theta_1-\theta_2) - 2 l_1 \dot \theta_1^2 \sin(\theta_1-\theta_2) + g \sin \theta_2 = 0 |

여기서,

  • θ₁, θ₂: 각 진자의 각도
  • m₁, m₂: 각 질량
  • l₁, l₂: 각 진자의 길이
  • g: 중력 가속도


이며, ˙는 시간 ''t''에 대한 1계 미분, ¨는 ''t''에 대한 2계 미분을 나타낸다.

진폭이 작고, ''m''1 = ''m''2 = ''m'', ''l''1 = ''l''2 = ''l''인 경우, 운동은 2개의 고유 진동의 덧셈으로 표시되며, 각 고유 진동수 ''ω''1, ''ω''2는 다음과 같이 얻어진다.[5]

: \omega_1 = \sqrt{2-\sqrt{2}} \sqrt{\frac{g}{l}} = 0.765 \sqrt{\frac{g}{l}}

: \omega_2 = \sqrt{2+\sqrt{2}} \sqrt{\frac{g}{l}} = 1.848 \sqrt{\frac{g}{l}}

3. 혼돈 운동

초기 조건에 따른 이중 진자가 뒤집히는 시간의 그래프


right(LED)로 추적하여 혼돈 운동을 보이는 이중 진자의 장시간 노출]]

거의 동일한 시작 조건을 가진 세 개의 이중 진자가 시간이 지남에 따라 발산하여 시스템의 혼돈스러운 특성을 보여준다.


이중 진자는 혼돈 운동을 보이며, 초기 조건에 민감하게 반응한다. 오른쪽 그림은 정지 상태에서 시작했을 때 초기 위치에 따라 진자가 뒤집히기까지 걸리는 시간을 나타낸다. 여기서 θ1의 초기 값은 x 방향으로 -3.14에서 3.14까지, θ2의 초기 값은 y 방향으로 -3.14에서 3.14까지이다. 각 픽셀의 색깔은 다음 시간 안에 진자가 뒤집히는지 여부를 나타낸다.

  • \sqrt{\frac{\ell}{g}} (검정)
  • 10\sqrt{\frac{\ell}{g}} (빨강)
  • 100\sqrt{\frac{\ell}{g}} (녹색)
  • 1000\sqrt{\frac{\ell}{g}} (파랑)
  • 10000\sqrt{\frac{\ell}{g}} (보라)


10000\sqrt{\frac{\ell}{g}} 안에 뒤집히지 않는 초기 조건은 흰색으로 표시된다.

가운데 흰색 영역의 경계는 에너지 보존 법칙에 따라 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

:3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 = 2.

이 식으로 정의된 영역 안, 즉

:3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 > 2,

에서는 진자가 뒤집히는 것이 에너지 보존 법칙에 어긋난다. 이 영역 밖에서는 진자가 뒤집힐 수 있지만, 언제 뒤집힐지는 예측하기 어렵다. 이러한 현상은 분산 질량을 가진 두 막대가 아닌 두 개의 점 질량으로 구성된 이중 진자에서도 비슷하게 나타난다.[2]

3. 1. 한국에서의 활용

이중 진자는 건물의 조화 질량 댐퍼 설계에 응용될 수 있는데, 건물 자체가 기본 진자 역할을 하고 보조 질량을 연결하여 이중 진자 시스템을 구성한다.[2]

4. 교육 및 시연

이중 진자는 카오스 이론을 시각적으로 보여주는 효과적인 교구이다. 실물 제작이 비교적 쉬워 과학 교육 현장에서 많이 활용된다. 특히 그 운동의 시각적인 재미 때문에 초·중·고등학생을 대상으로 과학에 대한 흥미를 유발하는 시연 실험 교재로도 자주 채택된다.[6][7] 공익 법인이나 대학이 주최하는 테크노 페스타, 사이언스 페스타에서 실물 이중 진자를 사용한 시연 실험이 진행되고 있다.[7]

4. 1. 제작 시 유의점

이중 진자 끝에 부착된 LED 램프 궤적의 장시간 노출 사진


카오스 이론 입문을 위한 강의용 교재로 이중 진자가 많이 채택된다. 카오스 명명자 중 한 명인 수학자 제임스 A. 요크도 초보자 대상 강의에서 실물 이중 진자를 교재로 사용했다. 잘 움직이는 실물을 제작할 때는 이중 진자의 운동 에너지를 최대한 감쇠시키지 않는 궁리가 필요하다. 예를 들어, 연결 부분에서 큰 마찰이 발생하지 않도록 베어링을 넣거나, 미끄러운 플라스틱 소재를 사용하는 등의 궁리가 채택된다. 비디오 카메라로 촬영할 때는 진자 끝에 LED 조명 등을 부착하여 진자의 궤도를 더 쉽게 알 수 있도록 하는 궁리도 채택된다.

4. 2. 한국에서의 교육적 활용

이중 진자는 카오스 이론 입문 강의용 교재로 많이 채택된다. James A. Yorke도 초보자 대상 강의에서 이중 진자를 교재로 사용했다.[1] 이중 진자는 과학에 대한 흥미를 유발하는 시연 실험 교재로도 자주 채택된다.[6][7] 테크노 페스타, 사이언스 페스타에서 이중 진자를 사용한 시연 실험이 진행되고 있다.[7] 초등학생을 대상으로 간이 이중 진자 제작 및 실험 연구도 진행되었는데, 대부분의 학생이 이중 진자의 운동에 흥미를 느꼈다는 결과가 나왔다.[6]

참조

[1] 논문 Double Pendulum: An experiment in chaos
[2] 문서 Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum https://drive.google[...] 2013
[3] 서적 機械工学辞典 丸善 2007-01-20
[4] 서적 基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ サイエンス社
[5] 서적 機械工学基礎講座 工業力学 理工学社 2003-01-25
[6] 논문 簡易二重振り子による教材研究 https://doi.org/10.1[...] 日本物理学会
[7] 논문 二重振り子におけるカオス https://doi.org/10.1[...] 静岡大学技術部


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