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점근 국소 유클리드 공간

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1. 개요

점근 국소 유클리드 공간은 SU(2)의 유한 부분군을 통해 ADE 분류를 가지는 4차원 초켈러 다양체의 일종이다. 이 공간은 특정 조건을 만족하며, 복소 아핀 대수다양체의 최소 분해를 통해 분류된다. A형 점근 국소 유클리드 공간은 기번스-호킹 구성을 통해 표현되며, 초켈러 몫으로도 구성할 수 있다. 이 개념은 일반 상대성 이론의 순간자에서 처음 언급되었으며, 에구치-핸슨 공간이 최초로 발견되었다. 피터 크론하이머에 의해 분류되었으며, 초끈 이론에서 응용된다.

점근 국소 유클리드 공간
개요
정의
정의리만 다양체(M,g)가 다음 두 조건을 만족하면 점근 국소 유클리드 공간(영어: Asymptotically Locally Euclidean space, ALE space)이라고 한다.
1. 완비성(M,g)는 완비 공간이다.
2. 점근적 성질(M,g) 밖에는 콤팩트 집합 K⊂M이 존재하여 M∖K는 유한 개의 서로 소인 부분집합 U1,…,Uk로 분리되며, 각 Ui는 어떤 Γi⊂O(n)에 대한 몫공간 Rⁿ/Γi와 미분 동형이다. 여기서 Γi는 회전군 O(n)의 유한 부분군이며, Γi의 작용은 자유롭다. 또한, Ui 위의 좌표를 x라고 하면, 계량 텐서 g는 다음과 같은 꼴이다.
계량 텐서 꼴gij=δij+O(|x|−τ)
계량 텐서 꼴 설명여기서 τ>0은 상수이며, O는 점근 표기법이다. 즉, x가 무한대로 갈수록 g는 유클리드 공간의 계량 텐서와 같아진다.
예
예시"해석적 접속(영어: resolvent)이 주어진다. 이는 4차원 점근 국소 유클리드 공간을 이룬다."
"A_n-클라인 특이점(영어: Kleinian singularity)의 최소 해소는 점근 국소 유클리드 공간을 이룬다."
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목차

2. 정의

SU(2)의 유한 부분군 \Gamma\le\operatorname{SU}(2)가 주어졌다고 하자. 이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다.

4차원 초켈러 다양체 M 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 점근 국소 유클리드 공간이라고 한다.
* 어떤 콤팩트 집합 K \subseteq M을 제외하면, M \setminus K는 \mathbb R^4 \setminus \operatorname{ball}(0,R)와 미분 동형이며, 적절한 좌표계에서 다음과 같은 꼴이다.
|g_{ij}-\delta_{ij}| \in \mathcal O(r^{-4})
 |\partial_{k_1k_2\dotso k_p}g_{ij}| \in \mathcal O(r^{-4-p})
* 여기서 r는 \mathbb R^4의 원소의 L2 노름이며, R는 충분히 큰 임의의 상수이다.

3. 분류

SU(2)의 유한 부분군 \Gamma \le \operatorname{SU}(2)가 주어졌다고 하자. (이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다.) 그렇다면, 복소수 아핀 대수다양체
:X = \mathbb C^2 / \Gamma
의 최소 분해
:\pi\colon \tilde X \to X
를 생각하자. 즉, 그 예외 인자 \pi^{-1}(0)는 사영 직선들의 합집합이며, 특히 그 2차 특이 호몰로지는 (예외 인자를 구성하는 사영 직선들로 생성되므로) 유한 생성 자유 아벨 군이다.
:\operatorname H_2(\tilde X;\mathbb Z) \cong \mathbb Z^n
여기서 n\in\mathbb N은 \pi^{-1}(0)을 구성하는 사영 직선의 수이다.
:\pi^{-1}(0) = L_1 \cup L_2 \cup \dotsb \cup L_n
또한, 이 사영 직선 L_i들의 교차 형식은 \Gamma의 매케이 화살집의 카르탕 행렬의 -1배와 같다.

이 경우, \tilde X의 2차 드람 코호몰로지류
:\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\operatorname H^2(\tilde X;\mathbb R)
가운데 다음 조건이 성립한다고 하자.
* 임의의 L \in \operatorname H_2(\tilde X;\mathbb Z)에 대하여, 만약 L.L = -2라면, \textstyle\int_L \alpha_i \ne 0인 i\in\{1,2,3\}가 존재한다.
그렇다면, 이 데이터를 사용하여 \tilde X 위에 어떤 표준적인 초켈러 구조를 구성할 수 있으며, 이 경우 세 개의 켈러 구조의 드람 코호몰로지류는 각각 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3이다.

또한, 반대로, 임의의 점근 국소 유클리드 공간은 위와 같이 (\Gamma,\tilde X,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)의 데이터로 결정된다.

4. 구성

A형 점근 국소 유클리드 공간은 기번스-호킹 가설 풀이로 주어지며, 다음과 같이 구성된다. 우선, 좌표

:\tau\in\mathbb R / (4\pi\mathbb Z)
:\vec r \in \mathbb R^3

를 정의한다. 그렇다면, An형 점근 국소 유클리드 공간의 계량은 다음과 같다.

:\mathrm ds^2 = V(|\vec r|) \mathrm d\vec r^2 + \frac1{V(|\vec r|)} (\mathrm d\tau+\omega)^2
:V(|\vec r|) = \sum_{i=1}^N \frac1{2|\vec r|}

여기서

:\omega = \vec\omega \cdot \mathrm d\vec r \in \Omega^1(\mathbb R^3)

는 \mathbb R^3 위의 1차 미분 형식 가운데

:\mathrm d\omega = \star \mathrm dV

인 것이다.

N=1인 경우는 평탄 공간과 같으며, N=2인 경우는 에구치-핸슨 공간이다. 즉, A형 점근 국소 유클리드 공간은 여러 개의 에구치-핸슨 공간들을 겹친 것으로 이해할 수 있다.

초켈러 몫으로도 구성될 수 있다.

4.1. 기번스-호킹 구성

기번스-호킹 가설 풀이로 주어지는 A형 점근 국소 유클리드 공간은 다음과 같이 구성된다. 우선, 좌표

:\tau\in\mathbb R / (4\pi\mathbb Z)
:\vec r \in \mathbb R^3

를 정의한다. 그렇다면, An형 점근 국소 유클리드 공간의 계량은 다음과 같다.

:\mathrm ds^2 = V(|\vec r|) \mathrm d\vec r^2 + \frac1{V(|\vec r|)} (\mathrm d\tau+\omega)^2
:V(|\vec r|) = \sum_{i=1}^N \frac1{2|\vec r|}

여기서

:\omega = \vec\omega \cdot \mathrm d\vec r \in \Omega^1(\mathbb R^3)

는 \mathbb R^3 위의 1차 미분 형식 가운데

:\mathrm d\omega = \star \mathrm dV

인 것이다.

이 경우 N=1인 경우는 평탄 공간과 같으며, N=2인 경우는 에구치-핸슨 공간이다. 즉, A형 점근 국소 유클리드 공간은 여러 개의 에구치-핸슨 공간들을 겹친 것으로 이해할 수 있다.

4.2. 초켈러 몫 구성

초켈러 몫으로 구성될 수 있다.

5. 역사

이러한 공간들은 원래 일반 상대성 이론에서 중력의 ‘순간자’로서 최초로 거론되었다. 최초로 발견된 점근 국소 유클리드 공간은 (4차원 유클리드 공간 자체를 제외하면) 에구치-핸슨 공간이다. 이후 1989년에 피터 크론하이머가 이들을 모두 분류하였다.

6. 응용

초끈 이론에서 자주 등장한다.