구성 방정식

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1. 개요
2. 물질 객관성의 원리
3. 구성 방정식의 분류
- 3.1. 역학적 구성 방정식
- 3.2. 전자기장 구성 방정식
4. 다양한 물리 현상과 구성 방정식
5. 구성 관계의 계산
참조

1. 개요

구성 방정식은 재료의 거동을 설명하는 데 사용되는 수학적 관계를 의미하며, 물리학 및 공학 분야에서 널리 활용된다. 물질 객관성의 원리를 만족해야 하며, 관측자의 변화에 대해 불변성을 가져야 한다. 구성 방정식은 탄성체, 점성체, 소성체와 같은 이상적인 물체를 나타내며, 이들을 조합하여 탄소성체, 점소성체, 점탄성체 등 실제 재료에 가까운 모델을 만들 수 있다. 또한, 역학, 전자기학, 열역학, 수송 현상 및 광학 등 다양한 물리 현상과 관련된 구성 방정식이 존재하며, 각 현상에 대한 재료의 특성을 정의한다. 구성 방정식은 피크의 법칙, 다아시의 법칙, 옴의 법칙, 푸리에의 법칙, 슈테판-볼츠만 법칙 등과 같은 법칙을 포함한다. 재료의 구성 방정식을 계산하기 위해서는 분자의 반응을 계산하고, 국부장과 평균화 과정을 거쳐야 하며, 실험적 측정을 통해 보완되기도 한다.

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구성 방정식
정의
설명	재료의 거시적 물리적 동작을 설명하는 경험적 방정식으로, 외부 힘과 조건에 대한 재료의 반응을 수학적으로 표현함. 응력과 변형 사이의 관계를 나타내는 탄성에서의 후크의 법칙이나 전류와 전압 사이의 관계를 나타내는 전기 저항에서의 옴의 법칙과 같은 것들이 있음.
개요
설명	구성 방정식은 재료의 특성을 나타내는 특정 방정식으로, 재료에 고유하며 재료의 물리적 동작을 설명함.
예시	탄성에서의 후크의 법칙 전기 저항에서의 옴의 법칙
응용 분야
설명	연속체 역학 전자기학 기타 분야에서 재료의 동작을 모델링하고 예측하는 데 사용됨.
관련된 물리량
설명	응력 변형 전류 전압

2. 물질 객관성의 원리

재료 고유의 성질은 관측자(표구)에 의존하지 않고 불변이다. 이를 '''물질 객관성의 원리''', 또는 '''물질 표구 무차별성의 원리'''라고 한다. 예를 들어, 어떤 배치에서의 구성 방정식을 형식적으로

: $\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\mathcal{F}}(\boldsymbol{F})$

라고 쓴다. 여기서, $\boldsymbol{\sigma}$ 는 코시 응력 텐서, $\boldsymbol{F}$ 는 변형 기울기 텐서이며, $\boldsymbol{\mathcal{F}}$ 는 재료의 구성 관계를 나타내는 텐서값 텐서 함수이다. 물질 객관성의 원리를 만족시키기 위해서는, 관측자의 변화에 대해 구성 방정식은 불변이어야 한다. 다시 말해, 위 식을 고려한 배치에 대해 강체 병진·회전만 부가적으로 생겨도, 함수 $\boldsymbol{\mathcal{F}}$ 의 형태는 바뀌지 않아야 한다. 직교 텐서 $\boldsymbol{Q} \in SO(n_{\text{dim}})$ 에 의해 표현되는 강체 회전의 운동을 고려하면, 이 강체 회전이 발생한 후의 배치에서의 코시 응력 텐서 $\boldsymbol{\sigma}^{\ast}$ 와 $\boldsymbol{F}^{\ast}$ 는 각각

: $\boldsymbol{\sigma}^{\ast}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}},\quad\boldsymbol{F}^{\ast}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{F}$

가 된다. 물질 객관성의 원리를 만족시키기 위해서는, 강체 회전 후의 배치에서의 이 두 양에 대한 구성 방정식은

: $\boldsymbol{\sigma}^{\ast}=\boldsymbol{\mathcal{F}}(\boldsymbol{F}^{\ast})\quad\rightleftharpoons\quad\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\mathcal{F}}(\boldsymbol{F})\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\mathcal{F}}(\boldsymbol{Q}\boldsymbol{F})$

이어야 한다.

3. 구성 방정식의 분류

구성 방정식은 물질이나 물리 시스템의 상태를 나타내는 여러 물리량 사이의 관계를 설명하는 식으로, 다양한 물리 현상을 모델링하는 데 사용된다. 주요 분류 기준 중 하나는 다루는 물리 현상의 종류이다.

대표적으로 역학 분야에서는 물질의 응력과 변형 사이의 관계를 나타내는 역학적 구성 방정식이 있다. 이는 고체나 유체가 외부 힘에 어떻게 반응하는지를 설명하며, 탄성, 점성, 소성과 같은 재료의 기계적 특성을 모델링하는 데 사용된다.

다른 주요 분류로는 전자기학에서 사용되는 전자기장 구성 방정식이 있다. 이 방정식들은 물질 내에서 전기장, 자기장, 전속 밀도, 자기장 세기 사이의 관계를 규정하며, 물질의 유전율이나 투자율과 같은 특성을 통해 전자기파의 전파나 물질과의 상호작용을 설명한다.

이러한 분류는 특정 물리적 문제에 적합한 구성 방정식을 선택하고 이해하는 데 도움을 준다.

3. 1. 역학적 구성 방정식

최초의 구성 방정식(구성 법칙)은 로버트 훅에 의해 개발되었으며, 이는 훅의 법칙으로 알려져 있다. 이 법칙은 선형 탄성 재료의 경우를 다룬다. 이러한 발견 이후, 이 유형의 방정식은 흔히 "응력-변형률 관계"라고 불리지만, "구성 가정" 또는 "상태 방정식"이라고도 불린다. 월터 놀은 구성 방정식의 사용을 발전시켜, 그 분류와 불변성 요구 사항, 제약 조건 및 "재료", "등방성", "이방성" 등과 같은 용어의 정의 역할을 명확히 했다. ''응력률 = f (속도 구배, 응력, 밀도)'' 형태의 "구성 관계"는 월터 놀의 1954년 클리포드 트루스델 지도하의 논문의 주제였다.^[2]

현대 응집 물질 물리학에서 구성 방정식은 중요한 역할을 한다. 선형 구성 방정식 및 비선형 상관 함수 참조.^[3]

역학적 구성 방정식을 이해하기 위해 사용되는 주요 변수는 다음과 같다.

$\tau$ : 전단 응력
$\gamma$ : 전단 변형률
$\dot{\tau} = \frac{d\tau}{dt}$ : 전단 응력 속도
$\dot{\gamma} = \frac{d\gamma}{dt}$ : 전단 변형률 속도

기본적인 역학적 구성 모델
모델	설명	구성 방정식
탄성체	훅의 법칙을 따르는 가장 일반적인 고체. G는 가로 탄성 계수이다.	$\tau=G\gamma$
점성체	뉴턴의 점성 법칙을 따르는 가장 일반적인 유체. η는 점성 계수이다.	$\tau=\eta\dot\gamma$
소성체	이상적인 소성체. 응력은 항상 재료 상수인 전단 항복 응력 k와 같다.	$\tau=k$

위의 세 가지 모델은 이상적인 물체를 나타내며, 실제 재료의 거동을 더 정확하게 모사하기 위해 이들을 조합한 다양한 복합 모델이 사용된다.

복합적인 역학적 구성 모델
모델	하위 분류	설명	구성 방정식
탄소성체	생 베냉(Saint-Venant) 모델		$\tau=\begin{cases}G\gamma&(\gamma$
탄소성체	경화 소성체	H는 경화 계수(정수)이다.	$\tau=k+H\gamma$
점소성체	빙엄(Bingham) 모델	항복 응력 k를 넘어야 유동이 시작되는 빙엄 플라스틱을 나타낸다.	$\tau=k+\eta\dot\gamma$
점탄성체	맥스웰(Maxwell) 모델	응력 완화 현상을 설명한다.	$\dot\gamma=\frac{\tau}{\eta}+\frac{\dot\tau}{G}$
점탄성체	켈빈-보이트(Kelvin-Voigt) 모델	크리프 및 탄성 잔류 효과를 설명한다.	$\tau=G\gamma+\eta\dot\gamma$
탄점소성체		탄성, 점성, 소성의 모든 성질을 가지며, 지반의 모델로 사용될 수 있다. (토질 역학)	(특정 방정식은 제시되지 않음)

3. 2. 전자기장 구성 방정식

전자기학에서 구성 방정식은 전속 밀도 '''D'''와 전기장 '''E''', 그리고 자기장 세기 '''H'''와 자기장 '''B''' 사이의 관계를 규정하는 식이다. 이 방정식들은 물질 내 전하와 전류가 외부 장에 어떻게 반응하는지를 나타낸다.

보조장 '''D'''와 '''H'''는 다음과 같이 정의된다.

\begin{align}\mathbf{D}(\mathbf{r}, t) &= \varepsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t) \\\mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t),\end{align}

여기서 '''P'''는 분극 밀도이고 '''M'''은 자화이다. 이들은 각각 물질 내 미세한 결합 전하와 결합 전류에 의해 발생한다. 즉, 구성 관계는 물질의 특성을 반영하는 '''P'''와 '''M'''이 외부 장 '''E'''와 '''B'''에 어떻게 의존하는지를 나타낸다.

'''진공''' 상태, 즉 자성 또는 유전 물질이 없는 경우, '''P'''와 '''M'''은 0이 되어 구성 관계는 매우 간단해진다.

\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} ,\quad \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0

여기서 ''ε''₀는 진공의 유전율, ''μ''₀는 진공의 투자율이라는 보편 상수이다.

많은 물질, 특히 등방성 선형 물질에서는 근사적으로 분극 '''P'''가 전기장 '''E'''에 비례하고, 자화 '''M'''이 자기장 세기 '''H'''에 비례한다고 가정할 수 있다.

\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E} ,\quad \mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H},

여기서 ''χ''_e는 전기 감수율, ''χ''_m은 자기 감수율이라 불리는 물질 고유의 상수이다. 이 관계를 이용하면 '''D'''와 '''H'''에 대한 구성 관계를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} ,\quad \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu,

여기서 ''ε''는 물질의 유전율, ''μ''는 물질의 투자율이다. 이들은 감수율과 다음과 같은 관계를 가진다.

\varepsilon/\varepsilon_0 = \varepsilon_r = \chi_e + 1 ,\quad \mu / \mu_0 = \mu_r = \chi_m + 1

여기서 ''ε''_r은 상대 유전율, ''μ''_r은 상대 투자율이다.

그러나 실제 물질에서 구성 관계는 위와 같이 단순한 선형 관계가 아닌 경우가 많다. 물질 내 전하의 시간 및 공간적 응답을 정확히 알기 위해서는 볼츠만 방정식, 포커-플랑크 방정식, 나비에-스토크스 방정식과 같은 복잡한 수송 방정식을 풀어야 한다. 이는 자기유체역학, 유체역학, 전기유체역학, 초전도, 플라즈마 모델링 등 다양한 분야에서 다루어진다. 이러한 복잡한 문제를 다루기 위해 선형 응답 이론, 그린-쿠보 관계, 그린 함수(다체 이론) 등의 이론적 도구들이 개발되었다.^[8] 이러한 이론들은 유전율, 투자율, 전도율 등 물질의 전기적 응답을 설명하는 구성 관계에 대한 더 상세한 공식을 제공한다.

일반적으로 구성 관계는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} ,\quad \mathbf{H} = \mu^{-1}\mathbf{B}

하지만 여기서 ''ε''와 ''μ''는 단순한 상수가 아니라, 전기장 '''E''', 자기장 '''B''', 위치, 시간에 따라 변하는 함수이거나 텐서 형태일 수 있다. 주요 예시는 다음과 같다.

'''분산 및 흡수''': ''ε''와 ''μ''가 주파수의 함수가 된다. 인과율에 따라 물질은 주파수에 따라 다른 응답을 보이며(크라머스-크로니히 관계 참조), 이는 ''ε''와 ''μ''가 복소수 값을 가지게 하여 전자기파의 흡수를 유발할 수 있다.
'''비선형성''': 강한 전자기장 하에서는 ''ε''와 ''μ''가 '''E'''와 '''B'''의 세기에 의존하게 된다.
'''이방성''': 물질 구조의 방향에 따라 응답이 달라지는 경우로, ''ε''와 ''μ''가 2차 텐서로 표현된다. 예를 들어 복굴절이나 이색성 현상이 나타난다.

D_i = \sum_j \varepsilon_{ij} E_j ,\quad B_i = \sum_j \mu_{ij} H_j.

'''비국소성 및 기억 효과''': 분극 '''P'''와 자화 '''M'''이 현재 시간과 위치의 전자기장뿐만 아니라, 다른 위치나 과거 시간의 전자기장에도 영향을 받는 경우이다. 이는 물질의 공간적 불균일성(도메인 구조, 이종 구조, 액정 등)이나 시간 변화, 이력 현상 등 때문에 발생할 수 있다. 이 경우 '''P'''와 '''M'''은 다음과 같은 적분 형태로 표현된다.^[9]^[10]

\begin{align}    \mathbf{P}(\mathbf{r}, t) &= \varepsilon_0 \int {\rm d}^3 \mathbf{r}'{\rm d}t'\;    \hat{\chi}_e \left(\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E}\right)\, \mathbf{E}\left(\mathbf{r}', t'\right) \\    \mathbf{M}(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{\mu_0} \int {\rm d}^3 \mathbf{r}'{\rm d}t' \;    \hat{\chi}_m \left(\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B}\right)\, \mathbf{B}\left(\mathbf{r}', t'\right),    \end{align}

여기서

\hat{\chi}_e

와

\hat{\chi}_m

은 일반화된 감수율 함수이다.^[11] 특히 균질한 물질에서 다른 위치의 장에 대한 의존성을 공간 분산이라고 한다.

또한, 어떤 물질(양방성 물질)에서는 전기장과 자기장이 서로 결합하여 영향을 주기도 한다. 이 경우 구성 관계는 다음과 같이 표현된다.^[12]

\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} + \xi \mathbf{H} \,,\quad \mathbf{B} = \mu \mathbf{H} + \zeta \mathbf{E}.

여기서 ''ξ''와 ''ζ''는 결합 상수이다.

실제 문제를 다룰 때는 특정 상황에서 영향이 작은 효과들을 무시하는 근사를 사용하기도 한다. 예를 들어, 약한 장에서는 광학적 비선형성을 무시하고, 좁은 주파수 대역폭에서는 물질 분산을 무시하며, 투명한 파장 영역에서는 물질 흡수를 무시할 수 있다. 또한 금속의 경우, 마이크로파나 더 긴 파장 영역에서는 유한한 전기 전도도를 가지더라도 종종 무한 전도도를 가진 완전 도체로 근사하여(피부 깊이가 0인 장벽으로 취급) 계산을 단순화한다.

최근에는 메타물질이나 광자 결정과 같이 자연에 존재하지 않는 특성을 가지도록 인위적으로 설계된 물질들도 연구되고 있으며, 이들은 맞춤형 유전율과 투자율을 가지도록 제작될 수 있다.

역학적 구성 방정식과 비교하면, 전자기학의 구성 방정식에서 유전 분극 '''P'''와 자화 '''M'''은 변형(strain)에 대응하고, 외부 전기장 '''E'''와 외부 자기장 세기 '''H''' (또는 자기장 '''B''')는 응력(stress)에 대응하는 양으로 간주할 수 있다.^[22]^[23]

4. 다양한 물리 현상과 구성 방정식

구성 방정식은 다양한 물리 현상에서 물질의 반응을 설명하는 데 사용된다. 예를 들어, 점성을 가진 뉴튼 유체에서는 전단 응력과 변형률 속도의 관계를 나타내는 구성 방정식이 사용된다.

: $\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}$

또한 전자기학에서는 전속 밀도 와 전기장 세기 , 그리고 자기장 세기 와 자속 밀도 사이의 관계를 나타내는 다음과 같은 구성 방정식이 중요하다.^[22]^[23]

: $\boldsymbol{D} =\epsilon_0 \boldsymbol{E} +\boldsymbol{P}$

: $\boldsymbol{B} =\mu_0(\boldsymbol{H} +\boldsymbol{M})$

이러한 방정식들은 각 분야에서 물질의 특성과 외부 자극 사이의 관계를 수학적으로 모델링하는 기초를 제공한다.

4. 1. 고체의 변형

고체가 외부 힘에 의해 변형되는 방식은 재료의 특성에 따라 다양하게 나타난다. 주요 변형의 종류는 다음과 같다.^[4]

'''소성 변형''': 재료에 가해지는 힘이 특정 임계점(항복점)을 넘어서면, 힘이 제거되어도 원래 형태로 완전히 돌아오지 않는 영구적인 변형이 발생한다.
'''탄성''': 힘이 가해지면 변형되지만, 힘이 제거되면 원래의 형태로 완전히 회복되는 성질이다. 많은 경우 후크의 법칙을 따른다.
'''점탄성''': 시간의 흐름에 따라 변형의 저항이 달라지는 성질이다. 고무나 플라스틱과 같은 재료에서 흔히 관찰되며, 변형 과정에서 에너지 손실이 발생하는 이력 현상이 나타난다. 이들은 일반적으로 훅의 법칙을 정확히 따르지 않는다.
'''비탄성''': 탄성과 유사하지만, 변형 속도에 따라 추가적인 저항력이 발생하는 경우이다. 금속이나 세라믹 등에서 나타나며, 평소에는 그 영향이 작지만 진동이나 전단 응력으로 인해 마찰열이 발생하는 경우에는 중요해질 수 있다.
'''초탄성''': 가해진 힘에 의한 변형이 변형 에너지 밀도 함수라는 특정한 함수 관계로 설명되는 재료이다.

이러한 고체의 변형을 수학적으로 모델링하기 위해 응력과 변형률의 관계를 이용한 다양한 구성 방정식이 사용된다. 대표적으로 이상적인 탄성체, 점성체, 소성체 모델이 있으며, 실제 재료의 복잡한 거동을 더 정확하게 설명하기 위해 이들을 조합한 탄소성체, 점소성체, 점탄성체, 탄점소성체 등의 모델도 활용된다. 예를 들어, 탄성, 점성, 소성의 성질을 모두 고려하는 탄점소성 모델은 지반의 거동을 분석하는 토질 역학 분야 등에서 응용될 수 있다.

4. 1. 1. 마찰

마찰은 복잡한 현상이다. 거시적으로 두 재료의 경계면 사이의 마찰력 ''F''는 두 경계면 접촉 지점에서의 반력 ''R''에 비례하는 것으로 모델링할 수 있으며, 이때 비례 상수인 마찰 계수 ''μ''_f는 재료 쌍에 따라 달라지는 무차원 값이다.^[1]

:

F = \mu_\text{f} R.

이 모델은 다음과 같은 여러 종류의 마찰에 적용될 수 있다.^[1]

정지 마찰: 두 정지 물체가 자체적으로 미끄러지는 것을 방지하는 마찰이다.
운동 마찰: 서로 긁거나 미끄러지는 두 물체 사이의 마찰이다.
구름 마찰: 미끄러짐을 방지하지만 둥근 물체에 토크를 가하는 마찰력이다.

4. 1. 2. 응력과 변형률

물체의 변형과 관련해서 압력에 대한 구성방정식은 다음과 같다.

:

p = \frac{F}{A}

여기서 ''p''는 압력, ''F''는 힘, ''A''는 면적이다.

선형 재료에 대한 응력-변형률 구성 관계는 일반적으로 후크의 법칙으로 알려져 있다. 가장 단순한 형태로, 이 법칙은 인장력 또는 압축력이 늘어나거나 줄어든 변위 ''x''에 비례함을 나타내는 스칼라 방정식에서 용수철 상수 ''k''를 정의한다.

:

F_i=-k x_i

이는 재료가 선형적으로 반응함을 의미한다. 또는 응력 ''σ'', 탄성 계수 ''E'', 그리고 변형률 ''ε'' (무차원)의 관계는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\sigma = E \, \varepsilon

일반적으로 고체를 변형시키는 힘은 재료 표면에 수직인 수직력일 수도 있고, 접선 방향인 전단력일 수도 있다. 이는 응력 텐서

\sigma_{ij}

와 변형률 텐서

\varepsilon_{kl}

를 사용하여 수학적으로 설명할 수 있다.

:

\sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl} \, \rightleftharpoons \, \varepsilon_{ij} = S_{ijkl} \, \sigma_{kl}

여기서 ''C''는 탄성 텐서이고 ''S''는 컴플라이언스 텐서(탄성 텐서)이다.

다음 방정식들에서

\tau

는 전단 응력,

\gamma

는 전단 변형률,

\dot{\tau} = \frac{d\tau}{dt}

는 전단 응력의 시간 변화율,

\dot{\gamma} = \frac{d\gamma}{dt}

는 전단 변형률의 시간 변화율을 나타낸다.

; 탄성체

: 후크의 법칙을 따르는 가장 일반적인 고체의 구성 방정식이다. ''G''는 '''가로 탄성 계수'''라고 불린다.

::

\tau=G\gamma

; 점성체

: 뉴턴의 점성 법칙을 따르는 가장 일반적인 유체의 구성 방정식이다. ''η''는 '''점성 계수'''라고 불린다.

::

\tau=\eta\dot\gamma

; 소성체

: 이상적인 소성체에서는 응력이 항상 '''전단 항복 응력''' ''k''라는 재료 상수에 일치한다.

::

\tau=k

위의 세 가지는 이상적인 물체 모델이며, 실제 재료의 거동을 더 잘 나타내기 위해 이들을 조합한 다양한 모델이 사용된다.

; 탄소성체

:; 생브낭(Saint-Venant)의 고체

:::

\tau=\begin{cases}G\gamma&(\gamma

:; 경화 소성체

:::

\tau=k+H\gamma

, ''H'' : 경화 계수

; 점소성체

: '''빙엄(Bingham) 고체'''라고도 한다.

::

\tau=k+\eta\dot\gamma

; 점탄성체

:; 맥스웰(Maxwell) 고체

:: 응력 완화 현상을 나타낸다.

:::

\dot\gamma=\frac{\tau}{\eta}+\frac{\dot\tau}{G}

:; 켈빈(Kelvin) 고체 (포크트(Voigt) 모델이라고도 함)

:: 탄성 여효과(elastic aftereffect) 또는 크리프 현상을 나타낸다.

:::

\tau=G\gamma+\eta\dot\gamma

; 탄점소성체

: 탄성, 점성, 소성 모든 성질을 갖는 모델이다. 지반의 모델로 사용될 수 있다. (토질역학 참조)

4. 1. 3. 충돌

물체 A가 다른 물체 B와 충돌한 후 멀어지는 상대 속도 ''v''_분리는 접근할 때의 상대 속도 ''v''_접근과 반발 계수 ''e''를 통해 다음과 같이 관련된다. 이 관계는 뉴턴의 실험적 충격 법칙으로 알려져 있다.^[5]

e = \frac{|\mathbf{v}|_\text{분리}}

4. 2. 유체의 변형

물체의 변형과 관련하여 압력 ''p''는 단위 면적 ''A''당 작용하는 힘 ''F''으로 정의된다.:

p = \frac{F}{A}

점성 ''μ''을 가진 뉴튼 유체에서 전단 응력 ''τ''는 변형률(횡단 유속 구배) ∂''u''/∂''y''에 비례한다. 이는 균일한 전단 흐름에서 다음과 같이 표현된다.

:

\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}

여기서 ''u''(''y'')는 교차 흐름(가로) 방향 ''y''에 따른 유속 ''u''의 변화를 나타낸다.

항력 방정식은 밀도 ''ρ''인 유체를 통과하며 속도 ''v''로 움직이는 단면적 ''A''의 물체에 작용하는 항력 ''D''를 계산하는 식이다.

:

D=\frac{1}{2}c_d \rho A v^2

여기서 항력 계수 ''c_d''는 물체의 기하학적 형태와 물체-유체 경계면에서의 마찰 등에 따라 달라지는 무차원 값이다.

일반적으로 점성 ''μ''를 가진 뉴턴 유체의 경우, 전단 응력 텐서의 성분 ''τ''_''ij''와 유체 변형 사이의 관계는 다음과 같이 주어진다.

:

\tau_{ij} = 2 \mu \left( e_{ij} - \frac13 \Delta \delta_{ij} \right)

이때 각 항은 다음과 같이 정의된다.

:

e_{ij}=\frac12 \left( \frac {\partial v_i}{\partial x_j} + \frac {\partial v_j}{\partial x_i} \right)

:

\Delta = \sum_k e_{kk} = \text{div}\; \mathbf{v}

여기서 ''v''_''i''는 ''x''_''i'' 좌표 방향의 유속 벡터 성분, ''e''_''ij''는 변형률 텐서의 성분, Δ는 체적 변형률(또는 팽창률), ''δ''_''ij''는 크로네커 델타이다.^[6]

4. 3. 수송 현상

다음은 물질 또는 물질의 속성 수송을 거의 동일한 방식으로 설명하는 여러 법칙이다. 모든 경우에 다음과 같이 표현된다.

:'''플럭스(밀도)'''는 '''기울기'''에 비례하며, 비례 상수(상수)는 물질의 특성이다.

일반적으로 이 상수는 물질의 방향 의존성을 설명하기 위해 2차 텐서로 대체되어야 한다.

속성/현상	명칭	방정식
피크의 법칙은 확산의 확산 계수 D를 정의한다.		$J_i = - D_{ij} \frac{\partial C}{\partial x_j}$
다아시의 법칙은 다공성 매질 내 유체 흐름을 설명하며 투과율 κ를 정의한다.		$q_j = -\frac{\kappa}{\mu} \frac{\partial P}{\partial x_j}$
옴의 법칙은 전기 전도를 설명하며 전기 전도도(따라서 저항률 및 저항)를 정의한다.
푸리에의 법칙은 열전도를 설명하며 열전도도 λ를 정의한다.		$q_i= - \lambda_{ij}\frac{\partial T}{\partial x_j}$
슈테판-볼츠만 법칙은 흑체 복사를 설명하며 방사율 ε를 정의한다.

4. 4. 광학

매질의 (절대) 굴절률 ''n'' (무차원)은 기하 광학 및 물리 광학에서 본질적으로 중요한 속성이며, 진공에서의 빛의 속도 ''c''₀와 매질에서의 빛의 속도 ''c''의 비율로 정의된다.

:

n = \frac{c_0}{c} = \sqrt{\frac{\varepsilon \mu}{\varepsilon_0 \mu_0}} = \sqrt{\varepsilon_r \mu_r}

여기서 ''ε''는 매질의 유전율이고, ''ε''_r는 상대 유전율이며, 마찬가지로 ''μ''는 투자율이고, ''μ''_r는 매질의 상대 투자율이다. 진공 유전율은 ''ε''₀이고, 진공 투자율은 ''μ''₀이다. 일반적으로 ''n'' (또한 ''ε''_r)은 복소수이다.

상대 굴절률은 두 굴절률의 비율로 정의된다. 절대 굴절률은 하나의 물질에 적용되고, 상대 굴절률은 모든 가능한 쌍의 경계면에 적용된다.

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n_{AB} = \frac{n_A}{n_B}

정의에 따라, 물질 내의 빛의 속도 ''c''는 다음과 같다.

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c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}

진공의 특수한 경우; ''ε'' = ''ε''₀ 및 ''μ'' = ''μ''₀ 이므로, 진공에서의 빛의 속도 ''c''₀는 다음과 같다.

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c_0 = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}

압전 광학 효과는 고체의 응력 ''σ''와 유전 불투과성 ''a''의 관계를 나타내며, 이는 압전 광학 계수 Π (단위 K⁻¹)라고 하는 4계 텐서에 의해 결합된다.

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a_{ij} = \Pi_{ijpq}\sigma_{pq}

전자기학에서의 구성 방정식은 전속 밀도 '''D'''와 전장 '''E''', 그리고 자장 '''H'''와 자속 밀도 '''B'''를 관계 짓는 식이다. 빛은 전자기파이므로, 이러한 방정식은 광학 현상을 이해하는 데 기본적인 틀을 제공한다.

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\boldsymbol{D} =\epsilon_0 \boldsymbol{E} +\boldsymbol{P}

:

\boldsymbol{B} =\mu_0(\boldsymbol{H} +\boldsymbol{M})

^[22]^[23]

각각의 방정식에서 두 개의 다른 물리량을 관계 짓는 유전 분극 '''P'''와 자화 '''M'''가 유전체나 자성체의 재료 특성을 나타낸다. 선형 근사 하에서는 다음과 같다.

:

\boldsymbol{P} =\chi_\text{e}\epsilon_0 \boldsymbol{E}

:

\boldsymbol{M} =\chi_\text{m} \boldsymbol{H}

여기서 각 계수인 전기 감수율 ''χ''_e와 자화율 ''χ''_m이 재료 상수이다.

역학적 구성 방정식과 비교하면, 유전 분극 '''P'''와 자화 '''M'''가 변형에 대응하고, 외부 전장 '''E'''와 외부 자장 '''H''' (또는 '''B''')이 응력에 대응하는 양으로 간주할 수 있다.

4. 5. 열전 효과

T, 온도 (K)p, 열전 계수 (C⋅m⁻²⋅K⁻¹)

\Delta P_j = p_j \Delta T

전기 열량 효과S, 엔트로피 (J⋅K⁻¹)
E, 전기장 세기 (N⋅C⁻¹)p, 열전 계수 (C⋅m⁻²⋅K⁻¹)

\Delta S = p_i \Delta E_i

제베크 효과E, 전기장 세기 (N⋅C⁻¹ V⋅m⁻¹)
T, 온도 (K)
x, 변위 (m)β, 열전력 (V⋅K⁻¹)

E_i = - \beta_{ij} \frac{\partial T}{\partial x_j}

펠티에 효과E, 전기장 세기 (N⋅C⁻¹)
J, 전기 전류 밀도 (A⋅m⁻²)
q, 열 유속 (W⋅m⁻²)Π, 펠티에 계수 (W⋅A⁻¹)

q_j = \Pi_{ji} J_i