입자 지평선

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1. 개요
2. 등각 시간과 입자 지평선
- 2.1. 등각 시간
- 2.2. 입자 지평선까지의 거리
3. 입자 지평선 개념의 발전
- 3.1. FLRW 우주론 모델
- 3.2. 관련 변수 및 방정식
4. 지평선 문제
- 4.1. 지평선 문제의 정의
- 4.2. 급팽창 이론
참조

1. 개요

입자 지평선은 빅뱅 이후 광속으로 이동한 입자가 등각 시간만큼 이동한 거리를 의미하며, 관측 가능한 우주의 크기를 나타낸다. 등각 시간은 우주의 팽창을 고려하여 빛의 이동 시간을 나타내는 척도로, 현재 약 468억 년에 해당하며, 입자 지평선까지의 고유거리는 약 469억 광년에 이른다. 입자 지평선 개념은 우주 마이크로파 배경의 균일성을 설명하는 지평선 문제를 설명하는 데 사용되며, 급팽창 이론이 이 문제를 해결하는 유력한 방법으로 제시된다.

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입자 지평선
일반 정보
유형	우주론적 거리 측정
관련 개념	입자 지평선 우주론적 지평선
정의
정의	관측자가 특정 시점에 관측할 수 있는 최대 거리
특징
특징	빛의 속도로 이동하는 입자가 빅뱅 이후 특정 시간 동안 이동할 수 있는 최대 거리 입자 지평선 너머의 사건은 관측자에게 영향을 미칠 수 없음

2. 등각 시간과 입자 지평선

공변거리의 관점에서 입자 지평선은 빅뱅 이후 입자가 광속 $c$ 로 등각 시간 $\eta$ 만큼 이동한 거리를 의미한다. 입자 지평선은 시간이 지남에 따라 계속 멀어지고 있으며, 등각 시간 또한 증가하고 있어서 관측 가능한 우주의 크기는 계속 증가하고 있다.^[9]^[11] 주어진 시간에 대한 고유거리는 공변거리에 척도인자를 곱한 값이다.^[12]

시간 $t$ 에서 입자 지평선까지의 고유거리는 다음과 같이 주어지며,^[13] "오늘날" ( $t = t_0$ ) 시점에서 입자 지평선까지의 고유거리는 다음과 같다.

: $a(t) H_p(t) = a(t) \int_{0}^{t} \frac{cdt'}{a(t')}$

: $H_p(t_0) = c\eta_0 = 14.4\ {\rm Gpc} =$ .

2. 1. 등각 시간

공변거리의 관점에서 입자 지평선은 빅뱅 이후 경과된 등각 시간

\eta

에 광속

c

를 곱한 값과 같다. 일반적으로 특정 시간

t

에서의 등각 시간은 다음과 같이 주어진다.

:

\eta = \int_{0}^{t} \frac{dt'}{a(t')}

여기서

a(t)

는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량의 척도인자이며, 빅뱅 시점을

t=0

로 두었다. 관습에 따라 아래첨자 0이 붙은 시간을 "오늘날"이라고 하고, "오늘날"의 등각 시간은

\eta(t_0) = \eta_0 = 1.48 \times 10^{18}\ {\rm s}

이고, 이는 약 '''468억 년'''에 해당한다.^[9]^[11] 여기서 등각 시간은 우주의 나이와는 다르다. 등각 시간은 우주가 팽창하지 않고 현재 상태를 유지한다고 가정했을 때, 우리를 떠난 빛이 우리가 볼 수 있는 가장 먼 곳까지 가는 데 걸리는 시간이다. 따라서

\eta_0

는 물리적으로 의미가 없는 시간이지만(실제로 이 시간은 아직 지나지 않음) 이것과 관련되어 있는 입자 지평선은 개념적으로 의미가 있는 것임을 알 수 있다.

입자 지평선은 시간이 지남에 따라 계속 멀어지고 있으며, 등각 시간 또한 증가하고 있다. 이와 같이 관측 가능한 우주의 크기는 계속 증가하고 있다.

2. 2. 입자 지평선까지의 거리

공변거리의 관점에서 입자 지평선은 빅뱅 이후 경과된 등각 시간

\eta

에 광속

c

를 곱한 값과 같다. 일반적으로 특정 시간

t

에서의 등각 시간은 다음과 같이 주어진다.^[13]

:

\eta = \int_{0}^{t} \frac{dt'}{a(t')}

여기서

a(t)

는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량의 척도인자이며, 빅뱅 시점을

t=0

로 두었다. 관습에 따라 아래첨자 0이 붙은 시간을 "오늘날"이라고 하고, "오늘날"의 등각 시간은

\eta(t_0) = \eta_0 = 1.48 \times 10^{18}\ {\rm s}

이고, 이는 약 468억 년에 해당하는 시간이다. 여기서 등각 시간은 우주의 나이와는 다르다. 여기서 등각 시간은, 우주가 팽창하지 않고 현재 상태를 유지한다고 가정했을 때, 우리를 떠난 빛이 우리가 볼 수 있는 가장 먼 곳까지 가는 데 걸리는 시간이다. 따라서

\eta_0

는 물리적으로 의미가 없는 시간이지만(실제로 이 시간은 아직 지나지 않음) 이것과 관련되어 있는 입자 지평선은 개념적으로 의미가 있는 것임을 알 수 있다.

입자 지평선은 시간이 지남에 따라 계속 멀어지고 있으며, 등각 시간 또한 증가하고 있다. 이와 같이 관측 가능한 우주의 크기는 계속 증가하고 있다.^[9]^[11] 주어진 시간에 대한 고유거리는 공변거리에 척도인자를 곱한 값이기 때문에^[12] ('''공변거리'''는 현재 시점에서 고유거리와 같도록 대체로 정의되므로 현재 시점에서

a(t_0) = 1

이다) 시간

t

에서 입자 지평선까지의 고유거리는 다음과 같이 주어진다.^[13]

:

a(t) H_p(t) = a(t) \int_{0}^{t} \frac{cdt'}{a(t')}

"오늘날" 즉

t = t_0

시점에서 입자 지평선까지의 '''고유거리'''는 다음과 같다.

:

H_p(t_0) = c\eta_0 = 14.4\ {\rm Gpc} =

.

3. 입자 지평선 개념의 발전

입자 지평선 개념은 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(FLRW) 우주론 모델을 기반으로 설명할 수 있다. FLRW 모델에서 우주는 상호작용하지 않는 여러 성분으로 구성된 것으로 가정하며, 각 성분은 밀도, 분압, 상태 방정식을 만족하는 이상 유체로 간주된다.

입자 지평선은 FLRW 우주론 모델에서 $N>2$ 인 경우에만 존재한다. 여기서 $N$ 은 $n_i$ 중 가장 큰 값이다. 팽창하는 우주에서 입자 지평선의 진화는 FLRW-시간 $t$ 에 대한 거리의 변화율로 나타낼 수 있으며, 이는 사건의 지평선과 유사하지만, 세부적인 부분에서 차이가 있다.

3. 1. FLRW 우주론 모델

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(FLRW) 우주론 모델에서 우주는 상호작용하지 않는 여러 성분으로 구성된 것으로 가정한다. 각 성분은 밀도

\rho_i

, 분압

p_i

, 상태 방정식

p_i=\omega_i \rho_i

을 만족하는 이상 유체로 간주되며, 이들을 모두 합한 전체 밀도는

\rho

, 전체 분압은

p

이다.^[14]

다음은 FLRW 모델에서 사용되는 주요 함수들이다.

함수	설명
허블 함수	$H=\frac{\dot a}{a}$
임계 밀도	$\rho_c=\frac{3}{8\pi}H^2$
i번째 무차원 에너지 밀도	$\Omega_i=\frac{\rho_i}{\rho_c}$
무차원 에너지 밀도	$\Omega=\frac{\rho}{\rho_c}=\sum \Omega_i$
적색편이 방정식	$1+z=\frac{a_0}{a(t)}$

위첨자가 0인 함수는 현재 시각 $t_0$ (또는 $z=0$ )에서의 값을 나타낸다.
마지막 항은 곡률 방정식을 포함하여 1로 만들 수 있다.^[15]

허블 함수는 다음과 같이 표현 가능하다.

:

H(z)=H_0\sqrt{\sum \Omega_{i0}(1+z)^{n_i}}

여기서

n_i=3(1+\omega_i)

이며, 이 공식은 모든 입자 요소에 적용될 수 있고, 각 요소는 무한히 많을 수 있다.^[15]

입자 지평선 (

H_p

)은

N>2

일 때만 존재하며, 여기서

N

은

n_i

중 최대값(무한대 가능)이다. 팽창하는 우주(

\dot{a}>0

)에서 입자 지평선의 변화는 다음과 같다.^[15]

:

\frac{dH_p}{dt}=H_p(z)H(z)+c

(

c

는 광속이며, 자연 단위계에서

1

로 표현 가능)

이때, 거리 변화율은 FLRW-시간

t

에 관한 식이며,

z

만큼 적색편이될 때 비례한다. 이는 사건의 지평선과 유사하지만, 세부적인 부분에서 차이가 있다.

3. 2. 관련 변수 및 방정식

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(FLRW 계량) 우주론 모델을 기반으로, 우주가 상호작용하지 않는 성분들로 구성되어 있다고 가정한다. 각 성분은 밀도

\rho_i

, 분압

p_i

, 상태방정식

p_i=\omega_i \rho_i

를 만족하는 이상유체이며, 이들을 모두 합한 전체밀도는

\rho

, 전체분압은

p

이다.^[14]

관련 변수 및 방정식들은 다음과 같다.

허블 함수: $H=\frac{\dot a}{a}$
임계밀도: $\rho_c=\frac{3}{8\pi}H^2$
i번째 무차원 에너지 밀도: $\Omega_i=\frac{\rho_i}{\rho_c}$
무차원 에너지 밀도: $\Omega=\frac{\rho}{\rho_c}=\sum \Omega_i$
$z$ 에서의 적색편이 방정식: $1+z=\frac{a_0}{a(t)}$

아래첨자가 0인 모든 함수는 현재 시각

t_0

(또는 그와 같은

z=0

)에서의 함수를 의미한다. 마지막 항은 곡률방정식을 포함하여 전부

1

로 만들 수 있다.^[15]

허블 함수는 다음과 같이 주어진다.

:

H(z)=H_0\sqrt{\sum \Omega_{i0}(1+z)^{n_i}}

여기서

n_i=3(1+\omega_i)

이다. 이 공식의 범위는 모든 입자 요소에 적용될 수 있으며 각각은 무한이 많을 수 있다.^[15]

입자 지평선

H_p

는

N>2

일 때만 존재한다. 여기서

N

은

n_i

(무한대가 될 수 있음)에서 최대이다.^[15]

확장하는 우주(

\dot{a}>0

)에 대한 입자 지평선의 변화는 다음과 같다.^[15]

:

\frac{dH_p}{dt}=H_p(z)H(z)+c

여기서

c

는 광속이며 자연단위인

1

로 바꿀 수 있다. 거리의 변화율은 FLRW-시간

t

에 관한 식이며

z

만큼 적색편이 할 때 앞에서 언급한 것과 같이 비례한다고 볼 수 있다. 이 결과는 사건의 지평선과도 비슷하지만 세세한 부분에 있어서는 다르다.

4. 지평선 문제

입자 지평선 개념은 대폭발 우주론과 관련된 미해결 문제인 지평선 문제를 설명하는 데 사용된다. 우주 마이크로파 배경(CMB)이 방출될 때 재결합 시각을 추정하여 입자 지평선을 추측할 수 있다.

: $H_p(t_{\rm CMB}) = c\eta_{\rm CMB} = 284\ {\rm Mpc} = 8.9 \times 10^{-3} H_p(t_0)$ .

이 시간에 해당하는 고유시간은 다음과 같다.

: $a_{\rm CMB}H_p(t_{\rm CMB}) = 261\ {\rm kpc}$

우주 마이크로파 배경 복사가 실질적으로 우리의 입자 지평선( $284\text{ Mpc} \ll 14.4\text{ Gpc}$ )에서 방출되는 것으로 관측되므로, 천구의 대원(great circle) 상에서,

: $f = H_p(t_{\rm CMB})/H_p(t_0)$

의 비율 정도(시직경으로는 $\theta \sim 1.7^\circ$ )^[16] 분리되어 있는 우주 마이크로파 배경의 부분들은 서로 인과적 접촉이 불가능하여야 할 것으로 예상된다. 그러므로 CMB가 열평형 상태이며 흑체와 매우 유사하다는 점은 표준적인 우주팽창 이론으로는 설명되지 않는다. 이 문제를 설명하는 가장 유력한 방법은 급팽창 이론이다.

4. 1. 지평선 문제의 정의

우주 마이크로파 배경(CMB)가 방출될 때 재결합 시각을 추정하여 입자 지평선을 추측할 수 있다. 이 시간에 해당하는 고유시간은 다음과 같다.

:

a_{\rm CMB}H_p(t_{\rm CMB}) = 261\ {\rm kpc}

우주 마이크로파 배경 복사가 실질적으로 우리의 입자 지평선(

284\text{ Mpc} \ll 14.4\text{ Gpc}

)에서 방출되는 것으로 관측되므로, 천구의 대원(great circle) 상에서,

:

f = H_p(t_{\rm CMB})/H_p(t_0)

의 비율 정도(시직경으로는

\theta \sim 1.7^\circ

)^[16] 분리되어 있는 우주 마이크로파 배경의 부분들은 서로 인과적 접촉이 불가능하여야 할 것으로 예상된다. 그러므로 CMB가 열평형 상태이며 흑체와 매우 유사하다는 점은 표준적인 우주팽창 이론으로는 설명되지 않는다. 이 문제를 설명하는 가장 유력한 방법은 급팽창 이론이다.

4. 2. 급팽창 이론

우주 마이크로파 배경(CMB)가 방출될 때 재결합 시각을 추정하여 입자 지평선을 추측할 수 있는데, 이 시간에 해당하는 고유시간은 다음과 같다.

:

a_{\rm CMB}H_p(t_{\rm CMB}) = 261\ {\rm kpc}

우주 마이크로파 배경 복사가 실질적으로 우리의 입자 지평선(

284\text{ Mpc} \ll 14.4\text{ Gpc}

)에서 방출되는 것으로 관측되므로, 천구의 대원 상에서,

:

f = H_p(t_{\rm CMB})/H_p(t_0)

의 비율 정도(시직경으로는

\theta \sim 1.7^\circ

)^[16]로 분리되어 있는 우주 마이크로파 배경의 부분들은 서로 인과적 접촉이 불가능하여야 할 것으로 예상된다. 그러므로 CMB가 열평형 상태이며 흑체와 매우 유사하다는 점은 표준적인 우주팽창 이론으로는 설명되지 않는다. 이 문제를 설명하는 가장 유력한 방법은 급팽창 이론이다.^[8]

참조

_[1] 서적 Cosmology: the science of the universe https://books.google[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 Cosmological inflation and large-scale structure https://books.google[...] Cambridge University Press 2000
_[3] 서적 General relativity: an introduction for physicists https://books.google[...] Cambridge University Press 2006
_[4] 논문 Expanding Confusion: Common Misconceptions of Cosmological Horizons and the Superluminal Expansion of the Universe https://www.cambridg[...]
_[5] 서적 A primer on the physics of the cosmic microwave background https://archive.org/[...] World Scientific
_[6] 논문 Evolution of the cosmological horizons in a concordance universe 2012-12-21
_[7] 논문 Evolution of the cosmological horizons in a universe with countably infinitely many state equations 2013-02
_[8] 웹사이트 Understanding the Cosmic Microwave Background Temperature Power Spectrum http://www.roe.ac.uk[...] 2006-03-16
_[9] 서적 Cosmology: the science of the universe https://books.google[...] Cambridge University Press 2000
_[10] 서적 Cosmological inflation and large-scale structure https://books.google[...] Cambridge University Press 2000-04-13
_[11] 서적 General relativity: an introduction for physicists https://books.google[...] Cambridge University Press 2006
_[12] 논문 Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the universe
_[13] 서적 A primer on the physics of the cosmic microwave background https://books.google[...] World Scientific 2008
_[14] 논문 Evolution of the cosmological horizons in a concordance universe http://iopscience.io[...] 2012-12-21
_[15] 논문 Evolution of the cosmological horizons in a universe with countably infinitely many state equations http://iopscience.io[...] 2013-02-08
_[16] 웹인용 Understanding the Cosmic Microwave Background Temperature Power Spectrum http://www.roe.ac.uk[...] 2017-04-14

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