카르탕 행렬

3. 분류

대칭화 가능 카르탕 행렬은 그 고윳값에 따라 다음과 같이 분류된다.

• 유한형 카르탕 행렬: 고윳값이 모두 양수인 경우이다. 이들은 복소수 단순 리 대수와 일대일 대응한다.
• 아핀형 카르탕 행렬: 고윳값이 모두 양수 또는 0이며, 0을 하나 이상 포함하는 경우이다. 이들은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.
• 부정형 카르탕 행렬: 고윳값이 음수를 포함하는 경우이다.

• 유한형: 모든 주요 소행렬식이 양수이다.
• 아핀형: 진부분 주요 소행렬식은 양수이고, 전체 행렬식은 0이다.
• 부정형: 위 두 조건에 해당하지 않는 경우이다.

4. 리 대수

리 대수(Lie algebra)는 카츠-무디 대수(Kac–Moody algebra)와 같이 더 넓은 범위의 대수를 다룰 수 있도록 정의를 확장할 수 있는데, 이때 일반화된 카르탕 행렬이 사용된다. 단순 리 대수(simple Lie algebra)의 카르탕 행렬은 그 근계의 스칼라 곱을 통해 정의되며, 리 대수의 구조를 특징짓는다.^[1]

일반화된 카르탕 행렬은 다음 조건을 만족하는 정수 항목을 가진 정사각 행렬 $A\; =\; (a\_\{ij\})$이다.

# 대각 항목은 $a\_\{ii\}\; =\; 2$이다.

# 비대각 항목은 $a\_\{ij\}\; \backslash leq\; 0$이다.

# $a\_\{ij\}\; =\; 0$인 것과 $a\_\{ji\}\; =\; 0$인 것은 동치이다.

# $A$는 $DS$로 분해할 수 있다. ($D$는 대각 행렬, $S$는 대칭 행렬)

예를 들어 ''G''₂의 카르탕 행렬은 다음과 같이 분해할 수 있다.

:$$

\begin{bmatrix}

2 & -3 \\

• 1 & 2

• 1 & 2

4. 1. 단순 리 대수의 카르탕 행렬의 행렬식

이 행렬식은 연관된 근계의 지표와 같다. 즉, P, Q가 각각 가중치 격자와 근 격자를 나타낼 때, $|P/Q|$와 같다.

5. 유한 차원 대수의 표현

유한체 표현론, 더 일반적으로 유한 차원 결합 대수 ''A''의 표현론에서, 반단순이 아닌 경우, '''카르탕 행렬'''은 (유한) 집합의 주기약 가군을 고려하고, 이를 기약 가군으로 나타내는 조성열을 작성하여 기약 가군의 발생 횟수를 세는 정수 행렬을 생성하여 정의된다.^[1]

모듈러 표현론 또는 더 일반적으로 반단순환이 아닌 유한 차원 결합 대수 A의 표현론에서, '''카르탕 행렬'''은 principal indecomposable module|주직약 가군^영어의 동형류로 이루어진 (유한) 집합을 고려하여, 이들의 조성열을 기약 가군의 언어로 기술하고, 기약 가군의 출현 횟수를 세는 정수 행렬로 정의된다.^[1]

6. M이론

M이론에서, 2-사이클들이 유한한 수의 점에서 서로 교차하는 기하학을 2-사이클의 면적이 0으로 수렴하는 극한에서 고려할 수 있다. 이 극한에서 국소 대칭군이 나타난다. 2-사이클 기저의 교차수 행렬은 이 국소 대칭군의 리 대수의 카르탕 행렬일 것으로 추측된다.^[3]

이는 다음과 같이 설명할 수 있다. M이론에는 '막' 또는 '2-브레인'이라고 불리는 2차원 표면인 솔리톤이 존재한다. 2-브레인은 장력을 가지고 있어 축소되려는 경향이 있지만, 0으로 축소되는 것을 방지하는 2-사이클을 감쌀 수 있다.

모든 2-사이클과 그 교차점이 공유하는 한 차원을 콤팩트화한 다음, 이 차원이 0으로 수렴하는 극한을 취하여 이 차원에 대한 차원 축소를 얻을 수 있다. 그러면 M이론의 극한으로 IIA형 끈 이론을 얻게 되는데, 2-사이클을 감싸는 2-브레인은 이제 D-브레인 사이에 뻗어 있는 열린 끈으로 설명된다. 각 D-브레인에 대해 U(1) 국소 대칭군이 있는데, 이는 방향을 바꾸지 않고 D-브레인을 움직이는 자유도와 유사하다. 2-사이클의 면적이 0인 극한은 이러한 D-브레인이 서로 위에 있는 극한이므로 향상된 국소 대칭군을 얻게 된다.

이제, 두 D-브레인 사이에 뻗어 있는 열린 끈은 리 대수 생성자를 나타내며, 이러한 두 생성자의 교환자는 두 개의 열린 끈의 가장자리를 함께 붙여서 얻을 수 있는 열린 끈으로 표현되는 세 번째 생성자이다. 서로 다른 열린 끈 간의 이러한 관계는 원래의 M이론에서 2-브레인이 교차할 수 있는 방식, 즉 2-사이클의 교차수에 따라 달라진다. 따라서 리 대수는 이러한 교차수에 전적으로 의존한다. 카르탕 행렬과의 정확한 관계는 후자가 선택된 기저에서 2-사이클과 관련된 단순 근의 교환자를 설명하기 때문이다.

카르탕 부분 대수의 생성자는 D-브레인과 자체 사이에 뻗어 있는 열린 끈으로 표현된다.

7. 역사

빌헬름 킬링이 최초로 사용하였으나, 엘리 카르탕의 이름을 땄다.

참조

_[1] 서적 Lie Algebras in Particle Physics Westview Press 1999-10-22
_[2] 논문 Cartan-Gram determinants for the simple Lie Groups https://deepblue.lib[...] 1982-11
_[3] 간행물 A Note on Enhanced Gauge Symmetries in M- and String Theory