전변동 잡음제거

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1. 개요
2. 1D 신호 처리
3. 정규화 속성 (Regularization Properties)
- 3.1. 매개변수 선택의 중요성
4. 2D 신호 처리 (이미지)
- 4.1. 전변동 노름 (Total Variation Norm)
- 4.2. 잡음 제거 문제 해결
5. Rudin–Osher–Fatemi (ROF) PDE
6. 응용 분야
- 6.1. 블랙홀 이미지 생성
7. 한계 및 개선 방향
참조

1. 개요

전변동 잡음 제거는 신호 처리 기법으로, 신호의 전변동을 최소화하면서 잡음을 제거하는 것을 목표로 한다. 1D 신호의 경우 전변동은 인접한 신호 값의 차이의 합으로 정의되며, 2D 신호, 즉 이미지의 경우 전변동 노름을 사용하여 정의한다. 잡음 제거는 신호의 전변동과 원래 신호와의 차이를 최소화하는 방식으로 이루어지며, 정규화 매개변수를 통해 잡음 제거의 정도를 조절한다. 루딘-오셔-파테미(ROF) 모델은 이미지 잡음 제거를 위한 방법으로, 편미분 방정식을 통해 잡음 제거된 영상을 계산한다. 이 모델은 블랙홀 이미지 생성에 기여했으며, 계산 효율성과 정확성을 높이기 위한 연구가 진행 중이다.

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전변동 잡음제거
개요
전변동 잡음 제거 예시
유형
분야	영상 처리
문제	잡음 제거
상세 정보
방법	최적화
관련 항목	변분법 편미분 방정식 L1 정규화
역사 및 배경
최초 제안	L.I. Rudin, S. Osher, E. Fatemi (1992)
핵심 아이디어	이미지의 전변동 최소화
기술적 설명
기본 원리	이미지를 조각별로 부드럽게 만들어 잡음을 제거하고, 동시에 중요한 특징(모서리)을 보존하는 것
수학적 표현	min ∫ \|∇u\| dx (u는 복원된 이미지, ∇u는 u의 기울기)
최적화 방법	경사 하강법 Chambolle-Pock 알고리즘
장점 및 단점
장점	모서리 보존에 효과적 특정 유형의 잡음에 강건함
단점	계단 현상 발생 가능성 계산 비용이 높을 수 있음
응용 분야
활용 분야	의료 영상 처리 천문학 이미지 개선 사진 복원
변형 및 확장
관련 연구	고차 전변동 비등방성 전변동
참고 문헌
주요 논문	Rudin, Osher, Fatemi (1992) D. Strong, T. Chan (2003)

2. 1D 신호 처리

디지털 신호 $x_n$ 의 전변동은 다음과 같이 정의할 수 있다.^[3]

: $V(x) = \sum_n |x_{n+1} - x_n|.$

전변동 잡음 제거의 목표는 입력 신호 $x_n$ 보다 전변동이 작지만 $x_n$ 에 "가까운" 근사값 $y_n$ 을 찾는 것이다. 근접성은 제곱 오차의 합으로 측정한다.

: $\operatorname E(x, y) = \frac{1}{n} \sum_n (x_n - y_n)^2.$

따라서 전변동 잡음 제거 문제는 다음의 이산 함수를 최소화하는 신호 $y_n$ 을 찾는 것이다.

: $\operatorname E(x,y) + \lambda V(y).$

이 함수를 $y_n$ 에 대해 미분하여 오일러-라그랑주 방정식을 유도하고, 원래 신호 $x_n$ 을 초기 조건으로 하여 수치적으로 적분할 수 있다.^[1] 또는, 볼록 최적화를 통해 해 $y_n$ 을 찾을 수도 있다.^[3]

2. 1. 전변동 (Total Variation) 정의

2. 2. 전변동 잡음 제거 문제

2. 3. 최적화 방법

3. 정규화 속성 (Regularization Properties)

정규화 매개변수 $\lambda$ 는 잡음 제거 과정에서 중요한 역할을 한다. $\lambda=0$ 일 경우 평활화가 이루어지지 않으며, 결과는 제곱합을 최소화하는 것과 동일하다. 그러나 $\lambda \to \infty$ 로 갈수록, 전변동 항이 점점 더 강한 역할을 하여 입력(잡음) 신호와는 거리가 멀어지는 대신 결과가 더 작은 전변동을 갖도록 강제한다. 따라서 정규화 매개변수의 선택은 적절한 양의 잡음 제거를 달성하는 데 매우 중요하다.

3. 1. 매개변수 선택의 중요성

정규화 매개변수

\lambda

는 잡음 제거 과정에서 중요한 역할을 한다.

\lambda=0

일 경우 평활화가 이루어지지 않으며, 결과는 제곱합을 최소화하는 것과 동일하다. 그러나

\lambda \to \infty

로 갈수록, 전변동 항이 점점 더 강한 역할을 하여 입력(잡음) 신호와는 거리가 멀어지는 대신 결과가 더 작은 전변동을 갖도록 강제한다. 따라서 정규화 매개변수의 선택은 적절한 양의 잡음 제거를 달성하는 데 매우 중요하다.

4. 2D 신호 처리 (이미지)

이미지와 같은 2D 신호 ''y''를 고려한다.

1992년 논문에서 제안된 전변동 노름은 다음과 같다.

: $V(y) = \sum_{i,j} \sqrt{|y_{i+1,j} - y_{i,j}|^2 + |y_{i,j+1} - y_{i,j}|^2}$

이는 등방성이며 미분 가능하지 않다. 때때로 최소화하기 더 쉬울 수 있기 때문에 사용되는 변형은 비등방성 버전이다.

: $V_\operatorname{aniso}(y) = \sum_{i,j} \sqrt{|y_{i+1,j} - y_{i,j}|^2} + \sqrt$

4. 1. 전변동 노름 (Total Variation Norm)

2D 신호 ''y''에 대한 전변동 노름은 1992년 논문에서 처음 제안되었다.^[4] 등방성 전변동 노름은 다음과 같이 정의된다.:

V(y) = \sum_{i,j} \sqrt{|y_{i+1,j} - y_{i,j}|^2 + |y_{i,j+1} - y_{i,j}|^2}

이 노름은 등방성이지만 미분 가능하지 않다는 특징이 있다.

등방성 전변동 노름의 계산 및 최적화가 어려운 경우, 비등방성 전변동 노름이 대안으로 사용될 수 있다. 비등방성 전변동 노름은 다음과 같이 정의된다.

:

V_\operatorname{aniso}(y) = \sum_{i,j} \sqrt{|y_{i+1,j} - y_{i,j}|^2} + \sqrt

4. 2. 잡음 제거 문제 해결

2D 신호 ''y''에 대한 전변동(Total Variation) 잡음 제거 문제는 1992년에 제안된 전변동 노름을 사용하여 정의된다.^[4] 전변동 노름은 등방성(isotropic)이며 미분 가능하지 않다. 때로는 최소화하기 더 쉬운 비등방성 버전이 사용되기도 한다.표준 전변동 잡음 제거 문제는 다음과 같은 형태를 가진다.:

\min_y [ \operatorname E(x, y) + \lambda V(y)],

여기서 ''E''는 2D ''L''₂ 노름이다. 1D의 경우와 달리, 이 잡음 제거 문제를 푸는 것은 쉽지 않다. 이 문제를 해결하기 위한 최근 알고리즘으로는 주-쌍대 방법이 있다.^[4]

2000년대 중반 압축 센싱 연구의 발전으로, 분할-브레그만 방법과 같은 다양한 알고리즘들이 개발되어 이 문제의 변형을 해결하는 데 사용되고 있다.

5. Rudin–Osher–Fatemi (ROF) PDE

잡음이 있는 영상 $f$ 가 주어졌고 2차원 공간에서 잡음이 제거된 영상 $u$ 를 계산하고자 한다고 가정하자. ROF는 우리가 해결하고자 하는 최소화 문제는 다음과 같다고 제시했다.^[5]

: $\min_{u\in\operatorname{BV}(\Omega)} \; \|u\|_{\operatorname{TV}(\Omega)} + {\lambda \over 2} \int_\Omega(f-u)^2 \, dx$

여기서 $\operatorname{BV}(\Omega)$ 는 영역 $\Omega$ 에서 유계변동을 갖는 함수 집합이고, $\operatorname{TV}(\Omega)$ 는 해당 영역에서의 총 변동이며, $\lambda$ 는 페널티 항이다. $u$ 가 매끄러울 때, 총 변동은 기울기 크기의 적분과 동일하다.

: $\|u\|_{\operatorname{TV}(\Omega)} = \int_\Omega\|\nabla u\| \, dx$

여기서 $\|\cdot\|$ 는 유클리드 노름이다. 그러면 최소화 문제의 목적 함수는 다음과 같다.

: $\min_{u\in\operatorname{BV}(\Omega)} \; \int_\Omega\left[\|\nabla u\| + {\lambda \over 2}(f-u)^2 \right] \, dx$

이 함수로부터, 시간 의존성을 가정하지 않는 최소화를 위한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 비선형 타원형 편미분 방정식을 제공한다.

: $\begin{cases}\nabla\cdot\left({\nabla u\over{\|\nabla u\|}} \right ) + \lambda(f-u) = 0, \quad &u\in\Omega \\{\partial u\over{\partial n}} = 0, \quad &u\in\partial\Omega\end{cases}$

일부 수치 알고리즘의 경우, ROF 방정식의 시간 의존적 버전을 푸는 것이 더 선호된다.

: ${\partial u\over{\partial t}} = \nabla\cdot\left({\nabla u\over{\|\nabla u\|}} \right ) + \lambda(f-u)$

5. 1. 최소화 문제 정의

잡음이 있는 영상

f

가 주어졌을 때, 2차원 공간에서 잡음이 제거된 영상

u

를 계산하기 위해 ROF 모델은 다음 최소화 문제를 제시한다.^[5]

:

\min_{u\in\operatorname{BV}(\Omega)} \; \|u\|_{\operatorname{TV}(\Omega)} + {\lambda \over 2} \int_\Omega(f-u)^2 \, dx

여기서

\operatorname{BV}(\Omega)

는 영역

\Omega

에서 유계변동을 갖는 함수 집합이고,

\operatorname{TV}(\Omega)

는 해당 영역에서의 총 변동이며,

\lambda

는 페널티 항이다.

u

가 매끄러울 때, 총 변동은 기울기 크기의 적분과 동일하다.

:

\|u\|_{\operatorname{TV}(\Omega)} = \int_\Omega\|\nabla u\| \, dx

여기서

\|\cdot\|

는 유클리드 노름이다. 따라서 최소화 문제의 목적 함수는 다음과 같다.

:

\min_{u\in\operatorname{BV}(\Omega)} \; \int_\Omega\left[\|\nabla u\| + {\lambda \over 2}(f-u)^2 \right] \, dx

이 함수로부터, 시간 의존성을 가정하지 않는 최소화를 위한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 비선형 타원형 편미분 방정식을 제공한다.

:

\begin{cases}\nabla\cdot\left({\nabla u\over{\|\nabla u\|}} \right ) + \lambda(f-u) = 0, \quad &u\in\Omega \\{\partial u\over{\partial n}} = 0, \quad &u\in\partial\Omega\end{cases}

일부 수치 알고리즘의 경우, ROF 방정식의 시간 의존적 버전을 푸는 것이 선호된다.

:

{\partial u\over{\partial t}} = \nabla\cdot\left({\nabla u\over{\|\nabla u\|}} \right ) + \lambda(f-u)

5. 2. 오일러-라그랑주 방정식

잡음이 있는 영상

f

가 주어졌을 때, 2차원 공간에서 잡음이 제거된 영상

u

를 계산하기 위해, ROF는 다음과 같은 최소화 문제를 제시한다.^[5]

:

\min_{u\in\operatorname{BV}(\Omega)} \; \|u\|_{\operatorname{TV}(\Omega)} + {\lambda \over 2} \int_\Omega(f-u)^2 \, dx

여기서

\operatorname{BV}(\Omega)

는 영역

\Omega

에서 유계변동을 갖는 함수 집합이고,

\operatorname{TV}(\Omega)

는 해당 영역에서의 총 변동이며,

\lambda

는 페널티 항이다.

u

가 매끄러울 때, 총 변동은 기울기 크기의 적분과 같다.

:

\|u\|_{\operatorname{TV}(\Omega)} = \int_\Omega\|\nabla u\| \, dx

여기서

\|\cdot\|

는 유클리드 노름이다. 그러면 최소화 문제의 목적 함수는 다음과 같다.

:

\min_{u\in\operatorname{BV}(\Omega)} \; \int_\Omega\left[\|\nabla u\| + {\lambda \over 2}(f-u)^2 \right] \, dx

이 함수로부터, 시간 의존성을 가정하지 않는 최소화를 위한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 비선형 타원형 편미분 방정식을 제공한다.

:

\begin{cases}\nabla\cdot\left({\nabla u\over{\|\nabla u\|}} \right ) + \lambda(f-u) = 0, \quad &u\in\Omega \\{\partial u\over{\partial n}} = 0, \quad &u\in\partial\Omega\end{cases}

일부 수치 알고리즘의 경우, ROF 방정식의 시간 의존적 버전을 푸는 것이 더 선호된다.

:

{\partial u\over{\partial t}} = \nabla\cdot\left({\nabla u\over{\|\nabla u\|}} \right ) + \lambda(f-u)

5. 3. 시간 의존적 ROF 방정식

잡음이 있는 영상

f

가 주어졌을 때, 2차원 공간에서 잡음이 제거된 영상

u

를 계산하기 위해 ROF 모델은 다음 최소화 문제를 제시한다.^[5]

:

\min_{u\in\operatorname{BV}(\Omega)} \; \|u\|_{\operatorname{TV}(\Omega)} + {\lambda \over 2} \int_\Omega(f-u)^2 \, dx

여기서

\operatorname{BV}(\Omega)

는 영역

\Omega

에서 유계변동을 갖는 함수 집합이고,

\operatorname{TV}(\Omega)

는 해당 영역에서의 총 변동이며,

\lambda

는 페널티 항이다.

u

가 매끄러울 때, 총 변동은 기울기 크기의 적분과 같다.

:

\|u\|_{\operatorname{TV}(\Omega)} = \int_\Omega\|\nabla u\| \, dx

여기서

\|\cdot\|

는 유클리드 노름이다. 그러면 최소화 문제의 목적 함수는 다음과 같다.

:

\min_{u\in\operatorname{BV}(\Omega)} \; \int_\Omega\left[\|\nabla u\| + {\lambda \over 2}(f-u)^2 \right] \, dx

이 함수로부터 시간 의존성을 가정하지 않는 최소화를 위한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 비선형 타원형 편미분 방정식을 제공한다.

:

\begin{cases}\nabla\cdot\left({\nabla u\over{\|\nabla u\|}} \right ) + \lambda(f-u) = 0, \quad &u\in\Omega \\{\partial u\over{\partial n}} = 0, \quad &u\in\partial\Omega\end{cases}

일부 수치 알고리즘의 경우, ROF 방정식의 시간 의존적 버전을 푸는 것이 더 선호된다.

:

{\partial u\over{\partial t}} = \nabla\cdot\left({\nabla u\over{\|\nabla u\|}} \right ) + \lambda(f-u)

6. 응용 분야

블랙홀의 첫 번째 이미지를 생성하는 데 루딘-오셔-파테미 모델이 중추적인 역할을 했다.^[6]

6. 1. 블랙홀 이미지 생성

블랙홀의 첫 번째 이미지를 생성하는 데 루딘-오셔-파테미 모델이 중추적인 역할을 했다.^[6]

7. 한계 및 개선 방향

참조

_[1] 논문 Nonlinear total variation based noise removal algorithms
_[2] 논문 Edge-preserving and scale-dependent properties of total variation regularization
_[3] 간행물 Sparse Bayesian Step-Filtering for High-Throughput Analysis of Molecular Machine Dynamics http://www.maxlittle[...]
_[4] 논문 An algorithm for total variation minimization and applications
_[5] 웹사이트 Rudin–Osher–Fatemi Total Variation Denoising using Split Bregman https://www.ipol.im/[...] 2012
_[6] 웹사이트 Rudin–Osher–Fatemi Model Captures Infinity and Beyond https://www.ipam.ucl[...] 2019-04-15

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