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정리

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목차

1. 개요

정리(定理)는 공리 또는 다른 정리들을 바탕으로 증명된 명제를 의미한다. 수학적 엄밀성을 통해 공리, 추론 규칙으로부터 증명될 수 있는 수학 이론의 잘 정의된 공식으로 정의된다. 정리는 다양한 분야에서 사용되며, 수학, 물리학, 공학, 경제학 등에서 핵심적인 역할을 한다. 수학에서는 피타고라스 정리, 미적분학의 기본 정리, 대수학의 기본 정리 등이 있으며, 물리학에서는 비리얼 정리, 블로흐 정리, 베르누이 정리 등이, 공학에서는 테브난의 정리, 노턴의 정리, 밀만의 정리 등이, 경제학에서는 애로의 불가능성 정리, 미니맥스법 등이 대표적이다.

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  • 논리적 귀결 - 동치
    동치는 두 명제가 모든 경우에 동일한 진리값을 가져 논리적으로 같음을 의미하며, 논리학에서는 논리식 단순화 및 변환에 유용한 다양한 논리적 동치(항등, 지배, 멱등, 이중 부정, 교환, 결합, 분배, 드 모르간, 흡수, 부정 법칙 등)가 존재한다.
정리
정의
정리수학에서 증명된 명제이다.
구분정리(定理)는 일반적으로 증명이 필요한 참된 명제, 즉 이론 체계 내에서 논리적으로 증명된 것을 말한다. 이론의 근본적인 성질을 나타내는 공리와 구별된다.
용어
어원'Theorem'은 고대 그리스어 'θεώρημα' (theórēma)에서 유래했으며, '관찰', '숙고', '사고'를 의미하는 'θεωρεῖν' (theōreîn)에서 파생되었다.
철학적 의미철학에서 '정리'는 이론적 지식이나 원칙을 의미하기도 한다.
특징
증명정리는 논리적 추론과 증명을 통해 그 참됨이 입증되어야 한다.
진리정리는 일단 증명되면 수학적 진리로 인정되며, 다른 정리나 증명의 기초가 된다.
역할정리는 수학적 이론을 구성하고 새로운 지식을 발견하는 데 중요한 역할을 한다.
가설과의 관계정리는 종종 가설이나 추측에서 시작되며, 증명을 통해 정리가 된다.
유형
기본 정리기본적인 정리 (예: 피타고라스 정리)
보조 정리 (레마)다른 정리를 증명하는 데 사용되는 작은 정리 (예: 조르당 곡선 정리)
따름 정리 (계)이미 증명된 정리로부터 쉽게 유도되는 정리
수학 논리
정리와 증명수학 논리에서는 증명 가능한 명제의 집합을 '정리'로 간주한다.
이론이론은 정리들의 집합으로 구성된다.
역사적 의미
고대 수학고대 그리스 시대부터 정리는 수학적 지식의 기본 단위였다.
현대 수학현대 수학에서도 정리는 수학 연구의 핵심이며, 새로운 정리가 계속 발견되고 있다.
과학에서의 정리
과학 법칙과학 법칙은 자연 현상을 기술하는 반면, 정리는 논리적으로 증명된 수학적 명제이다.

2. 정리와 진리

19세기 말까지 수학의 정리는 공리로부터 도출된 확실한 진리로 여겨졌다. 예를 들어, 삼각형의 내각의 합이 180°라는 것은 의심할 여지 없는 사실로 받아들여졌다.

그러나 비유클리드 기하학의 발견과 러셀의 역설 등은 수학의 기초에 대한 엄밀한 재검토를 요구했다. 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180°가 아니어도 모순이 발생하지 않았으며, 이는 "삼각형의 내각의 합은 180°이다"라는 명제가 유클리드 기하학의 공리에 따라 참 또는 거짓이 될 수 있음을 보여주었다. 러셀의 역설은 집합론의 "자명한" 기본 성질이 모순을 일으킬 수 있음을 보여주었고, 이는 집합을 다루는 규칙을 정교하게 만들어 해결되었다.[9]

현대 수학에서 정리는 주어진 이론의 공리와 추론 규칙에 따라 증명될 수 있는 잘 정의된 공식으로 간주된다. 예를 들어, "유클리드 기하학의 공리와 추론 규칙에 따라, 삼각형의 내각의 합은 180°이다"와 같이 표현된다.

2. 1. 인식론적 고찰

많은 수학적 정리는 조건문의 형태를 띠며, 그 증명은 가설 또는 전제로 알려진 조건에서 결론을 추론하는 과정이다.[9] 증명을 진리의 정당화로 해석할 때, 결론은 종종 가설의 필요한 결과로 간주된다. 즉, 추가적인 가정 없이 가설이 참인 경우 결론도 참이라는 것이다. 그러나 특정 추론 체계에서는 도출 규칙과 조건 기호(예: 비고전 논리)에 할당된 의미에 따라 조건문을 다르게 해석할 수도 있다.

정리는 완전히 기호 형태(예: 명제 논리의 명제처럼)로 작성될 수 있지만, 가독성을 높이기 위해 영어와 같은 자연어로 비공식적으로 표현되는 경우가 많다. 증명도 마찬가지로, 독자들이 정리의 진실성을 의심할 여지 없이 확신시키기 위한 논리적으로 구성되고 명확하게 표현된 비공식적 주장으로 표현되는 경우가 많으며, 원칙적으로 공식적인 기호적 증명을 구성할 수 있다.

비공식적 주장은 순전히 기호적인 주장보다 일반적으로 확인하기가 더 쉽다. 실제로 많은 수학자들은 정리의 타당성을 보여줄 뿐만 아니라 어떤 의미에서 그것이 왜 명백하게 참인지 설명하는 증명을 선호한다. 어떤 경우에는 그림을 증명으로 사용하여 정리를 뒷받침할 수도 있다.

정리는 수학의 미학에서 중요한 역할을 한다. 정리는 종종 "사소한", "어려운", "심오한" 또는 심지어 "아름다운" 것으로 묘사된다. 이러한 주관적인 판단은 사람마다 다를 뿐만 아니라 시간과 문화에 따라서도 다릅니다. 예를 들어, 증명이 얻어지고, 단순화되거나, 더 잘 이해됨에 따라 한때 어려웠던 정리가 사소해질 수 있다.[7] 반면에 심오한 정리는 간단하게 진술될 수 있지만, 그 증명은 수학의 서로 다른 영역 사이의 놀랍고 미묘한 연결을 포함할 수 있다. 페르마의 마지막 정리는 이러한 정리의 특히 잘 알려진 예이다.[8]

2. 2. 정리에 대한 비공식적 설명

논리적으로 많은 정리는 '만약 A이면, B이다'와 같은 가정적 조건문의 형태를 띤다. 이 경우, A는 정리의 가설('추측'과는 다른 의미)이라고 불리고, B는 정리의 결론이라고 불린다. 두 가지를 합쳐 (증명 없이) 정리의 명제 또는 진술이라고 한다(예: "만약 A이면, B이다"는 명제이다). 또는 A와 B는 각각 전건과 후건이라고도 할 수 있다.[9] 예를 들어 "만약 ''n''이 짝수 자연수이면, ''n''/2는 자연수이다"라는 정리는 가설이 "''n''은 짝수 자연수이다"이고 결론이 "''n''/2 또한 자연수이다"인 전형적인 예이다.

정리가 증명되려면, 원칙적으로 정확하고 형식적인 진술로 표현될 수 있어야 한다. 그러나 정리는 일반적으로 완전한 기호 형태가 아닌 자연어로 표현되는데, 이는 비형식적인 진술로부터 형식적인 진술을 도출할 수 있다는 전제하에 이루어진다.

수학에서는 주어진 언어 내에서 여러 개의 가설을 선택하고, 그 가설들로부터 증명 가능한 모든 진술들이 이론을 구성한다고 선언하는 것이 일반적이다. 이러한 가설들은 이론의 기초를 형성하며, 공리 또는 공준이라고 불린다. 증명론으로 알려진 수학 분야는 형식 언어, 공리 및 증명의 구조를 연구한다.

두 영역이 같은 색으로 만나지 않도록 다섯 가지 색으로 칠해진 평면 지도. 실제로는 네 가지 색으로만 이렇게 칠할 수 있다. 네 가지 색 정리는 어떤 평면 지도에 대해서도 이러한 칠하기가 가능하다고 말하지만, 알려진 모든 증명은 손으로 확인하기에는 너무 긴 계산 검색을 포함한다.

2. 3. 과학 이론과의 관계

수학의 정리와 과학 이론은 인식론적으로 다르다.[6] 과학 이론은 반증 가능성을 핵심 속성으로 가지며, 실험을 통해 검증 가능하다.[6] 예측과 실험 간의 불일치는 과학 이론의 오류를 보여주거나, 적어도 그 정확성이나 타당성의 범위를 제한한다. 반면에 수학적 정리는 추상적인 형식적 진술이며, 정리의 증명은 실험이나 경험적 증거를 포함하지 않는다.[6]

콜라츠 추측: 복잡성을 보여주는 한 가지 방법은 자연수에서 복소수로 반복을 확장하는 것이다. 그 결과는 프랙탈이 되는데, (보편성)에 따라 만델브로 집합과 유사하다.


그러나 정리의 발견에는 경험주의와 데이터 수집이 포함될 수 있다. 때로는 강력한 컴퓨터를 사용하여 패턴을 확립함으로써, 수학자들은 무엇을 증명해야 할지, 그리고 어떤 경우에는 증명하는 방법에 대한 계획까지도 생각할 수 있다. 또한 단 하나의 반례를 찾아 제시된 명제에 대한 증명의 불가능성을 확립하고, 가능한 증명을 가질 수 있는 원래 명제의 제한된 형태를 제안할 수도 있다.

예를 들어, 콜라츠 추측과 리만 가설은 경험적 검증을 통해 광범위하게 연구되었지만, 아직 증명되지 않은 잘 알려진 미해결 문제이다. 콜라츠 추측은 약 2.88E까지의 시작 값에 대해 검증되었다. 리만 가설은 제타 함수의 처음 10조 개의 비자명 영점에 대해 성립하는 것으로 검증되었다.

그러한 증거는 증명을 구성하지 않는다. 예를 들어, 메르텐스 추측은 자연수에 대한 진술이며, 이제는 거짓인 것으로 알려져 있지만, 명시적인 반례는 알려져 있지 않다. 1014보다 작은 모든 수는 메르텐스 성질을 가지며, 이 성질을 가지지 않는 가장 작은 수는 지수 1.59E보다 작은 것으로만 알려져 있다.

"이론"이라는 단어는 수학에서도 존재하며, 수학적 공리, 정의 및 정리의 집합을 나타낸다. 과학에서도 "정리"가 있지만, 종종 물리적 가정과 직관이 중요한 역할을 하는 진술과 증명을 가지고 있다. 그러한 "정리"가 기반으로 하는 물리적 공리는 그 자체로 반증 가능하다.

3. 용어

수학에서 명제를 나타내는 용어는 다양하며, 각각 특정한 역할과 의미를 지닌다. 이들 용어는 때때로 구분 없이 사용되기도 하지만, 시간이 지나면서 용법이 변화하기도 한다.


  • 공리(가정): 증명 없이 참으로 받아들이는 기본적인 명제이다.
  • 추측: 참이라고 믿지만 아직 증명되지 않은 명제이다.
  • 정리: 공리나 다른 정리를 바탕으로 증명된 명제이다.
  • 명제: 중요도가 낮거나, 기본적이거나, 자명하여 증명 없이 사용할 수 있는 정리이다.
  • 보조정리: 특정 정리를 증명하는 데 사용되는 보조적인 명제이다.
  • 따름정리: 다른 정리나 공리에서 쉽게 유도되는 명제이다.
  • 일반화: 기존 정리보다 더 넓은 범위를 다루는 정리로, 기존 정리는 일반화된 정리의 특수한 경우가 된다.


이 외에도 관습적으로 사용되는 다른 용어들이 있다.

  • 항등식: 변수의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식이다.
  • 규칙: 유용한 공식을 나타내는 정리이다.
  • 과학 법칙(원리): 넓은 범위에 적용되는 정리이다.


나눗셈 알고리즘, 오일러 공식, 바나흐-타르스키 역설과 같이 독특한 이름을 가진 정리도 있다.

3. 1. 공리 (Axiom)

증명 없이 받아들여지는 기본적인 가정으로, 연구 대상에 대한 기본적인 가정으로 증명 없이 받아들여진다. 관련된 개념으로 '''정의'''가 있는데, 이는 알려진 개념을 사용하여 단어 또는 구절의 의미를 제시한다. 고전 기하학에서는 일반적인 명제인 공리와 기하학적 객체에 대한 명제인 가정을 구분한다.[9] 역사적으로 공리는 "자명한 진리"로 간주되었지만, 오늘날에는 단순히 참으로 ''가정''된다.

3. 2. 추측 (Conjecture)

추측은 참이라고 믿어지지만 증명되지 않은 명제이다. 추측은 일반적으로 공개적으로 제기되며, 제기한 사람의 이름을 따서 명명된다(예: 골드바흐의 추측 및 콜라츠 추측). 이러한 의미에서 '가설'이라는 용어도 사용되며(예: 리만 가설), 이는 증명의 전제로서의 "가설"과 혼동해서는 안 된다. 때때로 다른 용어도 사용되는데, 예를 들어 사람들이 그 명제가 참이라고 믿어야 하는지 확신하지 못할 때는 '문제'라는 용어를 사용한다. 페르마의 마지막 정리는 역사적으로 정리라고 불렸지만, 수세기 동안 그것은 단지 추측에 불과했다.[8]

3. 3. 명제 (Proposition)

공리를 기초로 증명된 명제이다. 널리 알려진 정리 중 하나로 피타고라스의 정리가 있다.

정리는 일반적으로 중요성이 덜하거나, 기본적이거나, 즉각적으로 명백하여 증명 없이 진술될 수 있는 것을 말한다. 고전 기하학에서는 중요성에 관계없이 모든 정리와 기하학적 구성을 명제라고 불렀다.[7]

수학적 명제를 나타내는 여러 용어가 존재하며, 이러한 용어는 특정 주제에서 명제가 수행하는 역할을 나타낸다. 서로 다른 용어 간의 구분은 때때로 다소 임의적이며, 일부 용어의 용법은 시간이 지남에 따라 변해왔다.

  • 명제는 중요성이 덜하거나 너무 기본적이거나 즉각적으로 명백하여 증명 없이 진술될 수 있는 정리이다. 이는 명제 논리에서 사용되는 "명제"와 혼동해서는 안 된다. 고전 기하학에서 "명제"라는 용어는 다르게 사용되었다. 유클리드의 ''원론''에서 모든 정리와 기하학적 구성은 중요성에 관계없이 "명제"라고 불렸다.

3. 4. 보조정리 (Lemma)

보조정리는 특정 증명에서 사용되는 것 외에는 적용 가능성이 거의 없는 명제이다.[9] 시간이 지남에 따라 중요성을 얻어 ''정리''로 간주될 수 있지만, "보조정리"라는 용어는 일반적으로 이름의 일부로 유지된다.[9] 예를 들어 가우스 보조정리, 조른의 보조정리, 기본 보조정리 등이 있다.

3. 5. 따름정리 (Corollary)

다른 정리나 공리로부터 거의 또는 전혀 증명이 필요 없이 즉시 따르는 명제이다.[9] 따름정리는 더 간단한 형태로, 또는 특수한 경우에 대한 정리의 재진술일 수도 있다. 예를 들어, "모든 직사각형의 내각은 직각이다"라는 정리는 "모든 정사각형의 내각은 직각이다"라는 따름정리를 가지는데, 정사각형은 직사각형의 특수한 경우이다.

3. 6. 일반화 (Generalization)

정리의 일반화는 유사한 명제를 가지지만 범위가 더 넓은 정리이며, 원래 정리는 특수한 경우(계산 결과)로 추론될 수 있다.[10]

3. 7. 기타 용어


  • 항등식은 그 정의역 내의 모든 값에 대해 성립하는 두 표현식 사이의 등식을 나타내는 정리이다(예: 베주 항등식 및 반데르몽드 항등식).

  • 규칙은 유용한 공식을 확립하는 정리이다(예: 베이즈 정리 및 크래머의 법칙).

  • 과학 법칙 또는 원리는 광범위한 적용 가능성을 가진 정리이다(예: 대수의 법칙, 코사인 법칙, 콜모고로프의 0-1 법칙, 하르낙의 원리, 상한의 원리, 및 비둘기집 원리).

4. 논리학에서의 정리

수리논리학에서 공식 이론은 공식 언어 내의 문장들의 집합이다. 문장은 자유 변수가 없는 잘 구성된 공식이다. 이론의 구성원인 문장은 그 이론의 정리 중 하나이며, 이론은 그 정리들의 집합이다.[9] 정리는 해석되지 않은 문장일 수 있지만, 중요한 것은 문장의 의미, 즉 그 문장이 표현하는 명제이다.

이 다이어그램은 공식 언어로부터 구성될 수 있는 구문론적 요소를 보여준다. 기호와 기호들의 문자열은 크게 무의미와 잘 구성된 공식으로 나눌 수 있다. 공식 언어는 그 잘 구성된 공식들의 집합과 동일하다고 생각할 수 있다. 잘 구성된 공식들의 집합은 크게 정리와 비정리로 나눌 수 있다.


이론이 도출 가능성 관계에 대해 닫히려면, 정리가 어떻게 도출되는지 명시하는 공리계와 연관되어야 한다. 논리적 귀결 관계에 대한 공집합의 폐포는 공리계의 정리인 문장만 포함하는 집합을 생성한다.

정리는 반드시 참일 필요는 없다. 왜냐하면 그 정리를 포함하는 이론이 주어진 의미론에 대해 건전하지 않을 수 있기 때문이다. 모순적인 이론은 모든 문장을 정리로 갖는다.

공식적인 정리를 유용하고 흥미롭게 만드는 것은 그것들이 참인 명제로 해석될 수 있고, 그 도출은 그 참됨의 증명으로 해석될 수 있다는 것이다. 그 해석이 공식 시스템에 대한 참된 진술인 정리는 메타정리라고 한다.

수리 논리학의 중요한 정리들은 다음과 같다:

4. 1. 구문론과 의미론

공식 정리의 개념은 기본적으로 구문론적이며, 의미론을 도입하는 '참 명제'의 개념과 대조적이다. 서로 다른 연역 체계는 도출 규칙의 전제(믿음, 정당화 또는 다른 모달성)에 따라 다른 해석을 산출할 수 있다. 공식 체계의 건전성은 그 체계의 모든 정리가 타당성인지 여부에 달려 있다.

5. 여러 분야의 유명한 정리

수학, 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에 걸쳐 중요한 정리들이 존재한다.

정리는 공리를 기초로 증명된 명제이다. 널리 알려진 정리 중 하나로 피타고라스의 정리가 있다.[7] 정리는 "사소한", "어려운", "심오한", "아름다운" 등으로 묘사되기도 한다. 페르마의 마지막 정리는 그 증명이 수학의 서로 다른 영역 사이의 놀랍고 미묘한 연결을 포함할 수 있다는 예시이다.[8]

수학의 정리와 과학의 이론은 인식론에서 근본적으로 다르다. 과학 이론은 증명될 수 없으며, 반증 가능성이 핵심 속성이다. 반면에 수학적 정리는 순전히 추상적인 형식적 진술이며, 실험이나 경험적 증거를 포함하지 않는다.[6]

수학적 정리의 발견에는 어느 정도의 경험주의와 데이터 수집이 포함되기도 한다. 콜라츠 추측과 리만 가설은 경험적 검증을 통해 광범위하게 연구되었지만, 아직 증명되지 않은 미해결 문제이다.

"이론"이라는 단어는 수학뿐만 아니라 과학, 특히 물리학과 공학에서도 사용된다. 하지만 과학에서의 "정리"는 물리적 가정과 직관이 중요한 역할을 하는 경우가 많으며, 그 기반이 되는 물리적 공리 자체는 반증 가능하다.

5. 1. 수학

5. 2. 물리학

5. 3. 공학

5. 4. 경제학

참조

[1] 웹사이트 The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs http://www.eric.ed.g[...] Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education 2010-09-26
[2] Merriam-Webster Theorem 2024-12-01
[3] 웹사이트 Theorem Definition of Theorem by Lexico https://web.archive.[...] 2019-11-02
[4] 논문 What does it take to prove Fermat's last theorem? Grothendieck and the logic of number theory Cambridge University Press
[5] 논문 The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic Cambridge University Press
[6] 백과사전 Rationalism vs. Empiricism https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2019-11-02
[7] MathWorld Theorem
[8] 웹사이트 Fermat's Last Theorem http://www.math.mcgi[...] 2019-11-01
[9] 웹사이트 Implication http://intrologic.st[...] 2019-11-02
[10] MathWorld Deep Theorem
[11] 웹사이트 Opinion 51 http://www.math.rutg[...]
[12] 웹사이트 Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic http://jeff560.tripo[...] 2019-11-02
[13] 뉴스 An enormous theorem: the classification of finite simple groups http://plus.maths.or[...] Plus Magazine 2006-12


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