이중 턴스틸

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1. 개요

이중 턴스틸은 논리학에서 모델 구조와 문장 집합 사이의 관계를 나타내는 기호로, 특정 문장 집합의 충족 가능성을 표현하는 데 사용된다. 충족 가능성은 모델 구조가 주어진 문장 집합의 모델이 될 수 있는지를 나타내는 개념이며, 항진명제는 이중 턴스틸 기호와 밀접하게 연결되어 있다. 이 기호는 의미론적 귀결, 충족 가능성, 항진명제 등의 개념을 표현하는 데 활용되며, 유니코드에서는 U+21C4로, LaTeX에서는 `turnstile` 패키지 또는 `\models` 명령어를 통해 표현할 수 있다.

이중 턴스틸

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1. 개요
2. 의미
3. 구문

2. 의미

이중 턴스틸 기호( $\vDash$ )는 논리학에서 사용되는 이진 관계 기호로, 여러 맥락에서 다양한 의미를 가진다. 주요 의미는 다음과 같다.

* 의미론적 귀결: 문장들의 집합(Γ)이 특정 문장(φ)을 논리적으로 함축함을 나타낸다 ( $\Gamma \vDash \varphi$ ). 즉, Γ의 모든 문장이 참이면 φ도 반드시 참임을 의미한다.
* 충족: 특정 모델 구조( $\mathcal{A}$ )가 문장들의 집합( $\Gamma$ )을 만족시킴을 나타낸다 ( $\mathcal{A} \models \Gamma$ ). 이는 해당 구조가 문장 집합에 대한 모델임을 의미한다.
* 항진명제: 어떤 문장(φ)이 모든 가능한 해석에서 참임을 나타낸다 ( $\vDash \varphi$ ). 이는 해당 문장이 공집합의 의미론적 귀결임을 뜻한다.
* 함축하지 않음: 기호 위에 슬래시를 그어 만든 ⊭는 '함축하지 않음'이라는 명제를 나타낸다.

2.1. 의미론적 귀결

이중 턴스틸 기호( $\vDash$ )는 여러 의미 중 하나로 의미적 귀결을 나타내는 데 사용된다. 이는 문장들의 집합과 단일 문장 사이의 관계를 보여주는 이진 관계이다.

구체적으로, 기호의 왼쪽에 문장들의 집합(Γ)을, 오른쪽에 하나의 문장(φ)을 두어 $\Gamma \vDash \varphi$ 와 같이 표기한다. 이는 Γ에 속하는 모든 문장이 참일 경우, φ 역시 반드시 참이 되어야 함을 의미한다.

이러한 의미에서의 사용은 구문적 귀결을 나타내는 턴스틸 기호( $\vdash$ )와 밀접한 관련이 있다.

2.2. 충족 가능성

이중 턴스틸 기호( $\vDash$ )는 충족을 나타내는 데 사용된다. 이때 기호의 왼쪽에는 모델 구조 또는 진리 구조( $\mathcal{A}$ )를, 오른쪽에는 문장들의 집합( $\Gamma$ )을 쓴다. 이는 해당 구조( $\mathcal{A}$ )가 문장 집합( $\Gamma$ )의 모델임을 나타낸다. 즉, 문장 집합이 모델 구조와 잘 맞는다는 의미이다 (예: $\mathcal{A} \models \Gamma$ ). 일반적으로 이는 각 변수 기호를 모델 구조 $\mathcal{A}$ 안의 값에 대응시키는 함수인 '변수 할당'의 범위를 제한하며 T-스키마에 따라 귀납적으로 수행된다.

2.3. 항진명제

항진명제를 나타내기 위해 $\vDash \varphi$ 와 같이 사용한다. 이는 표현식 $\varphi$ 가 공집합의 의미론적 귀결임을 의미한다.

2.4. 함축하지 않음

이중 턴스틸 기호( $\vDash$ )에 슬래시(/)를 그어 만든 ⊭ 기호는 '함축하지 않는다'는 명제를 나타내는 데 사용된다.

3. 구문

이중 턴스틸 기호(⊨)는 컴퓨터 환경에서 표현하기 위해 다양한 시스템과 표준에서 특정 구문이나 코드를 사용한다. 대표적으로 문서 조판 시스템인 TeX과 LaTeX, 그리고 문자 인코딩 표준인 유니코드에서 이 기호를 지원하는 방법을 제공한다. 각 환경에서의 구체적인 사용법은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

3.1. TeX

TeX에서는 턴스틸 기호 $\vDash$ (TRUE)와 $\models$ 를 각각 `\vDash`와 `\models` 명령어를 통해 입력할 수 있다.

이 기호는 유니코드에서 U+22A8 (TRUE)로 인코딩되어 있으며, 논리적 부정을 나타내는 반대 기호는 U+22AD (NOT TRUE)이다.

LaTeX 환경에서는 추가적으로 [https://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/turnstile turnstile 패키지]를 사용할 수 있다. 이 패키지는 이중 턴스틸을 포함한 다양한 턴스틸 기호를 유연하게 표현할 수 있게 해주며, 기호 위나 아래에 레이블을 정확한 위치에 추가하는 기능도 제공한다. 패키지 사용법에 대한 튜토리얼은 [https://www.tug.org/pracjourn/2007-3/buchsbaum 논리학자를 위한 도구]에서 찾아볼 수 있다.

3.2. 유니코드

유니코드에서 이중 턴스틸 기호 ⊨는 코드 포인트 U+22A8에 'TRUE'라는 이름으로 인코딩되어 있다. 이 기호의 반대 기호인 ⊭는 코드 포인트 U+22AD에 'NOT TRUE'라는 이름으로 인코딩되어 있다.

3.3. LaTeX

TeX에서는 턴스틸 기호 ⊨와 $\models$ 를 각각 `\vDash`와 `\models` 명령어를 사용하여 나타낼 수 있다.

LaTeX에서는 [http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/turnstile turnstile 패키지]를 이용하여 이중 턴스틸을 포함한 다양한 종류의 턴스틸 기호를 사용할 수 있다. 이 패키지는 기호의 위나 아래에 원하는 레이블을 정확한 위치에 넣는 기능도 제공한다. 패키지 사용법에 대한 자세한 설명은 [http://www.tug.org/pracjourn/2007-3/buchsbaum 논리학자를 위한 도구] 문서에서 찾아볼 수 있다.

참고로 이중 턴스틸 기호는 유니코드에서 U+22A8 (TRUE)로 정의되어 있으며, 반대 의미의 기호는 U+22AD (NOT TRUE)이다.