선적분

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1. 개요

선적분은 함수의 종류와 곡선의 표현 방식에 따라 다양하게 정의되는 적분 방법이다. 스칼라장이나 벡터장의 곡선에 대한 적분으로, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 스칼라장의 선적분은 곡선과 그래프로 둘러싸인 단면의 넓이를 나타내며, 벡터장의 선적분은 힘이 물체에 한 일을 계산하는 데 사용된다. 선적분은 매개변수 방정식을 이용하거나, 복소함수의 경우 코시 적분 정리 등을 활용하여 계산할 수 있다.

2. 정의

스칼라 장과 벡터 장의 선적분은 리만 합이나 매개화를 통한 정적분으로 정의할 수 있으며, 이는 곡선의 재매개화에 대해 불변이다.

스칼라 장

f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R

의 곡선

\vec\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n

위에서의 선적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_{\vec\gamma([a,b])}fds=\int_a^bf(\vec\gamma(t))\Vert\vec\gamma'(t)\Vert dt

특히, 곡선

\vec\gamma([a,b])

의 길이는 다음과 같이 주어진다.

:

\int_{\vec\gamma([a,b])}ds=\int_a^b\Vert\vec\gamma'(t)\Vert dt

벡터 장

\vec F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n

의 곡선

\vec\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n

위에서의 선적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_{\vec\gamma([a,b])}\vec F\cdot d\vec\gamma=\int_{\vec\gamma([a,b])}\vec F\cdot\frac{\vec\gamma'(t)}{\Vert\vec\gamma(t)\Vert}ds=\int_a^b\vec F(\vec\gamma(t))\cdot\vec\gamma'(t)dt

함수

f\colon\mathbb C\to\mathbb C

의 곡선

\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C

위에서의 선적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_{\gamma([a,b])}fdz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt

2. 1. 스칼라장의 선적분

스칼라장은 공간의 각 점에 실수 값을 대응시키는 함수로, 스칼라장의 선적분은 주어진 곡선을 따라 스칼라 함수의 값을 더하는 것으로 이해할 수 있다. 스칼라장의 선적분은 특정 곡선에 의해 잘려나간 장 아래의 면적으로 해석할 수 있으며, 이는 와 xy 평면의 곡선 ''C''로 만들어지는 면으로 시각화할 수 있다.

곡선 위에 정의된 함수의 선적분은 리만 합을 사용하여 정의하거나, 곡선을 매개화한 뒤 정적분을 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우, 선적분은 곡선의 재매개화 아래 불변이다.

정성적으로 볼 때, 벡터 해석에서 스칼라장의 선적분은 주어진 곡선을 따른 장의 총 효과를 측정하는 것으로 생각할 수 있다.

2. 1. 1. 정의

U \subseteq \mathbb{R}^n

인 어떤 스칼라장

f\colon U\to\mathbb{R}

에 대해, 조각적으로 매끄러운 곡선

\mathcal{C} \subset U

를 따라 정의된 선적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_{\mathcal{C}} f(\mathbf{r})\, ds = \int_a^b f\left(\mathbf{r}(t)\right) \left|\mathbf{r}'(t)\right| \, dt,

여기서

\mathbf{r}\colon[a,b]\to\mathcal{C}

는

\mathcal{C}

의 임의의 전단사 매개변수화이며,

\mathbf{r}(a)

와

\mathbf{r}(b)

는

\mathcal{C}

의 끝점을 나타내고

a < b

이다. 여기서, 절댓값 기호는 벡터의 표준(유클리드) 노름을 나타낸다.^[2]

함수

f

는 피적분 함수라고 하고, 곡선

\mathcal{C}

는 적분 구간이며, 기호

ds

는 곡선

\mathcal{C}

의 기본적인 호 길이(즉,

\mathcal{C}

의 미소 길이)로 직관적으로 해석될 수 있다. 곡선

\mathcal{C}

에 대한 스칼라장의 선적분은

\mathcal{C}

의 선택된 매개변수화

\mathbf{r}

에 의존하지 않는다.^[2]

기하학적으로, 스칼라장

f

가 평면

(n = 2)

위에 정의될 때, 그 그래프는 공간에서 표면

z = f(x, y)

이고, 선적분은 곡선

\mathcal{C}

와

f

의 그래프로 둘러싸인 (부호가 있는) 단면 넓이를 나타낸다.

2. 2. 벡터장의 선적분

벡터장은 공간의 각 점에 벡터 값을 대응시키는 함수이다. 벡터장의 선적분은 주어진 곡선을 따라 벡터장의 접선 성분을 적분하는 것으로 이해할 수 있다. --

벡터장의 선적분은 스칼라장의 경우와 매우 유사하게 유도할 수 있지만, 내적을 포함한다는 차이점이 있다. 리만 합을 사용하여 적분을 구성하면, 구간 (매개변수 값의 범위)를 길이 의 개 구간으로 분할한다. 를 의 번째 점이라고 하면, 는 곡선의 번째 점의 위치를 나타낸다.

이때, 후속 점 사이의 거리를 계산하는 대신 변위 벡터 를 계산한다. 곡선상의 모든 점에서 를 평가하고 각 변위 벡터와의 내적을 취하면, 에 대한 의 각 분할에 대한 무한소 기여를 얻을 수 있다. 분할의 크기를 0으로 보내면 다음과 같은 합을 얻는다.

:

I = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(\mathbf{r}(t_i)) \cdot \Delta\mathbf{r}_i

평균값 정리에 의해, 곡선상의 인접한 점 사이의 변위 벡터는 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

\Delta\mathbf{r}_i = \mathbf{r}(t_i + \Delta t)-\mathbf{r}(t_i) \approx \mathbf{r}'(t_i) \,\Delta t.

이를 위의 리만 합에 대입하면,

:

I = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(\mathbf{r}(t_i)) \cdot \mathbf{r}'(t_i)\,\Delta t,

가 되고, 이는 위에서 정의된 적분에 대한 리만 합과 같다.

2. 2. 1. 정의

벡터 장 에 대해, 조각별 매끄러운 곡선 를 따라 '''r''' 방향으로 하는 선적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \,dt

여기서 는 내적이고, 는 곡선 ''C''의 정칙 매개변수화(즉,

||\mathbf{r}'(t)|| \neq0 \;\;\forall t\in[a,b]

)이며, 와 는 ''C''의 끝점을 나타낸다.

2. 3. 복소 함수의 선적분

복소해석학에서 선적분은 복소수의 곱셈과 덧셈으로 정의되며, 복소 함수를 다룰 때 기본적인 도구로 사용된다. 복소 함수의 선적분은 다음과 같은 여러 가지 방법으로 계산할 수 있다.

실수부와 허수부 분리: 복소 함수를 실수부와 허수부로 나누어 두 개의 실수값 선적분을 계산한다.
코시 적분 정리 활용: 해석 함수의 선적분을 더 편리한 곡선에 대한 적분으로 바꿀 수 있다.
유수 정리 활용: 영역에 특이점이 있으면, 특이점에 따라 적분을 계산한다.

f(z) = \frac{1}{z}

를 단위원 ''L''을 따라 반시계 방향으로 적분하는 예시를 보자.

z(t) = e^{it}

(

t

는

[0, 2\pi]

범위)로 매개변수화하고, 오일러 공식을 사용하면 다음과 같다.

\oint_L \frac{1}{z} dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{it}} ie^{it} dt = i \int_0^{2\pi} dt = 2\pi i

이는 코시 적분 공식과 유수 정리에서 자주 볼 수 있는 결과이다.

복소수를 2차원 벡터로 나타낼 때, 복소 함수

f(z)

의 선적분의 실수부와 허수부는 켤레 함수

\overline{f(z)}

에 해당하는 벡터장의 선적분 및 플럭스 적분과 같다.

코시 정리에 따르면,

f(z)

가 매끈하고 닫힌 곡선 L에서 해석적이면, 즉 코시-리만 방정식을 만족하면 적분값은 0이다. 그린 정리에 따르면,

\mathbf{F} = \overline{f(z)}

가 회전이 없고(회전이 0) 비압축성(발산이 0)이면 우변의 적분 또한 0이다.

그린 정리에 의해, 매끈하고 닫힌 양의 방향을 갖는 곡선

L

로 둘러싸인 영역의 넓이는

\frac{1}{2i} \int_L \overline{z} \, dz

로 주어지며, 이는 면적 정리를 증명할 때 사용된다.

2. 3. 1. 정의

복소해석학에서 선적분은 복소수의 곱셈과 덧셈으로 정의된다. ''U''가 복소평면 '''C'''의 열린 집합이고,

f : U \rightarrow C

가 함수이며,

L \subset U

가 유한한 길이의 곡선이고,

\gamma : [a,b] \rightarrow L

로 매개변수화 된다고 하자. 여기서

\gamma(t) = x(t) + iy(t)

이다. 선적분

\int_L f(z) \, dz

은 구간 [''a'', ''b'']를

a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b

로 세분화하고 다음 식을 고려하여 정의할 수 있다.

\sum_{k=1}^{n} f(\gamma(t_k)) \,[ \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ] = \sum_{k=1}^n f(\gamma_k) \,\Delta\gamma_k.

그런 다음 적분은 세분화 구간의 길이가 0에 접근할 때 이 리만 합의 극한으로 정의된다.

매개변수화

\gamma

가 연속적으로 미분가능하다면, 선적분은 실수 변수 함수의 적분으로 계산할 수 있다.

\int_L f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt.

L

이 폐곡선(시작점과 끝점이 일치)일 때, 선적분은 종종

\oint_L f(z)\,dz,

로 표기되며, 공학에서는 종종 "순환 적분"이라고 한다.

벡터장의 선적분과 완전히 유사하게 하려면 다변수 미적분학에서 미분가능성의 정의로 돌아가야 한다. 기울기는 리에스 표현 정리에서 정의되며, 복소해석학의 내적은 켤레를 포함한다 (어떤

z\in\mathbb{C}

에서 함수

\gamma

의 기울기는

\overline{\gamma'(z)}

이고, 복소 내적은 벡터장의 선적분 정의에서

\gamma'

에 두 번 켤레를 할당한다).

켤레 복소 미분

\overline{dz}

에 대한 선적분은^[4] 다음과 같이 정의된다.

\int_L f(z) \overline{dz} := \overline{\int_L \overline{f(z)} \,dz} = \int_a^b f(\gamma(t)) \overline{\gamma'(t)}\,dt.

3. 성질

$f(z)$ 가 단순연결 영역 D에서 해석적이면, D 안에 $f(z)$ 의 부정적분 $F(z)$ 가 존재한다. 즉, $F'(z) = f(z)$ 를 만족한다. D 안의 두 점 $z_0$ 와 $z_1$ 을 연결하는 모든 경로에 대해 다음이 성립한다.^[4]

: $\int_{z_{0}}^{z_{1}}{f\left( z \right)dz=F\left( z_{1} \right)-F\left( z_{0} \right)}$

이는 복소 선적분의 경로 독립성을 의미하며, 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 1. 경로 독립성

어떤 벡터장 가 스칼라장 의 기울기(즉, 가 보존적인 경우)라면, 즉,

\mathbf{F} = \nabla G ,

다변수 연쇄규칙에 의해 와 의 합성 함수의 도함수는 다음과 같다.

\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)

이는 에 대한 의 선적분의 피적분 함수가 된다. 따라서, 경로 ''C''가 주어지면 다음이 성립한다.

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).

다시 말해, ''C''에 대한 의 적분은 와 지점에서 의 값에만 의존하며, 따라서 두 지점 사이의 경로에는 독립적이다. 이러한 이유로, 보존적 벡터장의 선적분을 ''경로 독립적''이라고 한다.

3. 2. 복소 선적분의 경로 독립성

f(z)

가 단순연결 영역 D에서 해석적이면, D 안에

f(z)

의 부정적분, 즉

F'(z) = f(z)

를 만족하는 해석함수

F(z)

가 존재한다. D 안의 두 점

z_0

와

z_1

을 연결하는 D 안의 모든 경로에 대해 다음이 성립한다.

:

\int_{z_{0}}^{z_{1}}{f\left( z \right)dz=F\left( z_{1} \right)-F\left( z_{0} \right)}

이는 해석 함수에 대한 복소 선적분의 경로 독립성을 의미한다.^[4]

4. 계산

선적분은 정의에 따라 직접 계산할 수도 있지만, 경우에 따라 더 효율적인 방법을 사용할 수 있다.

매개변수 방정식을 이용하거나, 복소해석학에서는 복소수의 곱셈과 덧셈을 이용하는 방법, 코시 적분 정리를 이용하는 방법, 유수 정리를 이용하는 방법 등이 있다.

4. 1. 매개변수 방정식을 이용한 계산

곡선이 매개변수 방정식으로 주어진 경우, 선적분을 계산하는 방법은 다음과 같다.

:

\int_{C}^{f\left( z \right)}dz=\int_{a}^{b}{f\left[ z\left( t \right) \right]}\dot{z}\left( t \right)dt

\left( \dot{z}=\frac{dz}{dt} \right)

여기서 C는 에서 에 의해 표시되는 구분적으로 매끄러운 경로이며 는 C 위에서 연속인 함수이다.

n^영어차원 실다양체의 영역 를 생각했을 때, 국소적으로는 로 생각할 수 있다. 내의 매끄러운 곡선 가 로 주어져 있을 때, 호장 변수 는 다음과 같이 주어진다.

:

s(t_0) = \int_{a}^{a + t_0} \left|\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}\right|\mathrm{d}t = \int_{a}^{a + t_0} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}\gamma_1}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}\gamma_2}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \dotsb + \left( \frac{\mathrm{d}\gamma_n}{\mathrm{d}t} \right)^2}\;\mathrm{d}t

특히 는 다음을 만족한다.

:

\mathrm{d}s = \left|\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}\right|\mathrm{d}t = |\mathrm{d}\gamma|

이는 매개변수 를 취하는 방법에 의존하지 않는다. 기호적으로는

:

|\mathrm{d}\boldsymbol{r}|^2 = {\mathrm{d}x_1}^2 + {\mathrm{d}x_2}^2 + \dotsb + {\mathrm{d}x_n}^2

에 를 대입함으로써 얻을 수 있다. 이 를 의 선소(線素, line element^영어)라고 부른다.

스칼라장 의 매끄러운 곡선 을 따라 각 축 방향의 선적분은 다음과 같이 주어진다.

:

\int_C f\, \mathrm{d}x_i = \int_a^b f \bigl( \boldsymbol{r}(t) \bigr) \frac{\mathrm{d} \,\gamma_{i}(t)}{\mathrm{d}t} \,\mathrm{d}t

이때 함수 를 피적분함수, 곡선 를 적분영역 또는 적분경로라고 한다.

4. 2. 복소 선적분의 계산

복소해석학에서 선적분은 복소수의 곱셈과 덧셈으로 정의된다. 복소 함수의 선적분은 여러 가지 방법으로 계산할 수 있다. 가장 직접적인 방법은 실수부와 허수부로 나누어 두 개의 실수값 선적분을 계산하는 것이다. 코시 적분 정리를 사용하여 해석 함수의 선적분을 더 편리한 곡선에 대한 적분과 같게 만들 수 있다. 또한, 가 특이점 없이 해석적인 영역을 둘러싸는 폐곡선에서는 적분 값이 단순히 0이거나, 영역에 특이점이 포함된 경우 유수 정리가 특이점에 따라 적분을 계산한다. 이것은 또한 해석 함수에 대한 복소 선적분의 경로 독립성을 의미한다.^[4]

함수 를 생각하고, 윤곽 ''L''을 0을 중심으로 하는 반시계 방향의 단위원이라고 하자. 이는 로 매개변수화되며, 는 범위에 있다. 복소 지수 함수를 사용한다. 대입하면 다음을 얻는다.

\begin{align}\oint_L \frac {1}{z}\,dz &= \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{it}} ie^{it} \,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt \\&= i \int_0^{2\pi} dt = i(2\pi-0)= 2\pi i.\end{align}

이는 코시 적분 공식과 유수 정리의 전형적인 결과이다.

5. 응용

선적분은 물리학, 공학, 양자역학 등 다양한 분야에서 널리 응용된다.

5. 1. 물리학

물리학에서 선적분은 일, 위치 에너지, 전기장과 자기장 등 다양한 물리량을 계산하는 데 사용된다. 예를 들어, 어떤 끈의 밀도를 그 끈을 따라 선적분하면, 끈의 질량을 얻는다.^[3]

역장을 물체의 운동 경로를 따라 선적분하면, 힘이 물체에 한 일을 얻는다. 힘이 한 일이 출발점과 도착점의 위치에만 의존하고 경로와 무관하다면, 그 힘을 보존력이라고 한다. 보존력장의 '원함수'를 그 힘에 의한 위치 에너지라고 한다.

벡터장 로 표현되는 힘장 내에서 곡선 ''C''를 따라 이동하는 입자에 대한 일은 ''C''에 대한 의 선적분이다.

:

W(t_0; t_1) = \int_C \boldsymbol{F} \bigl( \boldsymbol{r}(t), t \bigr) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}(t)= \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F} \bigl( \boldsymbol{r}(t), t \bigr) \cdot\frac{ \mathrm{d}\boldsymbol{r} }{\mathrm{d}t}\!(t) \,\mathrm{d}t

5. 2. 공학

정성적으로 볼 때, 벡터 해석에서의 선적분은 주어진 장의 주어진 곡선을 따른 전체적인 효과를 측정하는 것으로 생각할 수 있다. 더 엄밀하게는, 스칼라장 위에서의 선적분은 특정 곡선에 의해 굽혀진 장 아래 영역의 면적으로 해석할 수 있다.^[5]

5. 3. 양자역학

경로 적분 공식화는 양자역학에서 가능한 경로의 함수인 경로 공간에 대한 함수적 적분을 의미한다. 이 문서에서 설명하는 경로 적분은 양자역학에서 중요하며, 복소 윤곽 적분은 양자 산란 이론에서 확률 진폭을 계산하는 데 자주 사용된다.^[1]

6. 역사

선적분 개념은 19세기 오귀스탱 루이 코시를 비롯한 여러 수학자들에 의해 발전되었다. 특히, 복소 선적분 이론은 코시의 연구를 통해 크게 발전했으며, 현대 복소해석학의 기초가 되었다.

참조

_[1] 서적 Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2006-11-30
_[2] 웹사이트 Line integrals are independent of parametrization https://mathinsight.[...] 2020-09-18
_[3] 웹사이트 16.2 Line Integrals https://www.whitman.[...] 2020-09-18
_[4] 서적 Complex Analysis https://books.google[...] McGraw-Hill
_[5] 간행물 # 추정. 더 자세한 정보가 필요합니다. http://pathfind.moti[...] 2011
_[6] 서적 Complex Analysis 2nd edition

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