척도인자

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1. 개요
2. 정의
3. 다른 물리량과의 관계
4. 우주의 역사
참조

1. 개요

척도 인자는 고유 거리와 공변 거리의 비로, 우주의 팽창을 나타내는 중요한 개념이다. 척도 인자는 현재 우주의 고유 거리를 1로 설정하며, 허블 매개변수, 허블 상수, 적색편이 등과 밀접한 관련을 맺는다. 우주의 팽창 가속도는 척도 인자의 2차 미분과 관련되며, 척도 인자는 우주의 역사, 특히 복사 지배 시대, 물질 지배 시대, 암흑 에너지 지배 시대를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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척도인자
개요
정의	우주론에서 우주의 팽창을 나타내는 척도
기호	a(t)
관련 개념	공동거리
설명
역할	우주의 크기 변화를 시간의 함수로 나타냄
초기 우주	초기에는 아주 작은 값에서 시작하여 시간이 지남에 따라 증가
현재 우주	현재 우주의 크기를 1로 정규화하여 표현하기도 함
중요성	허블 법칙과 연관되어 우주의 팽창 속도를 이해하는 데 중요한 역할
공식
팽창 우주	a(t)는 시간이 지남에 따라 증가하는 함수
수축 우주	a(t)는 시간이 지남에 따라 감소하는 함수
정적 우주	a(t)는 시간에 따라 변하지 않는 상수
척도인자와 적색편이 관계	1 + z = a(t₀) / a(t) (여기서 z는 적색편이, t₀는 현재 시간, t는 과거 시간)
우주론적 의미
우주 진화	척도인자의 시간 변화는 우주의 진화를 설명하는 중요한 지표
암흑 에너지	암흑 에너지의 존재는 척도인자의 가속 팽창을 통해 간접적으로 확인 가능
우주 상수	우주 상수는 척도인자의 팽창 속도에 영향을 미치는 요소
역사
프리드만 방정식	프리드만 방정식은 척도인자의 시간 변화를 설명하는 기본적인 방정식
참고 사항
기타	척도인자는 우주론 연구에서 기본적인 도구로 사용되며, 다양한 우주 모델을 이해하는 데 필수적

2. 정의

척도인자는 고유 거리(proper distance)와 공변 거리(comoving distance)의 비이다. 두 점 사이의 고유 거리가 $d(t)$ , 공변 거리가 $d_0$ 라면, 척도인자 $a(t)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $d(t)=d_0a(t)$

여기서 공변 거리는 주어진 기준 시점에서의 거리이고, 고유 거리는 실제 관측자가 측정하는 거리이다.

공변 거리의 단위에 따라, 척도인자는 거리의 단위를 가지거나 무차원수가 된다. 무차원 척도인자를 사용할 경우, 오늘날의 척도인자를 1로 잡는다.

: $a(t_0) = 1$

여기서 $t_0$ 은 현재 우주의 나이로, $13.7\pm0.2\times10^9$ 년이다. 즉, 공변 거리를 현재 우주의 고유 거리로 정의한다.

척도 인자는 무차원이며, $t$ 는 우주의 탄생부터 계산하고 $t_0$ 는 현재의 우주의 나이인 $13.799\pm0.021\,\mathrm{Gyr}$ 로 설정된다.^[4] 따라서 현재의 $a$ 값은 $a(t_0)$ 또는 $1$ 이다.

허블 매개변수는 다음과 같이 정의된다.

: $H(t) \equiv {\dot{a}(t) \over a(t)}$

여기서 점은 시간에 대한 미분을 나타낸다. 허블 매개변수는 시간에 따라 변하며 공간에 따라 변하지 않는다.

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에 따르면, 팽창하는 우주를 모델링하는 데 사용되며, 현재 시간에 적색편이가 ''z''인 멀리 떨어진 물체로부터 빛을 받는다면, 물체가 원래 빛을 방출했던 시간의 척도 인자는 $a(t) = \frac{1}{1 + z}$ 이다.^[7]^[8]

3. 다른 물리량과의 관계

허블 상수는 척도인자의 시간에 따른 상대적 변화율로, 다음과 같이 표현된다.

: $H(t)=\dot a(t)/a(t)$

급팽창 이론에서는 다음과 같은 '''느리게 구르기 매개변수'''(slow-roll parameter^영어)를 정의한다.

: $\epsilon=-\dot H/H^2$

: $\eta=-\frac{\ddot H}{\dot HH}$

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에서 적색편이 $z$ 와 척도인자의 관계는 다음과 같다.

: $a=1/(1+z)$

등각시간(conformal time) $\tau$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\tau=\int\frac{dt}{a(t)}$

여기서 $t$ 는 물리적 시간이다.

팽창하는 FLRW 우주에서 허블 흐름과 함께 움직이는 두 객체 사이의 고유 거리(시간에 따라 변함)와 기준 시간( $t_0$ )에서의 거리를 연관시키는 공식은 다음과 같다.

: $d(t) = a(t)d_0,\,$

여기서 $d(t)$ 는 시간 $t$ 에서의 고유 거리, $d_0$ 는 기준 시간 $t_0$ 에서의 거리(일반적으로 공변 거리), $a(t)$ 는 척도 인자이다.^[3] 정의에 따라 $d_0=d(t_0)$ 이고 $a(t_0) = 1$ 이다.

척도 인자는 무차원이며, $t$ 는 우주의 탄생부터 계산하고 $t_0$ 는 현재의 우주의 나이인 13.799Gyr로 설정된다.^[4] 따라서 현재의 $a$ 값은 $a(t_0)$ 또는 $1$ 이다.

허블 매개변수는 다음과 같이 정의된다.

: $H(t) \equiv {\dot{a}(t) \over a(t)}$

여기서 점은 시간에 대한 미분을 나타낸다. 허블 매개변수는 시간에 따라 변하며, 허블 상수 $H_0$ 는 현재 값이다.

$d(t) = d_0 a(t)$ 에서 $\dot{d}(t) = d_0 \dot{a}(t)$ 이고, $d_0 = \frac{d(t)}{a(t)}$ 이므로, 이를 결합하면 $\dot{d}(t) = \frac{d(t) \dot{a}(t)}{a(t)}$ 가 된다. 여기에 허블 매개변수 정의를 대입하면 $\dot{d}(t) = H(t) d(t)$ 가 되는데, 이는 허블의 법칙과 같다.

현재 증거에 따르면 우주의 팽창은 가속화되고 있으며, 이는 척도 인자의 2차 미분 $\ddot{a}(t)$ 가 양수이거나, 1차 미분 $\dot{a}(t)$ 가 시간에 따라 증가한다는 것을 의미한다.^[5] 이는 주어진 은하가 시간에 따라 증가하는 속도로 멀어진다는 것을 뜻하며, 해당 은하의 $\dot{d}(t)$ 는 시간에 따라 증가한다. 반대로, 허블 매개변수는 시간에 따라 감소하는 것으로 보이는데, 이는 고정된 거리 d를 통과하는 은하들을 관찰하면, 나중 은하들이 이전 은하들보다 더 작은 속도로 통과한다는 의미이다.^[6]

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에 따르면, 팽창하는 우주를 모델링할 때, 현재 시간에 적색편이가 ''z''인 멀리 떨어진 물체로부터 빛을 받는다면, 물체가 빛을 방출했던 시간의 척도 인자는 $a(t) = \frac{1}{1 + z}$ 이다.^[7]^[8]

4. 우주의 역사

척도 인자는 우주의 상대적인 팽창을 나타내는 무차원적인 값이다. FLRW 우주에서 두 천체 사이의 고유 거리(시간에 따라 변할 수 있음)와 기준 시간에서의 거리를 연결하는 공식에 사용된다.^[3] 이 공식은 다음과 같다.

: $d(t) = a(t)d_0,\,$

여기서 $d(t)$ 는 특정 시점 $t$ 에서의 고유 거리, $d_0$ 는 기준 시간 $t_0$ 에서의 거리, $a(t)$ 는 척도 인자이다. 보통 $t_0$ 는 현재 우주의 나이인 $13.799\pm0.021\,\mathrm{Gyr}$ 로 설정되며,^[4] 이때 $a(t_0) = 1$ 이다.

척도 인자의 변화는 일반 상대성 이론의 방정식에 의해 결정되며, 이는 국소적으로 등방적이고 균일한 우주의 경우 프리드만 방정식으로 나타난다. 허블 매개변수는 다음과 같이 정의된다.

: $H(t) \equiv {\dot{a}(t) \over a(t)}$

여기서 점은 시간에 대한 미분을 의미한다. 허블 매개변수는 시간에 따라 변하며, 허블 상수 $H_0$ 는 현재의 허블 매개변수 값이다.

현재 관측 결과에 따르면, 우주의 팽창은 가속화되고 있다.^[5] 이는 척도 인자의 2차 미분 $\ddot{a}(t)$ 가 양수임을 의미하며, 주어진 은하가 시간에 따라 점점 더 빠른 속도로 우리로부터 멀어진다는 것을 뜻한다. 반대로 허블 매개변수가 시간에 따라 감소하는 것처럼 보인다는 것은, 고정된 거리를 지나는 은하들의 속도가 시간이 지남에 따라 감소한다는 것을 의미한다.^[6]

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에 따르면, 현재 적색편이가 ''z''인 멀리 떨어진 천체에서 빛을 받는다면, 그 천체가 빛을 방출했을 당시의 척도 인자는 $a(t) = \frac{1}{1 + z}$ 이다.^[7]^[8]

우주의 역사는 척도 인자의 변화에 따라 크게 복사 지배 시대, 물질 지배 시대, 암흑 에너지 지배 시대의 세 시대로 구분할 수 있다.

4. 1. 복사 지배 시대

인플레이션 이후, 그리고 빅뱅 이후 약 47,000년 빅뱅 이후까지, 초기 우주의 역학은 복사에 의해 결정되었다. 여기서 복사란 일반적으로 상대론적으로 움직이는 우주의 구성 요소(주로 광자와 중성미자)를 의미한다.^[3]

복사 지배 우주의 경우, 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에서 척도 인자의 진화는 프리드만 방정식을 풀어서 얻을 수 있으며, 다음과 같다.

:

a(t)\propto t^{1/2}. \,

4. 2. 물질 지배 시대

프리드만 방정식의 단순화된 버전인 뉴턴 팽창 모델은 팽창에 대한 몇 가지 통찰력을 제공한다. 이 방정식은 임의의 시간

t

에 팽창하거나 수축하는 FLRW 우주에서 허블 흐름과 함께 움직이는 두 객체 사이의 고유 거리와 기준 시간

t_0

에서의 거리를 관련시킨다. 공식은 다음과 같다.

:

d(t) = a(t)d_0,\,

여기서

d(t)

는 시대

t

에서의 고유 거리,

d_0

는 기준 시간

t_0

에서의 거리,

a(t)

는 척도인자이다.^[3]

초기 우주가 약 47,000년(적색편이 3600)이었을 때, 질량-에너지 밀도가 복사 에너지를 넘어섰지만, 우주는 약 378,000년(적색편이 1100)이 될 때까지 복사에 대해 광학적으로 두꺼운 상태를 유지했다.^[11] 우주 마이크로파 배경 복사를 구성하는 광자가 마지막으로 산란된 이 두 번째 시점(재결합 시점과 가까움)은 종종 복사 시대의 종말을 의미하는 것으로 잘못 여겨진다.

물질 지배 우주에서 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량의 척도 인자의 진화는 프리드만 방정식을 풀어서 쉽게 얻을 수 있다.

:

a(t)\propto t^{2/3}

4. 3. 암흑 에너지 지배 시대

물리 우주론에서 '''암흑 에너지 지배 시대'''는 알려진 우주의 세 단계 중 마지막 단계로 제안되었으며, 다른 두 단계는 복사 지배 시대와 물질 지배 시대이다. 암흑 에너지 지배 시대는 물질 지배 시대 이후, 즉 우주의 나이가 약 98억 년 되었을 때 시작되었다.^[13] 우주 상수는 기호 Λ로 표시되며, 빈 공간 또는 암흑 에너지의 "질량"과 동일한 것으로 볼 수 있다. 이는 우주의 부피에 따라 증가하므로 팽창 압력은 우주의 규모와 상관없이 효과적으로 일정하며, 다른 항들은 시간에 따라 감소한다. 따라서 먼지와 복사와 같은 다른 형태의 물질 밀도가 매우 낮은 농도로 떨어지면, 우주 상수(또는 "암흑 에너지") 항이 결국 우주의 에너지 밀도를 지배하게 된다. 멀리 떨어진 초신성 관측을 기반으로 한 허블 상수의 시간 변화에 대한 최근 측정 결과는 이러한 팽창 속도의 가속을 보여주며,^[14] 이러한 암흑 에너지의 존재를 나타낸다.

암흑 에너지 지배 우주에서 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에서의 척도인자의 진화는 프리드만 방정식을 풀어서 쉽게 얻을 수 있다.

:

a(t)\propto \exp(H_0t)

여기서 지수에서의 계수

H_0

는 허블 상수이며,

:

H_0 = \sqrt{8\pi G \rho_\mathrm{full} / 3} = \sqrt{\Lambda / 3}.

관측 가능한 우주의 현재 밀도는 9.44 · 10⁻²⁷ kg m⁻³ 정도이고 우주의 나이는 138억 년, 즉 4.358 · 10¹⁷ s 정도이다. 허블 상수

H_0

는 70.88 km s⁻¹ Mpc⁻¹이다 (허블 시간은 137.9억 년이다).

참조

_[1] 서적 Cosmology https://books.google[...] Oxford University Press 2008
_[2] 간행물 Dark Energy and the Accelerating Universe 2008-01-01
_[3] 서적 Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity Cambridge University Press 2003
_[4] 간행물 Planck 2015 results. XIII. Cosmological parameters (See Table 4 on page 31 of pdf). https://www.research[...]
_[5] 서적 An Introduction to Galaxies and Cosmology Cambridge University Press 2004
_[6] 웹사이트 Is the universe expanding faster than the speed of light? http://curious.astro[...] 2010-11-28
_[7] 서적 The New Physics https://books.google[...] 1992
_[8] 서적 Physical Foundations of Cosmology https://books.google[...] 2005
_[9] 문서 Introduction to Cosmology 2006
_[10] 문서 1993
_[11] 문서 Introduction to Cosmology 2006
_[12] 문서 Introductory Astronomy & Astrophysics Thompson Learning, Inc. 1998
_[13] 문서 Introduction to Cosmology 2006
_[14] 웹사이트 The Nobel Prize in Physics 2011 https://www.nobelpri[...] 2017-05-18
_[15] 웹사이트 Is the universe expanding faster than the speed of light? http://curious.astro[...] 2003-11-23

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