점근 밀도

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1. 개요

점근 밀도는 자연수의 부분집합 A에 대해, A의 원소 중 n 이하의 값들의 개수를 n으로 나눈 값의 극한으로 정의되는 개념이다. 위쪽 점근 밀도와 아래쪽 점근 밀도를 통해 점근 밀도를 정의하며, 0과 1 사이의 값을 갖는다. 점근 밀도는 집합의 여집합, 유한 집합, 완전 제곱수, 짝수 집합 등 다양한 집합에 대해 계산할 수 있으며, 소수 정리와 같은 수학적 개념과 관련이 있다. 또한 로그 밀도와 같은 다른 밀도 함수도 존재한다.

점근 밀도

분야	수학, 정수론
정의	자연수 집합의 밀도
관련 개념	자연 밀도, 상대 밀도

자연 밀도와의 관계

자연 밀도 존재 시	점근 밀도 존재 및 동일
점근 밀도 존재 시	자연 밀도 존재 여부 불확실

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 위쪽 및 아래쪽의 점근 밀도
3. 성질 및 예시
4. 다른 밀도 함수

2. 정의

자연수의 부분집합 A가 주어졌을 때, A의 원소 중 n 이하의 값들의 개수를 a(n)라고 한다. n이 무한대로 갈 때 극한값
: $\lim_{n\to \infty} \frac{a(n)}{n} = \alpha$
이 존재하면, A는 점근밀도 $\alpha$ 를 갖는다고 말한다.

임의의 자연수 n에 대해 a(n)을 n보다 작거나 같은 A의 원소 개수로 정의하면, A의 자연 밀도는 다음과 같다.

: $\frac{a(n)}{n} \rightarrow \alpha$ (n → ∞ 일 때)

A가 자연 밀도 $\alpha$ 를 가지면 $0 \le \alpha \le 1$ 이 된다.

2.1. 위쪽 및 아래쪽의 점근 밀도

자연수의 부분집합 A가 주어져 있을 때, A의 원소 중 n 이하의 값들의 개수를 a(n)라고 하면, n이 무한대로 갈 때 극한값
: $\lim_{n\to \infty} \frac{a(n)}{n} = \alpha$
이 존재하면 점근밀도 $\alpha$ 를 갖는다고 말한다.

위에서 쓰인 기호를 토대로 위쪽 점근 밀도(upper asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
: $\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac$

👆

좌우로 밀어서 보기

{n}
이때 lim sup은 상극한이다.

마찬가지로 아래쪽 점근 밀도(lower asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:

\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ | A(n)| }{n}

만약 이 두 극한이 일치한다면, 즉

\underline{d}(A)=\overline{d}(A)

이라면, 이 값을 점근 밀도

d(A)

라고 부를 수 있다.

이러한 정의는 다음과 같은 방식으로도 표현될 수 있다.

\mathbb{N}

의 부분 집합

A

가 주어지면, 자연수로 인덱싱된 증가하는 수열로 작성한다.
:

A = \{a_1 < a_2 < \ldots\}.

그런 다음
:

\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n},

\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}

그리고
:

d(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}

만약 그 극한이 존재한다면.

밀도에 대한 다소 약한 개념은 집합

A \subseteq \mathbb{N}

의 상 바나흐 밀도

d^*(A)

이다. 이것은 다음과 같이 정의된다.
:

d^*(A) = \limsup_{N-M \rightarrow \infty} \frac

👆

좌우로 밀어서 보기

{N-M+1}.

3. 성질 및 예시

* 어떤 집합 $A$ 의 점근 밀도 $d(A)$ 가 존재하면 그 여집합의 점근 밀도는 $1- d(A)$ 이다.
* $d(\mathbb{N})= 1$ 이다.
* 임의의 유한 집합 $F$ 에 대해서 $d(F)=0$ 이다.
* 완전 제곱수의 점근 밀도는 0이다.
* 짝수 집합의 점근 밀도는 1/2이다. 마찬가지로 임의의 등차수열 $A = \{an+b | n \in \mathbb{N}\}$ 에 대해, $d(A)=1/a$ 이다.
* 소수 정리에 의해 소수 집합 $P$ 의 점근밀도는 $d(P)=0$ 이다.
* 제곱수로 나누어지지 않는 수(Square-free integer)의 점근밀도는 $\textstyle \frac{6}{\pi^2}$ 이다.
* 과잉수(abundant numbers)의 점근밀도는 0.2474와 0.2480 사이의 값을 갖는다고 알려져 있다.
* 이진 전개가 홀수 개의 숫자를 포함하는 숫자들의 집합은 점근 밀도를 갖지 않는 집합의 예시이다. 이 집합의 상위 밀도는 2/3이고 하위 밀도는 1/3이다.
* 십진법 전개가 숫자 1로 시작하는 숫자의 집합은 자연 밀도를 갖지 않는다. 하위 밀도는 1/9이고 상위 밀도는 5/9이다.
* 만약 S가 양의 상위 밀도를 갖는 집합이면, 세메레디 정리는 S가 임의로 큰 유한 등차 수열을 포함한다고 말하며, 퍼스텐버그-사르쾨지 정리는 S의 두 구성원이 제곱수로 다르다고 말한다.

4. 다른 밀도 함수

자연수의 부분 집합에 대해 다른 밀도 함수도 비슷하게 정의할 수 있다. 예를 들어, 집합 A의 로그 밀도는 다음 극한으로 정의된다(존재하는 경우).

: $\mathbf{\delta}(A) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\log x} \sum_{n \in A, n \le x} \frac{1}{n} \ .$

상한 및 하한 로그 밀도도 비슷하게 정의된다.

정수 수열의 배수 집합의 경우, 데번포트-에르되스 정리는 자연 밀도가 존재할 경우 로그 밀도와 같다고 말한다.

분야	수학, 정수론
정의	자연수 집합의 밀도
관련 개념	자연 밀도, 상대 밀도

자연 밀도와의 관계

자연 밀도 존재 시	점근 밀도 존재 및 동일
점근 밀도 존재 시	자연 밀도 존재 여부 불확실