질량 중심

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1. 개요

질량 중심은 물체의 질량 분포를 나타내는 중요한 개념으로, 물체의 운동을 분석하고 여러 물체 간의 상호작용을 다룰 때 활용된다. 고대 그리스 시대부터 연구되었으며, 뉴턴의 운동 법칙과 관련하여 재구성되었다. 질량 중심은 입자계와 연속체 모두에서 정의되며, 입자계의 경우 각 입자의 위치에 질량을 가중 평균하여 계산하고, 연속체의 경우 밀도를 고려하여 부피 적분을 통해 계산한다. 질량 중심은 중력의 합력 작용점인 무게 중심과 균일한 중력장에서는 일치하지만, 불균일한 중력장에서는 차이가 발생할 수 있다. 질량 중심은 천문학, 공학, 스포츠, 의학, 로봇공학, 게임 개발 등 다양한 분야에서 응용되며, 구조물의 안정성 설계, 로봇의 안정적인 보행, 인체의 균형 분석 등에 활용된다.

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질량 중심

2. 역사

질량 중심 개념은 고대 그리스 시대부터 연구되었다. 아르키메데스는 중력에 대한 단순화된 가정을 통해 질량 중심의 수학적 속성을 찾아냈고, 알렉산드리아의 헤론, 알렉산드리아의 파푸스 등도 질량 중심 이론에 기여했다. 르네상스와 과학 혁명 시대를 거치면서 귀도 우발디, 프란체스코 마우로리코,^[2] 페데리코 코만디노,^[2] 에반젤리스타 토리첼리, 시몬 스테빈,^[2] 루카 발레리오,^[2] 장 샤를 드 라 파이유, 파울 굴딘,^[2] 존 윌리스, 크리스티안 호이겐스,^[2] 루이 카레, 피에르 바리뇽, 알렉시 클레로 등 여러 학자들이 이 개념을 더욱 발전시켰다.^[2] 근대에는 뉴턴의 제2법칙이 오일러의 제1법칙에서 질량 중심과 관련하여 재구성되었다.^[2]

2. 1. 고대 그리스 시대

무게에 대한 개념은 고대 그리스의 수학자, 물리학자, 공학자인 아르키메데스에 의해 광범위하게 연구되었다. 그는 균일한 장에 해당하는 중력에 대한 단순화된 가정을 사용하여, 현재 우리가 질량 중심이라고 부르는 것의 수학적 속성에 도달했다. 아르키메데스는 레버의 여러 지점에 놓인 무게에 의해 레버에 가해지는 토크는 모든 무게가 하나의 지점, 즉 질량 중심으로 옮겨졌을 때와 같다는 것을 보여주었다. 그의 저서 ''부유하는 물체에 관하여''에서 아르키메데스는 부유하는 물체의 방향은 질량 중심을 가능한 한 낮게 만드는 것이라고 증명했다. 그는 다양한 잘 정의된 모양의 균일한 밀도를 가진 물체의 질량 중심을 찾는 수학적 기법을 개발했다.^[1]

질량 중심 이론에 기여한 다른 고대 수학자로는 알렉산드리아의 헤론과 알렉산드리아의 파푸스가 있다.

2. 2. 르네상스 및 과학 혁명 시대

르네상스와 과학 혁명 시대에 귀도 우발디, 프란체스코 마우로리코,^[2] 페데리코 코만디노,^[2] 에반젤리스타 토리첼리, 시몬 스테빈,^[2] 루카 발레리오,^[2] 장 샤를 드 라 파이유, 파울 굴딘,^[2] 존 윌리스, 크리스티안 호이겐스,^[2] 루이 카레, 피에르 바리뇽, 알렉시 클레로가 질량 중심 개념을 확장했다.^[2]

2. 3. 근대 이후

뉴턴의 제2법칙은 오일러의 제1법칙에서 질량 중심과 관련하여 재구성된다.^[2]

3. 정의

질량 중심은 입자계의 위치를 평균으로 정의하는 값으로, 주어진 점을 기준으로 한 가중 위치 벡터의 합이 0이 되는 유일한 점이다. 통계학적으로는 공간 상의 질량 분포의 평균 위치에 해당한다.

수학적으로 표현하면, 도형 ''D''와 그 주변의 각 점 x가 밀도 f(x)를 가질 경우, 그 중심 g는 다음 식을 만족한다.

: $\int_D (\mathbf{g - x})f(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} = \mathbf{0}$

여기서 g는 D 밖의 점일 수도 있다.

밀도가 일정한 경우 질량 중심은 도형의 중심과 일치한다. 단순체의 경우, 모든 꼭짓점의 각 좌표값의 산술 평균을 좌표값으로 갖는 점이 된다. 예를 들어, 삼각형의 각 꼭짓점과 대변의 중점을 잇는 선분(중선)의 교점은 삼각형의 질량 중심과 일치한다.

물체를 중력 하에서 매달았을 때, 매달린 축선상에 질량 중심이 위치하는 원리를 이용하여 질량 중심을 찾을 수 있다.

"질량 중심"은 "그 질량에 대하여 다른 물체로부터 작용하는 만유 인력(중력)의 합력의 작용점", 즉 "무게 중심"과 중력이 완전히 균일한 경우에만 일치한다. 예를 들어 지구처럼 중력이 균일하지 않은 경우, 인공위성의 안정성을 분석할 때는 질량 중심과 무게 중심의 미세한 차이로 인해 발생하는 토크를 고려해야 한다.

3. 1. 입자계

입자계의 질량 중심 '''R'''은 위치의 평균으로 정의된다.

:

\mathbf{R} = { \sum m_i \mathbf{r}_i \over \sum m_i }

입자계 에서 각 입자는 질량 를 가지며, 공간에서 좌표 로 위치한다. 질량 중심의 좌표 '''R'''는 다음을 만족한다.

:

\sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) = \mathbf{0}.

이 방정식을 '''R'''에 대해 풀면 다음 공식을 얻는다.

:

\mathbf{R}={\sum_{i=1}^n m_i \mathbf{r}_i\over\sum_{i=1}^n m_i }.

3. 2. 연속체

질량 밀도

\rho(\mathbf{r})

을 가지는 연속적인 질량 분포의 경우, 질량 중심 '''R'''은 다음 식으로 주어진다.

:

\mathbf R = \frac 1 M \iiint_{Q}\rho(\mathbf{r}) \mathbf{r} \, dV,

여기서 '''M'''은 물체의 총 질량이고, Q는 물체의 부피를 나타낸다. 이 식은 질량 중심이 각 점의 위치 '''r'''에 대해 밀도

\rho(\mathbf{r})

로 가중 평균한 값임을 의미한다.

만약 연속적인 질량 분포가 균일한 밀도를 가지면, 즉 ''ρ''가 상수이면, 질량 중심은 부피의 도심과 같게 된다.

도형의 "질량 중심"은 그 주위에서의 1차 모멘트가 0인 점이다. 수식을 사용하여 쓰면, 도형 ''D''에 대하여 점 '''g'''가 ''D''의 질량 중심이라고 하는 것은 다음이 성립하는 것이다.

:

\int_D (\boldsymbol{g} - \boldsymbol{r})\,dV = \boldsymbol{0}.

또한, 도형 ''D'' (및 그 주변)의 각 점 '''r'''이 밀도 ''f''('''r''')을 갖는다면, 그 질량 중심 '''g'''는,

:

\int_D (\boldsymbol{g} - \boldsymbol{r})f(\boldsymbol{r})\,dV = \boldsymbol{0}

을 만족하는 점 '''g'''이다 (물론 '''g'''가 ''D'' 외부의 점일 수도 있다).

밀도가 일정한 경우는 도형의 중심과 일치한다. 이것은 단순체에 한정하여 말하자면, 모든 꼭짓점의 각 좌표값의 산술 평균을 그 좌표값으로 갖는 점이다. 예시로, 삼각형의 각 꼭짓점과 대변의 중점을 잇는 선분 (중선)의 교점은 그 삼각형의 질량 중심과 일치한다.

이 점을 쉽게 찾는 방법으로는, 중력 하에서 물체의 단점에서 매달았을 때, 매달린 축선상에 질량 중심이 지나가는 것을 이용하는 것이 있다.

3. 3. 질량 중심 좌표계

입자계의 질량 중심 '''R'''은 위치 벡터 '''r'''_i의 평균으로 정의된다.

:'''R''' = (∑ m_i'''r'''_i) / (∑ m_i)

질량이 각각 ''m''₁과 ''m''₂인 두 입자계 ''P''₁과 ''P''₂의 질량 중심 '''R'''의 좌표는 다음과 같이 주어진다.

:'''R''' = (m₁'''r'''₁ + m₂'''r'''₂) / (m₁ + m₂)

두 입자 사이에서 총 질량의 백분율이 100% ''P''₁과 0% ''P''₂에서 50% ''P''₁과 50% ''P''₂를 거쳐 0% ''P''₁과 100% ''P''₂로 변하면 질량 중심 '''R'''은 ''P''₁에서 ''P''₂까지의 선을 따라 이동한다. 각 지점에서의 질량 백분율은 이 선 위의 점 '''R'''의 사영 좌표로 볼 수 있으며, 이를 질량 중심 좌표라고 한다. 여기서 이 과정을 해석하는 또 다른 방법은 임의의 점에 대한 모멘트의 기계적 균형이다. 분자는 총 모멘트를 제공하며, 이 모멘트는 질량 중심에서 등가적인 총 힘에 의해 균형을 이룬다. 이는 평면 및 공간에서 사영 좌표를 정의하기 위해 각각 세 점과 네 점으로 일반화할 수 있다.

3. 4. 주기적 경계 조건

주기적 경계 조건을 가진 시스템의 입자의 경우, 두 입자는 시스템의 반대편에 있어도 이웃일 수 있다. 이는 무작위 위치에 클러스터가 형성되고 때로는 인접한 원자가 주기적 경계를 넘는 경우(예: 분자동역학 시뮬레이션)에 자주 발생한다. 클러스터가 주기적 경계를 가로지를 때, 질량 중심을 단순하게 계산하면 오류가 발생한다. 주기적 시스템의 질량 중심을 계산하는 일반적인 방법은 각 좌표(x, y, z)를 선이 아닌 원 위에 있는 것처럼 취급하는 것이다. 이 계산은 각 입자의 x 좌표를 가져와서 각도로 매핑한다.

:

\theta_i = \frac{x_i}{x_\max} 2 \pi

여기서 ''x''_max는 ''x'' 방향의 시스템 크기이고

x_i \in [0, x_\max)

이다. 이 각도에서 두 개의 새로운 점

(\xi_i, \zeta_i)

를 생성할 수 있으며, 질량 중심에 대해 입자의 질량

x_i

로 가중치를 부여하거나 기하학적 중심에 대해 1의 값을 부여할 수 있다.

:

\begin{align}\xi_i &= \cos(\theta_i) \\\zeta_i &= \sin(\theta_i)\end{align}

(\xi, \zeta)

평면에서, 이러한 좌표는 반지름이 1인 원 위에 있다. 모든 입자로부터

\xi_i

와

\zeta_i

값의 집합으로부터 평균

\overline{\xi}

와

\overline{\zeta}

가 계산된다.

:

\begin{align}\overline{\xi} &= \frac 1 M \sum_{i=1}^n m_i \xi_i, \\\overline{\zeta} &= \frac 1 M \sum_{i=1}^n m_i \zeta_i,\end{align}

여기서 M은 모든 입자의 질량의 합이다.

이 값들은 새로운 각도

\overline{\theta}

로 다시 매핑되어, 여기서 질량 중심의 ''x'' 좌표를 얻을 수 있다.

:

\begin{align}\overline{\theta} &= \operatorname{atan2}\left(-\overline{\zeta}, -\overline{\xi}\right) + \pi \\x_\text{com} &= x_\max \frac{\overline{\theta}}{2 \pi}\end{align}

이 과정은 시스템의 모든 차원에 대해 반복하여 전체 질량 중심을 결정할 수 있다. 이 알고리즘의 유용성은 추측하거나 클러스터 분석을 사용하여 주기적 경계를 가로지르는 클러스터를 "펼치는" 대신, 수학적으로 "최적의" 질량 중심 위치를 결정할 수 있게 해준다는 것이다. 두 평균값 모두 0, 즉

\left(\overline{\xi}, \overline{\zeta}\right) = (0, 0)

이면

\overline{\theta}

는 정의되지 않는다. 이것은 정확한 결과인데, 모든 입자가 정확히 균등하게 간격을 두고 있을 때만 발생하기 때문이다. 이 조건에서, 그들의 ''x'' 좌표는 주기적 시스템에서 수학적으로 동일하다.

4. 무게 중심

무게 중심은 어떤 물체에 작용하는 중력의 합력이 작용하는 점이다.^[3] 균일한 중력장에서는 무게 중심과 질량 중심이 일치한다. 하지만, 행성 주위를 도는 위성과 같이 중력장이 균일하지 않은 경우에는 두 중심이 다를 수 있다.^[4]

예를 들어 삼각형의 경우, 세 중선이 만나는 점이 무게 중심이 되며, 각 중선을 2:1로 내분하는 지점이다.

그림	설명
--	삼각형의 중선과 무게 중심
--	사각형의 중선과 무게 중심

4. 1. 불균일장 내의 무게 중심

물체의 무게 중심은 중력에 의한 합력 토크가 사라지는 지점이다.^[3] 중력장을 균일하다고 간주할 수 있는 경우, 질량 중심과 무게 중심은 동일하다. 그러나 행성 주위를 공전하는 위성의 경우처럼, 위성에 가해지는 다른 토크가 없는 상태에서 행성과 가까울수록 중력이 강하고 멀수록 약해지는 중력장의 작은 변화(기울기)는 위성의 긴 축이 수직이 되도록 정렬하려는 토크를 발생시킬 수 있다. 이러한 경우, 무게 중심과 질량 중심을 구별하는 것이 중요하다.^[4] 두 지점 사이에 수평적인 오프셋이 있으면 토크가 가해진다.

질량 중심은 주어진 강체(예: 슬로시나 관절이 없는)에 대해 고정된 속성이지만, 무게 중심은 비균일 중력장에서의 방향에 따라 달라질 수 있다. 후자의 경우, 무게 중심은 질량 중심과 비교하여 항상 주된 인력체(여기서는 행성)에 약간 더 가깝게 위치하며, 따라서 물체의 방향이 변경됨에 따라 관심 대상 물체 내에서 위치가 변경된다.

강체에 대한 기준점을 무게 중심으로 선택하면, 중력에 의해 물체가 회전하지 않으며, 이는 물체의 무게가 질량 중심에 집중된 것으로 간주될 수 있음을 의미한다.

4. 2. 역학에서의 중요성

물체의 무게 중심은 중력에 의한 합력 토크가 사라지는 지점이다.^[3] 중력장을 균일하다고 간주할 수 있는 경우, 질량 중심과 무게 중심은 동일하다. 그러나 행성 주위를 공전하는 위성의 경우, 위성에 가해지는 다른 토크가 없는 상태에서, 행성과 가까울수록 중력이 강하고 멀수록 약해지는 중력장의 작은 변화(기울기)는 위성의 긴 축이 수직이 되도록 정렬하려는 토크를 발생시킬 수 있다. 이러한 경우, 무게 중심과 질량 중심을 구별하는 것이 중요하다.^[4]

질량 중심은 주어진 강체에 대해 고정된 속성이지만, 무게 중심은 비균일 중력장에서의 방향에 따라 달라질 수 있다. 무게 중심은 질량 중심과 비교하여 항상 주된 인력체에 약간 더 가깝게 위치하며, 물체의 방향이 변경됨에 따라 관심 대상 물체 내에서 위치가 변경된다.

항공기, 차량 및 선박의 역학 연구에서 힘과 모멘트는 질량 중심을 기준으로 분해되어야 한다. 이는 중력 자체가 고려 사항인지 여부와 관계없이 사실이다. 질량 중심을 무게 중심이라고 지칭하는 것은 구어체적인 표현이지만, 일반적으로 사용되며 중력 기울기 효과가 무시할 수 있을 때 무게 중심과 질량 중심은 동일하며 상호 교환하여 사용된다.

물리학에서 질량 분포를 모델링하기 위해 질량 중심을 사용하는 이점은 연속체의 중력에 의한 합력을 고려하여 알 수 있다. 강체에 대한 기준점을 무게 중심으로 선택하면, 중력에 의해 물체가 회전하지 않으며, 이는 물체의 무게가 질량 중심에 집중된 것으로 간주될 수 있음을 의미한다.

5. 선형 및 각운동량

입자 집합의 선형 및 각운동량은 질량 중심에 대한 입자의 위치와 속도를 측정하여 단순화할 수 있다. 질량 ''m_i''인 ''n''개의 입자 시스템 ''P_i'' (''i'' = 1, ..., ''n'')가 좌표 '''r'''_''i''에 위치하고 속도 '''v'''_''i''를 갖는다고 가정하고, 기준점 '''R'''을 선택하여 상대 위치 및 속도 벡터를 계산하면 다음과 같다.

: $\mathbf{r}_i = (\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \mathbf{R}, \quad \mathbf{v}_i = \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \mathbf{v}.$

'''R'''을 질량 중심으로 선택하면, 시스템의 총 선형 운동량 ('''p''') 및 각운동량 ('''L''') 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

: $\mathbf{p} = m\mathbf{v},\quad \mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) \times \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{R} \times \mathbf{v}$

여기서 ''m''은 모든 입자의 총 질량이다.

5. 1. 운동량 보존 법칙

운동량 보존 법칙은 외부 힘을 받지 않는 모든 시스템에서 시스템의 운동량이 일정하게 유지되어 질량 중심이 일정한 속도로 움직인다고 예측한다. 이는 자기장, 전기장, 화학 반응 등을 포함한 모든 시스템에 적용된다. 보다 공식적으로는 뉴턴의 제3운동 법칙에 따라 상쇄되는 모든 내부 힘에 대해 참이다.^[1]

''m_i''인 ''n''개의 입자 시스템 ''P_i'' (''i'' = 1, ..., ''n'')가 좌표 '''r'''_''i''에 위치하고 속도 '''v'''_''i''를 갖는다고 가정하고, 기준점 '''R'''을 선택하여 상대 위치 및 속도 벡터를 계산하면 다음과 같다.

:

\mathbf{r}_i = (\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \mathbf{R}, \quad \mathbf{v}_i = \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \mathbf{v}.

시스템의 총 선형 운동량 및 각운동량은 다음과 같다.

:

\mathbf{p} = \frac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i - \mathbf{R})\right) + \left(\sum_{i=1}^n m_i\right) \mathbf{v},

:

\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) \times \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \left(\sum_{i=1}^n m_i \right) \left[\mathbf{R} \times \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + (\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) \times \mathbf{v} \right] + \left(\sum_{i=1}^n m_i \right)\mathbf{R} \times \mathbf{v}

'''R'''을 질량 중심으로 선택하면 다음 방정식이 단순화된다.

:

\mathbf{p} = m\mathbf{v},\quad \mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) \times \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) + \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{R} \times \mathbf{v}

여기서 ''m''은 모든 입자의 총 질량이고, '''p'''는 선형 운동량이며, '''L'''은 각운동량이다.

6. 질량 중심의 결정

물체의 질량 중심은 실험과 수학적 방법으로 결정할 수 있다.
실험적 방법물체에 작용하는 중력을 이용해 질량 중심을 찾는다. 지구 표면 근처에서는 질량 중심과 무게 중심이 거의 같다는 점을 이용한다.^[5]

대칭성 이용: 대칭축이 있고 밀도가 일정한 물체의 질량 중심은 대칭축 위에 있다. 예를 들어 밀도가 일정한 원통의 질량 중심은 원통 축 위에 있으며, 구대칭 물체의 질량 중심은 구의 중심에 있다.
매달기 방법: 물체를 한 점에서 매달았을 때, 매달린 축 선상에 질량 중심이 놓인다. 이 원리를 이용하여 물체를 여러 지점에서 매달아 수직선을 그리면, 그 선들이 만나는 점이 질량 중심이 된다.

수학적 방법도형의 질량 중심은 그 주위에서의 1차 모멘트가 0이 되는 점이다. 도형 ''D''의 질량 중심 '''g'''는 다음 식으로 표현할 수 있다.

:

\int_D (\boldsymbol{g} - \boldsymbol{r})\,dV = \boldsymbol{0}.

만약 도형 ''D''의 각 점 '''r'''이 밀도 ''f''('''r''')을 가진다면, 질량 중심 '''g'''는 다음 식을 만족한다.

:

\int_D (\boldsymbol{g} - \boldsymbol{r})f(\boldsymbol{r})\,dV = \boldsymbol{0}

밀도가 일정한 경우, 질량 중심은 도형의 중심과 같고, 단순체에서는 모든 꼭짓점 좌표값의 산술 평균으로 구할 수 있다.
참고:질량 중심은 "그 질량에 대하여 다른 물체로부터 작용하는 만유인력(중력)의 합력의 작용점"인 "무게 중심"과 중력이 완전히 균일한 경우에만 일치한다. 예를 들어, 지구와 같이 중력이 균일하지 않은 곳에서는 인공위성의 안정성을 논할 때 질량 중심과 무게 중심의 미세한 차이로 인해 발생하는 토크를 고려해야 한다.

6. 1. 2차원

2차원 물체의 질량 중심은 중력에 의한 알짜 토크가 0인 점이다. 삼각형의 경우 세 중선의 교점으로, 한 중선을 2:1로 내분하는 점이 질량 중심이다.

그림	설명
--	삼각형의 중선과 무게중심
--	사각형의 중선과 무게중심

복잡한 평면 물체의 경우, 다림줄을 이용해 질량 중심을 찾을 수 있다.

단계	그림	설명
1		임의의 2차원 모형
2		다림줄을 놓고 그 위치에 O 표하기
3		다림줄을 다시 놓고 O 표하기. 두 선의 교점이 중력의 중심

물체를 두 지점에서 매달아 수직선을 늘어뜨려 두 선의 교차점을 찾는 방식으로 질량 중심을 실험적으로 구할 수 있다.

대칭축이 있고 밀도가 일정한 물체의 질량 중심은 축 위에 있다. 예를 들어 밀도가 일정한 원통의 질량 중심은 원통의 축 위에, 구대칭 물체는 구의 중심에 있다.

모양이 복잡한 경우, 더 간단한 모양으로 세분하여 각 부분의 질량 중심을 찾고 가중 평균을 구하여 전체 질량 중심을 결정할 수 있다.

적분기를 사용하여 불규칙한 2차원 모양의 도심 또는 질량 중심의 위치를 찾을 수도 있다.

도형의 질량 중심은 그 주위에서의 1차 모멘트가 0인 점이다. 도형 ''D''의 질량 중심 '''g'''는 다음을 만족한다.

: $\int_D (\boldsymbol{g} - \boldsymbol{r})\,dV = \boldsymbol{0}.$

밀도 ''f''('''r''')을 갖는 경우, 질량 중심 '''g'''는 다음을 만족한다.

: $\int_D (\boldsymbol{g} - \boldsymbol{r})f(\boldsymbol{r})\,dV = \boldsymbol{0}$

밀도가 일정한 경우 질량 중심은 도형의 중심과 일치하며, 단순체의 경우 모든 꼭짓점 좌표값의 산술 평균이다. 예를 들어 삼각형의 질량 중심은 세 중선의 교점이다.

물체를 매달았을 때 매달린 축선상에 질량 중심이 위치하는 성질을 이용해 질량 중심을 쉽게 찾을 수 있다.

질량 중심은 다른 물체로부터 작용하는 만유 인력(중력) 합력의 작용점인 무게 중심과 중력이 균일한 경우에만 일치한다.

6. 2. 3차원

물체의 질량 중심은 실험적으로 결정할 수 있다. 물체에 작용하는 중력의 힘을 이용하며, 지구 표면 근처의 평행 중력장 내에서 질량 중심은 무게 중심과 같다는 사실에 기반한다.

대칭축이 있고 밀도가 일정한 물체의 질량 중심은 이 축 위에 놓여야 한다. 밀도가 일정한 원통의 질량 중심은 원통의 축 위에 있다. 마찬가지로, 밀도가 일정한 구대칭 물체의 질량 중심은 구의 중심에 있다. 일반적으로, 물체의 어떤 대칭성에 대해서든, 그 질량 중심은 그 대칭성의 고정된 점이 될 것이다.^[5]

3차원 좌표를 찾는 실험적 방법은 세 점에서 물체를 지지하고 물체의 무게에 저항하는 힘 '''F'''₁, '''F'''₂, '''F'''₃을 측정하는 것으로 시작한다. 여기서

\mathbf{W} = -W\mathbf{\hat{k}}

(

\mathbf{\hat{k}}

는 수직 방향의 단위 벡터)이다. '''r'''₁, '''r'''₂, '''r'''₃을 지지점의 위치 좌표라고 하면, 질량 중심의 좌표 '''R'''은 합 토크가 0이라는 조건을 만족한다. 즉,

:

\mathbf{T} = (\mathbf{r}_1 - \mathbf{R}) \times \mathbf{F}_1 + (\mathbf{r}_2 - \mathbf{R}) \times \mathbf{F}_2 + (\mathbf{r}_3 - \mathbf{R}) \times \mathbf{F}_3 = 0,

또는

:

\mathbf{R} \times \left(-W\mathbf{\hat{k}}\right) = \mathbf{r}_1 \times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2 \times \mathbf{F}_2 + \mathbf{r}_3 \times \mathbf{F}_3

이다. 이 방정식은 수평면에서 질량 중심 '''R'''*의 좌표를 다음과 같이 나타낸다.

:

\mathbf{R}^* = -\frac{1}{W} \mathbf{\hat{k}} \times (\mathbf{r}_1 \times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2 \times \mathbf{F}_2 + \mathbf{r}_3 \times \mathbf{F}_3).

질량 중심은 다음과 같은 수직선 '''L''' 위에 놓인다.

:

\mathbf{L}(t) = \mathbf{R}^* + t\mathbf{\hat{k}}.

질량 중심의 3차원 좌표는 물체가 두 개의 다른 수평면을 통과하도록 배치되어 이러한 힘이 측정되도록 이 실험을 두 번 수행하여 결정된다. 질량 중심은 두 실험에서 얻은 두 선 '''L'''₁과 '''L'''₂의 교차점이 된다.

7. 응용

질량 중심 개념은 다양한 분야에서 응용된다.

'''천문학''': 천문학 및 천체물리학에서 질량 중심은 두 물체가 서로 균형을 이루는 지점으로, 흔히 '공통 질량 중심'이라고 불린다. 두 개 이상의 천체가 서로 공전할 때 이 공통 질량 중심을 기준으로 회전한다. 위성이 행성을 공전하거나 행성이 별을 공전할 때, 실제로 두 물체는 더 큰 물체의 중심에서 약간 떨어진 지점을 중심으로 공전한다.^[1] 예를 들어, 달은 지구의 중심이 아니라 지구 표면 아래 약 1,710 km 지점을 중심으로 공전하는데, 이 지점이 바로 지구와 달의 질량이 균형을 이루는 곳이다. 명왕성과 카론처럼 질량이 비슷한 경우에는 질량 중심이 두 천체 바깥에 위치하기도 한다.

천체역학에서 두 개의 구형 천체의 질량 중심과 궤도는 다음과 같은 패턴을 보인다.

	질량이 거의 같은 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (예: 소행성 안티오페계)
	질량이 조금 다른 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (예: 명왕성과 카론계)
	질량이 어느 정도 다른 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (예: 지구와 달의 계)
	질량이 거의 같은 두 천체가 같은 중심 주위를 타원 궤도를 그리며 공전한다. (예: 쌍성 센타우루스자리 알파의 공전 형태)

천체역학에서 질량 차이가 압도적인 두 천체가 같은 중심 주위를 공전하는 예시로 태양과 지구의 계를 들 수 있다. 하지만, 태양과 목성의 질량 중심은 태양의 중심에서 약간 벗어난 지점에 위치한다. 이는 목성의 질량이 다른 행성들에 비해 매우 크기 때문이다.

'''리깅 및 안전''': 리깅 시 질량 중심의 위치를 아는 것은 매우 중요하며, 잘못된 판단은 심각한 부상이나 사망으로 이어질 수 있다. 질량 중심이 들어 올리는 지점과 같거나 위에 있으면 전복 사고가 발생할 가능성이 높다.
'''인체 운동''': 인체 운동 분석에서 질량 중심은 운동역학 및 생체역학적으로 인간의 운동을 이해하는 데 중요한 매개변수로 활용된다.^[9]^[10]
'''최적화''': 무게중심법은 가능한 영역의 무게중심을 사용하는 볼록 최적화 방법이다.

7. 1. 공학 설계

엔지니어는 스포츠카의 질량 중심을 낮게 설계하여 차량이 더 잘 조종될 수 있도록 노력하는데, 이는 비교적 급격한 회전을 수행하는 동안 트랙션을 유지하는 것을 의미한다. 미국 군용 험비는 낮은 질량 중심이 네 바퀴로 경계가 정해진 공간 위에 유지되도록 하여 전복 없이 더 높은 차량보다 더 멀리 기울어질 수 있도록 설계되었으며, 이는 수평에서 멀리 떨어진 각도에서도 가능하다.

항공기에서 무게 중심은 항공기의 안정성에 큰 영향을 미치는 중요한 지점이다. 항공기가 안전하게 비행할 수 있도록 충분한 안정성을 확보하기 위해 무게 중심은 지정된 한계 내에 있어야 한다. 무게 중심이 앞쪽 한계보다 앞에 있으면 항공기의 기동성이 떨어지며, 이륙을 위한 회전이나 착륙을 위한 플레어가 불가능할 수도 있다. 무게 중심이 뒤쪽 한계보다 뒤에 있으면 항공기의 기동성은 향상되지만 안정성은 떨어지며, 비행이 불가능할 정도로 불안정해질 수도 있다. 또한 승강타의 모멘트 암도 감소하여 실속 상태에서 벗어나기 어려워진다.^[7]

헬리콥터가 호버링할 때 무게 중심은 항상 로터 헤드 바로 아래에 있다. 전진 비행 시에는 사이클릭 조종을 가하여 헬리콥터를 앞으로 추진함으로써 발생하는 네거티브 피치 토크를 균형 있게 유지하기 위해 무게 중심이 앞으로 이동한다. 결과적으로 순항하는 헬리콥터는 수평 비행 시 "노즈다운" 상태로 비행한다.^[7]

7. 2. 천문학

천문학 및 천체물리학에서 질량 중심은 두 물체가 서로 균형을 이루는 지점으로, 흔히 '공통 질량 중심'이라고 불린다. 두 개 이상의 천체가 서로 공전할 때 이 공통 질량 중심을 기준으로 회전한다. 위성이 행성을 공전하거나 행성이 별을 공전할 때, 실제로 두 물체는 더 큰 물체의 중심에서 약간 떨어진 지점을 중심으로 공전한다.^[1] 예를 들어, 달은 지구의 중심이 아니라 지구 표면 아래 약 1,710 km 지점을 중심으로 공전하는데, 이 지점이 바로 지구와 달의 질량이 균형을 이루는 곳이다. 명왕성과 카론처럼 질량이 비슷한 경우에는 질량 중심이 두 천체 바깥에 위치하기도 한다.

천체역학에서 두 개의 구형 천체의 질량 중심과 궤도는 다음과 같은 패턴을 보인다.

	질량이 거의 같은 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (예: 소행성 안티오페계)
	질량이 조금 다른 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (예: 명왕성과 카론계)
	질량이 어느 정도 다른 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (예: 지구와 달의 계)
	질량이 거의 같은 두 천체가 같은 중심 주위를 타원 궤도를 그리며 공전한다. (예: 쌍성 센타우루스자리 알파의 공전 형태)

7. 2. 1. 태양-목성계의 질량 중심

천체역학에서 질량 차이가 압도적인 두 천체가 같은 중심 주위를 공전하는 예시로 태양과 지구의 계를 들 수 있다.

하지만, 태양과 목성의 질량 중심은 태양의 중심에서 약간 벗어난 지점에 위치한다. 이는 목성의 질량이 다른 행성들에 비해 매우 크기 때문이다. 이 질량 중심은 태양계 전체의 운동에 영향을 미친다.

7. 3. 리깅 및 안전

리깅 시 질량 중심의 위치를 아는 것은 매우 중요하며, 잘못된 판단은 심각한 부상이나 사망으로 이어질 수 있다. 질량 중심이 들어 올리는 지점과 같거나 위에 있으면 전복 사고가 발생할 가능성이 높다. 일반적으로 질량 중심이 들어 올리는 지점 아래에 더 가까울수록 들어 올리기는 더 안전하다. 적재물의 이동, 적재물과 질량의 강도, 들어 올리는 지점 사이의 거리, 들어 올리는 지점의 수 등 고려해야 할 사항들이 있다. 특히 들어 올리는 지점을 선택할 때는 질량 중심을 중앙에 위치시키고 들어 올리는 지점보다 훨씬 아래에 두는 것이 매우 중요하다.^[8]

7. 4. 인체 운동

인체 운동 분석에서 질량 중심은 운동역학 및 생체역학적으로 인간의 운동을 이해하는 데 중요한 매개변수로 활용된다.^[9]^[10]

7. 4. 1. 운동역학

성인 인체의 질량 중심은 수직 방향으로 대전자(넙적다리가 엉덩이에 연결되는 부분) 위 10cm 지점에 있으며,^[9] 수평 방향으로는 무릎에서 1.4cm 앞, 대전자 뒤 1.0cm 지점에 위치한다.^[10] 운동역학 및 생체역학에서 질량 중심은 인간의 운동을 이해하는 데 도움이 되는 중요한 매개변수이다. 일반적으로 인체의 질량 중심은 두 가지 방법 중 하나로 감지된다. 반력판 방법은 사람이 해당 기구에 누워 있는 정적 분석으로, 사람의 질량 중심을 찾기 위해 정적 평형 방정식을 사용한다. 분할 방법은 개별 신체 부분의 토크 합이 지정된 회전축을 기준으로 측정된 신체 전체 시스템의 토크와 같아야 한다는 물리적 원리에 기반한 수학적 해에 의존한다.

7. 5. 최적화

무게중심법은 가능한 영역의 무게중심을 사용하는 볼록 최적화 방법이다.

참조

_[1] 웹사이트 10.3: The center of mass https://phys.librete[...] 2019-09-17
_[2] 논문 Christiaan Huygens' discovery of the center of oscillation formula https://aapt.scitati[...] 1996
_[3] 서적 Physics Wiley 1962
_[4] 서적 Physics Wiley 1962
_[5] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 19: Center of Mass; Moment of Inertia https://feynmanlectu[...]
_[6] 웹사이트 The theory and design of British shipbuilding http://www.ebooksrea[...] 2012-08-20
_[7] 웹사이트 Helicopter Aerodynamics https://web.archive.[...] 2013-11-23
_[8] 웹사이트 Structural Collapse Technician: Module 4 - Lifting and Rigging https://www.fema.gov[...] 2019-11-27
_[9] 논문 Studies of the Center of Gravity in the Human Body https://www.jstor.or[...] 1944
_[10] 논문 Alignment of the human body in standing http://link.springer[...] 1985
_[11] 서적 학술용어집 지리학편 日本学術振興会 1981

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