변분법

3. 주요 개념

변분법은 함수를 입력으로 받아 스칼라 값을 출력하는 특별한 종류의 함수, 즉 범함수의 최대 또는 최소값(통칭하여 '''극값''')을 찾는 문제에 중점을 둔다.^[10][39] 범함수는 종종 "함수의 함수"로 설명된다.

어떤 함수 ''f''가 주어졌을 때, 이 함수 근방의 다른 함수 ''y''에 대해 범함수 값의 변화 Δ''J'' = ''J''[''y''] - ''J''[''f'']가 항상 같은 부호를 가지면, 범함수 ''J''[''y'']는 함수 ''f''에서 극값을 갖는다고 말한다. 이때 함수 ''f''를 '''극값 함수''' 또는 극값점이라고 부른다. 극값은 변화량 Δ''J''의 부호에 따라 국소 최댓값(Δ''J'' ≤ 0) 또는 국소 최솟값(Δ''J'' ≥ 0)으로 나뉜다.

특히, 연속 함수 공간에서 다루는 극값은 관련 함수의 도함수 조건에 따라 '''약한 극값'''과 '''강한 극값'''으로 구분된다.^[11][40] 강한 극값은 더 엄격한 조건을 만족해야 하므로 찾기 어렵지만, 약한 극값이기도 하다.^[12][41] 약한 극값을 찾기 위한 중요한 필요 조건 중 하나로 오일러-라그랑주 방정식이 있다.^[13][42]

3. 1. 범함수

3. 2. 정류값 (Extrema)

• 극댓값: $f$의 아주 작은 근방에 있는 모든 함수 $y$에 대해 $\backslash Delta\; J\; \backslash le\; 0$일 경우.
• 극솟값: $f$의 아주 작은 근방에 있는 모든 함수 $y$에 대해 $\backslash Delta\; J\; \backslash ge\; 0$일 경우.

• '''약한 극값''' (Weak extremum): 정류 함수 $f$의 1차 도함수가 연속일 필요는 없다.
• '''강한 극값''' (Strong extremum): 정류 함수 $f$의 1차 도함수까지 연속이어야 한다는 더 강한 조건이 요구된다.

3. 3. 변분

4. 오일러-라그랑주 방정식

오일러-라그랑주 방정식은 어떤 범함수(함수의 함수)를 최소 또는 최대로 만드는 함수를 찾기 위한 핵심적인 미분 방정식이다. 구체적으로, 다음과 같은 형태의 범함수 $S(q)$를 고려한다.

:$\backslash displaystyle\; S(q)\; =\; \backslash int\_a^b\; L(t,q(t),q\text{'}(t))\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}t$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

• $q(t)$: 찾고자 하는 함수. 시간 $t$에 따라 변하며, 구간 $[a,\; b]$에서 정의되고 미분 가능하다. 양 끝점에서의 값 $q(a)\; =\; x\_a,\; q(b)\; =\; x\_b$는 고정되어 있다.
• $q\text{'}(t)$: 함수 $q(t)$의 시간에 대한 도함수.
• $L(t,\; q(t),\; q\text{'}(t))$: 라그랑지언이라고 불리는 함수로, 시간 $t$, 함수 $q(t)$의 값, 그리고 그 도함수 $q\text{'}(t)$에 의존한다.

4. 1. 유도

4. 2. 응용

4. 3. 벨트라미 항등식

4. 4. 뒤 부아-레몽 정리

5. 오일러-푸아송 방정식

범함수 $S$가 $y(x)$의 고계 도함수에 의존하는 경우, 즉

$$S\; =\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\; f(x,\; y(x),\; y\text{'}(x),\; \backslash dots,\; y^\{(n)\}(x))\; dx,$$

와 같이 표현될 때, 오일러-라그랑주 방정식은 오일러-푸아송 방정식으로 일반화된다.^[17] 이 경우 함수 $y$는 다음의 오일러-푸아송 방정식을 만족해야 한다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}\; -\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\text{'}\}\; \backslash right)\; +\; \backslash dots\; +\; (-1)^\{n\}\; \backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y^\{(n)\}\}\; \backslash right]=\; 0.$$

6. 라브렌티예프 현상

힐베르트는 오일러-라그랑주 방정식이 정류 해를 제공하기 위한 좋은 조건을 처음으로 제시했다. 볼록 영역 내에서 세 번 미분 가능한 양의 라그랑지안에서 해는 경계를 따라 가거나 내부에서 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 가산 개의 단면으로 구성된다고 보았다.

그러나 1926년 라브렌티예프는 최적의 해가 존재하지 않으면서도, 단면의 수를 늘려 최적 값에 임의로 가까워질 수 있는 상황이 있음을 보였다. 라브렌티예프 현상(Явление Лаврентьева|야블레니예 라브렌티예바^rus)은 서로 다른 허용 함수 클래스 사이에서 최소화 문제의 하한(infimum) 값이 달라지는 현상을 말한다.^[18] 예를 들어, 1934년 마니아(Manià)가 제시한 다음 문제를 살펴보자:

$$L[x]\; =\; \backslash int\_0^1\; (x^3-t)^2\; x\text{'}^6,$$

$$\{A\}\; =\; \backslash \{x\; \backslash in\; W^\{1,1\}(0,1)\; :\; x(0)=0,\backslash \; x(1)=1\backslash \}.$$

여기서 $W^\{1,1\}(0,1)$은 소볼레프 공간의 일종으로, 함수 자체와 그 도함수가 적분 가능한 함수들의 모임이다.

이 문제에서 $x(t)\; =\; t^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$는 범함수 $L[x]$의 값을 0으로 만들어 최소화한다. 하지만 이 함수는 $t=0$에서 도함수 $x\text{'}(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}t^\{-\backslash frac\{2\}\{3\}\}$가 무한대로 발산하므로, $W^\{1,1\}(0,1)$ 공간에는 속하지만 도함수가 유계인 더 제한적인 함수 공간 $W^\{1,\; \backslash infty\}(0,1)$(즉, 립시츠 연속 함수들의 공간)에는 속하지 않는다. 마니아는 $W^\{1,\; \backslash infty\}(0,1)$에 속하는 어떤 함수 $x$를 사용하든 $L[x]$의 값은 특정 양수 값보다 항상 크다는 것을 보였다. 이는 더 넓은 함수 공간($W^\{1,1\}$)에서의 하한(0)과 더 좁은 함수 공간($W^\{1,\backslash infty\}$)에서의 하한(양수 값) 사이에 차이가 발생함을 의미하며, 이것이 바로 라브렌티예프 현상이다.

전통적으로 라브렌티예프 현상의 예시는 $W^\{1,1\}$과 $W^\{1,\backslash infty\}$ 공간 사이에서 나타났지만, Ball과 Mizel은 인 경우에 대해 $W^\{1,p\}$와 $W^\{1,q\}$ 사이에서도 라브렌티예프 현상을 보이는 첫 번째 범함수를 제시했다.^[19]

이러한 현상이 발생하지 않도록 보장하는 몇 가지 조건들이 알려져 있다. 예를 들어, 라그랑지안이 '표준 성장 조건'을 만족하거나, 라그랑지안이 독립 변수($t$ 등)에 명시적으로 의존하지 않거나, 또는 Cesari의 조건(D)을 만족하는 근사 수열이 존재하는 경우 등이다. 하지만 이러한 조건들은 종종 특정 상황에만 적용 가능하며, 제한된 종류의 범함수에만 해당될 수 있다.

라브렌티예프 현상은 반발 속성(repulsion property)과 관련이 있다. 라브렌티예프 현상을 보이는 모든 범함수는 약한 반발 속성을 나타내는 것으로 알려져 있다.^[20]

7. 여러 변수 함수

예를 들어, $\backslash varphi(x,\; y)$가 $x,y$ 평면의 영역 $D$ 위의 막의 변위를 나타낸다면, 그 위치 에너지는 표면적에 비례한다.

$$U[\backslash varphi]\; =\; \backslash iint\_D\; \backslash sqrt\{1\; +\backslash nabla\; \backslash varphi\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; \backslash varphi\}\; \backslash ,dx\backslash ,dy.$$

플라토 문제는 영역 $D$의 경계에서 주어진 값을 가지면서 표면적을 최소화하는 함수를 찾는 문제이다. 이 문제의 해는 '''극소 곡면'''이라고 불린다. 이 문제에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 비선형 방정식이다.

$$\backslash varphi\_\{xx\}(1\; +\; \backslash varphi\_y^2)\; +\; \backslash varphi\_\{yy\}(1\; +\; \backslash varphi\_x^2)\; -\; 2\backslash varphi\_x\; \backslash varphi\_y\; \backslash varphi\_\{xy\}\; =\; 0.$$

자세한 내용은 Courant (1950)에서 찾아볼 수 있다.

실제로는 막의 작은 변위만을 고려하는 경우가 많으며, 이 경우 변위가 없을 때와의 에너지 차이는 다음 식으로 근사할 수 있다.

$$V[\backslash varphi]\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash iint\_D\; \backslash nabla\; \backslash varphi\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; \backslash varphi\; \backslash ,\; dx\backslash ,\; dy.$$

이 범함수 $V$는 $D$의 경계에서 지정된 값을 가지는 모든 시험 함수 $\backslash varphi$ 중에서 최소화되어야 한다. 만약 $u$가 최소화 함수이고 $v$가 $D$의 경계에서 0이 되는 임의의 매끄러운 함수라면, $V[u\; +\; \backslash varepsilon\; v]$의 1차 변동은 0이 되어야 한다.

$$\backslash left.\backslash frac\{d\}\{d\backslash varepsilon\}\; V[u\; +\; \backslash varepsilon\; v]\backslash right|\_\{\backslash varepsilon=0\}\; =\; \backslash iint\_D\; \backslash nabla\; u\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; v\; \backslash ,\; dx\backslash ,dy\; =\; 0.$$

만약 $u$가 두 번 미분 가능하다면, 발산 정리를 적용하여 다음을 얻을 수 있다.

$$\backslash iint\_D\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (v\; \backslash nabla\; u)\; \backslash ,dx\backslash ,dy\; =$$

\iint_D \nabla u \cdot \nabla v + v \nabla \cdot \nabla u \,dx\,dy = \int_C v \frac{\partial u}{\partial n} \, ds,

여기서 $C$는 $D$의 경계이고, $s$는 $C$를 따라가는 호의 길이이며, $\backslash partial\; u\; /\; \backslash partial\; n$는 $C$에서 $u$의 법선 방향 도함수이다. $v$가 $C$에서 0이고 1차 변동이 0이므로, 결과는 다음과 같다.

$$\backslash iint\_D\; v\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; u\; \backslash ,dx\backslash ,dy\; =0$$

이는 $D$의 경계에서 0이 되는 모든 매끄러운 함수 $v$에 대해 성립한다. 1차원 적분의 경우와 유사한 논증을 통해 다음을 보일 수 있다.

$$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; u=\; 0\; \backslash quad\; \backslash text\{in\; \}\; D.$$

즉, 최소화 함수 $u$는 라플라스 방정식을 만족해야 한다.

이러한 추론 과정에는 최소화 함수 $u$가 두 번 미분 가능하다는 가정이 필요하다는 어려움이 있다. 리만(Riemann)은 물리적 문제와의 연관성을 통해 매끄러운 최소화 함수의 존재가 보장된다고 주장했다. 즉, 실제 막은 최소 위치 에너지를 갖는 형태로 존재할 것이라는 가정이다. 리만은 그의 스승 페터 구스타프 르죈 디리클레를 기리기 위해 이 아이디어를 디리클레 원리라고 명명했다. 그러나 바이어슈트라스(Weierstrass)는 해가 존재하지 않는 변분 문제의 예를 제시하며 디리클레 원리에 반례를 들었다. 예를 들어, $\backslash varphi(-1)=-1$ 및 $\backslash varphi(1)=1$을 만족하는 모든 함수 $\backslash varphi$ 중에서 다음 범함수를 최소화하는 문제를 생각해보자.

$$W[\backslash varphi]\; =\; \backslash int\_\{-1\}^\{1\}\; (x\backslash varphi\text{'})^2\; \backslash ,\; dx$$

이 범함수 $W$의 값은 원점 근처의 작은 구간에서 −1과 1 사이를 급격하게 변화하는 구간별 선형 함수를 선택함으로써 얼마든지 작게 만들 수 있다. 하지만 $W=0$을 만족시키는 함수는 존재하지 않는다. 디리클레 원리의 유효성에 대한 논쟁은 턴불(Turnbull)에 의해 설명된다.^[21] 결국 디리클레 원리는 유효하지만, 그 증명에는 타원형 편미분 방정식에 대한 정교한 정규성 이론의 적용이 필요하다는 것이 밝혀졌다. 자세한 내용은 Jost 및 Li–Jost (1998)를 참조하라.

막의 위치 에너지에 대한 더 일반적인 표현은 다음과 같다.

$$V[\backslash varphi]\; =\; \backslash iint\_D\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash nabla\; \backslash varphi\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; \backslash varphi\; +\; f(x,y)\; \backslash varphi\; \backslash right]\; \backslash ,\; dx\backslash ,dy\; \backslash ,\; +\; \backslash int\_C\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sigma(s)\; \backslash varphi^2\; +\; g(s)\; \backslash varphi\; \backslash right]\; \backslash ,\; ds.$$

여기서 $f(x,y)$는 영역 $D$에서의 외부 힘 밀도, $g(s)$는 경계 $C$에서의 외부 힘, $\backslash sigma(s)$는 $C$에 작용하는 탄성력(탄성 계수)에 해당한다. 경계 값에 제한을 두지 않고 위치 에너지를 최소화하는 함수를 $u$라고 하자. 만약 $f$와 $g$가 연속이라면, 정규성 이론에 따라 최소화 함수 $u$는 두 번 미분 가능하다. 첫 번째 변분을 계산할 때, 증분 함수 $v$에 대해 경계 조건을 부과할 필요가 없다. $V[u\; +\; \backslash varepsilon\; v]$의 첫 번째 변분은 다음과 같다.

$$\backslash iint\_D\; \backslash left[\; \backslash nabla\; u\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; v\; +\; f\; v\; \backslash right]\; \backslash ,\; dx\backslash ,\; dy\; +\; \backslash int\_C\; \backslash left[\; \backslash sigma\; u\; v\; +\; g\; v\; \backslash right]\; \backslash ,\; ds\; =\; 0.$$

발산 정리를 적용하면 다음을 얻는다.

$$\backslash iint\_D\; \backslash left[\; -v\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; u\; +\; v\; f\; \backslash right]\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; +\; \backslash int\_C\; v\; \backslash left[\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; n\}\; +\; \backslash sigma\; u\; +\; g\; \backslash right]\; \backslash ,\; ds\; =0.$$

먼저 $v\; =\; 0$ on $C$인 경우를 고려하면 경계 적분이 사라지고, 이전과 같이 다음 결론을 얻는다.

$$-\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; u\; +\; f\; =0\; \backslash quad\; \backslash text\{in\; \}\; D.$$

그 다음, $v$가 임의의 경계 값을 가질 수 있도록 허용하면, 이는 $u$가 다음 경계 조건을 만족해야 함을 의미한다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; n\}\; +\; \backslash sigma\; u\; +\; g\; =0,\; \backslash quad\; \backslash text\{on\; \}\; C.$$

이 경계 조건은 $u$의 최소화 속성으로부터 유도된 것이며, 사전에 부과된 것이 아니다. 이러한 조건을 '''자연 경계 조건'''이라고 한다.

앞선 논의는 $\backslash sigma$가 $C$ 위에서 항상 0인 경우에는 유효하지 않다. 이 경우, 상수 함수 $\backslash varphi\; \backslash equiv\; c$를 시험 함수로 사용할 수 있다. 이러한 시험 함수에 대해,

$$V[c]\; =\; c\backslash left[\; \backslash iint\_D\; f\; \backslash ,\; dx\backslash ,dy\; +\; \backslash int\_C\; g\; \backslash ,\; ds\; \backslash right].$$

만약 대괄호 안의 양이 0이 아니라면, $c$를 적절히 선택하여 $V$가 임의의 값을 가지도록 만들 수 있다. 따라서 변분 문제는 다음 조건이 만족되지 않으면 의미가 없다.

$$\backslash iint\_D\; f\; \backslash ,\; dx\backslash ,dy\; +\; \backslash int\_C\; g\; \backslash ,\; ds\; =0.$$

이 조건은 시스템에 작용하는 총 외부 힘이 평형 상태에 있음을 의미한다. 만약 힘들이 평형 상태에 있다면, 변분 문제는 해를 가지지만, 해에 임의의 상수를 더해도 여전히 해가 되므로 해는 유일하지 않다. 더 자세한 내용과 예시는 Courant와 Hilbert (1953)에서 찾아볼 수 있다.

8. 고유값 문제

1차원 및 다차원 '''고유값 문제'''는 변분 문제로 공식화될 수 있다.^[1] 슈트름-리우빌 이론과 밀접한 관련이 있다.

슈트름-리우빌 고유값 문제는 다음과 같은 일반적인 이차 형식과 관련된다.

$$Q[y]\; =\; \backslash int\_\{x\_1\}^\{x\_2\}\; \backslash left[\; p(x)\; y\text{'}(x)^2\; +\; q(x)\; y(x)^2\; \backslash right]\; \backslash ,\; dx,$$

여기서 함수 $y$는 경계 조건 $y(x\_1)=0,\; \backslash quad\; y(x\_2)=0$을 만족해야 한다. 정규화 적분 $R$은 다음과 같이 정의된다.

$$R[y]\; =\backslash int\_\{x\_1\}^\{x\_2\}\; r(x)y(x)^2\; \backslash ,\; dx.$$

함수 $p(x)$와 $r(x)$는 항상 양수이며 0보다 충분히 큰 값을 가진다고 가정한다. 주요 변분 문제는 주어진 경계 조건을 만족하는 모든 함수 $y$ 중에서 비율 $Q/R$을 최소화하는 함수를 찾는 것이다. 이는 $R[y]$를 상수로 고정하고 $Q[y]$를 최소화하는 문제와 동일하다. 이 최소화 문제를 푸는 함수 $u$는 오일러-라그랑주 방정식을 만족한다.

$$-(p\; u\text{'})\text{'}\; +q\; u\; -\backslash lambda\; r\; u\; =\; 0,$$

여기서 $\backslash lambda$는 비율 $\backslash lambda\; =\; \backslash frac\{Q[u]\}\{R[u]\}$이다. 최소값을 만드는 함수 $u$는 두 번 미분 가능하며 위 오일러-라그랑주 방정식을 만족시킨다는 것을 보일 수 있다.^[2] 이때의 $\backslash lambda$는 주어진 방정식과 경계 조건을 만족하는 가장 작은 고유값이며 $\backslash lambda\_1$로 표시한다. 해당 고유값에 대응하는 최소화 함수는 $u\_1(x)$로 표시된다.

고유값의 이러한 변분적 특성은 고유값의 근사값을 구하는 레일리-리츠 방법으로 이어진다. 이 방법에서는 해 $u$를 기저 함수(예: 삼각 함수)의 선형 결합으로 근사하고, 이 선형 결합 중에서 비율 $Q/R$을 최소화하는 계수를 찾아 유한 차원에서의 최소화 문제를 푼다. 이 방법은 종종 매우 정확한 근사값을 제공한다.^[1]

다음으로 작은 고유값과 고유 함수는 첫 번째 고유함수 $u\_1(x)$와 직교한다는 추가 제약 조건, 즉

$$\backslash int\_\{x\_1\}^\{x\_2\}\; r(x)\; u\_1(x)\; y(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0$$

하에서 $Q$를 최소화하여 얻을 수 있다. 이 과정을 반복하면 문제에 대한 모든 고유값과 고유함수를 순서대로 얻을 수 있다.^[1]

변분 문제는 더 일반적인 경계 조건에도 적용될 수 있다. 함수 $y$가 양 끝점에서 0이 되어야 한다는 조건 대신, 끝점에서 특별한 조건을 부과하지 않고 범함수 $Q[y]$를 다음과 같이 설정할 수 있다.

$$Q[y]\; =\; \backslash int\_\{x\_1\}^\{x\_2\}\; \backslash left[\; p(x)\; y\text{'}(x)^2\; +\; q(x)y(x)^2\; \backslash right]\; \backslash ,\; dx\; +\; a\_1\; y(x\_1)^2\; +\; a\_2\; y(x\_2)^2,$$

여기서 $a\_1$과 $a\_2$는 임의의 상수이다. 이 경우, $Q/R$ 비율을 최소화하는 함수 $u$는 오일러-라그랑주 방정식 $-(p\; u\text{'})\text{'}\; +\; q\; u\; -\backslash lambda\; r\; u\; =0$ (단, )을 만족할 뿐만 아니라, 다음과 같은 경계 조건도 만족해야 한다.

$$-p(x\_1)u\text{'}(x\_1)\; +\; a\_1\; u(x\_1)=0,\; \backslash quad\; \backslash hbox\{and\}\; \backslash quad\; p(x\_2)\; u\text{'}(x\_2)\; +\; a\_2\; u(x\_2)=0.$$

이러한 경계 조건은 최소화를 위한 시험 함수에 미리 부과된 것이 아니라 최소화 과정의 결과로 자연스럽게 도출되므로 '''자연 경계 조건'''이라고 불린다.^[1]

고차원에서의 고유값 문제도 1차원 경우와 유사하게 정의된다. 예를 들어, 3차원 공간에서 경계 $B$를 가진 영역 $D$가 주어졌을 때, 범함수 $Q$와 $R$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$Q[\backslash varphi]\; =\; \backslash iiint\_D\; \backslash left(\; p(X)\; |\backslash nabla\; \backslash varphi|^2\; +\; q(X)\; \backslash varphi^2\; \backslash right)\; \backslash ,\; dV\; +\; \backslash iint\_B\; \backslash sigma(S)\; \backslash varphi^2\; \backslash ,\; dS,$$

$$R[\backslash varphi]\; =\; \backslash iiint\_D\; r(X)\; \backslash varphi(X)^2\; \backslash ,\; dV.$$

경계 $B$에 대한 조건 없이 비율 $Q[\backslash varphi]\; /\; R[\backslash varphi]$를 최소화하는 함수를 $u$라고 하면, $u$가 만족하는 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 편미분 방정식 형태가 된다.

$$-\backslash nabla\; \backslash cdot\; (p(X)\; \backslash nabla\; u)\; +\; q(x)\; u\; -\; \backslash lambda\; r(x)\; u=0,$$

여기서 $\backslash lambda\; =\; \backslash frac\{Q[u]\}\{R[u]\}$이다. 최소화 함수 $u$는 또한 경계 $B$에서 다음과 같은 자연 경계 조건을 만족해야 한다.

$$p(S)\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; n\}\; +\; \backslash sigma(S)\; u\; =\; 0,$$

여기서 $\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; n\}$는 경계면 $B$에서의 법선 방향 미분이다. 이 결과는 타원형 편미분 방정식에 대한 정칙성 이론에 의존한다.^[3] 고유값의 완전성, 점근적 성질, 고유 함수의 마디(node)에 관한 결과를 포함한 많은 확장 내용은 Courant와 Hilbert(1953)에서 찾아볼 수 있다.^[4]

9. 변분 및 최소값에 대한 충분 조건

변분법은 범함수의 인수인 함수에 작은 변화가 생길 때 범함수 값이 얼마나 변하는지, 즉 범함수의 '변분'을 다룬다. 이 변화량에서 선형적인 부분을 '''제1 변분'''이라 하고, 이차적인 부분을 '''제2 변분'''이라고 한다.^[22][43]

예를 들어, 함수 $y\; =\; y(x)$를 인수로 갖는 범함수 $J[y]$가 있다고 하자. 인수 함수 $y$에 $y$와 같은 함수 공간에 속하는 작은 변화 함수 $h\; =\; h(x)$를 더해 $y\; +\; h$로 만들었을 때, 범함수 값의 변화량 $\backslash Delta\; J[h]$는 다음과 같이 정의된다.^[23][44]

$$\backslash Delta\; J[h]\; =\; J[y+h]\; -\; J[y].$$

범함수 $J[y]$가 '''미분가능'''하다는 것은, 어떤 선형 범함수 $\backslash varphi[h]$가 존재하여^[24][45] 다음 식을 만족하는 것을 의미한다.

$$\backslash Delta\; J[h]\; =\; \backslash varphi\; [h]\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash |h\backslash |.$$

여기서 $\backslash |h\backslash |$는 함수 $h$의 노름 (예: 균일 노름)이며,^[25][46] $\backslash |h\backslash |\; \backslash to\; 0$일 때 $\backslash varepsilon\; \backslash to\; 0$이다. 이 선형 범함수 $\backslash varphi[h]$를 $J[y]$의 '''제1 변분'''이라 하고, $\backslash delta\; J[h]$로 표기한다.^[26][47]

$$\backslash delta\; J[h]\; =\; \backslash varphi[h].$$

범함수 $J[y]$가 '''두 번 미분가능'''하다는 것은, 제1 변분 $\backslash varphi\_1[h]$와 이차 범함수 $\backslash varphi\_2[h]$가 존재하여^[27][48] 다음 식을 만족하는 것을 의미한다.

$$\backslash Delta\; J[h]\; =\; \backslash varphi\_1\; [h]\; +\; \backslash varphi\_2\; [h]\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash |h\backslash |^2.$$

여기서 $\backslash |h\backslash |\; \backslash to\; 0$일 때 $\backslash varepsilon\; \backslash to\; 0$이다. 이 이차 범함수 $\backslash varphi\_2[h]$를 $J[y]$의 '''제2 변분'''이라 하고, $\backslash delta^2\; J[h]$로 표기한다.^[28][49]

$$\backslash delta^2\; J[h]\; =\; \backslash varphi\_2[h].$$

제2 변분 $\backslash delta^2\; J[h]$가 '''강하게 양(strongly positive)'''이라는 것은, 어떤 상수 $k\; >\; 0$가 존재하여 모든 $h$에 대해 다음 부등식이 성립하는 것을 의미한다.^[29][50]

$$\backslash delta^2J[h]\; \backslash ge\; k\; \backslash |h\backslash |^2.$$

이러한 정의들을 바탕으로, 범함수가 최소값을 갖기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

'''최소값에 대한 충분 조건:'''

범함수 $J[y]$는 $y\; =\; \backslash hat\{y\}$에서 제1 변분 $\backslash delta\; J[h]\; =\; 0$이고 제2 변분 $\backslash delta^2\; J[h]$가 강하게 양이면, $y\; =\; \backslash hat\{y\}$에서 최소값(극소값)을 갖는다.^[30][51] 이는 일반적인 함수에서 제1 도함수가 0이고 제2 도함수가 양수일 때 극소값을 갖는다는 조건과 유사하다. 더 자세한 충분 조건(약한 최소값, 강한 최소값)은 관련 문헌에서 찾아볼 수 있다.

10. 응용 분야

변분법은 다양한 과학 및 공학 분야에서 중요한 도구로 사용된다. 주요 응용 분야는 다음과 같다.

'''광학'''

페르마의 원리에 따르면, 빛은 두 점 사이를 이동할 때 광학적 길이가 최소가 되는 경로를 따른다. 경로를 $y=f(x)$로 표현하고, 매질의 굴절률을 $n(x,y)$라고 할 때, 광학적 길이는 범함수 $A[f]$로 주어진다.

$$A[f]\; =\; \backslash int\_\{x\_0\}^\{x\_1\}\; n(x,f(x))\; \backslash sqrt\{1\; +\; f\text{'}(x)^2\}\; dx$$

이 범함수의 제1 변분 $\backslash delta\; A$를 계산하고 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 빛의 경로를 결정하는 방정식을 얻을 수 있다.

$$-\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash left[\backslash frac\{\; n(x,f\_0)\; f\_0\text{'}\}\{\backslash sqrt\{1\; +\; f\_0\text{'}^2\}\}\; \backslash right]\; +\; n\_y\; (x,f\_0)\; \backslash sqrt\{1\; +\; f\_0\text{'}(x)^2\}\; =\; 0$$

이러한 접근 방식은 라그랑지안 광학 및 해밀턴 광학의 기초가 된다.

특히, 빛이 서로 다른 굴절률($n\_\{(-)\}$, $n\_\{(+)\}$)을 가진 매질의 경계면($x=0$)을 통과할 때, 경로 함수 $f(x)$는 연속이지만 그 도함수 $f\text{'}(x)$는 불연속일 수 있다. 이 경우, 제1 변분 $\backslash delta\; A$가 0이 되는 조건은 다음과 같다.

$$\backslash delta\; A[f\_0,f\_1]\; =\; f\_1(0)\backslash left[\; n\_\{(-)\}\backslash frac\{f\_0\text{'}(0^-)\}\{\backslash sqrt\{1\; +\; f\_0\text{'}(0^-)^2\}\}\; -\; n\_\{(+)\}\backslash frac\{f\_0\text{'}(0^+)\}\{\backslash sqrt\{1\; +\; f\_0\text{'}(0^+)^2\}\}\; \backslash right]\; =\; 0$$

이는 입사각과 굴절각 사이의 관계를 나타내는 스넬의 법칙, 즉 $n\_\{(-)\}\; \backslash sin\; \backslash theta\_\{inc\}\; =\; n\_\{(+)\}\; \backslash sin\; \backslash theta\_\{ref\}$과 동일하다. 결국 스넬의 법칙은 광학적 경로 길이의 변분이 사라진다는 조건과 같음을 알 수 있다.

'''역학'''

고전역학에서 작용 $S$는 라그랑지안 $L$을 시간에 대해 적분한 값으로 정의된다. 라그랑지안은 시스템의 운동 에너지 $T$와 포텐셜 에너지 $U$의 차이($L\; =\; T\; -\; U$)이다. 해밀턴 원리(작용 원리)는 보존적인 홀로노믹 시스템의 실제 운동 경로는 작용 적분

$$S\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\_1\}\; L(x,\; \backslash dot\; x,\; t)\; \backslash ,\; dt$$

을 정상(stationary) 상태로 만드는 경로라는 원리이다. 이 원리로부터 유도되는 오일러-라그랑주 방정식은 라그랑주 방정식으로 알려져 있으며, 뉴턴의 운동 방정식과 동등하다.

$$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\; x\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; x\}$$

해밀턴 역학은 라그랑지안을 르장드르 변환하여 해밀토니안 $H$(시스템의 총 에너지, $H\; =\; T\; +\; U$)를 도입하는 방식이다.

$$H(x,\; p,\; t)\; =\; p\; \backslash ,\backslash dot\; x\; -\; L(x,\backslash dot\; x,\; t)$$

여기서 $p$는 일반화 운동량($p\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\; x\}$)이다. 해밀턴 역학의 기본 방정식은 해밀턴-야코비 방정식으로 표현될 수도 있다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; H\backslash left(x,\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; x\},t\backslash right)\; =\; 0$$

'''기타 응용 분야'''

변분법은 위에서 설명한 광학 및 역학 외에도 다양한 문제 해결에 활용된다.

• 현수선 모양 유도
• 뉴턴의 최소 저항 문제 해결
• 최단 강하 곡선 문제 해결
• 등시 곡선 문제 해결
• 등주 문제 해결
• 측지선 계산
• 최소 곡면 탐색 및 플라토 문제 해결
• 최적 제어 이론
• 해석 역학 (라그랑주 역학, 해밀턴 역학)의 정립
• 기하 광학 (라그랑지안 광학, 해밀턴 광학)
• 양자역학의 변분 원리: 바닥 상태 및 일부 들뜬 상태 에너지 근사 계산
• 변분 베이즈 방법: 베이즈 추론 및 기계 학습에서 적분 근사
• 일반 상대성 이론의 변분법: 일반 상대성 이론 문제 해결
• 유한 요소법: 미분 방정식의 경계값 문제에 대한 수치 해법
• 전체 변동 노이즈 제거: 이미지 처리에서 노이즈 필터링 기법

참조

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