전기적 위치 에너지

1. 개요

전기적 위치 에너지는 무한대 거리에서부터 전하들을 가까이 가져와 조립하는 데 필요한 일 또는 외부 요인이 무한대에서 현재 구성까지 전하를 가져오는 데 수행하는 총 일로 정의된다. 단일 점전하의 경우, 다른 점전하가 만드는 전기장 내에서 위치에 따라 에너지가 결정되며, 여러 점전하가 존재할 때는 각 전하쌍 사이의 에너지 합으로 나타낼 수 있다. 또한, 전기적 위치 에너지는 전위, 전기장, 전하 밀도 등을 이용하여 표현할 수 있으며, 전자 소자인 축전기에 저장되는 에너지와 전기 에너지 밀도에 대한 내용도 포함한다.

2. 정의

점전하 Q가 만들어 내는 전기장 E에 또 다른 점전하 q가 놓여 있을 경우, 두 점전하는 정전기력에 의해 위치가 변화한다. Q의 상대적 위치를 원점으로 하여 q의 위치 변화만을 계산할 때, 최초 위치를 r_ref, 변화된 위치를 r이라 하면 q의 전위 에너지 변화는 다음의 선적분에 의해 계산할 수 있다. 이때, 전기장은 점전하에서 모든 방향으로 균등하게 방사되며 변화가 없다고 가정한다.

:$U\_E(r)\; -\; U\_E(r\_\{\backslash rm\; ref\})\; =\; -W\_\{r\_\{\backslash rm\; ref\}\; \backslash rightarrow\; r\; \}\; =\; -\backslash int\_^r\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}\; =\; -q\; \backslash int\_^r\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}$

* r: 3차원 공간에서 r은 r = (x, y, z)의 위치에서 r = |r| 의 크기를 갖는 위치 벡터이다.
* $\backslash scriptstyle\; W\_\{r\_\{\backslash rm\; ref\}\; \backslash rightarrow\; r\; \}$: 점전하 q가 r_ref에서 r로 이동하였음을 의미한다.
* F: Q에 의해 q에 가해진 힘이다.
* E: Q에 의한 전기장이다.

일반적으로 U_E를 0으로, r_ref을 무한대로 놓아 다음과 같이 표기한다.

:$U\_E\; (r\_\{\backslash rm\; ref\}=\backslash infty)\; =\; 0$

따라서,

:$U\_E(r)\; =\; -\backslash int\_\backslash infty^r\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}\; =\; -q\; \backslash int\_\backslash infty^r\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}$

가 되고, 이 때 E, F, r은 모두 Q에 의해 방사상으로 이끌리고, F와 dr은 역평행이어야 하므로,

:$\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}\; =\; |\backslash mathbf\{F\}|\; \backslash cdot\; |\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{r\}|\backslash cos(\backslash pi)\; =\; -\; F\; \backslash mathrm\{d\}r$

이다.

쿨롱의 법칙에 따라

:$F\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\backslash frac\{qQ\}\{r^2\}$

이므로, 적분을 간단히 하면:

:$U\_E(r)\; =\; -\backslash int\_\backslash infty^r\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}\; =\; -\backslash int\_\backslash infty^r\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\backslash frac\{qQ\}\{r^2\}\{\backslash rm\; d\}r\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\backslash frac\{qQ\}\{r\}$

이 된다.

국제단위계에서 쿨롱 상수는

:$k\_e\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\}$ (이때, $\backslash varepsilon\_0$는 진공의 유전율)

이므로 다음과 같이 표시하기도 한다.

:$U\_E(r)\; =\; k\_e\; \backslash frac\{qQ\}\{r\}$

즉, 점전하 Q가 만들어 내는 전기장 E에 놓인 점전하 q가 r 만큼 위치가 변화하였을 때의 에너지는 두 점전하 사이의 거리에 반비례하고 전하량의 곱에 비례한다.

정전기적 위치 에너지는 무한대 거리에서부터 전하들을 가져와 현재의 전하 배치를 구성하는 데 필요한 일, 또는 외부 요인이 전하를 무한대에서 현재 위치까지 가속 없이 이동시키는 데 필요한 총 일로 정의된다.

2.1. 단일 점전하의 정전기적 위치 에너지

전기장 E 내에서 위치 r에 있는 점전하 q의 정전기적 위치 에너지 U_E는 기준 위치 r_ref에서 해당 위치 r로 가져오는 데 정전기력이 수행한 일 W의 음수로 정의된다.

:$U\_\backslash mathrm\{E\}(\backslash mathbf\; r)\; =\; -W\_\{r\_\{\backslash rm\; ref\}\; \backslash rightarrow\; r\; \}\; =\; -\backslash int\_\_\{\backslash rm\; ref\}\}^\backslash mathbf\{r\}\; q\backslash mathbf\{E\}(\backslash mathbf\{r\text{'}\})\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\text{'}\}$

여기서 E는 정전기장이고 dr'은 기준 위치 r_ref에서 최종 위치 r까지의 곡선에서 변위 벡터이다.

정전기적 위치 에너지는 전위 $V$가 있는 위치 r에 있는 하나의 점전하 q의 정전기적 위치 에너지 U_E는 전하와 전위의 곱으로도 정의될 수 있다.

:$U\_\backslash mathrm\{E\}(\backslash mathbf\; r)\; =\; qV(\backslash mathbf\; r)$

여기서 $V$는 위치 r의 함수인 전하에 의해 생성된 전위이다.

점전하계의 전기적 위치 에너지는 무한대 거리에서부터 이 시스템의 전하들을 가까이 가져와 조립하는 데 필요한 일로 정의된다. 또는 주어진 전하 또는 전하계의 전기적 위치 에너지는 가속 없이 외부 요인이 무한대에서 현재 구성까지 전하 또는 전하계를 가져오는 데 수행하는 총 일로 정의된다.

2.1.1. 다른 점전하 ''Q''가 존재할 때

점전하 Q가 만들어 내는 전기장 E에 또 다른 점전하 q가 놓여 있을 경우, 두 점전하는 정전기력에 의해 위치가 변화하게 된다. 일반적으로 $U\_E$를 0으로, $\backslash mathbf\{r\}\_\{ref\}$을 무한대로 놓아 식을 표현한다.

:$U\_E\; (r\_\{\backslash rm\; ref\}=\backslash infty)\; =\; 0$

따라서,

:$U\_E(r)\; =\; -\backslash int\_\backslash infty^r\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}\; =\; -q\; \backslash int\_\backslash infty^r\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}$

가 되고, 이 때 E, F, r은 모두 Q에 의해 방사상으로 이끌리고, F와 $\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{r\}$은 역평행이어야 하므로,

:$\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}\; =\; |\backslash mathbf\{F\}|\; \backslash cdot\; |\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{r\}|\backslash cos(\backslash pi)\; =\; -\; F\; \backslash mathrm\{d\}r$

이다.

쿨롱의 법칙에 따라

:$F\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\backslash frac\{qQ\}\{r^2\}$

이므로, 적분을 간단히 하면:

:$U\_E(r)\; =\; -\backslash int\_\backslash infty^r\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}\; =\; -\backslash int\_\backslash infty^r\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\backslash frac\{qQ\}\{r^2\}\{\backslash rm\; d\}r\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\backslash frac\{qQ\}\{r\}$

이 된다.

국제단위계에서 쿨롱 상수는

:$k\_e\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\}$ (이때, $\backslash varepsilon\_0$는 진공의 유전율)

이므로 다음과 같이 표시하기도 한다.

:$U\_E(r)\; =\; k\_e\; \backslash frac\{qQ\}\{r\}$

즉, 점전하 Q가 만들어 내는 전기장 E에 놓인 점전하 q가 $\backslash mathbf\{r\}$ 만큼 위치가 변화하였을 때의 에너지는 두 점전하 사이의 거리에 반비례하고 전하량의 곱에 비례한다.

2.1.2. 여러 점전하 ''Q_i''가 존재할 때

전하 간의 무한 분리를 기준 위치로 삼았을 때, n개의 점전하 Q_i가 있는 상태에서 하나의 점전하 q의 정전기적 위치 에너지 U_E는 다음과 같다.

:$U\_E(r)\; =\; \backslash frac\{q\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{Q\_i\}\{r\_i\},$

여기서 r_i는 점전하 q와 Q_i 사이의 거리이며, q와 Q_i는 전하의 할당된 값이다.

2.2. 전하계에 저장된 정전기적 위치 에너지

여러 점전하로 구성된 계에 저장된 정전기적 위치 에너지는 각 전하쌍 사이의 정전기적 위치 에너지의 합으로 나타낼 수 있다. N개의 점전하 $q\_i$ ($i=1,\; 2,\; ...,\; N$)가 위치 $\backslash mathbf\{r\}\_i$에 있을 때, 전하계에 저장된 정전기적 위치 에너지는 다음과 같다. 여기서 $V(\backslash mathbf\{r\}\_i)$는 $q\_i$를 제외한 다른 모든 전하에 의한 $\backslash mathbf\{r\}\_i$에서의 전위이고, $r\_\{ij\}$는 $q\_i$와 $q\_j$ 사이의 거리이다.

:$U\_\backslash mathrm\{E\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; q\_i\; V(\backslash mathbf\{r\}\_i)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; k\_e\backslash sum\_\{i=1\}^N\; q\_i\; \backslash sum\_\backslash stackrel\{j=1\}\{j\; \backslash ne\; i\}^N\; \backslash frac\{q\_j\}\{r\_\{ij\}\}$

여기서 각 i 값에 대해 $V(\backslash mathbf\{r\}\_i)$는 $\backslash mathbf\{r\}\_i$에 있는 전하를 제외한 모든 점전하로 인한 정전기적 위치 에너지이며, 다음과 같다.
:$V(\backslash mathbf\{r\}\_i)\; =\; k\_e\backslash sum\_\backslash stackrel\{j=1\}\{j\; \backslash ne\; i\}^N\; \backslash frac\{q\_j\}\{r\_\{ij\}\}$

전기적 위치 에너지는 한 점전하만을 포함하는 시스템의 경우 0이다. 왜냐하면 외부 작용자가 무한대에서 최종 위치로 점전하를 이동시키는 데 대해 일을 해야 하는 다른 정전기력의 원천이 없기 때문이다. 점전하가 자신의 정전기적 위치와 상호작용하는 것은 시스템의 저장된 에너지에 기여하지 않는다.

점전하 q를 점전하 Q₁ 근처의 최종 위치로 가져올 때, Q₁에 의한 전위 V(r)는 다음과 같다.
:$V(\backslash mathbf\; r)\; =\; k\_e\; \backslash frac\{Q\_1\}\{r\}$

따라서 Q₁의 전위에서 q의 정전기적 위치 에너지는 다음과 같다.
:$U\_E\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{q\; Q\_1\}\{r\_1\}$
여기서 r₁는 두 점전하 사이의 거리이다.

세 전하 시스템의 정전기적 위치 에너지는 두 전하 Q₂와 Q₃에 의한 Q₁의 정전기적 위치 에너지와 혼동해서는 안 된다. 후자는 두 전하 Q₂와 Q₃의 시스템의 정전기적 위치 에너지를 포함하지 않기 때문이다. 세 전하 시스템에 저장된 정전기적 위치 에너지는 다음과 같다.

:$U\_\backslash mathrm\{E\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{Q\_1\; Q\_2\}\{r\_\{12\}\}\; +\; \backslash frac\{Q\_1\; Q\_3\}\{r\_\{13\}\}\; +\; \backslash frac\{Q\_2\; Q\_3\}\{r\_\{23\}\}\; \backslash right]$

3. 전위 표시

시간에 따라 변하지 않는 정전기장의 경우, 정전 포텐셜을 사용하여 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
U &=-\frac{\epsilon_0}{2} \int_V \boldsymbol{E}\cdot \operatorname{grad}\phi\, d^3x \\
&=\frac{\epsilon_0}{2} \int_V \phi\, \operatorname{div}\boldsymbol{E}\, d^3x
-\frac{\epsilon_0}{2} \int_V \operatorname{div} (\phi \boldsymbol{E})\, d^3x \\
&=\frac{1}{2} \int_V \rho\, \phi\, d^3x
-\frac{\epsilon_0}{2} \oint_{\partial V} (\phi \boldsymbol{E})\cdot d\boldsymbol{S} \\
\end{align}

경계에서 포텐셜이 0이 된다는 조건을 적용하여 두 번째 항을 없애면

:$U\; =\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\; \backslash rho\backslash ,\; \backslash phi\backslash ,\; d^3x$

가 된다. 여기서 ρ는 전하 밀도이고, 적분은 전체 공간에 대해 수행된다.

전위 인 도체에 전하 가 충전되었을 때,

:$U\; =\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_i\; q\_i\; \backslash phi\_i$

이다. 정전 용량을 사용하면

:$U\; =\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{i,j\}\; C\_\{ij\}\; \backslash phi\_i\; \backslash phi\_j$

가 된다.

4. 전기 에너지 밀도

연속적인 전하 분포 $\backslash rho(\; \backslash mathbf\; r\; )$에 의한 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$U\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\; \backslash rho\; V\; d\backslash tau\; =\; \backslash frac\{\backslash epsilon\_0\; \}\{2\}\; \backslash left[\backslash int\_\{\backslash mathcal\; V\}\; E^2\; d\backslash tau\; +\; \backslash oint\_\{\backslash mathcal\; S\}\; V\; \backslash mathbf\; E\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\; a\; \backslash right]$

여기서 $\backslash mathcal\; S$는 $\backslash mathcal\; V$의 경계면이다. 그런데 $\backslash mathcal\; V$를 무한대로 보내면 $\backslash mathcal\; S$에서 $\backslash mathbf\; E$와 $V$모두 $0$에 수렴하므로 위 적분은 다음과 같이 나타내어진다.

:$U\; =\; \backslash frac\{\backslash epsilon\_0\; \}\{2\}\; \backslash int\_\{\backslash mathcal\; V\}\; E^2\; d\backslash tau$

따라서 전기 에너지 밀도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$u\_E\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash epsilon\_0\; E^2$

4.1. 자유 공간에서의 전기 에너지 밀도

연속적인 전하 분포의 정전기장의 에너지 밀도, 즉 단위 부피당 에너지 $\backslash frac\{dU\}\{dV\}$는 다음과 같다.

:$u\_e\; =\; \backslash frac\{dU\}\{dV\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash left|\{\backslash mathbf\{E\}\}\backslash right|^2.$

자유 공간에서 전기장 E가 있을 때, 전기 에너지 밀도 u는 다음과 같다.

:$u\; =\backslash frac\{\backslash epsilon\_0\}\{2\}\; \backslash boldsymbol\{E\}^2$

여기서 $\backslash epsilon\_0$는 진공 유전율이다.

특정 영역 내의 총 정전기 에너지는 다음 적분으로 계산된다.

:$U\; =\backslash frac\{\backslash epsilon\_0\}\{2\}\; \backslash int\_V\; \backslash boldsymbol\{E\}^2\backslash ,\; d^3x$

4.2. 유전체 내에서의 전기 에너지 밀도

매질이 있는 경우에는, 전기 변위 D에 의해 다음과 같이 주어진다.

:u^영어 = ∫E•dD

구성 방정식을 사용하면, 유전 분극 P에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:u^영어 = ε₀/2 E² + ∫E•dP

특히 선형 매질의 경우에는 다음과 같다.

:u^영어 = ε/2 E²

5. 전자 소자에 저장된 에너지

전자 회로의 소자들은 전기 에너지를 다른 형태로 변환하거나 저장할 수 있다. 저항기는 전기 에너지를 줄 효과를 통해 열로 변환한다. 축전기는 전하를 전기장에 저장한다.

5.1. 축전기(Capacitor)

축전기는 전기에너지(전하)를 전기장 안에 저장한다. 축전기에 저장된 총 정전기적 위치 에너지는 다음과 같다.

:$U\_E\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}QV\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; CV^2\; =\; \backslash frac\{Q^2\}\{2C\}$

여기서 C는 전기 용량, V는 전위차, Q는 축전기에 저장된 전하이다.

총 정전기적 위치 에너지는 전기장 형태로 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$U\_E\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\_V\; \backslash mathrm\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{D\}\; \backslash ,\; dV$

여기서 $\backslash mathrm\{D\}$는 유전체 내의 전기 변위장이며, 적분은 유전체의 전체 부피에 대해 수행된다.

인가 전압 $V$로 전하 $Q$가 충전된 축전기가 갖는 정전 에너지는 두 전극판에서 전하가 $q\_1=Q$, $q\_2=-Q$이고, 전위가 $\backslash phi\_1-\backslash phi\_2\; =V$이므로

:$U\; =\backslash frac\{1\}\{2\}(q\_1\backslash phi\_1\; +q\_2\backslash phi\_2)\; =\backslash frac\{1\}\{2\}\; Q(\backslash phi\_1\; -\backslash phi\_2)\; =\backslash frac\{1\}\{2\}\; QV$

로 유도된다. 정전 용량을 사용하면

:$U\; =\backslash frac\{1\}\{2\}\; CV^2\; =\backslash frac\{Q^2\}\{2C\}$

가 된다.