전체집합
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1. 개요
전체집합은 모든 집합을 원소로 포함하는 집합을 의미하며, 집합론에서 중요한 개념이다. 콰인의 새 기초와 같은 일부 집합론 체계에서는 전체집합의 존재를 허용하지만, 러셀의 역설, 정칙성 공리, 외연 공리, 칸토어의 정리 등으로 인해 많은 집합론에서는 전체집합의 존재를 부정한다. 전체집합의 대안으로는 제한된 외연 공리, 고유 클래스, 집합의 범주 등이 있다.
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- 집합론 체계 - 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론
폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 집합과 모임 두 종류의 객체를 다루는 공리적 집합론으로, 모든 집합은 모임이 되며, 집합론적 역설을 피하고 모임을 다루면서 ZFC의 보존적 확장이자 유한 공리화 가능 이론이고 클래스 개념을 통해 ZFC보다 강력한 선택 공리를 허용한다. - 집합론 체계 - 새 기초
새 기초(NF)는 유한 공리화가 가능한 집합론의 한 종류로, 층화된 이해를 기반으로 외연성 공리를 포함한 다양한 공리들을 통해 집합을 정의하고 연산하며, 러셀의 역설과 같은 문제 해결을 위한 대안으로 콰인이 1937년에 제안하였다. - 소박한 집합론의 역설 - 러셀의 역설
러셀의 역설은 자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합들의 집합을 정의할 때 발생하는 모순으로, 논리 체계의 불일관성을 드러내고 공리적 집합론 발전과 수학 기초론 재검토를 촉진했으며, 자기 참조 문제와 논리 체계 일관성에 대한 질문을 제기하는 유사한 역설들이 존재한다. - 소박한 집합론의 역설 - 칸토어 역설
칸토어 역설은 가장 큰 기수가 존재한다는 가정의 모순을 통해 기수들의 모임이 집합이 아닌 고유 모임임을 보이는 역설이다. - 기초관계 - 정렬 원리
정렬 원리는 자연수의 부분집합이 항상 최소 원소를 갖는다는 속성으로, 수학적 귀납법과 동치이며 다양한 수학적 증명에 활용된다. - 기초관계 - 정렬 원순서 집합
정렬 원순서 집합은 무한 증가 부분열 존재, 내림 사슬 조건 만족 등 여러 동치 조건을 만족하며, 시뮬레이션과 순서형 개념으로 분석되고, 선택 공리와 동치 관계에 있으며, 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 만들 수 있다.
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2. 전체집합이 존재하는 집합론 체계
윌라드 반 오만 콰인의 새기초는 전체집합이 존재하는 집합론 체계 중 가장 많이 쓰이는 것이다.[1] 알론조 처치와 아놀드 오버셜프(Arnold Oberschelp)도 전체집합이 있는 집합론을 발표한 바 있다.[1]
일관성이 있는 것으로 알려진 집합론에서는 전체 집합 V영어가 존재하며(가 참이다), 체르멜로의 공리는 일반적으로 성립하지 않고, 순진 집합론의 공리 역시 다른 방식으로 제한된다. 전체 집합을 포함하는 집합론은 필연적으로 비정초 집합론이다.
또 다른 예는 양의 집합론으로, 공리적 이해는 양의 논리식(부정을 포함하지 않는 논리식)에 대해서만 성립하도록 제한된다. 이러한 집합론은 위상 수학의 닫힘 개념에 의해 동기 부여된다.
2. 1. 새기초 (New Foundations)
윌라드 반 오만 콰인이 제시한 새기초는 전체집합이 존재하는 집합론 체계 중 가장 널리 연구되는 것이다.[1] 알론조 처치와 아놀드 오버셜프(Arnold Oberschelp)도 전체집합을 포함하는 집합론을 연구했다.[1] 처치는 자신의 이론이 콰인의 이론과 일관된 방식으로 확장될 수 있다고 추측했지만, 오버셜프의 이론에서는 단일 집합 함수가 증명 가능한 집합이기 때문에 이는 새 기초에서 즉시 역설로 이어진다.3. 전체집합 비존재의 근거
대부분의 집합론에서는 전체집합의 존재를 허용하지 않는다. 전체집합이 존재하지 않는다는 주장은 여러 가지가 있으며, 이는 집합론에서 선택하는 공리에 따라 달라진다.
러셀의 역설은 자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합이 불가능하다는 것을 보여준다. 만약 그러한 집합이 존재한다면, 그 집합은 자기 자신을 포함할 수도 없고, 포함하지 않을 수도 없는 모순에 빠진다.[1] 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정칙성 공리와 쌍 공리를 통해 어떤 집합도 자기 자신을 포함할 수 없도록 규정한다. 또한, 제한된 외연 공리를 통해 러셀의 역설과 같은 모순을 피한다.[1]
칸토어의 정리는 모든 집합의 멱집합이 그 집합 자체보다 더 큰 기수를 가진다는 것을 보여준다. 만약 전체집합이 존재한다면, 그 멱집합은 전체집합의 부분집합이 되어야 하는데, 이는 칸토어의 정리와 모순된다.[1]
3. 1. 러셀의 역설 (Russell's paradox)
러셀의 역설은 자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합을 가정할 때 발생하는 역설이다. 만약 그러한 집합이 존재한다면, 그 집합은 자기 자신을 포함할 수도 없고(그 원소들은 모두 자기 자신을 포함하지 않으므로) 자기 자신을 포함하지 않을 수도 없다(만약 그렇게 된다면, 그 집합은 자신의 원소 중 하나로 포함되어야 한다).[1] 이 역설은 체르멜로의 외연 공리 또는 정칙성 공리 및 쌍 공리를 포함하는 집합론에서 전체집합의 존재를 부정하는 근거가 된다.3. 1. 1. 정칙성 공리와 쌍 공리
체르멜로-프렝켈 집합론에서 정칙성 공리와 쌍 공리는 어떤 집합도 자기 자신을 원소로 가질 수 없음을 의미한다. 어떤 집합 에 대해, 쌍 공리를 사용하여 구성된 집합 는 정칙성 공리에 의해 와 서로소인 원소를 반드시 포함한다. 의 유일한 원소는 이므로, 는 와 서로소여야 하며, 따라서 는 자기 자신을 포함하지 않는다. 전체집합은 필연적으로 자기 자신을 포함해야 하므로, 이 공리들 하에서는 존재할 수 없다.3. 1. 2. 외연 공리 (Comprehension)
체르멜로의 제한된 외연 공리는 주어진 조건을 만족하는 원소들로 이루어진 집합의 존재성을 보장한다.[1] 이 공리를 전체집합에 적용하면 러셀의 역설이 발생하여 모순이 생긴다.[1]이 공리는 임의의 공식 와 임의의 집합 에 대해, 는 를 만족하는 의 해당 원소들을 포함하는 집합이 존재한다고 명시한다.
이 공리를 전체 집합 에 적용하고, 를 로 정의하면, 러셀의 역설적인 집합이 존재하게 되어 모순이 발생한다. 이러한 모순 때문에 외연 공리는 주어진 공식을 만족하는 모든 집합의 집합이 아닌, 주어진 집합의 부분 집합의 존재를 주장하는 제한된 형태로 명시되었다.[1]
3. 2. 칸토어의 정리 (Cantor's theorem)
칸토어의 정리에 따르면 모든 집합(무한 집합이든 아니든)의 멱집합은 항상 그 집합 자체보다 엄격하게 더 높은 기수를 갖는다.[1] 그런데 보편 집합(모든 집합의 집합)의 멱집합은 집합들의 집합이므로, (둘 다 존재한다면) 반드시 모든 집합의 집합의 부분 집합이 되어야 한다.[1] 이는 칸토어의 정리와 모순된다.[1]4. 전체집합 개념의 대안
전체 집합과 관련된 문제는 집합 구성 공리를 어떤 방식으로든 제한하는 집합론의 변형을 사용하거나, 집합으로 간주되지 않는 보편적인 객체를 사용함으로써 피할 수 있다.
4. 1. 제한된 외연 공리 (Restricted comprehension)
체르멜로의 제한된 외연 공리를 포함하는 집합론에서는 전체 집합의 존재가 허용되지 않는다.[1] 이 공리는 임의의 공식 \(\varphi(x)\)와 임의의 집합 \(A\)에 대해, \(\varphi\)를 만족하는 \(A\)의 원소만을 포함하는 집합 \(\{x \in A \mid \varphi(x)\}\)가 존재한다고 명시한다. 만약 이 공리를 전체 집합 \(A\)에 적용하고 \(\varphi(x)\)를 \(x \notin x\)로 정의하면, 러셀의 역설적인 집합이 존재하게 되어 모순이 발생한다. 따라서 외연 공리는 주어진 공식을 만족하는 모든 집합의 집합이 아닌, 주어진 집합의 부분 집합의 존재를 주장하는 제한된 형태로 사용된다.[1](일반적인 집합론이 일관성이 있다는 전제 하에) 전체 집합 \(\textrm{V}\)가 존재하는 집합론에서는 체르멜로의 공리가 일반적으로 성립하지 않으며, 순진 집합론의 공리 역시 다른 방식으로 제한된다. 이러한 집합론은 필연적으로 비정초 집합론이다.
전체 집합을 가진 대표적인 집합론으로는 윌라드 밴 오먼 콰인의 새 기초가 있다. 앨런조 처치와 아놀드 오버셸프도 이러한 집합론을 연구했다. 처치는 자신의 이론이 콰인의 이론과 일관되게 확장될 수 있다고 추측했지만,[1] 오버셸프의 이론에서는 불가능했다. 오버셸프의 이론에서는 단일 집합 함수가 증명 가능한 집합이 되는데, 이는 새 기초에서 바로 역설로 이어지기 때문이다.
또 다른 예는 양의 집합론으로, 여기서는 공리적 이해가 양의 논리식(부정을 포함하지 않는 논리식)에 대해서만 성립하도록 제한된다. 이러한 집합론은 위상수학의 닫힘 개념에서 아이디어를 얻었다.
4. 2. 고유 클래스 (Proper class)
V영어와 같이 집합으로 간주하기에는 너무 큰 대상을 고유 클래스로 취급하는 방법이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 모든 집합에 대한 양화사 사용을 허용하기 때문에([1] 전칭 기호 참조), 역설을 생성하지 않고 전체집합과 유사하게 동작하는 개체를 허용해야 할 필요성이 있다. 이를 위해 V영어와 같은 대규모 컬렉션을 집합이 아닌 고유 클래스로 설명한다. 러셀의 역설은 이러한 이론에는 적용되지 않는데, 이는 이해 공리가 클래스가 아닌 집합에 대해 작동하기 때문이다.[1]집합의 범주도 전체 객체로 간주될 수 있지만, 집합 자체는 아니다. 집합의 범주는 모든 집합을 요소로 가지며, 한 집합에서 다른 집합으로 가는 모든 함수에 대한 화살표를 포함한다.[1]
참조
[1]
harvtxt
[2]
harvnb
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