새 기초

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1. 개요

새 기초(New Foundations, NF)는 명제 계산법의 표준 공식으로, 등호와 원소 관계를 갖는 무종류 1차 이론이다. 외연성 공리와 제한된 분리 공리라는 두 가지 공리 도식으로 제시되며, 층화된 논리식을 사용한다. 단순 유형 집합론(TST)과 밀접한 관련이 있으며, 꼬인 유형 집합론(TTT)과 근원소를 갖는 새 기초(NFU) 등의 변형이 존재한다. NF는 러셀의 역설, 칸토어의 역설, 부랄리-포르티 역설을 해결하며, 유한 공리화가 가능하다. 2024년, 린 증명 보조자를 사용한 홈스의 증명으로 NF의 무모순성이 확인되었다.

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새 기초

2. 정의

새 기초는 무종류(unsorted^영어) 1차 이론이며, 이항 관계 $\in$ 를 갖는다.

새 기초의 논리식 $\phi$ 에 대하여, $\phi$ 에 등장하는 변수의 집합을 $\operatorname{var}(\phi)$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 함수 $f\colon\operatorname{var}(\phi)\to\mathbb N$ 이 존재한다면, $\phi$ 를 '''층화 논리식'''(stratified formula^영어)이라고 한다.

$\phi$ 에 등장하는 각 변수 $x$ 를 유형이 $f(x)$ 인 변수로 여기면 TST의 논리식을 얻는다. 즉, 만약 $x=y$ 가 $\phi$ 의 부분 논리식이라면 $f(x)=f(y)$ 이며, 만약 $x\in y$ 가 $\phi$ 의 부분 논리식이라면 $f(y)=f(x)+1$ 이다.

새 기초의 공리계는 다음과 같다.

(확장 공리) $\forall x\forall y(\forall z(z\in x\iff z\in y)\implies x=y)$
(층화 분류 공리 기본꼴, axiom schema of stratified comprehension^영어) $x_1,x_2,\dots,x_n,z$ 를 자유 변수로 갖는 층화 논리식 $\phi$ 에 대하여, $\forall x_1\forall x_2\cdots\forall x_n\exist y\forall z(z\in y\iff\phi)$

층화 분류 공리 기본꼴은 무한한 수의 층화 분류 공리들로 이루어지지만, 어떤 유한 개의 층화 분류 공리와 동치임을 보일 수 있다. 따라서 새 기초는 유한 공리화 가능 이론이다.^[11]

'''근원소를 갖는 새 기초'''(New Foundations with urelements^영어, 약자 NFU)는 새 기초와 유사하나, 근원소(urelement^영어)의 존재를 허용하는 집합론이다. 새 기초의 공리계에서 확장 공리를 다음과 같은 공리로 대체한다.

(공집합이 아닌 집합에 대한 확장 공리) $\forall x\forall y((\exists z(z\in x)\land\forall w(w\in x\iff w\in y))\implies x=y)$

마찬가지로, '''근원소를 갖는 단순 유형 집합론'''(simple type theory with urelements^영어, 약자 TSTU)과 '''근원소를 갖는 꼬인 유형 집합론'''(tangled type theory with urelements^영어, 약자 TTTU)도 정의할 수 있다.

2. 1. 단순 유형 집합론 (TST)

'''단순 유형 집합론'''(simple type theory (of sets)^영어, théorie simple des types^프랑스어, 약자 TST)은 자연수 종류를 갖는 다종류(many-sorted^영어) 1차 이론이며, 이항 관계

\in

를 갖는다.

x\in y

가 논리식이려면

y

의 종류가

x

의 종류보다 1 커야 한다. TST의 공리계는 다음과 같은 두 공리 기본꼴로 구성된다.

(확장 공리 기본꼴) $\forall x^{i+1}\forall y^{i+1}(\forall z^i(z^i\in x^{i+1}\iff z^i\in y^{i+1})\implies x^{i+1}=y^{i+1})$
(분류 공리 기본꼴) $x_1,x_2,\dots,x_n,z^i$ 를 자유 변수로 갖는 논리식 $\phi$ 에 대하여, $\forall x_1\forall x_2\cdots\forall x_k\exists y^{i+1}\forall z^i(z^i\in y^{i+1}\iff\phi)$

2. 2. 꼬인 유형 집합론 (TTT)

꼬인 유형 집합론(tangled type theory (of sets)^영어}, 약자 TTT)은 TST와 유사하나, 논리식

x \in y

에서

y

의 종류와

x

의 종류의 차가 정확히 1일 필요가 없다. 구체적으로, TTT는 자연수 종류를 갖는 다종류 1차 이론이며, 이항 관계

\in

을 갖는다. 논리식

x \in y

에서,

y

의 종류는

x

의 종류보다 크다. TTT의 공리계는 다음과 같다.

TST의 공리 $\phi$ 및 단사 증가 함수 $s\colon\mathbb N\to\mathbb N$ 에 대하여, $s(\phi)$ . 여기서 $s(\phi)$ 는 $\phi$ 에 등장하는 임의의 변수 $x^i$ 를 $x^{s(i)}$ 로 대체한 논리식이다.

2. 3. 새 기초 (NF)

'''새 기초'''(New Foundations, NF)는 무종류(unsorted^영어) 1차 이론이며, 이항 관계

\in

를 갖는다.

새 기초의 논리식

\phi

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 함수

f\colon\operatorname{var}(\phi)\to\mathbb N

이 존재한다면 (

\operatorname{var}(\phi)

는

\phi

에 등장하는 변수의 집합),

\phi

를 '''층화 논리식'''(stratified formula^영어)이라고 한다.

$\phi$ 에 등장하는 각 변수 $x$ 를 유형이 $f(x)$ 인 변수로 여기면 TST의 논리식을 얻는다. 즉, 만약 $x=y$ 가 $\phi$ 의 부분 논리식이라면 $f(x)=f(y)$ 이며, 만약 $x\in y$ 가 $\phi$ 의 부분 논리식이라면 $f(y)=f(x)+1$ 이다.

새 기초의 공리계는 다음과 같다.

(확장 공리) $\forall x\forall y(\forall z(z\in x\iff z\in y)\implies x=y)$
(층화 분류 공리 기본꼴, axiom schema of stratified comprehension^영어) $x_1,x_2,\dots,x_n,z$ 를 자유 변수로 갖는 층화 논리식 $\phi$ 에 대하여, $\forall x_1\forall x_2\cdots\forall x_n\exist y\forall z(z\in y\iff\phi)$

층화 분류 공리 기본꼴은 무한한 수의 층화 분류 공리들로 이루어지지만, 어떤 유한 개의 층화 분류 공리와 동치임을 보일 수 있다. 따라서 새 기초는 유한 공리화 가능 이론이다.^[11]

NF의 정형식은 명제 계산법의 표준 공식이며, 등호 (

=

)와 원소 관계 (

\in

) 두 개의 원시 술어를 갖는다. NF는 다음 두 개의 공리 도식으로 제시될 수 있다.

외연성 공리: 같은 원소를 가진 두 객체는 동일한 객체이다. 형식적으로, 모든 집합 ''A''와 집합 ''B''에 대해, 모든 집합 ''X''에 대하여 ''X''가 ''A''의 원소 일 때와 그 때만 ''X''가 ''B''의 원소이면, ''A''는 ''B''와 같다.
제한된 공리 도식 분리 공리: 각 계층화된 공식 $\phi$ 에 대해 $\{x \mid \phi \}$ 가 존재한다.

공식

\phi

는

\phi

의 구문 조각에서 자연수로의 함수 ''f''가 존재하여,

\phi

의 모든 원자 부분 공식

x \in y

에 대해 ''f''(''y'') = ''f''(''x'') + 1이고,

\phi

의 모든 원자 부분 공식

x=y

에 대해 ''f''(''x'') = ''f''(''y'')가 성립하면 ''계층화되었다''고 한다.

2. 4. 근원소를 갖는 새 기초 (NFU)

'''근원소를 갖는 새 기초'''(New Foundations with urelements^영어|NFU}})는 새 기초와 유사하나, 근원소( urelement^영어 )의 존재를 허용한다. 즉, 새 기초의 공리계에서 확장 공리를 다음과 같은 공리로 대체한 집합론이다.

(공집합이 아닌 집합에 대한 확장 공리) $\forall x\forall y((\exists z(z\in x)\land\forall w(w\in x\iff w\in y))\implies x=y)$

마찬가지로, '''근원소를 갖는 단순 유형 집합론'''(simple type theory with urelements^영어|TSTU}})과 '''근원소를 갖는 꼬인 유형 집합론'''(tangled type theory with urelements^영어|TTTU}})을 정의할 수 있다.

우원소가 있는 NF (NFU)는 젠센^[1]에 의해 제안되고, 홈스^[2]에 의해 명확해진 NF의 중요한 변형이다. 우원소는 집합이 아니고 어떤 원소도 포함하지 않지만, 집합에 포함될 수 있는 객체이다. NFU의 가장 간단한 공리화 형태 중 하나는 우원소를 여러 개의 같지 않은 공집합으로 간주하여, NF의 외연성 공리를 다음과 같이 약화시킨다.

약한 외연성: 동일한 원소를 가진 두 개의 ''비어있지 않은'' 객체는 동일한 객체이다. 형식적으로는,

:

\forall x y w. (w \in x) \to (x = y \leftrightarrow (\forall z. z \in x \leftrightarrow z \in y)))

이 공리화에서, 이해 스키마는 변경되지 않지만, 집합

\{x \mid \phi(x)\}

는 비어있다면 (즉,

\phi(x)

가 만족할 수 없다면) 유일하지 않게 된다.

하지만, 사용 편의성을 위해 유일한, "정규적인" 공집합을 가지는 것이 더 편리하다. 이것은 집합성 술어

\mathrm{set}(x)

를 도입함으로써 수행될 수 있다.^[3] 그러면 공리는 다음과 같다.

집합: 오직 집합만이 멤버를 가진다. 즉, $\forall x y. x \in y \to \mathrm{set}(y).$
외연성: 동일한 원소를 가진 두 개의 ''집합''은 동일한 집합이다. 즉, $\forall y z. (\mathrm{set}(y) \wedge \mathrm{set}(z) \wedge (\forall x. x \in y \leftrightarrow x \in z)) \to y = z.$
이해: 각 층화된 공식 $\phi(x)$ 에 대해 ''집합'' $\{x \mid \phi(x) \}$ 가 존재한다. 즉, $\exists A. \mathrm{set}(A) \wedge (\forall x. x \in A \leftrightarrow \phi(x)).$

NF₃는 완전한 외연성 (우원소 없음)과 최대 세 개의 유형을 사용하여 층화될 수 있는 이해의 인스턴스를 가진 NF의 단편이다. NF₄는 NF와 동일한 이론이다.

3. 상대적 무모순성

여러 집합론 간의 상대적 무모순성 관계는 다음과 같이 요약될 수 있다.

$\mathsf{Inf}$ 와 $\mathsf{Choice}$ 를 각각 (각 이론에서의) 무한 공리와 선택 공리라고 할 때, 다음 이론들은 서로 등무모순적이다.^[16]^[13]^[14]

$\mathsf{TST}+\mathsf{Inf}$
$\mathsf{TST}+\mathsf{Inf}+\mathsf{Choice}$
$\mathsf{NFU}+\mathsf{Inf}$
$\mathsf{NFU}+\mathsf{Inf}+\mathsf{Choice}$

반면, NF는 선택 공리의 부정을 함의하며, 따라서 무한 공리를 함의한다.^[15]

또한 다음이 성립한다.

$\mathsf{NFU}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf Q)$ ( $\mathsf Q$ 는 로빈슨 산술)
$\mathsf{NF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{PA})$
$\mathsf{PA}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{NFU})$ ^[16]
$\mathsf{PA}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{TST})$ ^[16]
$\mathsf{PA}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{TST}+\mathsf{Inf})\implies\operatorname{Con}(\mathsf{NFU}+\mathsf{Inf})$ ^[16]
$\mathsf{PA}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{TST}+\mathsf{Inf}+\mathsf{Choice})\implies\operatorname{Con}(\mathsf{NFU}+\mathsf{Inf}+\mathsf{Choice})$ ^[16]
$\mathsf{Z}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{TST}+\mathsf{Inf})$ ^[17]^[18]
$\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{NF})$ ^[19]^[20] (넷째 결과는 아직 정식 출판되지 않았다.)

일부 수학자들은 NF의 모순성에 의문을 제기했는데, 이는 NF가 왜 알려진 역설을 회피하는지 명확하지 않기 때문이다. 핵심 문제는 스페커가 NF와 선택 공리를 결합하면 모순이 된다는 것을 증명했다는 것이다. 그러나 2010년 이후, 홈스는 NF가 표준 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 무모순성에 상대적으로 무모순하다고 주장해 왔다. 2024년, 스카이 윌쇼는 린 증명 보조자를 사용하여 홈스의 증명을 확인했다.^[3]

NFU는 NF와 유사하게 역설을 해결하지만, 훨씬 간단한 무모순성 증명을 가지고 있다. 이 증명은 페아노 산술(PA) 내에서 형식화될 수 있다.

3. 1. NF, TST + Amb, TTT 간의 관계

다음 이론들은 서로 등무모순적이다.^[19]^[20]

$\mathsf{NF}$
$\mathsf{TST}+\mathsf{Amb}$ ^[12]
$\mathsf{TTT}$

여기서,

Amb는 모호 공리 기본꼴(ambiguity scheme^영어)을 의미한다. 문장 $\phi$ 에 대하여, $\phi\iff\phi^+$ 이다. 여기서 $\phi^+$ 는 $\phi$ 에 등장하는 임의의 변수 $x^i$ 를 $x^{i+1}$ 로 대체한 논리식이다.
TST는 러셀 비분기 형식 집합론을 의미한다.
TTT는 엉킨 유형 이론(Tangled Type Theory)을 의미하며, 각 변수가 자연수가 아닌 서수(ordinal)로 유형화되는 TST의 확장이다. 잘 형성된 원자 공식은 $x^{n} = y^{n}$ 및 $x^{m} \in y^{n}$ 이며, 여기서 $m 이다. TTT의 공리는 각 i 유형의 변수가 증가 함수 s 에 의해 s(i) 변수로 매핑되는 TST의 공리와 같다.$

3. 2. NFU, TSTU + Amb, TTTU 간의 관계

다음 이론들은 서로 등무모순적이다.^[19]^[20]

NFU^영어
TSTU^영어 + Amb^영어
TTTU^영어

3. 3. 매클레인 집합론 (Mac)과 케이-포스터 집합론 (KF)

'''매클레인 집합론'''(Mac Lane set theory^영어|매클레인 집합론) (Mac)은 체르멜로 집합론(Z)에서 분류 공리 기본꼴을 모든 한정이 집합에 대한 한정인 논리식에 대한 분류 공리 기본꼴로 약화한 집합론이다. '''케이-포스터 집합론'''(Kaye–Forster set theory^영어|케이-포스터 집합론) (KF)은 체르멜로 집합론(Z)에서 분류 공리 기본꼴을 모든 한정이 집합에 대한 한정인 층화 논리식에 대한 분류 공리 기본꼴로 약화한 집합론이다. KF는 Mac의 부분 이론이다.

\mathsf{Inf}

와

\mathsf{Choice}

가 (각 이론에서의) 무한 공리와 선택 공리라고 할 때, 다음 이론들은 서로 등무모순적이다.^[14]

$\mathsf{Mac}$
$\mathsf{KF}$

3. 4. 다른 이론들과의 관계

다음 이론들은 서로 등무모순적이다.

$\mathsf{NF}$
$\mathsf{TST}+\mathsf{Amb}$ ^[12]
$\mathsf{TTT}$ ^[19]^[20]

마찬가지로, 다음 이론들은 서로 등무모순적이다.

$\mathsf{NFU}$
$\mathsf{TSTU}+\mathsf{Amb}$ ^[19]^[20]
$\mathsf{TTTU}$ ^[19]^[20]

'''매클레인 집합론'''(Mac Lane set theory^영어, 약자 Mac)은 체르멜로 집합론(Z)에서 분류 공리 기본꼴을 모든 한정이 집합에 대한 한정인 논리식에 대한 분류 공리 기본꼴로 약화한 집합론이다. '''케이-포스터 집합론'''(Kaye–Forster set theory^영어, 약자 KF)은 체르멜로 집합론(Z)에서 분류 공리 기본꼴을 모든 한정이 집합에 대한 한정인 층화 논리식에 대한 분류 공리 기본꼴로 약화한 집합론이다. KF는 Mac의 부분 이론이다.

\mathsf{Inf}

와

\mathsf{Choice}

가 (각 이론에서의) 무한 공리와 선택 공리라고 하자. 그렇다면, 다음 이론들이 서로 등무모순적이다.

$\mathsf{TST}+\mathsf{Inf}$
$\mathsf{TST}+\mathsf{Inf}+\mathsf{Choice}$ ^[16]
$\mathsf{NFU}+\mathsf{Inf}$ ^[16]
$\mathsf{NFU}+\mathsf{Inf}+\mathsf{Choice}$ ^[16]^[13]
$\mathsf{Mac}$ ^[14]
$\mathsf{KF}$ ^[14]

반면, NF는 선택 공리의 부정을 함의하며, 따라서 무한 공리를 함의한다.^[15]

다음이 성립한다.

$\mathsf{NFU}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf Q)$ [ $\mathsf Q$ 는 로빈슨 산술(Robinson arithmetic^영어)]
$\mathsf{NF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{PA})$
$\mathsf{PA}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{NFU})$ ^[16]
$\mathsf{PA}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{TST})$ ^[16]
$\mathsf{PA}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{TST}+\mathsf{Inf})\implies\operatorname{Con}(\mathsf{NFU}+\mathsf{Inf})$ ^[16]
$\mathsf{PA}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{TST}+\mathsf{Inf}+\mathsf{Choice})\implies\operatorname{Con}(\mathsf{NFU}+\mathsf{Inf}+\mathsf{Choice})$ ^[16]
$\mathsf{Z}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{TST}+\mathsf{Inf})$ ^[17]^[18]
$\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{NF})$ ^[19]^[20] (넷째 결과는 아직 정식 출판되지 않았다.)

일부 수학자들은 NF의 모순성에 의문을 제기했는데, 이는 NF가 왜 알려진 역설을 회피하는지 명확하지 않기 때문이다. 핵심 문제는 스페커가 NF와 선택 공리를 결합하면 모순이 된다는 것을 증명했다는 것이다. 이 증명은 복잡하며 T-연산을 포함한다. 그러나 2010년 이후, 홈스는 NF가 표준 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 무모순성에 상대적으로 무모순하다고 주장해 왔다. 2024년, 스카이 윌쇼는 린 증명 보조자를 사용하여 홈스의 증명을 확인했다.^[3]

NFU는 NF와 유사하게 역설을 해결하지만, 훨씬 간단한 무모순성 증명을 가지고 있다. 이 증명은 대부분의 수학자들이 의심 없이 받아들이는 ZF보다 약한 이론인 페아노 산술(PA) 내에서 형식화될 수 있다. 이는 NFU가 무한 공리를 포함하지 않으므로 PA를 NFU에서 모델링할 수 없고 모순을 피할 수 있기 때문에 괴델의 제2 불완전성 정리와 모순되지 않는다. PA는 또한 무한 공리를 가진 NFU와 무한 공리와 선택 공리를 모두 가진 NFU가 각각 무한 공리를 가진 TST와 무한 공리와 선택 공리를 모두 가진 TST와 등무모순적임을 증명한다. 따라서 TST의 무모순성을 증명하는 ZFC와 같은 더 강한 이론은 이러한 추가 사항이 있는 NFU의 무모순성도 증명할 것이다. 더 간단히 말해서, NFU는 일반적으로 NF보다 약하다고 여겨지는데, NFU에서는 모든 집합의 모임(전체 집합의 멱집합)이 자체 우주보다 작을 수 있으며, 특히 NFU가 선택 공리를 요구하는 경우 원소를 포함할 때 더욱 그렇다.

4. 역사

1914년, 노버트 위너는 순서쌍을 집합들의 집합으로 코딩하는 방법을 제시하여 단순 유형 집합론(TST)의 ''수학 원리''의 관계 유형을 TST의 선형 집합 계층으로 대체할 수 있게 했다. 1921년 쿠라토프스키가 순서쌍의 일반적인 정의를 처음 제안했다. 1937년 윌라드 밴 오먼 콰인은 논문 ''수학 논리의 새로운 기초''에서 TST의 "불쾌한 결과"를 피하는 방법으로 새 기초(NF)를 처음 제안했고, 여기서 "새 기초"라는 이름이 유래되었다. 콰인은 1940년 초판이 출판된 저서 ''수학 논리''에서 이 이론을 확장했다. 이 책에서 콰인은 고유 클래스와 집합을 포함하는 NF의 확장인 "수학 논리"(ML)라는 시스템을 소개했다. 초판의 집합론은 NF를 NBG 집합론의 고유 클래스와 결합하고 고유 클래스에 대한 무제한 이해의 공리 체계를 포함했다. 그러나 J. 바클리 로서는 이 시스템이 부랄리-포르티 역설에 취약하다는 것을 증명했다.^[21] 하오 왕은 이 문제를 피하기 위해 콰인의 ML 공리를 수정하는 방법을 제시했고,^[21] 콰인은 1951년에 출판된 두 번째이자 마지막 판에 결과적인 공리화를 포함시켰다.

1944년, 테오도르 헤일페린은 ''이해''가 그 사례들의 유한한 연결과 동등하다는 것을 보여주었다.^[21] 1953년, 에른스트 슈페커는 NF에서 (원소가 없는) 선택 공리가 거짓임을 증명했다.^[21] 1969년 젠슨은 NF에 우원소를 추가하면 증명 가능하게 일관적인 이론(NFU)이 산출된다는 것을 보여주었다.^[21] 같은 해, 그리신은 NF₃가 일관적임을 증명했다.^[21] 슈페커는 또한 NF가 "전형적인 모호성"의 공리 체계를 더한 TST와 동등하게 일관적임을 보였고,^[21] NF는 유형을 하나 올리고, 각 유형을 다음 상위 유형에 매핑하고, 등식 및 멤버십 관계를 보존하는 연산(이론 외부)인 "유형 이동 자기 동형 사상"이 추가된 TST와도 동등하게 일관적이다.^[21]

1983년, 마르셀 크라베는 일관적인 시스템인 NFI를 증명했는데, 이 시스템의 공리는 제한 없는 외연성과 이해의 사례로 구성되며, 변수는 존재하는 것으로 주장되는 집합보다 높은 유형을 할당받지 않는다. 이것은 예측성 제한이지만, NFI는 예측적인 이론이 아니다. 자연수의 집합을 정의할 만큼 충분한 비예측성을 허용한다(모든 귀납 집합의 교집합으로 정의됨, 여기서 수량화된 귀납 집합은 정의되는 자연수의 집합과 동일한 유형이다). 크라베는 또한 NFI의 하위 이론에 대해 논의했는데, 이해의 사례에 의해 존재하는 것으로 주장되는 집합의 유형을 가질 수 있는 것은 자유 변수뿐이다. 그는 그 결과를 "예측적 NF"(NFP)라고 불렀는데, 자기 멤버십의 우주를 가진 이론이 진정으로 예측적인지 의문이다.^[21] 홈스는 NFP가 ''수학 원리''의 축약 공리가 없는 예측적 유형 이론과 동일한 일관성 강도를 가진다는 것을 보여주었다.

메타매스 데이터베이스는 새로운 기초에 대한 헤일페린의 유한 공리화를 구현했다.^[21] 2015년 이후, ZF에 대한 NF의 일관성을 상대적으로 보여주는 랜들 홈스의 여러 후보 증명이 arXiv와 논리학자의 홈페이지에 모두 게시되었다. 그의 증명은 "엉킨 유형 이론(TTT_λ)"의 "이상한" 변형의 TST와 NF의 동등성을 증명하고, 원자를 가진 ZF에서 "엉킨 카디널 집합"을 포함하는 ZFA의 클래스 모델을 구성함으로써 TTT_λ가 선택 공리가 없는 원자를 가진 ZF(ZFA)에 상대적으로 일관적임을 보여주는 것을 기반으로 했다. 이러한 증명들은 "읽기 어렵고, 믿을 수 없을 정도로 복잡하며, 오류를 쉽게 유발하는 정교한 회계 처리를 포함"했다. 2024년, 스카이 윌쇼는 린 증명 보조자를 사용하여 홈스의 증명 버전을 형식화하여 NF의 일관성 문제를 최종적으로 해결했다.^[5] 티모시 초우는 윌쇼의 연구를 이해하기 어려운 증명에 참여하려는 동료 검토자의 주저함은 증명 보조자의 도움으로 해결될 수 있음을 보여주는 것으로 특징지었다.^[6]

4. 1. 단순 유형 집합론 (TST)

'''단순 유형 집합론'''(TST)은 1930년대에 알프레트 타르스키가 처음 정의하였다.^[21] 이 이론은 선형 형식 계층 구조를 가지는 다중 정렬 이론으로, 각 변수와 집합에는 형식이 할당된다. 형식 지수는 위첨자로 쓰는 것이 일반적이다. 예를 들어,

x^n

은 형식 ''n''의 변수를 나타내며, 각 (메타-) 자연수 ''n''에 대해, 형식 ''n''+1 객체는 형식 ''n'' 객체의 집합이다. 동일성에 의해 연결된 객체는 동일한 형식을 가지며, 형식 ''n''의 집합은 형식 ''n''-1의 구성원을 갖는다. TST의 공리는 외연성(동일한 (양수) 형식의 집합에 대한 외연성)과 포괄성(만약

\phi(x^n)

이 공식이라면, 집합

\{x^n \mid \phi(x^n)\}^{n+1}\!

이 존재)이다.

4. 2. 근원소를 갖는 새 기초 (NFU)

1968년 로널드 젠슨(Ronald Jensen)은 근원소를 갖는 새 기초(NFU)를 도입하였으며, NFU가 페아노 산술(PA)에 상대적으로 무모순적임을 증명하였다.^[16] 젠슨의 증명은 모형 이론적이지만, PA에서 기술 가능한 특정 모형들만 사용하기 때문에 PA에서 형식화할 수 있다.

'''우원소가 있는 NF''' ('''NFU''')는 젠슨이 제안하고 홈스가 명확하게 제시한 NF의 중요한 변형이다. 우원소는 집합이 아니며 어떤 원소도 포함하지 않지만, 집합에는 포함될 수 있는 객체이다. NFU의 가장 간단한 공리화 형태 중 하나는 우원소를 여러 개의 같지 않은 공집합으로 간주하여, NF의 외연성 공리를 다음과 같이 약화시킨 것이다.

약한 외연성: 동일한 원소를 가진 두 개의 ''비어있지 않은'' 객체는 동일한 객체이다. 형식적으로는 다음과 같다.

:

\forall x y w. (w \in x) \to (x = y \leftrightarrow (\forall z. z \in x \leftrightarrow z \in y)))

이 공리화에서, 이해 스키마는 변경되지 않지만, 집합

\{x \mid \phi(x)\}

는 비어있다면 (즉,

\phi(x)

가 만족될 수 없다면) 유일하지 않게 된다.

하지만 사용 편의성을 위해 유일하고 "정규적인" 공집합을 가지는 것이 더 편리하다. 이는 집합과 원자를 구별하기 위해 집합성 술어

\mathrm{set}(x)

를 도입함으로써 수행될 수 있다. 그러면 공리는 다음과 같다.

집합: 오직 집합만이 원소를 가진다. 즉, $\forall x y. x \in y \to \mathrm{set}(y).$
외연성: 동일한 원소를 가진 두 개의 ''집합''은 동일한 집합이다. 즉, $\forall y z. (\mathrm{set}(y) \wedge \mathrm{set}(z) \wedge (\forall x. x \in y \leftrightarrow x \in z)) \to y = z.$
이해: 각 층화된 공식 $\phi(x)$ 에 대해 ''집합'' $\{x \mid \phi(x) \}$ 가 존재한다. 즉, $\exists A. \mathrm{set}(A) \wedge (\forall x. x \in A \leftrightarrow \phi(x)).$

5. 집합론적 역설의 해결

NF(새 기초)는 직관적 집합론과 달리, ZFC와 같은 잘 정렬된 집합론과는 다른 방식으로 세 가지 주요 역설을 해결한다. NF와 그 변형에서 사용되는 여러 개념들은 이러한 역설 해결 과정에서 개발될 수 있다.

5. 1. 러셀의 역설

러셀의 역설의 해결은 간단하다.

x \not\in x

는 층화된 공식이 아니므로,

\{x \mid x \not\in x\}

의 존재는 ''이해 공리''의 어떤 경우에도 주장되지 않는다. 콰인은 이 역설을 염두에 두고 NF를 구성했다고 말했다.^[1]

5. 2. 칸토어의 역설

NF(새 기초)에서 전체 집합 V는 가장 큰 기수를 가지지만, 칸토어의 정리는 성립하지 않는다. 이는 멱집합 P(V)에서 V로의 단사 함수가 존재하기 때문이다. 칸토어의 정리 증명에서 사용되는 대각선 논법은 NF에서 계층화되지 않아 적용할 수 없다.

이러한 문제를 해결하기 위해 칸토어 집합 개념이 도입되었다. 집합 A에 대해 |A| = |P₁(A)|가 성립하면(여기서 P₁(A)는 A의 원소가 하나인 부분집합들의 집합이다) A를 '''칸토어적''' 집합이라고 한다. 칸토어적 집합은 칸토어의 정리의 일반적인 형태를 만족한다. 더 나아가, 단일 집합 맵을 A로 제한했을 때 집합이 되는 경우, A는 '''강력하게 칸토어적''' 집합이라고 한다.

5. 3. 부랄리-포르티 역설

부랄리-포르티 역설에서 서수 집합에 접근해도 "가장 큰 서수"를 구성할 수 없는 이유는 T 연산을 통해 설명할 수 있다. NF에서 모든 서수의 자연스러운 정렬에 해당하는 서수

\Omega

를 구성할 수는 있지만, 이것이

\Omega

가 모든 서수보다 크다는 것을 의미하지는 않는다.

NF에서 부랄리-포르티 역설을 형식화하기 위해 먼저 서수를 형식화해야 한다. NF에서 서수는 정렬 순서의 동치류로 정의된다. 이는 계층화된 정의이므로 서수 집합

\mathrm{Ord}

는 문제없이 정의될 수 있다. 초한 귀납법을 통해 서수의 자연 정렬이

\mathrm{Ord}

의 정렬 순서임을 증명할 수 있고, 이 정렬 순서는 서수

\Omega \in \mathrm{Ord}

에 속한다.

순진한 집합론에서는 초한 귀납법을 사용하여 각 서수

\alpha

가

\alpha

보다 작은 서수들의 자연 순서의 순서형임을 증명하려 하겠지만, 이는 모순을 발생시킨다. 왜냐하면

\Omega

는 정의상 ''모든'' 서수의 순서형이지, 그들의 진부분 초기 세그먼트가 아니기 때문이다.

하지만, "

\alpha

는

\alpha

보다 작은 서수들의 자연 순서의 순서형이다"라는 명제는 계층화되지 않으므로 초한 귀납법은 NF에서 작동하지 않는다. 이를 해결하기 위해 서수

\alpha

의 "유형을 올리는" '''T 연산'''

T(\alpha)

가 필요하다.

T 연산을 통해 다음과 같은 보조 정리를 계층화된 방식으로 다시 표현할 수 있다.

:

\alpha

인 서수들의 자연 순서의 순서형은

T^2(\alpha)

또는

T^4(\alpha)

이며, 사용되는 순서쌍에 따라 달라진다.

이 명제는 초한 귀납법으로 증명 가능하며,

T^2(\alpha)

가 항상 ''모든'' 서수의 순서형인

\Omega

보다 작다는 것을 의미한다. 즉,

T^2(\Omega) < \Omega

이다.

또한, T는 서수에 대한 엄격한 단조 함수 연산이므로,

\alpha < \beta

는

T(\alpha) < T(\beta)

와 같다. 따라서 T 연산은 함수가 될 수 없다. 즉, 서수 집합

\{\alpha \mid T(\alpha) < \alpha\}

는 최소 원소를 가질 수 없으며, 집합이 될 수 없다. 결과적으로

\Omega > T^2(\Omega) > T^4(\Omega)\ldots

와 같은 "내림차순 수열"이 발생하며, 이는 집합이 될 수 없다.

6. 추가 주제 (영문 위키 참고)

NF(새 기초)는 유한 공리화가 가능하다.^[1] 유한 공리화를 통해 층화 개념을 제거할 수 있다는 장점이 있다. 유한 공리화의 공리들은 자연적인 기본 구성에 해당하지만, 층화된 이해는 강력하지만 직관적이지 않을 수 있다.

NF의 공리 집합은 다음과 같으며, 이 외의 다른 공리들은 정리로 증명할 수 있다.

공리	설명
외연성	집합 $A$ 와 $B$ 가 모든 객체 $x$ 에 대해 $x \in A$ 이면 $x \in B$ 이고, $x \in B$ 이면 $x \in A$ 일 때, $A = B$ 이다. 이는 동일성 기호를 정의하는 것으로 볼 수 있다.^[1]
단일 집합	x에 대해, $x$ 의 단일 집합 $\iota(x) = \{x\} = \{y>y = x\}$ 가 존재한다.
데카르트 곱	A, $B$ 에 대해, $A$ 와 $B$ 의 데카르트 곱 $A \times B = \{(a, b)>a \in A \text{ and } b \in B\}$ 가 존재한다. ( $A \times V$ 또는 $V \times B$ 로 제한 가능)
역	각 관계 $R$ 에 대해, $R$ 의 역 $R^{-1} = \{(x, y) \| (y,x) \in R\}$ 가 존재한다. ( $x R^{-1} y$ 는 $y R x$ 와 같다.)
단일 집합 이미지	R에 대해, $R$ 의 단일 집합 이미지 $R\iota = \{(\{x\}, \{y\})>(x,y) \in R\}$ 가 존재한다.
정의역	R에 대해, $R$ 의 정의역 $\text{dom}(R) = \{x>\exists y. (x,y) \in R\}$ 가 존재한다. (형식 낮추기 연산으로 정의 가능)
포함	[\subseteq] = \{(x, y)>x \subseteq y\}가 존재한다. ( $[\in] = [\subseteq] \cap (1 \times V) = \{(\{x\}, y) \| x \in y\}$ 로도 표현 가능)
여집합	각 집합 $A$ 에 대해, $A$ 의 여집합 $A^c = \{x \| x \notin A\}$ 가 존재한다.
(불 대수) 합집합	A와 $B$ 에 대해, $A$ 와 $B$ 의 (불 대수) 합집합 $A \cup B = \{x>x \in A \text{ or } x \in B \text{ or both}\}$ 가 존재한다.
전체 집합	V = \{x>x = x\}가 존재한다. (모든 집합 $x$ 에 대해 $x \cup x^c = V$ )
순서쌍	각 $a$ , $b$ 에 대해, 순서쌍 $(a, b)$ 가 존재한다. ( $(a, b) = (c, d)$ 는 $a = c$ 이고 $b = d$ 인 것과 같다.)
사영	\pi_1 = \{((x, y), x)>x, y \in V \}과 $\pi_2 = \{((x, y), y) \| x, y \in V \}$ 가 존재한다. (순서쌍의 첫 번째 및 두 번째 항에 대한 관계)
대각선	[=] = \{(x, x)>x \in V \}가 존재한다.
집합 합집합	A에 대해, $A$ 의 (집합) 합집합 $\bigcup [A] = \{x>\text{for some } B, x \in B \text{ and } B \in A\}$ 가 존재한다.
상대적 곱	R, $S$ 에 대해, $R$ 과 $S$ 의 상대적 곱 $(R>S) = \{(x, y) \| \text{for some } z, x R z \text{ and } z S y\}$ 가 존재한다.
반대 교집합	x>y = \{z : \neg(z \in x \land z \in y) \}가 존재한다. ( $x^c = x\|x$ 이고 $x \cup y =x^c\|y^c$ 이므로 여집합과 합집합을 함께 사용하는 것과 같다.)
기수 1	1, $\{ x>\exists y : (\forall w : w \in x \leftrightarrow w = y) \}$ 가 존재한다.
튜플 삽입	관계 $R$ 에 대해, 집합 $I_2(R) = \{ (z, w, t) : (z, t) \in R \}$ 과 $I_3(R) = \{ (z, w, t) : (z, w) \in R \}$ 이 존재한다.
형식 낮추기	임의의 집합 $S$ 에 대해, 집합 $\text{TL}(S) = \{ z : \forall w : (w, \{z\}) \in S \}$ 가 존재한다.

6. 1. 유한 공리화

NF는 유한 공리화될 수 있다.^[1] 이러한 유한 공리화의 한 가지 장점은 층화의 개념을 제거한다는 것이다. 유한 공리화의 공리들은 자연적인 기본 구성에 해당하지만, 층화된 이해는 강력하지만 반드시 직관적이지는 않다. 홈즈(Holmes)는 그의 입문서에서 유한 공리화를 기본으로 채택하고 층화된 이해를 정리로 증명하기로 했다. 공리의 정확한 집합은 다를 수 있지만, 다음 중 대부분을 포함하며 다른 것들은 정리로 증명할 수 있다.

외연성: 만약 $A$ 와 $B$ 가 집합이고, 각 객체 $x$ 에 대해, $x$ 가 $A$ 의 원소이고 $x$ 가 $B$ 의 원소이면, $A = B$ 이다. 이것은 또한 동일성 기호를 정의하는 것으로 볼 수 있다.^[1]
단일 집합: 모든 객체 $x$ 에 대해, 집합 $\iota(x) = \{x\} = \{y | y = x\}$ 가 존재하며, $x$ 의 단일 집합이라고 한다.
데카르트 곱: 임의의 집합 $A$ , $B$ 에 대해, 집합 $A \times B = \{(a, b) | a \in A \text{ and } b \in B\}$ 가 존재하며, $A$ 와 $B$ 의 데카르트 곱이라고 한다. 이것은 교차 곱 $A \times V$ 또는 $V \times B$ 중 하나의 존재로 제한될 수 있다.
역: 각 관계 $R$ 에 대해, 집합 $R^{-1} = \{(x, y) | (y,x) \in R\}$ 가 존재한다; $x R^{-1} y$ 는 정확히 $y R x$ 이다.
단일 집합 이미지: 임의의 관계 $R$ 에 대해, 집합 $R\iota = \{(\{x\}, \{y\}) | (x,y) \in R\}$ 가 존재하며, $R$ 의 단일 집합 이미지라고 한다.
정의역: 만약 $R$ 이 관계라면, 집합 $\text{dom}(R) = \{x | \exists y. (x,y) \in R\}$ 가 존재하며, $R$ 의 정의역이라고 한다. 이것은 형식 낮추기 연산을 사용하여 정의할 수 있다.
포함: 집합 $[\subseteq] = \{(x, y) | x \subseteq y\}$ 가 존재한다. 동등하게, 우리는 집합 $[\in] = [\subseteq] \cap (1 \times V) = \{(\{x\}, y) | x \in y\}$ 를 고려할 수 있다.
여집합: 각 집합 $A$ 에 대해, 집합 $A^c = \{x | x \notin A\}$ 가 존재하며, $A$ 의 여집합이라고 한다.
(불 대수) 합집합: 만약 $A$ 와 $B$ 가 집합이라면, 집합 $A \cup B = \{x | x \in A \text{ or } x \in B \text{ or both}\}$ 가 존재하며, $A$ 와 $B$ 의 (불 대수) 합집합이라고 한다.
전체 집합: $V = \{x | x = x\}$ 가 존재한다. 임의의 집합 $x$ 에 대해 $x \cup x^c = V$ 임은 간단하다.
순서쌍: 각 $a$ , $b$ 에 대해, $a$ 와 $b$ 의 순서쌍, $(a, b)$ 가 존재한다; $(a, b) = (c, d)$ 는 정확히 $a = c$ 이고 $b = d$ 이다. 이와 더 큰 튜플은 순서쌍 구성이 사용되는 경우 공리가 아닌 정의가 될 수 있다.
사영: 집합 $\pi_1 = \{((x, y), x) | x, y \in V \}$ 과 $\pi_2 = \{((x, y), y) | x, y \in V \}$ 가 존재한다(이것들은 순서쌍이 첫 번째 및 두 번째 항에 가지는 관계이며, 기술적으로는 사영이라고 한다).
대각선: 집합 $[=] = \{(x, x) | x \in V \}$ 가 존재하며, 동일 관계라고 한다.
집합 합집합: 만약 $A$ 가 모든 원소가 집합인 집합이라면, 집합 $\bigcup [A] = \{x | \text{for some } B, x \in B \text{ and } B \in A\}$ 가 존재하며, $A$ 의 (집합) 합집합이라고 한다.
상대적 곱: 만약 $R$ , $S$ 가 관계라면, 집합 $(R|S) = \{(x, y) | \text{for some } z, x R z \text{ and } z S y\}$ 가 존재하며, $R$ 과 $S$ 의 상대적 곱이라고 한다.
반대 교집합: $x|y = \{z : \neg(z \in x \land z \in y) \}$ 가 존재한다. 이것은 여집합과 합집합을 함께 사용하는 것과 동일하며, $x^c = x|x$ 이고 $x \cup y =x^c|y^c$ 이다.
기수 1: 모든 단일 집합의 집합 $1$ , $\{ x | \exists y : (\forall w : w \in x \leftrightarrow w = y) \}$ 가 존재한다.
튜플 삽입: 관계 $R$ 에 대해, 집합 $I_2(R) = \{ (z, w, t) : (z, t) \in R \}$ 과 $I_3(R) = \{ (z, w, t) : (z, w) \in R \}$ 이 존재한다.
형식 낮추기: 임의의 집합 $S$ 에 대해, 집합 $\text{TL}(S) = \{ z : \forall w : (w, \{z\}) \in S \}$ 가 존재한다.

6. 2. 구성

NF(새 기초)는 유한 공리화될 수 있다.^[1] 이러한 유한 공리화의 한 가지 장점은 층화 개념을 제거한다는 것이다. 유한 공리화의 공리들은 자연적인 기본 구성에 해당하지만, 층화된 이해는 강력하지만 반드시 직관적이지는 않다.

NF의 공리 집합은 다음과 같으며, 이 외의 다른 공리들은 정리로 증명할 수 있다.

외연성: 집합 $A$ 와 $B$ 가 모든 객체 $x$ 에 대해 $x \in A$ 이면 $x \in B$ 이고, $x \in B$ 이면 $x \in A$ 일 때, $A = B$ 이다. 이는 동일성 기호를 정의하는 것으로 볼 수 있다.^[1]
단일 집합: 모든 객체 $x$ 에 대해, $x$ 의 단일 집합 $\iota(x) = \{x\} = \{y | y = x\}$ 가 존재한다.
데카르트 곱: 임의의 집합 $A$ , $B$ 에 대해, $A$ 와 $B$ 의 데카르트 곱 $A \times B = \{(a, b) | a \in A \text{ and } b \in B\}$ 가 존재한다. ( $A \times V$ 또는 $V \times B$ 로 제한 가능)
역: 각 관계 $R$ 에 대해, $R$ 의 역 $R^{-1} = \{(x, y) | (y,x) \in R\}$ 가 존재한다. ( $x R^{-1} y$ 는 $y R x$ 와 같다.)
단일 집합 이미지: 임의의 관계 $R$ 에 대해, $R$ 의 단일 집합 이미지 $R\iota = \{(\{x\}, \{y\}) | (x,y) \in R\}$ 가 존재한다.
정의역: 관계 $R$ 에 대해, $R$ 의 정의역 $\text{dom}(R) = \{x | \exists y. (x,y) \in R\}$ 가 존재한다. (형식 낮추기 연산으로 정의 가능)
포함: 집합 $[\subseteq] = \{(x, y) | x \subseteq y\}$ 가 존재한다. ( $[\in] = [\subseteq] \cap (1 \times V) = \{(\{x\}, y) | x \in y\}$ 로도 표현 가능)
여집합: 각 집합 $A$ 에 대해, $A$ 의 여집합 $A^c = \{x | x \notin A\}$ 가 존재한다.
(불 대수) 합집합: 집합 $A$ 와 $B$ 에 대해, $A$ 와 $B$ 의 (불 대수) 합집합 $A \cup B = \{x | x \in A \text{ or } x \in B \text{ or both}\}$ 가 존재한다.
전체 집합: $V = \{x | x = x\}$ 가 존재한다. (모든 집합 $x$ 에 대해 $x \cup x^c = V$ )
순서쌍: 각 $a$ , $b$ 에 대해, 순서쌍 $(a, b)$ 가 존재한다. ( $(a, b) = (c, d)$ 는 $a = c$ 이고 $b = d$ 인 것과 같다.)
사영: 집합 $\pi_1 = \{((x, y), x) | x, y \in V \}$ 과 $\pi_2 = \{((x, y), y) | x, y \in V \}$ 가 존재한다. (순서쌍의 첫 번째 및 두 번째 항에 대한 관계)
대각선: 동일 관계 $[=] = \{(x, x) | x \in V \}$ 가 존재한다.
집합 합집합: 모든 원소가 집합인 집합 $A$ 에 대해, $A$ 의 (집합) 합집합 $\bigcup [A] = \{x | \text{for some } B, x \in B \text{ and } B \in A\}$ 가 존재한다.
상대적 곱: 관계 $R$ , $S$ 에 대해, $R$ 과 $S$ 의 상대적 곱 $(R|S) = \{(x, y) | \text{for some } z, x R z \text{ and } z S y\}$ 가 존재한다.
반대 교집합: $x|y = \{z : \neg(z \in x \land z \in y) \}$ 가 존재한다. ( $x^c = x|x$ 이고 $x \cup y =x^c|y^c$ 이므로 여집합과 합집합을 함께 사용하는 것과 같다.)
기수 1: 모든 단일 집합의 집합 $1$ , $\{ x | \exists y : (\forall w : w \in x \leftrightarrow w = y) \}$ 가 존재한다.
튜플 삽입: 관계 $R$ 에 대해, 집합 $I_2(R) = \{ (z, w, t) : (z, t) \in R \}$ 과 $I_3(R) = \{ (z, w, t) : (z, w) \in R \}$ 이 존재한다.
형식 낮추기: 임의의 집합 $S$ 에 대해, 집합 $\text{TL}(S) = \{ z : \forall w : (w, \{z\}) \in S \}$ 가 존재한다.

6. 2. 1. 순서쌍

관계와 함수는 TST(및 NF 및 NFU)에서 일반적인 방식으로 순서쌍의 집합으로 정의된다. 계층화를 위해, 관계 또는 함수는 그 영역의 구성원 유형보다 한 단계 높아야 한다. 이를 위해서는 순서쌍의 유형이 인수의 유형과 동일하도록 정의해야 한다(결과적으로 '''유형 레벨''' 순서쌍). 일반적인 순서쌍의 정의, 즉

(a, \ b)_K \; := \  \{ \{ a \}, \ \{ a, \ b \} \}

는 인수 ''a''와 ''b''의 유형보다 두 단계 높은 유형을 생성한다. 따라서 계층화를 결정하기 위해 함수는 그 영역 구성원보다 세 단계 높다. NF 및 관련 이론은 일반적으로 순서쌍의 콰인의 집합론적 정의를 사용하여 유형 레벨 순서쌍을 생성한다. 그러나 콰인의 정의는 각 요소 ''a''와 ''b''에 대한 집합 연산에 의존하므로 NFU에서는 직접 작동하지 않는다.

대안적인 접근 방식으로, 홈즈(Holmes)는 순서쌍 ''(a, b)''를 원시적 개념으로 취급하며, 그 왼쪽 및 오른쪽 사영

\pi_1

및

\pi_2

도 마찬가지이다. 즉,

\pi_1((a, b)) = a

및

\pi_2((a, b)) = b

를 만족하는 함수이다. 다행히, 순서쌍이 정의에 의해 유형 레벨인지 또는 가정에 의해(즉, 원시적 개념으로 간주)인지 여부는 일반적으로 중요하지 않다.^[1]

6. 2. 2. 자연수와 무한 공리

무한 공리의 일반적인 형태는 폰 노이만 자연수 구성을 기반으로 하지만, 이는 NF에는 적합하지 않다. 왜냐하면 후속 연산의 설명이 반드시 층화되지 않기 때문이다. NF에서 사용되는 자연수의 일반적인 형태는 프레게의 정의를 따른다. 즉, 자연수 ''n''은 ''n''개의 원소를 가진 모든 집합의 집합으로 표현된다. 0은

\{\varnothing\}

로 정의되고, 후속 연산은 층화된 방식으로 정의될 수 있다:

S(A) = \{a \cup \{x\} \mid a \in A \wedge x \notin a\}.

귀납적 집합은 항상 존재하므로, 자연수의 집합

\mathbf{N}

은 모든 귀납적 집합의 교집합으로 정의될 수 있다. 이 정의는 층화된 진술

P(n)

에 대한 수학적 귀납법을 가능하게 한다.

유한 집합은 자연수에 속하는 집합으로 정의될 수 있다. 그러나 전체 집합

|V|

의 크기가 자연수가 아니라는 것을 증명하는 것은 쉽지 않다. 만약

|V| = n \in \mathbf{N}

이라고 가정하면, 산술이 붕괴된다. 이를 방지하기 위해 NF에 대한 '''무한 공리'''를 도입할 수 있다:

\varnothing \notin \mathbf{N}.

^[2]

NF(U)에서 "외부적으로" 무한한 집합의 수열을 구성하여 ''무한성''을 증명할 수 있을 것처럼 보이지만, 그러한 수열은 층화되지 않은 구성을 통해서만 구성될 수 있으므로, NF(U)에서는 불가능하다. 실제로, ''무한성''은 NFU와 논리적으로 독립이다.

그러나 ''무한성''을 증명할 수 있는 몇 가지 경우가 있으며, 이 경우 '''무한 정리'''라고 부를 수 있다.

원소가 없는 NF에서, Specker는 선택 공리가 거짓임을 보였다. 모든 유한 집합이 선택 함수를 갖는다는 것을 귀납적으로 증명할 수 있으므로, $V$ 는 무한하다는 결론이 나온다.
형식 수준의 순서쌍의 존재를 주장하는 공리가 있는 NFU에서, $V$ 는 자신의 진부분 집합과 등가수이며, 이는 ''무한성''을 의미한다.^[2]

자연수의 집합이 강하게 칸토어 집합이거나, NFUM = NFU + ''무한성'' + ''큰 서수'' + ''작은 서수''와 같이 더 강력한 무한 공리가 존재하며, 이는 모스-켈리 집합론에 해당하는 것과 동일하다.^[2]

6. 2. 3. 큰 집합

NF (및 NFU + ''무한대'' + ''선택'', 아래 설명 및 일관성 있음)는 ZFC와 그 적절한 확장이 "너무 커서" 허용하지 않는 두 종류의 집합을 구성할 수 있도록 한다. (일부 집합론은 이러한 개체를 진정한 클래스의 제목으로 인정한다).

'''전체 집합 V'''. $x=x$ 는 층화된 공식이므로, ''V'' = {''x'' | ''x=x''}는 ''포괄성''에 의해 존재한다. 즉시 따르는 결과는 모든 집합이 여집합을 가지며, NF 아래의 전체 집합론적 우주는 부울 구조를 갖는다는 것이다.
'''기수 및 서수'''. NF(및 TST)에서 ''n''개의 요소를 갖는 모든 집합의 집합(여기서의 순환 논법은 겉보기일 뿐이다)이 존재한다. 따라서 프레게의 기수 정의는 NF 및 NFU에서 작동한다. 기수는 등수 관계 아래의 집합의 동치류이다. 집합 ''A''와 ''B''는 사이에 전단사가 존재하면 등수이며, 이 경우 $A \sim B$ 라고 쓴다. 마찬가지로, 서수는 전순서 집합의 동치류이다.

6. 2. 4. 데카르트 닫힘

NF 집합을 객체로 하고, 해당 집합 간의 함수를 화살표로 하는 범주는 데카르트 닫힌 범주가 아니다.^[1] NF는 데카르트 닫힘을 갖지 않기 때문에, 직관적으로 예상하는 것처럼 모든 함수가 커리화되지 않으며, NF는 토포스가 아니다.

참조

_[1] 문서 Mathematical Logic 1981
_[2] 논문 Strong axioms of infinity in NFU https://randall-holm[...] 2001-03
_[3] 웹사이트 NF really is consistent https://www.logicmat[...] 2024-04-21
_[4] 문서
_[5] 웹사이트 NF really is consistent https://www.logicmat[...] 2024-04-21
_[6] 웹사이트 Timothy Chow on the NF consistency proof and Lean https://www.logicmat[...] 2024-05-03
_[7] 논문 New Foundations for Mathematical Logic
_[8] 논문 On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF
_[9] 서적
_[10] 웹인용 https://plato.stanfo[...]
_[11] 저널
_[12] 서적
_[13] 웹인용 https://plato.stanfo[...]
_[14] 저널
_[15] 저널
_[16] 저널
_[17] 학위논문
_[18] 저널
_[19] 웹인용 https://randall-holm[...] 2024-10-01
_[20] arXiv
_[21] 저널

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